55 Algebra

5.6 Annars stigs jöfnur með einni breytu og hagnýting þeirra

**Mynd 5.39.** Gateway-boginn í St. Louis í Missouri (mynd: aðlögun á „Gateway Arch - St. Louis - Missouri“ eftir Sam Valadi/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

margfaldað tvíliði.
þáttað þríliði.
leyst annars stigs jöfnur með grafi.
leyst annars stigs jöfnur með þáttun.
leyst annars stigs jöfnur með reglu um ferningsrætur.
leyst annars stigs jöfnur með lausnarformúlu annars stigs jafna.
leyst hagnýt verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum.

Í þessum hluta fjöllum við um annars stigs jöfnur og hagnýtingu þeirra. Hugsum til dæmis um Gateway-bogann í St. Louis í Missouri. Á milli fóta bogans eru 630 fet og hann er jafnframt 630 fet á hæð. Teikna má fleygboga gegnum punktana við fæturna og efsta punkt bogans til að fá einfalt líkan. Athugasemd: Gateway-boginn sjálfur er veginn keðjuferill á hvolfi, ekki fleygbogi. Fleygboginn er því aðeins nálgun að lögun hans.

Margliður, einliðir, tvíliðir og þríliðir greindir

Liður er fasti eða margfeldi fasta og einnar eða fleiri breyta. Einliður með einni breytu er stæða á forminu $a x^{m}$ , þar sem $a$ er fasti og veldisvísirinn í $x^{m}$ er heil tala sem er ekki neikvæð. Dæmi um einliði eru 8, $- 2 x^{2}$ , $4 y^{3}$ og $11 z$ .

Einliður, eða summa eða mismunur tveggja eða fleiri einliða, nefnist margliða . Dæmi eru $b + 11$ , $4 y^{2} - 7 y + 2$ og $4 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} - 9 x + 1$ . Sumar margliður hafa sérstök heiti eftir fjölda liða. Einliður hefur nákvæmlega einn lið, til dæmis 14, $8 y^{2}$ , $- 9 x^{3} y^{5}$ , eða $- 13$ . Tvíliður hefur nákvæmlega tvo liði, til dæmis $a + 7$ , $4 b - 5$ , $y^{2} - 16$ , eða $3 x^{3} - 9 x^{2}$ og þríliður hefur nákvæmlega þrjá liði, til dæmis $x^{2} - 7 x + 12$ , $9 y^{2} + 2 y - 8$ , $6 m^{4} - m^{3} + 8 m$ , eða $x^{4} + 3 x^{2} - 1$ .

Taktu eftir að sérhver einliður, tvíliður og þríliður er einnig margliða. Þetta eru sérstakir flokkar í „fjölskyldu“ margliða og hafa því sérstök heiti. Við notum heitin einliður, tvíliður og þríliður um þessa flokka en köllum aðrar slíkar stæður einfaldlega margliður.

Margföldun tvíliða

Rifjaðu upp margföldun algebrustæðna úr kaflanum Algebrustæður. Hér höldum við þeirri vinnu áfram og margföldum einnig tvíliði. Nota má flatarmálslíkan við margföldunina.

Dæmi 5.47

Margföldun tvíliða

Margfaldaðu $(x + 2) (x + 3)$ .

Lausn

Fyrsta skref: Notaðu dreifiregluna:

(x) (x) + (x) (3) + (2) (x) + (2) (3)

Í flatarmálslíkaninu á mynd 5.40 er hver liður við hliðina margfaldaður með hverjum lið efst, líkt og í margföldunartöflu.

Flatarmálslíkan fyrir margfeldið (x + 3)(x + 2). Raðirnar eru merktar x og 3 og dálkarnir x og 2. Reitirnir sýna x², 2x, 3x og 6. — Mynd 5.40. Flatarmálslíkan fyrir margfeldið (x + 3)(x + 2).

Annað skref: Eftir margföldun fæst eftirfarandi jafna:

x^{2} + 3 x + 2 x + 6

Þriðja skref: Dragðu saman samkynja liði og fáðu:

x^{2} + 5 x + 6

Dæmi 5.48

Margföldun flóknari tvíliða

Margfaldaðu $(2 x + 7) (3 x - 5)$ .

Lausn

Fyrsta skref: Notaðu dreifiregluna:

(2 x) (3 x) - (2 x) (5) + (7) (3 x) - (7) (5)

Flatarmálsmynd sýnir rétthyrning sem skipt er í tvær raðir og tvo dálka. Raðhausarnir sýna 3x og −5 en dálkhausarnir 2x og 7. Fyrri röðin sýnir 6x í öðru veldi og 21x. Síðari röðin sýnir −10x og −35. — Mynd 5.41. Flatarmálslíkan fyrir margfeldið (3x − 5)(2x + 7).

Annað skref: Eftir margföldun fæst eftirfarandi jafna:

6 x^{2} - 10 x + 21 x - 35

Þriðja skref: Dragðu saman samkynja liði og fáðu:

6 x^{2} + 11 x - 35

Vissir þú?

Margföldun tvíliða er kennd í grunnskóla

Á yngri stigum eru áþreifanleg hjálpargögn oft notuð svo nemendur geti unnið með stærðfræðina í höndunum. Tugakerfiskubbar, einnig nefndir Dienes-kubbar, eru gjarnan notaðir til að kynna sætisgildi og reikniaðgerðir á heilum tölum. Við margföldun tveggja stafa talna geta nemendur búið til fylki til að sjá dreifiregluna myndrænt. Mynd 5.42 sýnir gildi kubbanna og mynd 5.43 hvernig 17 og 23 eru margfölduð með flatarmálslíkani og tugakerfiskubbum. Þar sést hvernig líkanið skýrir margföldun með dreifireglunni. Hugleiddu hvernig $(10 + 7) (20 + 3)$ yfirfærist auðveldlega í $(10 + x) (20 + y)$ í algebru.

