5.4 Hlutföll og hlutfallajöfnur – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
55 Algebra
5.4 Hlutföll og hlutfallajöfnur
5.4 Hlutföll og hlutfallajöfnur
Mynd 5.15. Súluritið sýnir notkun vinsælla samfélagsmiðlaforrita. (Heimild)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
sett fram hlutföll til að bera saman tvær stærðir.
notað hlutfallajöfnur til að leysa verkefni.
fundið og notað hlutfallsstuðul.
notað hlutfallajöfnur til að leysa kvarðaverkefni.
Hlutföll og hlutfallajöfnur eru notuð við margvíslegar aðstæður til að bera stærðir saman. Af upplýsingunum á mynd 5.15 má til dæmis sjá að fjöldi Facebook-notenda miðað við fjölda Twitter-notenda er 2.006 milljónir á móti 328 milljónum. Bókstafurinn „M“ táknar milljón, þannig að 2.006 milljónir eru í raun 2.006.000.000 og 328 milljónir eru 328.000.000. Á sama hátt er hlutfall fjölda Qzone-notenda og Pinterest-notenda 632 milljónir á móti 175 milljónum. Slíkur samanburður er hlutfall.
Hlutföll sett fram til að bera saman tvær stærðir
Hlutfall ber saman tvær stærðir með deilingu. Hlutfall og má rita á þrjá vegu: a á móti b, eða sem brotið , þar sem b er ekki núll. Rithátturinn fer eftir samhengi; hér notum við oft brotarithátt. Hlutfall getur borið saman hluta við hluta, hluta við heild eða heild við hluta. Brot geta einnig táknað kvóta og hlutföll, ekki aðeins hluta af heild. Sú fullyrðing frumtextans að brot beri aðeins saman hluta við heild er því of þröng.
Dæmi 5.28
Tengsl tveggja gjaldmiðla sett fram sem hlutfall
Evran (€) er gjaldmiðill margra Evrópuríkja. Árið 2021 voru 19 aðildarríki Evrópusambandsins á evrusvæðinu, þar á meðal Ítalía, Frakkland, Þýskaland, Spánn, Portúgal og Holland. Í dæminu er miðað við gengið 9. júní 2021: einn Bandaríkjadalur jafngilti um 0,82 evrum. Ritaðu þennan samanburð sem hlutfall.
Lausn
Samkvæmt skilgreiningu hlutfalls látum við Bandaríkjadal og evrur. Hlutfallið má þá rita sem 1 á móti 0,82; 1 : 0,82; eða
Dæmi 5.29
Tengsl tveggja þyngda sett fram sem hlutfall
Þyngd hlutar er þyngdarkrafturinn sem verkar á hann. Hún breytist milli himinhnatta þótt massinn breytist ekki. Einstaklingur sem vegur 200 pund á jörðinni myndi samkvæmt nálguninni í þessu dæmi vega 33 pund á tunglinu. Hér er átt við þyngd, mælda í pundum krafts. Ritaðu þennan samanburð sem hlutfall.
Lausn
Samkvæmt skilgreiningu hlutfalls látum við pund á jörðinni og pund á tunglinu. Hlutfallið má þá rita sem 200 á móti 33; 200 : 33; eða
Hlutfallatengsl notuð til að leysa verkefni
Hlutfallajöfnur nýtast þegar þrjár af fjórum stærðum eru þekktar og finna á þá fjórðu. Ef hlutföllin og eru jöfn, þannig að , kallast jafnan hlutfallajafna. Brotahlutföllin og eru jafngild, , þá og því aðeins að . Hér er gert ráð fyrir að nefnararnir b og d séu ekki núll.
Dæmi 5.30
Hlutfallajafna með tveimur gjaldmiðlum leyst
Þú ert að fara til Frakklands og vilt skipta 520 Bandaríkjadölum í evrur. Þú veist að einn Bandaríkjadalur jafngildir 0,82 evrum. Hve margar evrur færðu fyrir 520 dali?
Lausn
Fyrsta skref: Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu og láttu tákna óþekktu stærðina. Taktu eftir að dollaraupphæðirnar eru báðar í teljara og evruupphæðirnar báðar í nefnara.
Annað skref: Krossmargfaldaðu. Þar sem hlutföllin og eru jafngild gildir .
Þú ættir að fá evrur .
