5.2 Línulegar jöfnur með einni breytu og hagnýt verkefni – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
55 Algebra
5.2 Línulegar jöfnur með einni breytu og hagnýt verkefni
5.2 Línulegar jöfnur með einni breytu og hagnýt verkefni
Mynd 5.4. Flestar líkamsræktarstöðvar taka mánaðarlegt félagsgjald. (mynd: aðlagað verk „Morning PT after the Holidays 2021“ eftir Fort Drum & 10th Mountain Division (LI)/Flickr, Public Domain Mark 1.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
leyst línulegar jöfnur með einni breytu með því að beita reglum um jöfnur.
sett upp línulega jöfnu til að leysa hagnýt verkefni.
greint jöfnur sem hafa enga lausn eða óendanlega margar lausnir.
einangrað tiltekna breytu í formúlu.
Í þessum hluta skoðum við línulegar jöfnur með einni breytu. Mörgum raunverulegum aðstæðum má lýsa með línulegum jöfnum: leigubílaferðum með föstu gjaldi og gjaldi fyrir hverja mílu; farsímareikningum með mánaðargjaldi og gjaldi fyrir hvert skeyti; líkamsræktaraðild með mánaðargjaldi og gjaldi fyrir hvern tíma; og fleiru. Ef aðild kostar til dæmis 10 dollara á mánuði og hver tími 5 dollara, hve marga tíma geturðu sótt ef þú hefur 75 dollara á mánuði til að verja í líkamsrækt?
Línulegar jöfnur og hagnýt verkefni
Að leysa jöfnu líkist því að leysa þraut. Markmiðið er að finna það gildi eða þau gildi breytunnar sem gera jöfnuna sanna. Sérhvert slíkt gildi nefnist lausn jöfnunnar — svarið við þrautinni. Við eigum eftir að læra að leysa margar gerðir jafna. Hér einbeitum við okkur að línulegri jöfnu, það er jöfnu með einni breytu sem má rita á forminu
þar sem og eru rauntölur, , er stuðull og er fasti.
Gott er að hafa almenna aðferð sem gildir um allar línulegar jöfnur. Í sýnidæmi 5.12 setjum við fram skref slíkrar aðferðar. Ef hvor hlið jöfnunnar er fyrst einfölduð eins mikið og unnt er verða hin skrefin auðveldari.
Dæmi 5.12
Línuleg jafna leyst með almennri aðferð
Leystu
Lausn
Skref 1: Einfaldaðu hvora hlið jöfnunnar eins mikið og unnt er.
Notaðu dreifiregluna. Taktu eftir að hvor hlið jöfnunnar er nú einfölduð eins mikið og unnt er.
Skref 2: Færðu alla breytuliði öðrum megin í jöfnunni.
Ekkert þarf að gera; allir liðir sem innihalda eru vinstra megin.
Skref 3: Færðu alla fastaliði hinum megin í jöfnunni.
Leggðu 29 við báðar hliðar svo fastaliðir verði aðeins hægra megin. Einfaldaðu.
Skref 4: Gerðu stuðul breytuliðarins jafnan 1.
Deildu báðum hliðum með 7. Einfaldaðu.
Skref 5: Prófaðu lausnina.
Settu inn í jöfnuna og reiknaðu.
Prófun:
Í sýnidæmi 5.12 notuðum við reglur um samlagningu og deilingu í jöfnum. Reglurnar eru teknar saman í töflunni hér fyrir neðan. Leggja má sömu tölu við báðar hliðar eða draga hana frá báðum hliðum. Einnig má margfalda eða deila báðum hliðum með sömu tölu, annarri en núlli. Þá fæst jafngild jafna, það er jafna með sömu lausnir.
Reikniaðgerð
Regla
Dæmi
Samlagning
Ef , þá er .
Frádráttur
Ef , þá er .
Margföldun
Ef , þá er .
Deiling
Ef , þá er þegar .
Dæmi 5.13
Línuleg jafna leyst með reglum um jöfnur
Leystu .
Lausn
Einfaldaðu hvora hlið.
