66 Notkun heildunar

6.9 Stærðfræðigreining breiðbogafalla

Námsmarkmið

6.9.1 Beitið formúlunum fyrir afleiður og heildi breiðbogafallanna.
6.9.2 Beitið formúlunum fyrir afleiður andhverfu breiðbogafallanna og samsvarandi heildi þeirra.
6.9.3 Lýsið algengum hagnýtum aðstæðum þar sem keðjulína kemur fyrir.

Við kynntumst breiðbogaföllum í Inngangi að föllum og gröfum, ásamt nokkrum grunneiginleikum þeirra. Í þessum undirkafla skoðum við deildunar- og heildunarreglur fyrir breiðbogaföllin og andhverfur þeirra.

Afleiður og heildi breiðbogafallanna

Minnumst þess að breiðbogasínus og breiðbogakósínus eru skilgreind sem

sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} og cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2} .

Hin breiðbogaföllin eru þá skilgreind með hjálp $sinh x$ og $cosh x .$ Gröf breiðbogafallanna eru sýnd á eftirfarandi mynd.

Á myndinni eru sex gröf. Fyrsta grafið, merkt „a“, er graf fallsins y=sinh(x). Fallið er vaxandi frá þriðja fjórðungi, í gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Annað grafið er merkt „b“ og er graf fallsins y=cosh(x). Það er minnkandi í öðrum fjórðungi að skurðpunktinum y=1 en verður síðan vaxandi. Þriðja grafið, merkt „c“, er graf fallsins y=tanh(x). Fallið er vaxandi frá þriðja fjórðungi, í gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Fjórða grafið er merkt „d“ og er graf fallsins y=coth(x). Það skiptist í tvo hluta, annan í þriðja fjórðungi og hinn í fyrsta fjórðungi, og y-ásinn er lóðfella grafsins. Fimmta grafið er merkt „e“ og er graf fallsins y=sech(x). Það er ferill ofan x-ássins sem er vaxandi í öðrum fjórðungi að y-ásnum í y=1 en minnkar síðan. Sjötta grafið er merkt „f“ og er graf fallsins y=csch(x). Það skiptist í tvo hluta, annan í þriðja fjórðungi og hinn í fyrsta fjórðungi, og y-ásinn er lóðfella grafsins. — **Mynd 6.81.** Gröf breiðbogafallanna.

Auðvelt er að leiða út deildunarformúlur fyrir breiðbogaföllin. Ef við skoðum til dæmis $sinh x$ fáum við

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sinh x) & = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{− x}}{2}) \\ = \frac{1}{2} [\frac{d}{d x} (e^{x}) - \frac{d}{d x} (e^{− x})] \\ = \frac{1}{2} [e^{x} + e^{− x}] = cosh x . \end{matrix}

Á sama hátt, $(d / d x) cosh x = sinh x .$ Við tökum deildunarformúlur breiðbogafallanna saman í eftirfarandi töflu.

𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x )	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) d/d ⁢ x ⁢ f ⁡ ( x )
s i n h ⁡ 𝑥 sinh ⁡ x	c o s h ⁡ 𝑥 cosh ⁡ x
c o s h ⁡ 𝑥 cosh ⁡ x	s i n h ⁡ 𝑥 sinh ⁡ x
t a n h ⁡ 𝑥 tanh ⁡ x	s e c h 2 𝑥 sech 2 x
c o t h ⁡ 𝑥 coth ⁡ x	− c s c h 2 𝑥 − csch 2 x
s e c h ⁡ 𝑥 sech ⁡ x	− s e c h ⁡ 𝑥 ⁢ t a n h ⁡ 𝑥 − sech ⁡ x ⁢ tanh ⁡ x
c s c h ⁡ 𝑥 csch ⁡ x	− c s c h ⁡ 𝑥 ⁢ c o t h ⁡ 𝑥 − csch ⁡ x ⁢ coth ⁡ x

Berum nú um stund saman afleiður breiðbogafallanna og afleiður venjulegu hornafallanna. Þar er margt líkt en einnig ýmislegt ólíkt. Til dæmis samsvara afleiður sínusfallanna hvor annarri: $(d / d x) sin x = cos x$ og $(d / d x) sinh x = cosh x .$ Afleiður kósínusfallanna eru hins vegar ólíkar að formerki: $(d / d x) cos x = − sin x,$ en $(d / d x) cosh x = sinh x .$ Þegar við höldum áfram að skoða breiðbogaföllin verðum við að hafa í huga hvað þau eiga sameiginlegt með venjulegu hornaföllunum og hvað greinir þau frá þeim.