Mynd 5.42. Gildi hvers tugakerfiskubbs

Mynd 5.43. 17 og 23 margfölduð með flatarmálslíkani og tugakerfiskubbum

Þáttun þríliða

Við höfum nýlega séð hvernig tvíliðir eru margfaldaðir. Nú þarf að „snúa margfölduninni við“, byrja með margfeldið og finna þættina. Rifjum fyrst upp dæmi um margföldun tvíliða.

(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6

Við þáttun byrjum við á stæðunni $x^{2} + 5 x + 6$ og skrifum hana sem margfeldið $(x + 2) (x + 3)$ . Hugleiddu hvaðan hver liður þríliðsins kemur. Fyrsti liðurinn fæst með því að margfalda fyrstu liði tvíliðanna. Til að fá $x^{2}$ í margfeldinu þarf hvor tvíliður því að byrja á $x$ .

\begin{array}{l} x^{2} + 5 x + 6 \\ (x) (x) \end{array}

Síðasti liður þríliðsins fæst með því að margfalda síðustu liði tvíliðanna. Margfeldi þeirra þarf því að vera 6. Hvaða tvær tölur hafa margfeldið 6? Tölurnar gætu verið 1 og 6 eða 2 og 3. Hvort parið á að nota? Skoðaðu miðliðinn. Hann fæst með því að leggja saman margfeldi ytri liðanna og margfeldi innri liðanna. Tölurnar sem hafa margfeldið 6 þurfa því að hafa summuna 5.

Prófum báða möguleika og tökum niðurstöðurnar saman í töflu. Slík tafla er gagnleg þegar mörg möguleg þáttapör koma til greina.

Þættir 6	Summa þáttanna
1, 6	$1 + 6 = 7$
2, 3	$2 + 3 = 5$

Við sjáum að margfeldi talnanna 2 og 3 er 6 og summa þeirra 5. Þáttun stæðunnar $x^{2} + 5 x + 6$ er því $(x + 2) (x + 3)$ .

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & margfeldi \\ (x + 2) (x + 3) & þættir \end{matrix}

Staðfesta má þáttunina með margföldun. Við byrjuðum á stæðunni $x^{2} + 5 x + 6$ , sem er á forminu $x^{2} + b x + c$ , þar sem $b = 5$ og $c = 6$ . Hún var þáttuð í tvo tvíliði á formunum $(x + m)$ og $(x + n)$ .

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & x^{2} + b x + c \\ (x + 2) (x + 3) & (x + m) (x + n) \end{matrix}

Til að finna réttu þættina fundum við tölurnar $m$ og $n$ þannig að margfeldi þeirra væri $c$ og summa þeirra $b$ . Í flatarmálslíkaninu á mynd 5.44 er byrjað á auðum reit og síðan settir inn liðirnir $x^{2}$ og $c$ .

Rétthyrningi er skipt í fjóra reiti. Í efri reitnum vinstra megin stendur x² og í neðri reitnum hægra megin 6. Hinir tveir reitirnir eru auðir. — **Mynd 5.44.** Fyrsti og síðasti liður þríliðsins settir í flatarmálslíkan.

Haltu áfram með því að setja inn tvo liði sem hafa summuna $5 x : 2 x$ og $3 x$ ( mynd 5.45 ):

Flatarmálsmynd sýnir rétthyrning sem skipt er í tvær raðir og tvo dálka. Fyrri röðin sýnir x í öðru veldi og 2x. Síðari röðin sýnir 3x og 6. — **Mynd 5.45.** Miðliðnum 5x skipt í liðina 2x og 3x.

Finndu síðan liði tvíliðanna efst og til hliðar (mynd 5.46):

Flatarmálsmynd sýnir rétthyrning sem skipt er í tvær raðir og tvo dálka. Raðhausarnir sýna x og 3 en dálkhausarnir x og 2. Fyrri röðin sýnir x í öðru veldi og 2x. Síðari röðin sýnir 3x og 6. — **Mynd 5.46.** Þættirnir x + 3 og x + 2 lesnir af flatarmálslíkaninu.

Dæmi 5.49

Þáttun þríliða

Þáttaðu $x^{2} + 7 x + 12$ .

Lausn

Tölurnar þurfa að hafa margfeldið 12 og summuna 7. Tökum möguleikana saman í töflu.

Þættir 12	Summa þáttanna
1, 12	$1 + 12 = 13$
2, 6	$2 + 6 = 8$
3, 4	$3 + 4 = 7$

Við sjáum að margfeldi talnanna 3 og 4 er 12 og summa þeirra 7. Þáttun stæðunnar $x^{2} + 7 x + 12$ er því $(x + 3) (x + 4)$ .

Dæmi 5.50

Þáttun flóknari þríliða

Þáttaðu $x^{2} - 11 x + 28$ .

Lausn

Tölurnar þurfa að hafa margfeldið 28 og summuna $- 11$ . Tökum möguleikana saman í töflu.