Safnaðu öllum breytuliðum öðrum megin.
Safnaðu fastaliðum öðrum megin.
Gerðu stuðul breytunnar jafnan 1. Það er þegar gert.
Prófaðu lausnina.
Í hlutanum um algebrustæður umritaðir þú setningu sem jöfnu. Hér göngum við skrefi lengra, setjum upp jöfnu út frá orðadæmi og leysum hana síðan. Snúum aftur að upphafsspurningunni: Ef aðild að líkamsræktarstöð kostar 10 dollara á mánuði og hver tími 5 dollara, hve marga tíma geturðu sótt ef þú hefur 75 dollara á mánuði til að verja í líkamsrækt? Við getum sett upp jöfnu fyrir aðstæðurnar og leyst hana, eins og sýnt er í sýnidæmi 5.15.
Dæmi 5.14
Línuleg jafna sett upp til að leysa hagnýtt verkefni
Beaudrie-fjölskyldan á kettina Basil og Max. Saman vega þeir 23 pund. Basil vegur 16 pund. Hvað vegur Max?
Lausn
Látum tákna þyngd Basils og tákna þyngd Max.
Við vitum einnig að Basil vegur 16 pund, svo:
Skref 1 og 2:
Báðar hliðar eru þegar einfaldaðar og breytan er aðeins öðrum megin. Við byrjum því á skrefi 3 og færum fastaliðina hinum megin:
Skref 3:
Skrefi 4 er þegar lokið og því förum við í skref 5:
Skref 5:
Basil vegur 16 pund og Max vegur 7 pund.
Dæmi 5.15
Önnur línuleg jafna sett upp til að leysa hagnýtt verkefni
Ef aðild að líkamsræktarstöð kostar 10 dollara á mánuði og hver tími 5 dollara, hve marga tíma geturðu sótt ef þú hefur 75 dollara á mánuði til að verja í líkamsrækt?
Lausn
Látum tákna fjölda tíma. Stæðan táknar mánaðarkostnaðinn þegar hver tími kostar 5 dollara og mánaðargjaldið er 10 dollarar. Fastinn er 10. Til að finna hve marga tíma má sækja fyrir 75 dollara setjum við stæðuna jafna 75 og leysum jöfnuna fyrir .
Skref 1 og 2:
Skref 3:
Skref 4:
Skref 5:
Lausnin er 13 tímar. Þú getur sótt 13 tíma fyrir 75 dollara á mánuði.
Dæmi 5.16
Hagnýtt verkefni búið til út frá línulegri jöfnu
Settu fram hagnýtt verkefni sem leysa má með jöfnunni og leystu það síðan.
Lausn
Svör geta verið mismunandi. Segjum að þú viljir leigja snjóblásara vegna mikils óveðurs sem er í vændum. Látum tákna fjölda leigudaga. Þá táknar kostnaðinn þegar dagleigan er 50 dollarar og fast leigugjald 35 dollarar. Fastinn er 35. Til að finna hve marga daga má leigja snjóblásarann fyrir 185 dollara setjum við stæðuna jafna 185 og leysum jöfnuna fyrir .
Skref 1 og 2:
Skref 3:
Skref 4:
Skref 5:
Jafnan er og lausnin þrír dagar. Þú getur leigt snjóblásara í þrjá daga fyrir 185 dollara.
Línulegar jöfnur án lausnar eða með óendanlega margar lausnir
Allar línulegar jöfnur sem við höfum leyst hingað til hafa haft eina tölulega lausn. Nú skoðum við línulegar jöfnur sem hafa enga lausn eða óendanlega margar lausnir.
Dæmi 5.17
Línuleg jafna án lausnar leyst
Leystu .
Lausn
Einfaldaðu hvora hlið. Hér er leiðrétt villa í frumtextanum: eftir þetta skref á jafnan enn að hafa 3x á báðum hliðum. Frádráttur 3x kemur í næsta skrefi.
Færðu alla breytuliði öðrum megin.