Þessar deildunarformúlur fyrir breiðbogaföllin leiða beint til eftirfarandi heildunarformúlna.

\begin{matrix} \int sinh u d u & = & cosh u + C & \int {csch}^{2} u d u & = & − coth u + C \\ \int cosh u d u & = & sinh u + C & \int sech u tanh u d u & = & − sech u + C \\ \int {sech}^{2} u d u & = & tanh u + C & \int csch u coth u d u & = & − csch u + C \end{matrix}

Dæmi 6.47

Deildun breiðbogafalla

Reiknið eftirfarandi afleiður:

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sinh⁡(𝑥2)) $\frac{d}{d x} (sinh (x^{2}))$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢(cosh⁡𝑥)₂ $\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2}$

Lausn

Með því að nota formúlurnar í töflu 6.2 og keðjuregluna fáum við

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sinh⁡(𝑥2))=cosh⁡(𝑥2)·2⁢𝑥 $\frac{d}{d x} (sinh (x^{2})) = cosh (x^{2}) \cdot 2 x$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢(cosh⁡𝑥)₂=2⁢cosh⁡𝑥⁢sinh⁡𝑥 $\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2} = 2 cosh x sinh x$

Dæmi 6.48

Heildi með breiðbogaföllum

Reiknið eftirfarandi heildi:

∫𝑥⁢cosh⁡(𝑥2)⁢𝑑⁢𝑥 $\int x cosh (x^{2}) d x$
∫tanh⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $\int tanh x d x$

Lausn

Við getum notað u-innsetningu í báðum tilvikum.

Látum 𝑢=𝑥2. $u = x^{2} .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=2⁢𝑥𝑑⁢𝑥 $d u = 2 x d x$ og

∫𝑥⁢cosh⁡(𝑥2)⁢𝑑⁢𝑥=∫12⁢cosh⁡𝑢𝑑⁢𝑢=12⁢sinh⁡𝑢+𝐶=12⁢sinh⁡(𝑥2)+𝐶. $\int x cosh (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cosh u d u = \frac{1}{2} sinh u + C = \frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C .$
Látum 𝑢=cosh⁡𝑥. $u = cosh x .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=sinh⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $d u = sinh x d x$ og

∫tanh⁡𝑥𝑑⁢𝑥=∫sinh⁡𝑥cosh⁡𝑥⁢𝑑⁢𝑥=∫1𝑢⁢𝑑⁢𝑢=ln⁡|𝑢|+𝐶=ln⁡|cosh⁡𝑥|+𝐶. $\int tanh x d x = \int \frac{sinh x}{cosh x} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C .$

Athugið að cosh⁡𝑥>0 $cosh x > 0$ fyrir öll 𝑥, $x,$ svo við getum fellt brott tölugildismerkin og fengið

∫tanh⁡𝑥𝑑⁢𝑥=ln⁡(cosh⁡𝑥)+𝐶. $\tanh xd x = \ln (\cosh x) + C tanhxdx = \ln (coshx) + C$

Stærðfræðigreining andhverfra breiðbogafalla

Þegar við skoðum gröf breiðbogafallanna sjáum við að með viðeigandi takmörkunum á skilgreiningarmengi eiga þau sér öll andhverfur. Flestar nauðsynlegar takmarkanir á myndmengi má ráða af nákvæmri athugun grafanna. Skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfu breiðbogafallanna eru tekin saman í eftirfarandi töflu.

