5.3 Línulegar ójöfnur með einni breytu og hagnýt verkefni – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
55 Algebra
5.3 Línulegar ójöfnur með einni breytu og hagnýt verkefni
5.3 Línulegar ójöfnur með einni breytu og hagnýt verkefni
Mynd 5.5. Niðurstöður skoðanakönnunar með skekkjumörkum upp á fjögur prósentustig sýna aðstæður sem lýsa má með línulegum ójöfnum.
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
teiknað gröf ójafna með einni breytu.
leyst línulegar ójöfnur með einni breytu.
sett upp línulega ójöfnu til að leysa hagnýt verkefni.
Í þessum hluta skoðum við línulegar ójöfnur með einni breytu. Ójöfnur nýtast þegar mörg möguleg gildi koma til greina, ekki aðeins fáein, eða þegar nákvæmt gildi er óþekkt en vitað að það liggur á tilteknu bili. Mörgum raunverulegum aðstæðum má lýsa með línulegum ójöfnum. Skoðum til dæmis könnunina um borgarstjórakosningarnar á mynd 5.5. Skoðanakannanir ná yfirleitt aðeins til lítils hóps. Skekkjumörkin sýna bil þar sem líklegt er að raunveruleg afstaða allra kjósenda liggi miðað við niðurstöður könnunarinnar. Þessu bili má lýsa með ójöfnum.
Annað dæmi varðar skólagjöld. Segjum að samfélagsháskóli taki 113 dollara fyrir hverja einingu og þú ætlir 1.500 dollara í skólagjöld á haustönn. Hve margar einingar geturðu tekið? Mörg gildi geta komið til greina og því má lýsa svarinu með ójöfnu.
Ójöfnur sýndar á talnalínu
Í hlutanum um algebrustæður kynntum við jöfnuð og táknið . Hér skoðum við ójöfnur og táknin , , og . Taflan hér fyrir neðan tekur saman táknin og merkingu þeirra.
Tákn
Merking
minna en
stærra en
minna en eða jafnt og
stærra en eða jafnt og
Skoðum ójöfnuna . Hvaða tala eða tölur gera ójöfnuna sanna? Ef þú hugsar að „ geti verið 4“ hefurðu rétt fyrir þér, en getur einnig verið 5, 6, 37, ein milljón eða jafnvel 3,001. Lausnirnar eru óendanlega margar; sérhver tala stærri en 3 er lausn ójöfnunnar .
Í stað þess að telja allar lausnirnar upp sýnum við allar lausnir ójöfnunnar á talnalínu. Allar tölur hægra megin við 3 eru skyggðar til að sýna að þær séu lausnir. Við töluna 3 er opinn svigi þar sem 3 tilheyrir ekki lausnamengi ójöfnunnar .
Ójöfnur má einnig tákna með biltáknum. Lausnamengið hefur engin efri mörk. Með biltáknum er skrifað . Táknið er lesið „óendanleiki“. Óendanleiki er ekki tala. Mynd 5.6 sýnir bæði talnalínuna og biltáknunina fyrir .
Mynd 5.6. Ójafnan er sýnd á talnalínu og lausnamengið ritað með biltáknum.
Vinstri svigi sýnir að endapunkturinn tilheyrir ekki lausnamenginu. Svigar eru notaðir þegar endapunktar bils eru ekki teknir með í lausnamenginu. Sömu tákn sýna endapunkta bila á talnalínu og í biltáknun.
Ójafnan lýsir öllum tölum sem eru minni en eða jafnar 1. Til að sýna lausnamengið á talnalínu setjum við hornklofa við ; hann sýnir að endapunkturinn er meðtalinn. Síðan skyggjum við talnalínuna vinstra megin við 1. Lausnamengið hefur engin neðri mörk. Með biltáknum er lausnamengi skrifað . Táknið er lesið „mínus óendanleiki“. Mynd 5.7 sýnir lausnamengi ójöfnunnar. Í lok málsgreinarinnar í frumtextanum stendur ranglega ; þar á að vísa til ójöfnunnar x ≤ 1.
Mynd 5.7. Ójafnan er sýnd á talnalínu og lausnamengið ritað með biltáknum.