Dæmi 5.31
Hlutfallajafna með þyngd á ólíkum reikistjörnum leyst
Einstaklingur sem vegur 170 pund á jörðinni myndi vega 64 pund á Mars. Hve mikið myndi dæmigerður kappreiðahestur, sem vegur 1.000 pund á jörðinni, vega á Mars? Námundaðu að næsta tíunda hluta.
Lausn
Fyrsta skref: Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu. Taktu eftir að þyngdirnar á jörðinni eru báðar í teljara og þyngdirnar á Mars báðar í nefnara.
Annað skref: Krossmargfaldaðu og deildu síðan til að leysa jöfnuna.
Hesturinn, sem vegur 1.000 pund á jörðinni, myndi því vega um 376,5 pund á Mars.
Dæmi 5.32
Hlutfallajafna í bakstri leyst
Í smákökuuppskrift þarf bolla af hveiti til að baka 60 smákökur. Jackie bakar smákökur fyrir stóra fjáröflun og á að baka 1.020 smákökur. Hve marga bolla af hveiti þarf hún?
Lausn
Fyrsta skref: Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu. Hveitimagnið í bollum er í báðum teljurum og fjöldi smákaka í báðum nefnurum. Til að einfalda útreikningana skrifum við blöndnu töluna sem tugabrotið 2,25.
Annað skref: Krossmargfaldaðu og einfaldaðu síðan til að leysa jöfnuna.
Jackie þarf 38,25 bolla, eða bolla, af hveiti til að baka 1.020 smákökur.
Hlutfallsstuðull fundinn og notaður
Í síðasta dæmi var gefið að bollar af hveiti nægðu í 60 smákökur. Síðan reiknuðum við að bollar nægðu í 1.020 smákökur og að baka mætti 720 smákökur úr 27 bollum. Hlutföllin þrjú eru rituð sem brot hér fyrir neðan og blöndnu tölunum breytt í tugabrot. Hvað gerist ef teljara hvers brots er deilt með nefnaranum?
Kvótarnir eru allir jafnir. Talan sem fæst þegar hveitimagninu í bollum er deilt með fjölda smákaka kallast hlutfallsstuðull. Ef stærðirnar og tengjast með jöfnunni er hlutfallsstuðullinn milli og . Þar sem fæst , að því gefnu að b og k séu ekki núll. Frumtextinn endurtekur síðustu jöfnuna, ; jafngilt form er a = kb.
Ein upplýsinganna sem leiða má af hlutfallsstuðlinum er einingarhlutfall. Í dæminu okkar, þar sem hveitibollum er deilt með fjölda smákaka, segir hlutfallsstuðullinn að 0,0375 bolla af hveiti þurfi í eina smáköku. Hvað hefði gerst ef reiknað hefði verið á hinn veginn, það er fjölda smákaka deilt með hveitibollum?
Hlutfallsstuðullinn segir hér að baka megi smákökur úr einum bolla af hveiti. Í báðum tilvikum vísar einingarhlutfallið til einnar einingar stærðarinnar í nefnaranum. Hlutfallsstuðullinn nýtist einnig þegar önnur stærðin er þekkt og finna á hina.
Dæmi 5.33
Hlutfallsstuðull fundinn
Isabelle er í hlutastarfi. Hún skráði laun sín og fjölda vinnustunda á fjórum mismunandi dögum í töfluna hér fyrir neðan. Hver er hlutfallsstuðullinn, það er laun deilt með vinnustundum? Hvað segir hlutfallsstuðullinn við þessar aðstæður?
Laun
87,50 dalir
50,00 dalir
37,50 dalir
100,00 dalir
Vinnustundir
7
4
3
8
Lausn
Til að finna hlutfallsstuðulinn skaltu deila launum með vinnustundum og nota upplýsingar úr einhverjum dálkanna fjögurra. Til dæmis . Hlutfallsstuðullinn er 12,5, eða 12,50 dalir. Hann segir til um tímakaup Isabelle: Hún fær 12,50 dali fyrir hverja vinnustund.
Dæmi 5.34
Hlutfallsstuðull notaður: hlaupahraði í mílum á klukkustund
Zac hleypur á jöfnum hraða, fjórar mílur á klukkustund. Dag einn fór hann að heiman nákvæmlega á hádegi, klukkan 12:00, til að hlaupa. Þegar hann kom aftur sýndi klukkan 16:30. Hve margar mílur hljóp hann?