Þættir 28	Summa þáttanna
$1, 28$	$1 + 28 = 29$
$2, 14$	$2 + 14 = 16$
$4, 7$	$4 + 7 = 11$

Við sjáum að margfeldi talnanna 4 og 7 er 28 og summa þeirra 11. Við þurfum hins vegar summuna $- 11$ og notum því $- 4$ og $- 7$ , þar sem $(- 4) (- 7) = 28$ og $(- 4) + (- 7) = - 11$ . Þáttun stæðunnar $x^{2} - 11 x + 28$ er $(x - 4) (x - 7)$ .

Annars stigs jöfnur leystar með grafi

Við höfum þegar leyst línulegar jöfnur og teiknað gröf þeirra í hlutanum Gröf línulegra jafna og ójafna. Þær má skrifa á forminu $A x + B y = C$ . Breytuliðirnir eru þá af fyrsta stigi; veldisvísirinn 1 er yfirleitt ekki skrifaður. Annars stigs jafna með einni breytu hefur hins vegar lið af öðru stigi eftir einföldun. Hér eru nokkur dæmi um annars stigs jöfnur:

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 = 0 & 3 y^{2} + 4 y = 106 & 4 u^{2} - 81 = 0 & n (n + 1) = 42 \end{matrix}

Síðasta jafnan virðist ekki hafa breytu í öðru veldi en þegar vinstri hliðin er einfölduð fæst $n^{2} + n$ . Almennt form annars stigs jöfnu er $a x^{2} + b x + c = 0$ , þar sem $a, b,$ og $c$ eru rauntölur og $a \neq 0$ . Lausn jöfnu er gildi breytu sem gerir jöfnuna sanna þegar það er sett inn í hana. Lausnir annars stigs jöfnu eru þau gildi breytunnar sem gera jöfnuna $a x^{2} + b x + c = 0$ sanna.

Til að leysa annars stigs jöfnur þurfum við aðrar aðferðir en við notuðum fyrir línulegar jöfnur. Byrjum á að leysa annars stigs jöfnu af grafi hennar. Líkt og með línulegar jöfnur merkjum við punkta. Skoðum fyrst graf jöfnunnar $y = x^{2}$ . Veljum heiltölugildi $x$ frá $- 2$ til 2 og finnum samsvarandi $y$ -gildi í töflunni hér fyrir neðan.

$\begin{array}{l} y = x^{2} \end{array}$
$x$	$y$
0	0
1	1
$- 1$	1
2	4
$- 2$	4

Taktu eftir að þegar $x = 1$ og $x = - 1$ fæst sama $y$ -gildið.

\begin{matrix} y = x^{2} & y = 1^{2} & y = 1 \\ y = x^{2} & y = {(- 1)}^{2} & y = 1 \end{matrix}

Sama gerist fyrir $x = 2$ og $x = - 2$ . Merkjum nú punktana og sýnum graf $y = x^{2}$ á mynd 5.47 .

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −6 til 6 í skrefum um 1. Fleygboginn opnast upp og liggur gegnum punktana (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1) og (2, 4). Öll gildi eru áætluð. — **Mynd 5.47.** Graf jöfnunnar y = x².

Grafið er ekki bein lína heldur fleygbogi. Graf annars stigs falls er alltaf fleygbogi. Þegar $y = 0$ leitum við að lausn jöfnunnar $y = x^{2}$ . Lausnin er núll því að $x^{2} = 0$ þegar $x = 0$ .

Dæmi 5.51

Graf annars stigs jöfnu teiknað

Teiknaðu graf $y = x^{2} - 1$ og finndu þau x-gildi sem gefa y = 0.

Lausn

Við teiknum grafið með því að merkja punkta.

Fyrsta skref: Veldu heiltölugildi fyrir $x$ , settu þau inn í jöfnuna og leystu fyrir $y$ .

Annað skref: Skráðu gildin í röðuðum pörum í töfluna.

$y = x^{2} - 1$
$x$	$y$
0	$- 1$
1	0
$- 1$	0
2	3
$- 2$	3

Þriðja skref: Merktu punktana og tengdu þá með sléttum ferli. Niðurstaðan er graf jöfnunnar $y = x^{2} - 1$ (mynd 5.48). Þegar y = 0 eru lausnirnar $x = 1$ og $x = - 1$ .

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −6 til 6 í skrefum um 1. Fleygboginn opnast upp og liggur gegnum punktana (−2, 3), (−1, 0), (0, −1), (1, 0) og (2, 3). Öll gildi eru áætluð. — Mynd 5.48. Graf jöfnunnar y = x² − 1.

Dæmi 5.52

Annars stigs jafna leyst af grafi

Notaðu graf jöfnunnar $y = x^{2} + 5 x + 4$ á mynd 5.49 til að finna þau x-gildi sem gefa y = 0.

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Fleygboginn opnast upp og liggur gegnum punktana (−5, 4), (−4, 0), (−2,5; −2,25), (−1, 0) og (0, 4). Öll gildi eru áætluð. — Mynd 5.49. Fleygbogi sem sker x-ásinn í tveimur punktum.

Lausn

Lausnir annars stigs jöfnu eru þau gildi $x$ sem gera jöfnuna sanna þegar $y = 0$ . Jafnan $x^{2} + 5 x + 4 = 0$ er sönn fyrir $x = - 4$ og $x = - 1$ .

Annars stigs jöfnur leystar með þáttun

Önnur leið til að leysa annars stigs jöfnur er þáttun. Við notum núllþáttaregluna: Ef margfeldi tveggja stærða er núll hlýtur að minnsta kosti önnur stærðin að vera núll. Eina leiðin til að fá margfeldið núll er að margfalda með núlli.

Dæmi 5.53

Annars stigs jafna leyst með þáttun

Leystu $(x + 1) (x - 4) = 0$ .