Breytan hvarf. Þegar það gerist þarf að skoða það sem eftir stendur. Hér fæst , sem er ósönn staðhæfing. Þegar niðurstaðan er ósönn hefur jafnan enga lausn; ekkert gildi gerir jöfnuna sanna.
Dæmi 5.18
Línuleg jafna með óendanlega margar lausnir leyst
Leystu .
Lausn
Skref 1:
Skref 2:
Rétt eins og í fyrra sýnidæmi hvarf breytan. Hér stendur hins vegar eftir sönn staðhæfing, . Þá segjum við að lausnirnar séu óendanlega margar; sérhvert gildi gerir jöfnuna sanna.
Tiltekin breyta einangruð í formúlu
Þú þekkir líklega nokkrar formúlur úr rúmfræði. Formúla er stærðfræðileg lýsing á tengslum breyta. Formúlur eru einnig notaðar í vísindum, meðal annars efnafræði, eðlisfræði og líffræði. Í læknisfræði eru þær notaðar við útreikning lyfjaskammta og útreikning líkamsþyngdarstuðuls. Töflureiknar styðjast við formúlur í útreikningum. Mikilvægt er að geta umritað formúlur og einangrað tilteknar breytur.
Að leysa formúlu fyrir tiltekna breytu merkir að einangra breytuna öðrum megin við jafnaðarmerkið með stuðulinn 1. Allar aðrar breytur og fastar eru hinum megin. Við byrjum á formúlunni sem tengir vegalengd, hraða og tíma.
Dæmi 5.19
Tími einangraður í formúlu um vegalengd, hraða og tíma
Leystu formúluna fyrir . Þetta er vegalengdarformúlan þar sem er vegalengd, er hraði og er tími.
Lausn
Deildu báðum hliðum með , sem verður að vera annað en núll:
Dæmi 5.20
Hæð einangruð í flatarmálsformúlu þríhyrnings
Leystu formúluna fyrir . Þetta er flatarmálsformúla þríhyrnings þar sem er flatarmál, er grunnlínulengd og er hæð.
Lausn
Margfaldaðu báðar hliðar með 2.
Deildu báðum hliðum með .
Prófaðu skilning þinn
Er aðferðin við lausn línulegu jöfnunnar rétt? Ef svo er skaltu sýna síðasta skrefið, prófun lausnarinnar. Ef ekki skaltu útskýra hvers vegna.
Er aðferðin við lausn línulegu jöfnunnar rétt? Ef svo er skaltu sýna síðasta skrefið, prófun lausnarinnar. Ef ekki skaltu útskýra hvers vegna.
Er aðferðin við lausn línulegu jöfnunnar rétt? Ef svo er skaltu sýna síðasta skrefið, prófun lausnarinnar. Ef ekki skaltu útskýra hvers vegna.
Í eftirfarandi verkefnum skaltu nota þessar upplýsingar: Nice Cab Company tekur 3,00 dollara fast gjald fyrir hverja ferð og 1,70 dollara fyrir hverja mílu. Samkeppnisaðilinn Enjoyable Cab Company tekur 5,00 dollara fast gjald og 1,60 dollara fyrir hverja mílu.
Notaðu breytuna fyrir fjölda mílna og skrifaðu jöfnu fyrir heildarfargjaldið hjá Nice Cab Company.
Frá flugvellinum að hótelinu eru 22 mílur. Hvert yrði heildarfargjaldið hjá Nice Cab Company?
Notaðu breytuna fyrir fjölda mílna og skrifaðu jöfnu fyrir heildarfargjaldið hjá Enjoyable Cab Company.
Hvert yrði heildarfargjaldið hjá Enjoyable Cab Company fyrir sömu 22 mílna ferð frá flugvellinum að hótelinu?
Hvort leigubílafyrirtækjanna ættirðu að velja fyrir ferðina miðað við verðið og hvers vegna?
Eftir að hafa leyst línulegu jöfnuna segir Nancy að hún hafi enga lausn. Luis telur lausnirnar óendanlega margar. Hvort þeirra hefur rétt fyrir sér?