Fall	Skilgreiningarmengi	Myndmengi
s i n h − 1 ⁢ 𝑥 sinh −1 ⁢ x	( − ∞ , ∞ ) ( − ∞ , ∞ )	( − ∞ , ∞ ) ( − ∞ , ∞ )
c o s h − 1 ⁢ 𝑥 cosh −1 ⁢ x	[ 1 , ∞ ) [ 1 , ∞ )	[ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ )
t a n h − 1 ⁢ 𝑥 tanh −1 ⁢ x	( − 1 , 1 ) ( −1 , 1 )	( − ∞ , ∞ ) ( − ∞ , ∞ )
c o t h − 1 ⁢ 𝑥 coth −1 ⁢ x	( − ∞ , − 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) ( − ∞ , −1 ) ∪ ( 1 , ∞ )	( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )
s e c h − 1 ⁢ 𝑥 sech −1 ⁢ x	( 0 , 1 ] ( 0 , 1 ]	[ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ )
c s c h − 1 ⁢ 𝑥 csch −1 ⁢ x	( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )	( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ )

Gröf andhverfu breiðbogafallanna eru sýnd á eftirfarandi mynd.

Á myndinni eru sex gröf. Fyrsta grafið, merkt „a“, er graf fallsins y=sinh^-1(x). Fallið er vaxandi og liggur frá þriðja fjórðungi, í gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Annað grafið er merkt „b“ og er graf fallsins y=cosh^-1(x). Það liggur í fyrsta fjórðungi, hefst á x-ásnum við 2 og hækkar. Þriðja grafið, merkt „c“, er graf fallsins y=tanh^-1(x). Fallið er vaxandi og liggur frá þriðja fjórðungi, í gegnum upphafspunktinn og inn í fyrsta fjórðung. Fjórða grafið er merkt „d“ og er graf fallsins y=coth^-1(x). Það er í tveimur hlutum, öðrum í þriðja fjórðungi og hinum í fyrsta fjórðungi, og hefur y-ásinn sem lóðfellu. Fimmta grafið er merkt „e“ og er graf fallsins y=sech^-1(x). Það er ferill sem lækkar í fyrsta fjórðungi og endar á x-ásnum við x=1. Sjötta grafið er merkt „f“ og er graf fallsins y=csch^-1(x). Það er í tveimur hlutum, öðrum í þriðja fjórðungi og hinum í fyrsta fjórðungi, og hefur y-ásinn sem lóðfellu. — **Mynd 6.82.** Gröf andhverfu breiðbogafallanna.

Til að finna afleiður andhverfu fallanna notum við fólgna deildun. Við höfum

\begin{matrix} y & = & {sinh}^{−1} x \\ sinh y & = & x \\ \frac{d}{d x} sinh y & = & \frac{d}{d x} x \\ cosh y \frac{d y}{d x} & = & 1 . \end{matrix}

Minnumst þess að ${cosh}^{2} y - {sinh}^{2} y = 1,$ þannig að $cosh y = \sqrt{1 + {sinh}^{2} y} .$ Þá fæst

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

Við getum leitt út deildunarformúlur fyrir hin andhverfu breiðbogaföllin með svipuðum hætti. Þessar deildunarformúlur eru teknar saman í eftirfarandi töflu.

𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x )	𝑑 𝑑 ⁢ 𝑥 ⁢ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) d/d ⁢ x ⁢ f ⁡ ( x )
s i n h − 1 ⁢ 𝑥 sinh −1 ⁢ x	1 √ 1 + 𝑥 2 1/1 + x 2
c o s h − 1 ⁢ 𝑥 cosh −1 ⁢ x	1 √ 𝑥 2 − 1 1/x 2 − 1
t a n h − 1 ⁢ 𝑥 tanh −1 ⁢ x	1 1 − 𝑥 2 1/1 − x 2
c o t h − 1 ⁢ 𝑥 coth −1 ⁢ x	1 1 − 𝑥 2 1/1 − x 2
s e c h − 1 ⁢ 𝑥 sech −1 ⁢ x	− 1 𝑥 ⁢ √ 1 − 𝑥 2 −1/x ⁢ 1 − x 2
c s c h − 1 ⁢ 𝑥 csch −1 ⁢ x	− 1 \| 𝑥 \| ⁢ √ 1 + 𝑥 2 −1/\| x \| ⁢ 1 + x 2

Athugið að afleiður ${tanh}^{−1} x$ og ${coth}^{−1} x$ eru þær sömu. Þegar við heildum $1 / (1 - x^{2}),$ þurfum við því að velja rétt stofnfall með hliðsjón af skilgreiningarmengi fallanna og gildum $x .$ Heildunarreglur sem fela í sér andhverf breiðbogaföll eru teknar saman hér á eftir.

\begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & {sinh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u & = & − {sech}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u & = & {cosh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & − {csch}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u & = & {\begin{matrix} {tanh}^{−1} u + C ef | u | < 1 \\ {coth}^{−1} u + C ef | u | > 1 \end{matrix} \end{matrix}

Dæmi 6.49

Deildun andhverfra breiðbogafalla

Reiknið eftirfarandi afleiður:

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sinh−1⁢(𝑥3)) $\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3}))$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢(tanh−1⁢𝑥)₂ $\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2}$

Lausn

Með því að nota formúlurnar í töflu 6.4 og keðjuregluna fáum við eftirfarandi niðurstöður:

𝑑𝑑⁢𝑥⁢(sinh−1⁢(𝑥3))=13⁢√1+𝑥29=1√9+𝑥2 $\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3})) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢(tanh−1⁢𝑥)₂=2⁢(tanh−1⁢𝑥)₁−𝑥2 $\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2} = \frac{2 ({tanh}^{−1} x)}{1 - x^{2}}$

Dæmi 6.50

Heildi með andhverfum breiðbogaföllum

Reiknið eftirfarandi heildi:

∫1√4⁢𝑥2−1⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x$
∫12⁢𝑥⁢√1−9⁢𝑥2⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Lausn

Við getum notað 𝑢-innsetning $u -innsetning$ í báðum tilvikum.

Látum 𝑢=2⁢𝑥. $u = 2 x .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=2⁢𝑑⁢𝑥 $d u = 2 d x$ og við höfum

∫1√4⁢𝑥2−1⁢𝑑⁢𝑥=∫12⁢√𝑢2−1⁢𝑑⁢𝑢=12⁢cosh−1⁢𝑢+𝐶=12⁢cosh−1⁢(2⁢𝑥)+𝐶. $\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} (2 x) + C .$
Látum 𝑢=3⁢𝑥. $u = 3 x .$ Þá fæst 𝑑⁢𝑢=3⁢𝑑⁢𝑥 $d u = 3 d x$ og við fáum

∫12⁢𝑥⁢√1−9⁢𝑥2⁢𝑑⁢𝑥=12⁢∫1𝑢⁢√1−𝑢2⁢𝑑⁢𝑢=−12⁢sech−1⁢|𝑢|+𝐶=−12⁢sech−1⁢|3⁢𝑥|+𝐶. $\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | u | + C = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | 3 x | + C .$

Hagnýting

Eitt eðlisfræðilegt notkunarsvið breiðbogafalla tengist hangandi köplum. Ef kapall með jafnan línuþéttleika er hengdur milli tveggja stoða og ber ekkert annað álag en eigin þyngd myndar hann feril sem nefnist keðjulína. Háspennulínur, keðjur sem hanga milli tveggja staura og þræðir í köngulóarvef mynda öll keðjulínur. Eftirfarandi mynd sýnir keðjur sem hanga á röð staura.

Mynd af keðjum sem allar hanga milli staura og mynda keðjulínu. — **Mynd 6.83.** Keðjurnar milli þessara stólpa mynda keðjulínu. (mynd: breytt útgáfa af verki OKFoundryCompany, Flickr)

Breiðbogaföll má nota til að lýsa keðjulínum. Nánar tiltekið eru föll af gerðinni $y = a cosh (x / a)$ keðjulínur. Mynd 6.84 sýnir graf $y = 2 cosh (x / 2) .$

Þessi mynd sýnir graf fallsins f(x)=2cosh(x/2). Ferillinn er minnkandi í öðrum fjórðungi að y-ásnum. Hann sker y-ásinn í y=2. Síðan verður ferillinn vaxandi. — **Mynd 6.84.** Graf breiðbogakósínusfalls hefur lögun keðjulínu.