Lausn

Skref 1: Settu hvorn þátt jafnan núlli.	Margfeldið er núll og því þarf að minnsta kosti annar þátturinn að vera núll.	$\begin{array}{c} (x + 1) (x - 4) = 0 \\ x + 1 = 0 eða x - 4 = 0 \end{array}$
Skref 2: Leystu línulegu jöfnurnar.	Leystu hvora jöfnu.	$x = - 1 eða x = 4$
Þriðja skref: Athugaðu lausnirnar.	Settu hvora lausn fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.	$\begin{matrix} x & = & - 1 \\ (x + 1) (x - 4) & = & 0 \\ (- 1 + 1) (- 1 - 4) & \overset{?}{=} & 0 \\ (0) (- 5) & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$
		$\begin{matrix} x & = & 4 \\ (x + 1) (x - 4) & = & 0 \\ (4 + 1) (4 - 4) & \overset{?}{=} & 0 \\ (5) (0) & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$

Dæmi 5.54

Önnur annars stigs jafna leyst með þáttun

Leystu $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .

Athugasemd við frumtexta: Í athugun lausnanna hefur formerkið fyrir liðnum 2x verið leiðrétt úr mínus í plús, í samræmi við upphaflegu jöfnuna.

Lausn

Fyrsta skref: Ritaðu jöfnuna á staðalforminu $a x^{2} + bx + c = 0$ .	Jafnan er þegar á staðalformi.	$x^{2} + 2 x - 8 = 0$
Skref 2: Þáttaðu annars stigs stæðuna.	Þáttaðu stæðuna eins og hér er sýnt: $\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 8 \\ (x + 4) (x - 2) \end{array}$	$(x + 4) (x - 2) = 0$
Skref 3: Notaðu núllþáttaregluna.	Settu hvorn þátt jafnan núlli.	$x + 4 = 0 eða x - 2 = 0$
Skref 4: Leystu línulegu jöfnurnar.	Við höfum tvær línulegar jöfnur.	$x = - 4 eða x = 2$
Fimmta skref: Athugaðu lausnirnar.	Settu hvora lausn fyrir sig inn í upphaflegu jöfnuna.	$\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 8 & = & 0 \\ x & = & - 4 \\ {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 & \overset{?}{=} & 0 \\ 16 + (- 8) - 8 & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$
		$\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 8 & = & 0 \\ x & = & 2 \\ 2^{2} + 2 (2) - 8 & \overset{?}{=} & 0 \\ 4 + 4 - 8 & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$

Athugaðu

Gættu þess að rita annars stigs jöfnuna fyrst á staðalformi með núlli öðru megin áður en núllþáttareglan er notuð. Til dæmis má skrifa $x^{2} + 2 x - 15 = - 7$ sem $(x - 3) (x + 5) = - 7$ , en það er rangt að álykta út frá því að hvor þáttur sé jafn $- 7$ . Núllþáttareglan gildir aðeins þegar margfeldið er núll.

Rétta leiðin er að gera hægri hlið annars stigs jöfnunnar fyrst að núlli: $x^{2} + 2 x - 15 + 7 = - 7 + 7$ verður $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ og síðan er haldið áfram með þáttun. Taflan sýnir rétta beitingu núllþáttareglunnar.

Athugasemd við frumtexta: Í síðustu röð töflunnar hefur −1 verið leiðrétt í −15 í athuguninni fyrir x = −12 og −18 í −8 í athuguninni fyrir x = −4. Dálkarnir vinstra megin sýna áfram vísvitandi ranga aðferð.

	$x^{2} + 2 x - 15 = - 7$		$x^{2} + 2 x - 15 = - 7$
Fyrsta skref	Sleppt		$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 15 + 7 = - 7 + 7 \\ x^{2} + 2 x - 8 = 0 \end{array}$
Annað skref	$(x - 3) (x + 5) = - 7$		$(x - 2) (x + 4) = 0$
Þriðja skref	$x - 3 = - 7$	$x + 5 = - 7$	$x - 2 = 0$	$x + 4 = 0$
Fjórða skref	$x = - 4$	$x = - 12$	$x = 2$	$x = - 4$
Fimmta skref	$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 15 \\ = 16 - 8 - 15 \end{array} \\ = - 7 \end{array}$	$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(- 12)}^{2} + 2 (- 12) - 15 \\ = 144 - 24 - 15 = 105 \end{array} \\ \neq - 7 \end{array}$	$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(2)}^{2} + 2 (2) - 8 \\ = 4 + 4 - 8 \end{array} \\ = 0 \end{array}$	$\begin{array}{l} \begin{array}{l} {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 \\ = 16 - 8 - 8 \end{array} \\ = 0 \end{array}$

Annars stigs jöfnur leystar með reglu um ferningsrætur

Við leystum nýlega nokkrar annars stigs jöfnur með þáttun. Notum þáttun til að leysa jöfnuna $x^{2} = 9$ .

Skref 1: Settu jöfnuna á staðalform.	$x^{2} - 9 = 0$
Skref 2: Þáttaðu vinstri hliðina.	$(x + 3) (x - 3) = 0$
Skref 3: Notaðu núllþáttaregluna.	$x + 3 = 0$	$x - 3 = 0$
Skref 4: Leystu hvora jöfnu.	$x = - 3$	$x = 3$
Fimmta skref: Ritaðu lausnirnar saman með merkinu $\pm$ .	$x = \pm 3$

Lausnin er lesin: „ $x$ er jafnt plús eða mínus 3.“

Hvað gerist fyrir jöfnu eins og $x^{2} = 7$ ? Þar sem 7 er ekki ferningstala getum við ekki leyst hana með þáttun í línulega þætti með heiltölustuðlum. Jöfnur af þessu tagi eru á forminu $x^{2} = k$ . Ferningsrót tölu er skilgreind þannig: Ef $n^{2} = m$ , þá er $n$ ferningsrót $m$ . Af þessu leiðir reglan um ferningsrætur. Þegar leitað er að rauntölulausnum þarf hægri hliðin að vera ekki neikvæð.

