5.7 Föll

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Í þessum hluta lærum við um vensl og föll. Í daglegu lífi tengjast ýmsar upplýsingar eða stærðir nafni okkar, svo sem kennitala, nemendanúmer, netfang, símanúmer og afmælisdagur. Vensl eru milli nafnsins og hverrar þessara upplýsinga. Á bekkjarlista kennara eru nöfn nemenda gjarnan í einum dálki og nemendanúmer þeirra í næsta dálki. Ef litið er á samsvörunina sem mengi raðaðra para, þar sem fyrri liðurinn er nafn nemanda og seinni liðurinn nemendanúmer hans, köllum við hana vensl. Í dæmunum hér er gert ráð fyrir að hvert nafn vísi til eins tiltekins einstaklings.

(Nafn nemanda, nemendanúmer)

Mengi allra nemendanafna í bekknum nefnist skilgreiningarmengi venslanna og mengi nemendanúmeranna sem tengjast þeim nefnist myndmengi. Almennt eru vensl sérhvert mengi raðaðra para ($x,y$). Öll $x$-gildi paranna mynda skilgreiningarmengið og öll $y$-gildin mynda myndmengið.

Margar aðstæður líkjast tengslum nafns og nemendanúmers, þar sem ein breyta tengist annarri. Mengi raðaðra para sem skráir samsvörunina nefnist vensl. Sérstök tegund vensla, sem er mjög algeng í stærðfræði, nefnist fall . Fall er vensl sem úthluta hverju staki í skilgreiningarmenginu nákvæmlega einu staki í myndmenginu. Í röðuðu pörunum tengist hvert $x$-gildi aðeins einu $y$-gildi.

Skoðum venslin milli vina þinna og afmælisdaga þeirra á mynd 5.56 . Sérhver vinur á einn afmælisdag, en enginn á tvo. Tveir einstaklingar mega eiga sama afmælisdag. Danny og Stephen eiga báðir afmæli 24. júlí og June og Liz báðar 2. ágúst. Þar sem hver einstaklingur á nákvæmlega einn afmælisdag eru venslin fall.

Þægilegt er að gefa falli heiti. Föll eru oftast táknuð með $f$, $g$, $h$, $F$, $G$ eða $H$. Fyrir hvert $x$-gildi úr skilgreiningarmenginu fæst samsvarandi $y$-gildi í myndmenginu. Fyrir fallið $f$ ritum við fallgildið $y$ sem $f$($x$). Rithátturinn $f$($x$) nefnist falltáknun og er lesinn „f af $x$“ eða „gildi f í $x$“. Svigarnir tákna ekki margföldun hér.

Við köllum $x$ óháðu breytuna því að hún getur tekið hvaða gildi sem er í skilgreiningarmenginu. $y$ nefnist háða breytan því gildi hennar ræðst af $x$. Falltáknun kann að virðast framandi í fyrstu, líkt og breytan $x$ gerði þegar þú kynntist henni. Með æfingu verður hún kunnuglegri og auðveldari í notkun.

Rifjum upp jöfnuna $y=4x-5$. Til að finna gildi $y$ þegar $x=2$, setjum við $x=2$ inn í jöfnuna og einföldum.

Gildi fallsins þegar $x=2$ er 3. Sama er gert með falltáknun: Jöfnuna $y=4x-5$ má rita $f\left(x\right)=4x-5$. Til að finna gildið þegar $x=2$, ritum við:

Gildi fallsins þegar $x=2$ er 3. Ferlið við að finna gildi $f\left(x\right)$ fyrir gefið $x$-gildi nefnist að reikna gildi fallsins .

Ákvarða má hvort vensl séu fall með því að greina inntaks- og úttaksgildin. Ef hvert inntak gefur aðeins eitt úttak eru venslin fall. Ef eitthvert inntak gefur tvö eða fleiri úttök eru venslin ekki fall.

Við skoðum þrjár framsetningar vensla og ákveðum hvort þau séu föll: mengi raðaðra para, örvarit og jöfnur.

Stundum eru vensl sýnd með örvariti. Örvar sýna hvernig stök skilgreiningarmengisins tengjast stökum myndmengisins. Skoðaðu venslin milli vina þinna og afmælisdaga þeirra á mynd 5.56. Skilgreiningarmengið er mengi nafnanna og myndmengið mengi afmælisdaga þeirra. Venslin eru fall því að hvert nafn tengist nákvæmlega einum afmælisdegi.

Í algebru eru föll yfirleitt sett fram með jöfnu. Auðveldast er að sjá hvort jafna skilgreinir fall þegar hún hefur verið leyst fyrir $y$. Ef hvert $x$-gildi gefur aðeins eitt $y$-gildi skilgreinir jafnan fall.

Við höfum séð hvernig ákvarða má hvort vensl séu fall þegar þau eru sett fram sem mengi raðaðra para, örvarit eða jafna. Nú skoðum við hvernig greina má af grafi hvort það sýni fall.

Raðað par $\left(x,y\right)$ er lausn línulegrar jöfnu ef jafnan verður sönn þegar $x$- og $y$-gildi parsins eru sett inn í hana. Graf línulegrar jöfnu er bein lína þar sem sérhver punktur er lausn jöfnunnar og sérhver lausn hennar er punktur á línunni. Á mynd 5.58 sést á grafi jöfnunnar $y=2x-3$ að fyrir hvert $x$-gildi er aðeins eitt $y$-gildi, eins og taflan sýnir.

Vensl eru fall ef hvert stak skilgreiningarmengisins tengist nákvæmlega einu gildi í myndmenginu. Venslin sem jafnan $y=2x-3$ skilgreinir eru fall. Á grafinu sker hver lóðrétt strikalína heilu línuna aðeins einu sinni. Það er eðlilegt því að fyrir hvert $x$-gildi falls er aðeins eitt $y$-gildi. Ef lóðrétt lína skæri grafið tvisvar tengdist sama $x$-gildið tveimur $y$-gildum og grafið sýndi ekki fall. Af þessu fæst myndræn aðferð, lóðrétta línuprófið: Punktamengi í rétthyrndu hnitakerfi er graf falls ef sérhver lóðrétt lína sker grafið í mesta lagi einum punkti. Ef einhver lóðrétt lína sker grafið oftar en einu sinni sýnir það ekki fall.

Í rithættinum $y=f\left(x\right),x$ stendur síðasta táknið fyrir óháðu breytuna, sem getur tekið hvaða gildi sem er í skilgreiningarmenginu. Breytan $y$ er háða breytan því að gildi hennar ræðst af $x$. Fyrir fallið $y=f\left(x\right)$ mynda gildi $x$ skilgreiningarmengið og samsvarandi gildi $y$ myndmengið.