Mynd 5.8 tekur saman almenna framsetningu lausna ójafnanna , , og , bæði á talnalínu og með biltáknum.
Mynd 5.8. Samantekt á framsetningu lausna á talnalínu og með biltáknum.
Dæmi 5.21
Graf ójöfnu teiknað
Teiknaðu graf ójöfnunnar og skrifaðu lausnina með biltáknum.
Lausn
Skyggðu til hægri frá til að sýna allar tölur stærri en og settu hornklofa við til að sýna að sé meðtalið (mynd 5.9).
Mynd 5.9: Lausnamengi x ≥ −3 á talnalínu.
Skrifaðu lausnina með biltáknum. Byrjaðu á með hornklofa til að sýna að sé meðtalið og settu síðan óendanleika þar sem allar tölur stærri en eða jafnar tilheyra lausnamenginu:
Dæmi 5.22
Graf samsettrar ójöfnu teiknað
Teiknaðu graf ójafnanna og og skrifaðu lausnina með biltáknum.
Teiknaðu bæði gröfin á sömu talnalínu og finndu hvar lausnirnar uppfylla báðar ójöfnurnar á mynd 5.12. Það er svæðið þar sem skyggingarnar tvær skarast.
Mynd 5.12: Sameiginlegar lausnir x > −3 og x < 4.
Skrifaðu lausnina með biltáknum:
Lausn línulegra ójafna
Línuleg ójafna líkist línulegri jöfnu en jafnaðarmerkinu er skipt út fyrir ójöfnumerki. Línuleg ójafna er ójafna með einni breytu sem má rita á einhverju formanna eða þar sem , og eru rauntölur.
Við lausn línulegra jafna notuðum við reglur um jöfnur: leggja má sömu stærð við báðar hliðar eða draga hana frá þeim. Einnig má margfalda eða deila báðum hliðum með sömu tölu, annarri en núlli. Þá fæst jafngild jafna. Sambærilegar reglur gilda um ójöfnur. Ef sömu stærð er bætt við báðar hliðar ójöfnu eða hún dregin frá þeim fæst jafngild ójafna. Til dæmis er sönn staðhæfing. Ef 6 er lagt við báðar hliðar fæst enn sönn staðhæfing:
Sama gerist ef 6 er dregið frá báðum hliðum; staðhæfingin helst sönn:
Taktu eftir að stefna ójöfnumerkjanna breyttist ekki. Þetta sýnir reglur um samlagningu og frádrátt í ójöfnum.
Við getum lagt sömu stærð við báðar hliðar ójöfnu eða dregið hana frá án þess að breyta stefnu ójöfnumerkisins. En hvað gerist þegar báðar hliðar eru margfaldaðar eða deilt með tölu? Byrjum á jákvæðri tölu og sönnu ójöfnunni . Margföldum og deilum báðum hliðum hennar með 5:
Ójöfnumerkin héldu sömu stefnu. Gerist það einnig þegar margfaldað eða deilt er með neikvæðri tölu? Prófum sönnu ójöfnuna með því að margfalda og deila báðum hliðum hennar með :
Til að niðurstöðurnar verði sannar þarf að snúa stefnu ójöfnumerkjanna við. Samantekið helst stefna ójöfnumerkis óbreytt þegar margfaldað eða deilt er með jákvæðri tölu en snýst við þegar margfaldað eða deilt er með neikvæðri tölu. Þetta eru margföldunar- og deilingareiginleikar ójafna.
Þegar báðar hliðar ójöfnu eru margfaldaðar eða þeim deilt með tölu gildir eftirfarandi:
Ef talan er jákvæð helst stefna ójöfnumerkisins óbreytt.
Ef talan er neikvæð snýst stefna ójöfnumerkisins við.
Dæmi 5.23
Línuleg ójafna leyst með einni reikniaðgerð
Leystu , teiknaðu lausnina á talnalínu og skrifaðu hana með biltáknum.
Lausn
Mynd 5.13: Lausnamengið y < 6, eða (−∞, 6), á talnalínu.
Dæmi 5.24
Línuleg ójafna leyst með mörgum reikniaðgerðum
Leystu ójöfnuna , teiknaðu lausnina á talnalínu og skrifaðu hana með biltáknum.