Dæmi 5.55

Regla um ferningsrætur notuð til að leysa annars stigs jöfnu

Leystu með reglu um ferningsrætur $x^{2} = 169$ .

Lausn

Skref 1: Notaðu regluna um ferningsrætur.	$x = \pm \sqrt{169}$
Skref 2: Einfaldaðu rótina.	$x = \pm 13$
Skref 3: Ritaðu lausnirnar tvær.	$x = 13$	$x = - 13$

Dæmi 5.56

Regla um ferningsrætur notuð til að leysa aðra annars stigs jöfnu

Leystu með reglu um ferningsrætur $144 q^{2} = 25$ .

Lausn

Fyrsta skref: Einangraðu annað veldi breytunnar $q$ .

$q^{2} = \frac{25}{144}$

Annað skref: Notaðu regluna um ferningsrætur.

$q = \pm \sqrt{\frac{25}{144}}$

Þriðja skref: Einfaldaðu rótina.

q = \pm \frac{5}{12}

Fjórða skref: Ritaðu lausnirnar tvær: $q = \frac{5}{12}$ , $q = - \frac{5}{12}$

Annars stigs jöfnur leystar með lausnarformúlu annars stigs jafna

Síðasta aðferðin sem við skoðum er lausnarformúla annars stigs jafna. Hana má nota á allar annars stigs jöfnur, einnig þegar þáttun með heiltölustuðlum gengur ekki upp. Við setjum gildi stuðlanna $a$ , $b$ og $c$ inn í formúluna og einföldum. Formúlan gefur tvær rauntölulausnir, eina tvöfalda lausn eða engar rauntölulausnir eftir því hvort talan undir ferningsrótarmerkinu er jákvæð, núll eða neikvæð.

Dæmi 5.57

Annars stigs jafna leyst með lausnarformúlunni

Leystu með lausnarformúlu annars stigs jafna $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ .

Lausn

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Jafnan er á staðalformi.

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = & 0 \\ x^{2} - 6 x + 5 & = & 0 \end{matrix}$

Fyrsta skref: Finndu gildi stuðlanna $a$ , $b$ og $c$ .

$a = 1, b = - 6, c = 5$

Annað skref: Ritaðu lausnarformúlu annars stigs jafna.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Þriðja skref: Settu gildi stuðlanna $a$ , $b$ og $c$ inn í formúluna.

Athugasemd við frumtexta: Í næsta skrefi hefur gleymdu mínusmerki fyrir (−6) verið bætt við og nefnarinn 2.1 leiðréttur í margfeldið 2 · 1.

$x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 (1) (5)}}{2 \cdot 1}$

Fjórða skref: Einfaldaðu.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 4}{2}$

Fimmta skref: Ritaðu lausnirnar tvær.

$x = \frac{6 + 4}{2}, x = \frac{6 - 4}{2}$

Sjötta skref: Einfaldaðu.

$x = \frac{10}{2}, x = \frac{2}{2}$

$x = 5, x = 1$

Sjöunda skref: Athugaðu lausnirnar.

$\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 5 & = & 0 & x^{2} - 6 x + 5 & = & 0 \\ 5^{2} - 6 \cdot 5 + 5 & \overset{?}{=} & 0 & 1^{2} - 6 \cdot 1 + 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 25 - 30 + 5 & \overset{?}{=} & 0 & 1 - 6 + 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ & 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$

Dæmi 5.58

Önnur annars stigs jafna leyst með lausnarformúlunni

Leystu með lausnarformúlu annars stigs jafna $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ .

Lausn

Fyrsta skref: Ritaðu jöfnuna á staðalformi og finndu gildi stuðlanna $a$ , $b$ og $c$ .	Jafnan er á staðalformi.	$\begin{array}{c} a x^{2} + bx + c = 0 \\ 2 x^{2} + 9 x - 5 = 0 \\ a = 2, b = 9, c = - 5 \end{array}$
Annað skref: Ritaðu lausnarformúluna og settu inn gildi stuðlanna $a$ , $b$ og $c$ .	Settu inn $a = 2$ , $b = 9$ og $c = - 5$ .	$\begin{array}{l} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 (2) (- 5)}}{2 \cdot 2} \end{array}$
Þriðja skref: Einfaldaðu brotið og finndu gildi $x$ .		$\begin{array}{l} x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - (- 40)}}{4} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{4} \\ x = \frac{- 9 \pm 11}{4} \\ x = \frac{- 9 + 11}{4} x = \frac{- 9 - 11}{4} \\ x = \frac{2}{4} x = \frac{- 20}{4} \\ x = \frac{1}{2} x = - 5 \end{array}$
Skref 4: Athugaðu lausnirnar.	Settu hvora lausn inn í upphaflegu jöfnuna. Byrjaðu á $x = \frac{1}{2}$ .	$\begin{matrix} 2 x^{2} + 9 x - 5 & = & 0 \\ 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 9 \cdot \frac{1}{2} - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 2 \cdot \frac{1}{4} + 9 \cdot \frac{1}{2} - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ \frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ \frac{10}{2} - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 5 - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$
	Settu síðan inn $x = - 5$ .	$\begin{matrix} 2 x^{2} + 9 x - 5 & = & 0 \\ 2 {(- 5)}^{2} + 9 (- 5) - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 2 \cdot 25 - 45 - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 50 - 45 - 5 & \overset{?}{=} & 0 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$

Hagnýt verkefni leyst með annars stigs jöfnum

Eftirfarandi lausnarstefna hentar vel fyrir hagnýt verkefni sem leiða til annars stigs jafna:

Fyrsta skref: Lestu verkefnið og gakktu úr skugga um að öll orð og hugmyndir séu skýr.