Dæmi 6.51

Keðjulína notuð til að finna lengd kapals

Gerum ráð fyrir að hangandi kapall hafi lögunina 10⁢cosh⁡(𝑥/10) $10 cosh (x / 10)$ fyrir −15≤𝑥≤15, $−15 \leq x \leq 15,$ þar sem 𝑥 $x$ er mælt í fetum. Ákvarðið lengd kapalsins (í fetum).

Lausn

Rifjum upp úr kafla 2.4 $2.4$ að formúlan fyrir bogalengd er

Bogalengd = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

Við höfum 𝑓⁡(𝑥)=10⁢cosh⁡(𝑥/10), $f (x) = 10 cosh (x / 10),$ svo að 𝑓′⁡(𝑥)=sinh⁡(𝑥/10). $f^{'} (x) = sinh (x / 10) .$ Þá

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x . \end{matrix}

Minnumst nú þess að 1+sinh2⁢𝑥=cosh2⁢𝑥, $1 + {sinh}^{2} x = {cosh}^{2} x,$ svo að við fáum

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x \\ = \int_{−15}^{15} cosh (\frac{x}{10}) d x \\ = 10 sinh {(\frac{x}{10}) |}_{−15}^{15} = 10 [sinh (\frac{3}{2}) - sinh (- \frac{3}{2})] = 20 sinh (\frac{3}{2}) \\ \approx 42.586 fet . \end{matrix}

Æfingar í kafla 6.9

377.

[T] Finnið stæður fyrir cosh⁡𝑥+sinh⁡𝑥 $cosh x + sinh x$ og cosh⁡𝑥−sinh⁡𝑥. $cosh x - sinh x .$ Notið reiknivél til að teikna gröf þessara falla og ganga úr skugga um að stæðurnar séu réttar.

378.

Finnið, út frá skilgreiningunum á cosh⁡(𝑥) $cosh (x)$ og sinh⁡(𝑥), $sinh (x),$ stofnföll þeirra.

379.

Sýnið að cosh⁡(𝑥) $cosh (x)$ og sinh⁡(𝑥) $sinh (x)$ uppfylla 𝑦″=𝑦. $y^{″} = y .$

380.

Notið deiliregluna til að sannreyna að tanh⁡(𝑥)′=sech2⁢(𝑥). $tanh (x)' = {sech}^{2} (x) .$

381.

Leiðið cosh2⁢(𝑥)+sinh2⁢(𝑥)=cosh⁡(2⁢𝑥) ${cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x) = cosh (2 x)$ út frá skilgreiningunni.

382.

Takið afleiðu fyrri stæðunnar til að finna stæðu fyrir sinh⁡(2⁢𝑥). $sinh (2 x) .$

383.

Sannið sinh⁡(𝑥+𝑦)=sinh⁡(𝑥)⁢cosh⁡(𝑦)+cosh⁡(𝑥)⁢sinh⁡(𝑦) $sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y)$ með því að umrita stæðuna með vísisföllum.

384.

Takið afleiðu fyrri stæðunnar til að finna stæðu fyrir cosh⁡(𝑥+𝑦). $cosh (x + y) .$

Í eftirfarandi æfingum skal finna afleiður gefinna fallanna og teikna gröf afleiðanna ásamt gröfum fallanna til að ganga úr skugga um að svörin séu rétt.

385.

[T] cosh⁡(3⁢𝑥+1) $cosh (3 x + 1)$

386.

[T] sinh⁡(𝑥2) $sinh (x^{2})$

387.

[T] 1cosh⁡(𝑥) $\frac{1}{cosh (x)}$

388.

[T] sinh⁡(ln⁡(𝑥)) $sinh (ln (x))$

389.

[T] cosh2⁢(𝑥)+sinh2⁢(𝑥) ${cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x)$

390.

[T] cosh2⁢(𝑥)−sinh2⁢(𝑥) ${cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x)$

391.

[T] tanh⁡(√𝑥2+1) $tanh (\sqrt{x^{2} + 1})$

392.

[T] 1+tanh⁡(𝑥)₁−tanh⁡(𝑥) $\frac{1 + tanh (x)}{1 - tanh (x)}$

393.