Lausn
Hlutfallsstuðullinn í verkefninu er fjórar mílur á klukkustund, eða fjórar mílur á einni klukkustund. Þar sem þar sem er hlutfallsstuðullinn, fæst:
(30 mínútur eru , eða klukkustundir). Í frumtextanum er nefnarinn ranglega klofinn sem 4 sinnum 0,5; hér er átt við 4,5 klukkustundir frá kl. 12:00 til 16:30.
, því af skilgreiningunni vitum við að
Zac hljóp 18 mílur.
Dæmi 5.35
Hlutfallsstuðull notaður: fötur fylltar
Joe fékk 2,50 dali í laun fyrir hverja fötu sem hann fyllti af mold. Dag einn fékk hann greidda 337,50 dali. Hve margar fötur fyllti hann þann dag?
Lausn
Hlutfallsstuðullinn við þessar aðstæður er 2,50 dalir á fötu, eða 2,50 dalir fyrir eina fötu. Þar sem þar sem er hlutfallsstuðullinn, fæst:
Við leysum fyrir með því að nota
Joe fyllti 135 fötur.
Dæmi 5.36
Hlutfallsstuðull notaður: mílur og kílómetrar
Við akstur í Kanada tók Mabel fljótt eftir því að vegalengdir á umferðarskiltum voru gefnar upp í kílómetrum en ekki mílum. Hún vissi að hlutfallsstuðullinn fyrir umreikning kílómetra í mílur væri um 0,62, það er um 0,62 mílur í einum kílómetra. Á síðasta skiltinu sem hún sá stóð að 104 kílómetrar væru til Montréal. Hve margar mílur á Mabel um það bil eftir að aka? Námundaðu að næsta tíunda hluta.
Lausn
Hlutfallsstuðullinn við þessar aðstæður er 0,62 mílur á einn kílómetra. Þar sem þar sem er hlutfallsstuðullinn, fæst:
Eftir námundun að næsta tíunda hluta fæst að Mabel á um 64,5 mílur ófarnar.
Hlutfallajöfnur notaðar til að leysa kvarðaverkefni
Mynd 5.16. Kort af norðausturhluta Bandaríkjanna
Hlutföll og hlutfallajöfnur eru notuð til að leysa verkefni sem varða kvarða. Algengt er að sjá kvarða á korti, eins og á mynd 5.16. Þar jafngildir ein tomma 200 mílum. Þetta er kvarðinn og merkir að ein tomma á kortinu samsvari 200 mílum á yfirborði jarðar. Kvarðar eru einnig notaðir fyrir líkön, svo sem bíla-, vörubíla-, flugvéla- og lestarlíkön. Algengur kvarði fyrir bílalíkön er 1 : 24. Það merkir að ein tomma á lengd líkansins jafngildi 24 tommum, eða tveimur fetum, á raunverulegum bíl. Þetta eru tvö algeng notkunarsvið kvarða en þeir eru notaðir á margvíslegan annan hátt. Tommukvarðinn miðast við upphaflega prentstærð. Ef kortið er stækkað eða minnkað skal nota mælikvarðalínuna neðst á myndinni.
Dæmi 5.37
Kvarðaverkefni með korti leyst
Mynd 5.17 sýnir Colorado og sýslur þess. Í þessu dæmi er miðað við prentað kort þar sem suður- og norðurmörkin mælast fjórar tommur en austur- og vesturmörkin þrjár tommur. Ef suðurmörkin eru 380 mílur að lengd skaltu finna kvarðann, það er hve margar mílur ein tomma táknar. Notaðu hann síðan til að áætla lengd hinna ríkjamarkanna. Myndin getur birst í annarri stærð á skjá; notaðu uppgefnu mælingarnar.
Mynd 5.17. Útlínukort af Colorado (mynd: „Map of Colorado Counties“ eftir David Benbennick/Wikimedia Commons, almenningseign)
Lausn
Samkvæmt forsendum dæmisins eru suðurmörkin fjórar tommur á kortinu og 380 mílur í raun. Kvarðinn er því 1 tomma mílur.
Austur- og vesturmörkin eru hvort um sig þrjár tommur samkvæmt forsendunum og því um 285 mílur í raun. Norðurmörkin eru jafn löng og suðurmörkin á kortinu og eru því áætluð 380 mílur.