Annað skref: Ákvarðaðu hvað á að finna.

Þriðja skref: Skilgreindu óþekktu stærðina og veldu breytu sem táknar hana.

Fjórða skref: Settu upp jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægum upplýsingum og færa hana síðan yfir í algebrujöfnu.

Fimmta skref: Leystu jöfnuna með viðeigandi algebruaðferðum.

Sjötta skref: Athugaðu svarið í samhengi verkefnisins og staðfestu að það sé raunhæft.

Sjöunda skref: Svaraðu spurningunni í heilli setningu.

Dæmi 5.59

Samliggjandi heiltölur fundnar

Margfeldi tveggja samliggjandi heiltalna er 132. Finndu tölurnar.

Lausn

Fyrsta skref: Lestu verkefnið.

Annað skref: Ákvarðaðu hvað á að finna.

Við leitum að tveimur samliggjandi heiltölum.

Þriðja skref: Nefndu það sem leitað er að.

Skilgreinum: $n =$ fyrri heiltalan.

Þá er $n + 1 =$ næsta heiltala.

Fjórða skref: Settu upp jöfnu. Endursegðu verkefnið í setningu.

$n (n + 1) = 132$

Margfeldi samliggjandi heiltalnanna er 132. Fyrri heiltalan margfölduð með þeirri næstu er 132.

Fimmta skref: Leystu jöfnuna.

$n^{2} + n = 132$

Færðu alla liði öðrum megin.

$n^{2} + n - 132 = 0$

Þáttaðu þríliðinn.

$(n - 11) (n + 12) = 0$

Notaðu núllþáttaregluna.

$n - 11 = 0 eða n + 12 = 0$

Leystu jöfnurnar.

$n = 11, n = - 12$

Tvö gildi $n$ eru lausnir verkefnisins og því virka tvö pör samliggjandi heiltalna.

Ef fyrri heiltalan er $n = 11$ , er sú næsta 12. Ef fyrri heiltalan er $n = - 12$ , er sú næsta $- 11$ .

Sjötta skref: Athugaðu svarið.

Heiltölurnar eru 11 og 12 eða $- 11$ og $- 12$ . Margfeldi fyrra parsins er 11 · $12 = 132$ og margfeldi síðara parsins er $- 11 (- 12) = 132$ . Bæði pörin eru því lausnir.

Sjöunda skref: Svaraðu spurningunni.

Samliggjandi heiltölurnar eru 11 og 12 eða $- 11$ og $- 12$ .

Kom neikvæða talnaparið þér á óvart? Í sumum hagnýtum verkefnum gefur algebran neikvæðar lausnir sem eru ekki raunhæfar við aðstæðurnar.

Dæmi 5.60

Lengd og breidd garðs fundnar

Rétthyrndur garður er 15 ferfet að flatarmáli. Lengdin er tveimur fetum meiri en breiddin. Finndu lengd og breidd garðsins.

Lausn

Fyrsta skref: Lestu verkefnið. Í rúmfræðiverkefnum getur skissa hjálpað til við að sjá aðstæðurnar fyrir sér (mynd 5.50).

Rétthyrndur garður með lengdina W + 2 og breiddina W. — Mynd 5.50. Rétthyrndur garður með breiddina W og lengdina W + 2.

Annað skref: Ákvarðaðu hvað á að finna.

Við leitum að lengd og breidd.

Þriðja skref: Nefndu það sem leitað er að. Lengdin er tveimur fetum meiri en breiddin.

Skilgreinum: $W =$ breidd garðsins.

$W + 2 =$ lengd garðsins.

Fjórða skref: Settu upp jöfnu.

Endursegðu mikilvægu upplýsingarnar í setningu.

Flatarmál rétthyrnda garðsins er 15 ferfet.

Notaðu formúluna fyrir flatarmál rétthyrnings.

$A = L \times W$

Settu breyturnar inn.

$15 = (W + 2) W$

Fimmta skref: Leystu jöfnuna. Beittu fyrst dreifireglunni.

$15 = W^{2} + 2 W$

Færðu alla liði öðrum megin svo að hin hliðin verði núll.

$0 = W^{2} + 2 W - 15$

Þáttaðu þríliðinn.

$0 = (W + 5) (W - 3)$

Notaðu núllþáttaregluna.

$0 = W + 5$

$0 = W - 3$

Leystu hvora jöfnu.

$- 5 = W$

$3 = W$

Þar sem $W$ táknar breidd garðsins getur gildið ekki verið neikvætt. Því höfnum við neikvæða gildi $W$ .

$W = 3$

Breiddin er þrjú fet.

Finndu lengdina.

$W + 2 =$ lengdin.

$3 + 2$

Lengdin er fimm fet.

Sjötta skref: Athugaðu svarið (mynd 5.51).

Er svarið raunhæft?