Lausn
Mynd 5.14: Lausnamengið y ≥ −17/5, eða [−17/5, ∞), á talnalínu.
Hagnýt verkefni leyst með línulegum ójöfnum
Í mörgum raunverulegum aðstæðum þarf að leysa ójöfnur. Aðferðin líkist mjög þeirri sem við notuðum við hagnýt verkefni með jöfnum. Fyrst lesum við verkefnið og tryggjum að öll hugtök séu skýr. Síðan greinum við hvað á að finna og látum breytu tákna það. Við endursegjum verkefnið í einni setningu svo auðvelt sé að umrita það sem ójöfnu og leysum ójöfnuna að lokum.
Stundum er aðeins leitað að heiltölulausnum í hagnýtu verkefni þótt endapunktur lausnabilsins sé ekki heiltala. Þá þarf að finna stærstu eða minnstu leyfilegu heiltöluna eftir samhengi verkefnisins. Athuga þarf sérstaklega hvort endapunkturinn sjálfur sé leyfilegur.
Dæmi 5.25
Línuleg ójafna sett upp fyrir verkefni um spjaldtölvur
Kennari fékk 4.000 dollara styrk til að kaupa spjaldtölvur fyrir kennslustofuna. Hver tölva kostar 254,12 dollara með skatti og sendingu. Hver er mesti fjöldi spjaldtölva sem kennarinn getur keypt?
Lausn
Setjum
margfaldað með 254,12 dollurum má ekki fara yfir 4.000 dollara og því er .
Leystu ójöfnuna fyrir . Endapunktur lausnabilsins er hér námundaður að tveimur aukastöfum:
Kennarinn getur keypt fimmtán spjaldtölvur og haldið kostnaðinum undir 4.000 dollurum.
Dæmi 5.26
Línuleg ójafna sett upp fyrir verkefni um skólagjöld
Samfélagsháskólinn tekur 113 dollara fyrir hverja einingu. Þú hefur 1.500 dollara til ráðstöfunar í skólagjöld á haustönn. Hve margar einingar geturðu tekið?
Lausn
Setjum fjöldi eininga sem þú getur tekið.
margfaldað með 113 dollurum má ekki fara yfir 1.500 dollara og því er .
Leystu ójöfnuna fyrir . Endapunktur lausnabilsins er hér námundaður að tveimur aukastöfum:
Þú getur tekið allt að þrettán einingar og haldið kostnaðinum undir 1.500 dollurum.
Dæmi 5.27
Línuleg ójafna sett upp fyrir verkefni um ferðakostnað
Besta vinkona Brendu heldur brúðkaup á ferðamannastað og ferðin stendur í þrjá daga og þrjár nætur. Brenda á 500 dollara í sparifé og getur þénað 15 dollara á klukkustund fyrir barnapössun. Hún áætlar 350 dollara í flug, 375 dollara í mat og afþreyingu og 60 dollara á nótt fyrir sinn hluta hótelherbergis. Hve margar klukkustundir þarf hún að passa börn til að eiga fyrir ferðinni?
Lausn
Setjum fjöldi klukkustunda í barnapössun.
Tekjur af klukkustundum í barnapössun, á 15 dollara á klukkustund, að viðbættum 500 dollurum þurfa að nægja fyrir ferðinni. Kostnaðarliðirnir eru ; síðasti liðurinn er kostnaður á nótt og þarf því að margfalda hann með þremur. Ójafnan verður .
Leystu fyrir :
Brenda þarf að passa börn í að minnsta kosti 27 klukkustundir.
Prófaðu skilning þinn
Í eftirfarandi dæmum skaltu velja rétta biltáknun fyrir grafið. Ef sami rétti svarmöguleiki kemur tvisvar fyrir má velja hvort eintakið sem er.
er lausn hvaða ójöfnu?
er lausn hvaða ójöfnu?
er lausn hvaða ójöfnu?
er lausn hvaða ójöfnu?
Í eftirfarandi dæmum skaltu velja ójöfnuna sem lýsir aðstæðunum best.
Renaldo flytur kassa með garðstólum. Hver kassi er 8 rúmfet og flutningsrými bílsins er 764 rúmfet. Hve margir kassar komast í bílinn?