Dæmi 5.38
Kvarðaverkefni með bílalíkani leyst
Steypt bílalíkön af NASCAR-kappakstursbílum eru sögð gerð í kvarðanum 1 : 24 miðað við raunverulegan bíl. Ef bílalíkan er níu tommur á lengd, hve langur er raunverulegur NASCAR-bíll? Gefðu svarið í fetum.
Lausn
Kvarðinn segir að ein tomma á bílalíkaninu jafngildi 24 tommum, eða tveimur fetum, á raunverulega bílnum. Settu hlutföllin tvö upp sem hlutfallajöfnu. Taktu eftir að lengdir líkansins eru báðar í teljara og lengdir NASCAR-bílsins báðar í nefnara.
Þessi stærð, 216, er í tommum. Til að breyta henni í fet er deilt með 12 því 12 tommur eru í einu feti. Þessi umbreyting úr tommum í fet er í raun önnur hlutfallajafna. Lokasvarið er:
NASCAR-bíllinn er 18 fet á lengd.
Prófaðu skilning þinn
Ef gildir einnig fyrir allar jákvæðar heiltölur , , og .
Satt
Ósatt
Ef hlutfall úlfa og kanína í þjóðgarði er , þá er hlutfall kanína og samanlagðs fjölda úlfa og kanína .
Satt
Ósatt
Öll brot lýsa hlutföllum, en ekki er hægt að rita öll hlutföll með brotarithætti.
Satt
Ósatt
Í jöfnunni má krossmargfalda brotin tvö án annarra breytinga sem fyrsta skref til að leysa fyrir .
Satt
Ósatt
Öll brot lýsa hlutföllum, en ekki er hægt að rita öll hlutföll með brotarithætti.
Satt
Ósatt
Í hópi Kraft eru 16 nemendur með stærðfræði sem aðalgrein og 12 með aðra aðalgrein. Hver er ekki rétt framsetning á hlutfalli stærðfræðinema og annarra nemenda?
Í hópi Kraft eru 16 nemendur með stærðfræði sem aðalgrein og 12 með aðra aðalgrein. Hvað sýnir hlutfall stærðfræðinema og allra nemenda í hópnum?
Ekkert af þessu
Gerðu ráð fyrir að einn Bandaríkjadalur jafngildi sterlingspundum. Damon er á leið til Bretlands og vill skipta 450 Bandaríkjadölum í sterlingspund. Hve mörg sterlingspund á hann að fá?
625
6.250
3.456
345,6
Ekkert af þessu
HO-kvarðinn er algengasti kvarði járnbrautarlíkana. Hann er . Ef raunveruleg eimreið er 73 fet á lengd, hve langt ætti líkanið að vera í tommum? Námundaðu að næstu heilu tommu.
Honda Civic-bíll Alberts kemst 37 mílur á hverri gallónu af bensíni. Bensíntankurinn rúmar gallónur. Albert ætlar að aka frá Tucson í Arizona til Los Angeles í Kaliforníu, 485 mílna vegalengd. Hann telur sig komast alla leið á einum fullum bensíntanki. Hefur hann rétt fyrir sér? Rökstyddu svarið.
Í dæminu er miðað við meðalverðið fyrir gallónu af venjulegu bensíni í Kaliforníu 1. júlí 2021. Albert stöðvar á bensínstöð þar og setur 9,5 gallónur af bensíni á Civic-bílinn. Hve mikið greiðir hann ef verðið er þetta meðalverð?
Æfingar úr hluta 5.4
Í eftirfarandi verkefnum skaltu nota þessar upplýsingar: Kelly opnaði poka af lituðum súkkulaðihúðuðum sælgætismolum og taldi hve margir voru af hverjum lit. Hún fann 9 græna, 4 gula, 13 svarta, 11 appelsínugula, 8 bláa og 7 rauða mola. Hvert er hlutfall eftirfarandi lita?
1.
Rauðir molar á móti grænum
2.
Grænir molar á móti svörtum
3.
Gulir molar á móti svörtum
4.
Svartir molar á móti bláum
5.
Appelsínugulir molar á móti molum sem eru ekki appelsínugulir
6.
Gulir molar á móti molum sem eru ekki gulir
7.
Rauðir molar á móti öllum molum
8.
Bleikir molar á móti öllum molum
9.