Rétthyrndur garður með lengdina W + 2 og breiddina W. Lengdin er merkt 3 + 2 = 5 og breiddin 3. Textinn sýnir A = L · W, A = 3 · 5 og A = 15. — Mynd 5.51. Flatarmál garðsins er staðfest með fundnum hliðarlengdum.

Já, svarið er raunhæft.

Sjöunda skref: Svaraðu spurningunni.

Garðurinn er þrjú fet á breidd og fimm fet á lengd.

Prófaðu

Fyllt í ferninginn

Rifjaðu upp aðferðirnar tvær sem notaðar voru til að leysa annars stigs jöfnur á forminu $a x^{2} + b x + c = 0$ : þáttun og lausnarformúlu annars stigs jafna. Í sögunni hafa þó verið þróaðar margar aðferðir til að leysa slíkar jöfnur. Egypskir, mesópótamískir, kínverskir, indverskir og grískir stærðfræðingar leystu ýmsar gerðir annars stigs jafna, sem og arabískir stærðfræðingar frá 9. til 12. aldar. Í þessu verkefni skoðum við aðferð eins þeirra.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi starfaði sem fræðimaður við Hús viskunnar í Bagdad, þar sem nú er Írak. Meðal afreka hans var bók um algebru. Þar spyr hann: „Hver er ferningurinn sem verður 39 þegar við hann er bætt tíu sinnum eigin rót?“ Al-Khwarizmi þekkti, líkt og margir arabískir stærðfræðingar samtímans, Frumþætti Evklíðs vel. Hann nálgaðist algebru rúmfræðilega og leysti verkefni af þessu tagi með rúmfræðilegri aðferð sem við köllum nú að fylla í ferninginn.

Hann lýsir lausninni þannig: Helmingaðu fjölda rótanna, sem hér gefur 5. Margfaldaðu töluna með sjálfri sér og fáðu 25. Leggðu það við 39 og fáðu 64. Taktu ferningsrótina, sem er 8, og dragðu frá helming rótarfjöldans, 5. Eftir stendur 3. Þetta er rót ferningsins sem leitað var að og ferningurinn er því 9.

Al-Khwarizmi byrjar á ferningi með óþekkta hliðarlengd $x$ (mynd 5.52). Flatarmál hans er $x^{2}$ .	Mynd 5.52. Ferningur með hliðarlengdina $x$ .
Stuðull hliðarlengdarinnar er 10. Helmingur hans er 5. Bætum við tveimur rétthyrningum sem hvor um sig hefur flatarmálið $5 x$ (mynd 5.53). Þá er jafnan $x^{2} + 10 x = 39$ .	Mynd 5.53. Tveimur rétthyrningum bætt við upphaflega ferninginn.
Til að fylla í ferninginn bætum við litlum ferningi með flatarmálið 25 við myndina (mynd 5.54).	Mynd 5.54. Litli ferningurinn sem þarf til að fylla í eyðuna.

$x^{2} + 10 x + 25 = 39 + 25$ , eða $x^{2} + 10 x + 25 = 64$ .

Fullgerði ferningurinn hefur hliðarlengdina $x + 5$ og því flatarmálið ${(x + 5)}^{2}$ . Með því að þátta vinstri hlið jöfnunnar $x^{2} + 10 x + 25 = 64$ fæst ${(x + 5)}^{2} = 64$ . Flatarmál stóra ferningsins er því 64. Af ${(x + 5)}^{2} = 64$ leiðir algebrulega að $x + 5 = \pm 8$ . Því er $x$ annaðhvort 3 eða $- 13$ . Í frumtextanum vantar plús-mínusmerkið í milliskrefið; það hefur verið leiðrétt hér. Í rúmfræðilegri lausn al-Khwarizmis kemur aðeins jákvæða lausnin til greina því að hliðarlengd getur ekki verið neikvæð.

Prófaðu skilning þinn

Hvaða annars stigs stæða er jöfn

\left( {x-3} \right)\left( {x + 5} \right)

${x^2}-15$
${x^2}-3x + 15$
${x^2}-2x-15$
${x^2} + 2x-15$

Hvaða margfeldi er jafnt

{x^2}-8x + 15

$\left( {x-3} \right)\left( {x + 5} \right)$
$\left( {x-3} \right)\left( {x-5} \right)$
$\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)$
$\left( {x + 3} \right)\left( {x-5} \right)$

Hvaða jafna hefur lausnir sem samsvara skurðpunktum grafsins við x-ás?

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Fleygboginn opnast upp og liggur gegnum punktana (−5, 0), (−3, −4) og (−1, 0).

${x^2}-x + 5 = 0$
${x^2}-5x + 1 = 0$
${x^2} + 6x + 5 = 0$
${x^2}-4x + 5 = 0$

Hverjar eru allar lausnir jöfnunnar

{x^2}-49 = 0

$x = 7$
${x = -7}$
${x = \pm 49}$
${x = \pm 7}$

{x^2}-5x + 5 = 0

má þátta sem

\left( {x-1} \right)\left( {x-5} \right)

Satt
Ósatt

Jöfnuna

{x^2}-5x + 5 = 0

má leysa beint með reglunni um ferningsrætur án þess að fylla fyrst í ferninginn.

Satt
Ósatt

{x^2}-5x + 5 = 0

má leysa með lausnarformúlu annars stigs jafna.

Satt
Ósatt

Til að finna lausnir jöfnunnar ${x^2}-5x + 5 = 0$ má nota eftirfarandi graf vinstri hliðar hennar:

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Fleygboginn opnast upp og liggur gegnum punktana (1, 0), (3, −4) og (5, 0).