[T] sinh6⁢(𝑥) ${sinh}^{6} (x)$

394.

[T] ln⁡(sech⁡(𝑥)+tanh⁡(𝑥)) $ln (sech (x) + tanh (x))$

Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnföll gefinna fallanna.

395.

cosh⁡(2⁢𝑥+1) $cosh (2 x + 1)$

396.

tanh⁡(3⁢𝑥+2) $tanh (3 x + 2)$

397.

𝑥⁢cosh⁡(𝑥2) $x cosh (x^{2})$

398.

3⁢𝑥3⁢tanh⁡(𝑥4) $3 x^{3} tanh (x^{4})$

399.

cosh2⁢(𝑥)⁢sinh⁡(𝑥) ${cosh}^{2} (x) sinh (x)$

400.

tanh2⁢(𝑥)⁢sech2⁢(𝑥) ${tanh}^{2} (x) {sech}^{2} (x)$

401.

sinh⁡(𝑥)₁+cosh⁡(𝑥) $\frac{sinh (x)}{1 + cosh (x)}$

402.

coth⁡(𝑥) $coth (x)$

403.

cosh⁡(𝑥)+sinh⁡(𝑥) $cosh (x) + sinh (x)$

404.

(cosh⁡(𝑥)+sinh⁡(𝑥))𝑛 ${(cosh (x) + sinh (x))}^{n}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna afleiður fallanna.

405.

tanh−1⁢(4⁢𝑥) ${tanh}^{−1} (4 x)$

406.

sinh−1⁢(𝑥2) ${sinh}^{−1} (x^{2})$

407.

sinh−1⁢(cosh⁡(𝑥)) ${sinh}^{−1} (cosh (x))$

408.

cosh−1⁢(𝑥3) ${cosh}^{−1} (x^{3})$

409.

tanh−1⁢(cos⁡(𝑥)) ${tanh}^{−1} (cos (x))$

410.

𝑒sinh−1⁢(𝑥) $e^{{sinh}^{−1} (x)}$

411.

ln⁡(tanh−1⁢(𝑥)) $ln ({tanh}^{−1} (x))$

Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnföll fallanna.

412.

∫𝑑𝑥4−𝑥2 $\int \frac{d x}{4 - x^{2}}$

413.

∫𝑑𝑥𝑎2−𝑥2 $\int \frac{d x}{a^{2} - x^{2}}$

414.

∫𝑑𝑥√𝑥2+1 $\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

415.

∫𝑥𝑑𝑥√𝑥2+1 $\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

416.

∫−𝑑⁢𝑥𝑥⁢√1−𝑥2 $\int - \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

417.

∫𝑒𝑥√𝑒2⁢𝑥−1⁢𝑑⁢𝑥 $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 1}} d x$

418.

∫−2⁢𝑥𝑥4−1⁢𝑑⁢𝑥 $\int - \frac{2 x}{x^{4} - 1} d x$

Í eftirfarandi æfingum skal nota þá staðreynd að fallandi hlutur með núningsmótstöðu sem er jöfn öðru veldi hraðans uppfyllir jöfnuna $d v / d t = g - v^{2} .$

419.

Sýnið að 𝑣⁡(𝑡)=√𝑔⁢tanh⁡((√𝑔)⁢𝑡) $v (t) = \sqrt{g} tanh ((\sqrt{g}) t)$ uppfyllir þessa jöfnu.

420.

Leiðið út fyrri stæðuna fyrir 𝑣⁡(𝑡) $v (t)$ með því að heilda 𝑑⁢𝑣𝑔−𝑣2=𝑑⁢𝑡. $\frac{d v}{g - v^{2}} = d t .$

421.

[T] Áætlið hversu langt hlutur hefur fallið á 12 $12$ sekúndum með því að finna flatarmálið undir ferli 𝑣⁡(𝑡). $v (t) .$

Í eftirfarandi æfingum skal miða við þessar aðstæður: Kapall sem hangir undan eigin þunga hefur hallatölu $S = d y / d x$ sem uppfyllir $d S / d x = c \sqrt{1 + S^{2}} .$ Fastinn $c$ er hlutfall línuþéttleika kapalsins og togkraftsins.

422.