Molar sem hafa bókstafinn „r“ í enska litaheitinu á móti öllum molum. Notaðu heitin green, yellow, black, orange, blue og red.
10.
Molar sem hafa bókstafinn „r“ í enska litaheitinu á móti molum sem hafa ekki „r“ í enska litaheitinu. Notaðu heitin green, yellow, black, orange, blue og red.
Í eftirfarandi verkefnum skaltu leysa hverja hlutfallajöfnu fyrir óþekktu breytuna.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
(Námundaðu svarið að næsta hundraðshluta.)
20.
(Námundaðu svarið að næsta hundraðshluta.)
21.
Í Pet Paradise eru 20 kettir og 16 hundar. Í Animal Acres eru 15 kettir. Hve margir hundar þurfa að vera í Animal Acres til að hlutfall katta og hunda sé það sama á báðum stöðum?
22.
Í Pet Paradise eru 20 kettir og 16 hundar. Í Critter Corral eru 28 hundar. Hve margir kettir þurfa að vera í Critter Corral til að hlutfall katta og hunda sé það sama á báðum stöðum?
23.
Í framhaldsskóla eru 960 nemendur. Hlutfall nemenda og kennara er . Hve margir kennarar starfa við skólann?
24.
Í framhaldsskóla eru 960 nemendur. Hlutfall nemenda og kennara er . Hve marga kennara til viðbótar þarf svo hlutfall nemenda og kennara verði ?
25.
Gerðu ráð fyrir að einn Bandaríkjadalur jafngildi 1,23 Kanadadölum. Bernice er á leið til Kanada og vill skipta 550 Bandaríkjadölum í Kanadadali. Hve marga Kanadadali á hún að fá?
26.
Gerðu ráð fyrir að einn Bandaríkjadalur jafngildi 1,23 Kanadadölum. Rene er á leið frá Kanada til Bandaríkjanna og vill skipta 550 Kanadadölum í Bandaríkjadali. Hve marga Bandaríkjadali á hann að fá? Námundaðu að næsta senti.
27.
Gerðu ráð fyrir að einn Bandaríkjadalur jafngildi 1,23 Kanadadölum. Hve mikils virði er einn Kanadadalur í Bandaríkjadölum? Námundaðu að næsta senti.
28.
Í salatuppskrift þarf einn bolla af muldum möndlum og hún dugar fyrir átta manns. Rashida þarf að útbúa salat fyrir 20 manns. Hve marga bolla af muldum möndlum þarf hún?
29.
Í salatuppskrift þarf einn bolla af muldum möndlum og hún dugar fyrir átta manns. Elmer á 4,75 bolla af muldum möndlum. Fyrir hve marga dugar salatið ef hann notar allar möndlurnar?
30.
Jorge er sex fet á hæð og varpar sjö feta löngum skugga. Á sama tíma varpar tré í nágrenninu 56 feta löngum skugga. Hve hátt er tréð?
31.
Tony getur hlaupið fjóra kílómetra á 30 mínútum. Hve langt gæti hann hlaupið á einni klukkustund og 45 mínútum á sama hraða?
32.
Foreldri Köru á veitingastað. Dag einn var Kara beðin um að reikna út verðið á hverri únsu af steikarkjöti frá birgi. Síðustu fjórir reikningarnir voru tiltækir en vökvi hafði hellst yfir þá og sumir reitir voru ólæsilegir. Finndu verðið á únsu og notaðu það síðan til að fylla í reitina sem merktir eru , og .
Reikningur
1
2
3
4
Únsur
128
460
541
Kostnaður
163,84 dalir
277,76 dalir
33.
Á korti stendur kvarðinn „“. Þú mælir vegalengdina á kortinu milli Fargo í Norður-Dakóta og Winnipeg í Manitoba og færð tommur. Hve langt er frá Fargo til Winnipeg?
34.
Hot Wheels-leikfangabílar eru sagðir gerðir í kvarðanum miðað við raunverulegan bíl. Ef raunverulegur bíll er 18 fet á lengd, hve langur ætti leikfangabíllinn að vera í tommum?
35.
Í dæminu er miðað við að Eiffelturninn í París sé 1.067 fet á hæð. Hlutfall hæðar turnsins í París og hæðar eftirlíkingarinnar í Las Vegas í Nevada er . Hve há er eftirlíkingin? Námundaðu að næsta heila feti.