Umreikningsformúla milli Fahrenheit- og Celsíuskvarðans er , þar sem er hitastig í Celsíusgráðum og er hitastig í Fahrenheit-gráðum. Hver er rétt formúla þegar er einangrað?
𝐹 =59𝐶 −32
𝐹 =95𝐶 −32
𝐹 =59𝐶 +32
𝐹 =95𝐶 +32
Til að nálga hitastig á kelvinkvarða má bæta 273 við tölugildi hitastigsins í Celsíusgráðum. Hér er 273 námundun á nákvæma mismuninum 273,15. Hvaða formúlur hér á eftir lýsa þessari nálgun?
𝐶 =𝐾 +273
𝐾 =𝐶 +273
𝐾 =𝐶 −273
𝐶 =𝐾 −273
Hvaða umreikningsformúlu myndirðu nota til að nálga hitastig á kelvinkvarða út frá Fahrenheit-gráðum með upplýsingunum úr æfingum 18 og 19?
𝐾 =59(𝐹−32) +273
𝐾 =59𝐹 +241
𝐾 =95(𝐹−32) +273
𝐾 =95𝐹 +241
Rankine-kvarðinn er annar hitakvarði. Tölugildi hitastigs í Rankine-gráðum fæst með því að bæta 459,67 við tölugildi þess í Fahrenheit-gráðum. Í þessu verkefni notum við námundunina 460. Hvaða formúla gefur þá nálgun á hitastigi í Rankine-gráðum út frá Celsíusgráðum?
𝑅 =59𝐶 −492
𝑅 =95𝐶 +492
𝑅 =𝐶 +492
𝑅 =59(𝐶−492)
Æfingar úr hluta 5.2
Í eftirfarandi dæmum skaltu leysa línulegu jöfnurnar með almennri aðferð.
1.
2.
3.
4.
5.
Í eftirfarandi dæmum skaltu leysa línulegu jöfnurnar með reglum um jöfnur.
6.
7.
8.
9.
10.
Í eftirfarandi dæmum skaltu setja upp línulega jöfnu til að leysa hagnýtt verkefni.
11.
Það kostar 0,55 dollara að senda eitt bréf í fyrsta flokki. Settu upp og leystu línulega jöfnu til að finna kostnaðinn við að senda þrettán bréf.
12.
Venjuleg árleg snjókoma á skíðasvæðinu er tólf tommum meiri en tvöföld snjókoman á síðasta tímabili. Venjuleg árleg snjókoma er 62 tommur. Settu upp og leystu línulega jöfnu til að finna snjókomuna á síðasta tímabili.
13.
Guillermo keypti kennslubækur og stílabækur í bókabúð. Fjöldi kennslubókanna var þremur meiri en tvöfaldur fjöldi stílabókanna. Hann keypti sjö kennslubækur. Settu upp og leystu línulega jöfnu til að finna fjölda stílabókanna.
14.
Gerry leysti Sudoku- og krossgátur í vikunni. Fjöldi Sudoku-þrautanna var átta meiri en tvöfaldur fjöldi krossgátanna. Hann leysti 22 Sudoku-þrautir. Settu upp og leystu línulega jöfnu til að finna fjölda krossgátanna.
15.
Laurie hefur fjárfest 46.000 dollara í hlutabréfum. Sú fjárhæð er 8.000 dollurum lægri en þreföld fjárhæðin sem hún fjárfesti í skuldabréfum. Settu upp og leystu línulega jöfnu til að finna fjárhæðina sem Laurie fjárfesti í skuldabréfum.
Í eftirfarandi dæmum skaltu búa til hagnýtt verkefni út frá jöfnunni eða stæðunni og gefnu breytugildi.
16.
.
17.
0,36 fyrir .
18.
.
19.
fyrir .
20.
.
Í eftirfarandi dæmum skaltu segja hvort hver jafna hafi nákvæmlega eina lausn, enga lausn eða óendanlega margar lausnir.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Í eftirfarandi dæmum skaltu einangra tilgreinda breytu í formúlunni. Gerðu ráð fyrir að stærðir sem deilt er með séu ekki núll.