Ekkert þessara svara
Bernadette passar börn nágrannans og þénar að meðaltali 50 dollara á kvöldi. Hve mörg kvöld þarf hún að passa til að safna fyrir notuðum bíl sem kostar 8.120 dollara?
Ekkert þessara svara
Æfingar úr hluta 5.3
Í eftirfarandi dæmum skaltu teikna graf ójöfnunnar á talnalínu og skrifa lausnina með biltáknum.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Í eftirfarandi dæmum skaltu leysa ójöfnuna, teikna lausnina á talnalínu og skrifa hana með biltáknum.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Í eftirfarandi dæmum skaltu setja upp línulega ójöfnu til að leysa hagnýta verkefnið.
23.
Í lyftunni í fjölbýlishúsi Yehire stendur að hámarksþyngd sé 2.100 pund. Ef meðalþyngd einstaklings er 150 pund, hve margir mega fara örugglega í lyftuna?
24.
Arleen fékk 20 dollara gjafakort á kaffihús. Kaldur drykkur sem henni þykir bestur kostar 3,79 dollara. Hve marga drykki getur hún mest keypt fyrir kortið?
25.
Ryan tekur 17,50 dollara fyrir að þvo bíl nágranna. Hve marga bíla þarf hann að þvo næsta sumar ef markmiðið er að þéna að minnsta kosti 1.500 dollara?
26.
Kimuyen þarf að þéna 4.150 dollara á mánuði til að standa undir öllum útgjöldum. Hún fær 3.475 dollara á mánuði auk fjögurra prósenta af heildarsölu sinni. Hve há þarf heildarsalan að vera að lágmarki svo hún geti greitt öll útgjöldin?
27.
Nataly velur milli tveggja atvinnutilboða. Fyrra starfið greiðir 83.000 dollara á ári. Hitt greiðir 66.500 dollara auk fimmtán prósenta af heildarsölu hennar. Hve mikil þarf heildarsalan að vera svo launin í síðara starfinu verði hærri?
28.
Símaáskrift Kiyoshi kostar 17,50 dollara á mánuði auk 0,15 dollara fyrir hvert textaskilaboð. Hve mörg skilaboð getur Kiyoshi mest sent eða tekið við svo reikningurinn fari ekki yfir 56,60 dollara?
29.
Kellen vill leigja veislusal á veitingastað fyrir gjafaveislu vegna væntanlegs barns frænku sinnar. Salurinn kostar 350 dollara auk 32,50 dollara fyrir hádegisverð hvers gests. Hve marga gesti getur Kellen boðið ef heildarkostnaður má mest vera 1.500 dollarar?
30.
Noe setur upp og stillir hugbúnað á heimilistölvum og tekur 125 dollara fyrir hvert verk. Mánaðarleg útgjöld hans eru 1.600 dollarar. Hve mörg verk þarf hann að vinna á mánuði til að hagnaðurinn verði að minnsta kosti 2.400 dollarar?
![Talnalína nær frá −5 til 5 í skrefum um 1. Lokaður hornklofi er við 1 og svæðið vinstra megin við hann er skyggt. Textinn sýnir 𝑥 minna en eða jafnt og 1 og (mínus óendanleiki, 1].](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/contemporary-mathematics/is/image-v3/030317e8e5e6343a7f19d4cfd2226cfa5e277cbc/rendered.png?v=ea18b0b770e7)
![Fjórar talnalínur. Á þeirri fyrstu er opinn svigi við a og svæðið hægra megin skyggt; textinn sýnir 𝑥 stærra en a og (a, óendanleiki). Á annarri er lokaður hornklofi við a og svæðið hægra megin skyggt; textinn sýnir 𝑥 stærra en eða jafnt og a og [a, óendanleiki). Á þriðju er opinn svigi við a og svæðið vinstra megin skyggt; textinn sýnir 𝑥 minna en a og (mínus óendanleiki, a). Á fjórðu er lokaður hornklofi við a og svæðið vinstra megin skyggt; textinn sýnir 𝑥 minna en eða jafnt og a og (mínus óendanleiki, a].](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/contemporary-mathematics/is/image-v3/450d74be40b59feae8a48245577e48e49fb3a49d/rendered.png?v=8034287d297a)