Sýnið að 𝑆=sinh⁡(𝑐⁢𝑥) $S = sinh (c x)$ uppfyllir þessa jöfnu.

423.

Heildið 𝑑⁢𝑦/𝑑⁢𝑥=sinh⁡(𝑐⁢𝑥) $d y / d x = sinh (c x)$ til að finna hæð kapalsins 𝑦⁡(𝑥) $y (x)$ ef 𝑦⁡(0)=1/𝑐. $y (0) = 1 / c .$

424.

Teiknið kapalinn og ákvarðið hversu langt niður hann sígur við 𝑥=0. $x = 0 .$

Leysið eftirfarandi verkefni.

425.

[T] Keðja hangir á milli tveggja staura 2 $2$ m í sundur og myndar keðjulínu sem lýst er með jöfnunni 𝑦=2⁢cosh⁡(𝑥/2)−1. $y = 2 cosh (x / 2) - 1 .$ Finnið hallatölu keðjulínunnar við vinstri staurinn.

426.

[T] Keðja hangir milli tveggja staura með fjögurra metra millibili og myndar keðjulínu sem lýst er með jöfnunni 𝑦=4⁢cosh⁡(𝑥/4)−3. $y = 4 cosh (x / 4) - 3 .$ Finnið heildarlengd keðjulínunnar (bogalengd).

427.

[T] Háspennulína er keðjulína sem lýst er með 𝑦=10⁢cosh⁡(𝑥/10). $y = 10 cosh (x / 10) .$ Finnið hlutfallið milli flatarmálsins undir keðjulínunni og bogalengdar hennar. Hverju takið þið eftir?

428.

Símalína er keðjulína sem lýst er með 𝑦=𝑎⁢cosh⁡(𝑥/𝑎). $y = a cosh (x / a) .$ Finnið hlutfallið milli flatarmálsins undir keðjulínunni og bogalengdar hennar. Staðfestir þetta svar ykkar við fyrri spurningunni?

429.

Sannið formúluna fyrir afleiðu 𝑦=sinh−1⁢(𝑥) $y = {sinh}^{−1} (x)$ með því að deilda 𝑥=sinh⁡(𝑦). $x = sinh (y) .$ (Ábending: Notið samsemdir breiðbogafalla.)

430.

Sannið formúluna fyrir afleiðu 𝑦=cosh−1⁢(𝑥) $y = {cosh}^{−1} (x)$ með því að deilda 𝑥=cosh⁡(𝑦). $x = cosh (y) .$

(Ábending: Notið samsemdir breiðbogafalla.)

431.

Sannið formúluna fyrir afleiðu 𝑦=sech−1⁢(𝑥) $y = {sech}^{−1} (x)$ með því að deilda 𝑥=sech⁡(𝑦). $x = sech (y) .$ (Ábending: Notið samsemdir breiðbogafalla.)

432.

Sannið að (cosh⁡(𝑥)+sinh⁡(𝑥))𝑛=cosh⁡(𝑛⁢𝑥)+sinh⁡(𝑛⁢𝑥). ${(cosh (x) + sinh (x))}^{n} = cosh (n x) + sinh (n x) .$

433.

Sannið formúluna fyrir sinh−1⁢(𝑥). ${sinh}^{−1} (x) .$ Margfaldið 𝑥=sinh⁡(𝑦)=(1/2)⁢(𝑒𝑦–𝑒−𝑦) $x = sinh (y) = (1 / 2) (e^{y} - e^{− y})$ með 2⁢𝑒𝑦 $2 e^{y}$ og leysið með tilliti til 𝑦. $y .$ Er formúlan ykkar sú sama og í kennslubókinni?

434.

Sannið formúluna fyrir cosh−1⁢(𝑥). ${cosh}^{−1} (x) .$ Margfaldið 𝑥=cosh⁡(𝑦)=(1/2)⁢(𝑒𝑦+𝑒−𝑦) $x = cosh (y) = (1 / 2) (e^{y} + e^{− y})$ með 2⁢𝑒𝑦 $2 e^{y}$ og leysið með tilliti til 𝑦. $y .$ Er formúlan ykkar sú sama og í kennslubókinni?