Satt
Ósatt

Finndu lausnir jöfnunnar

{x^2}-5x + 5 = 0

með því að fylla í ferninginn og nota síðan regluna um ferningsrætur.

Æfingar úr hluta 5.6

Í eftirfarandi verkefnum skaltu margfalda tvíliðina.

(w + 5)(w + 7)

(y + 9)(y + 3)

(p + 11)(p - 4)

(q + 4)(q - 8)

(x + 8)(x + 3)

(2x - 1)(x + 6)

Í eftirfarandi verkefnum skaltu þátta þríliðina.

{a^2} - 5a - 14

{n^2} + 10n + 24

{u^2} - 16

10.

{x^2} + 4x - 21

11.

{y^2} - 8y + 15

12.

{x^2} - 25

Í eftirfarandi verkefnum skaltu leysa annars stigs jöfnurnar með grafi.

13.

Teiknaðu graf og teldu upp lausnir annars stigs jöfnunnar ${x^2} - 5x - 14=0$ .

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Hann opnast upp og sker x-ásinn í (−2, 0) og (7, 0). Fleygboginn sést aðeins að hluta.

14.

Teiknaðu graf og teldu upp lausnir annars stigs jöfnunnar ${x^2} + 10x + 24=0$ .

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Hann opnast upp og liggur gegnum punktana (−6, 0), (−5, −1) og (−4, 0).

15.

Teiknaðu graf og teldu upp lausnir annars stigs jöfnunnar ${x^2} - 25=0$ .

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Hann opnast upp og sker x-ásinn í (−5, 0) og (5, 0). Fleygboginn sést aðeins að hluta.

16.

Notaðu graf jöfnunnar $y = {x^2} + 2x - 15$ til að finna þau x-gildi sem gefa y = 0.

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Hann opnast upp og sker x-ásinn í (−5, 0) og (3, 0). Fleygboginn sést aðeins að hluta.

17.

Notaðu graf jöfnunnar $y = {x^2} + 6x + 8$ til að finna þau x-gildi sem gefa y = 0.

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Hann opnast upp og liggur gegnum punktana (−4, 0), (−3, −1) og (−2, 0).

18.

Notaðu graf jöfnunnar $y = {x^2} - 9x + 14$ til að finna þau x-gildi sem gefa y = 0.

Fleygbogi er teiknaður á 𝑥𝑦-hnitaflöt. Ásarnir ná frá −10 til 10 í skrefum um 1. Hann opnast upp og liggur gegnum punktana (2, 0), (4,5; −6,2) og (7, 0).

Í eftirfarandi verkefnum skaltu leysa annars stigs jöfnuna með þáttun.

19.

{x^2} + 7x + 12 = 0

20.

{y^2} - 8y + 15 = 0

21.

{n^2} - 5n + 6 = 0

22.

{a^2} + 2a = a

23.

{b^2} = - b

24.

{x^2} - 9x + 14 = 0

Í eftirfarandi verkefnum skaltu leysa annars stigs jöfnuna með reglu um ferningsrætur.

25.

{x^2} = 16

26.

49{m^2} = 144

27.

625 = {x^2}

Í eftirfarandi verkefnum skaltu leysa annars stigs jöfnuna með lausnarformúlu annars stigs jafna.

28.

16{p^2} = 24p - 9

29.

{m^2} - 2m = 1

30.

4{x^2} - 2x - 3 = 0

31.

{y^2} - 6y + 7 = 0

32.

{x^2} - 3x - 7 = 0

33.

2{x^2} - 4x - 11 = 0

34.

Margfeldi tveggja samliggjandi oddatalna er 99. Finndu tölurnar.

35.

Margfeldi tveggja samliggjandi sléttra talna er 168. Finndu tölurnar.

36.

Rétthyrnd verönd er 180 ferfet að flatarmáli. Breidd hennar er þremur fetum minni en lengdin. Finndu lengd og breidd veröndarinnar.

Í eftirfarandi verkefnum skaltu nota reglu Pýþagórasar. Í rétthyrndum þríhyrningi tákna $a$ og $b$ lengdir skammhliðanna og $c$ lengd langhliðarinnar. Þá gildir ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ .

Rétthyrndur þríhyrningur. Skammhliðar eru merktar a og b og langhliðin c.

37.

Justine vill leggja pall í horni bakgarðsins í lögun rétthyrnds þríhyrnings eins og myndin sýnir. Langhliðin verður 17 fet. Önnur skammhliðin verður sjö fetum styttri en hin. Finndu lengdir skammhliða pallsins.

Rétthyrndur þríhyrningur. Skammhliðarnar eru merktar x − 7 og x og langhliðin 17.

38.

Segl báts er rétthyrndur þríhyrningur. Önnur skammhliðin er sjö fetum lengri en hin og langhliðin er 13 fet. Finndu lengdir skammhliðanna.

39.

Sól varpar skugga frá fánastöng. Hæð stangarinnar er þreföld lengd skuggans. Fjarlægðin frá skuggaendanum að toppi stangarinnar er 21 fet. Finndu lengd skuggans og hæð fánastangarinnar. Námundaðu að næsta tíunda hluta úr feti.

40.

Rene er að setja upp hátíðarljós. Hann vill mynda „tré“ úr tveimur rétthyrndum þríhyrningum og hefur tvær tíu feta ljósaseríur fyrir hliðarnar. Hann festir ljósin við topp stangar og við tvo hæla í jörðinni. Hann vill að hæð stangarinnar sé jöfn fjarlægðinni frá stönginni að hvorum hæl. Hve há á stöngin að vera? Námundaðu að næsta tíunda hluta úr feti.