66 Notkun heildunar

6.7 Heildi, vísisföll og lograr

Námsmarkmið

6.7.1 Ritið skilgreiningu náttúrulega lograns með heildi.
6.7.2 Þekkið afleiðu náttúrulega lograns.
6.7.3 Heildið föll sem fela í sér náttúrulega lografallið.
6.7.4 Skilgreinið töluna e með heildi.
6.7.5 Þekkið afleiðu og heildi vísisfallsins.
6.7.6 Sannið eiginleika logra og vísisfalla með heildum.
6.7.7 Setjið almenn lograföll og vísisföll fram með náttúrulega logranum og náttúrulega vísisfallinu.

Við höfum þegar fjallað um vísisföll og logra í fyrri köflum. Í þeirri umfjöllun fórum við þó lauslega yfir nokkur mikilvæg atriði. Til dæmis könnuðum við ekki hvernig fara skyldi með vísisföll með óræðum veldisvísum. Skilgreining tölunnar e er annað atriði sem ekki var gert fullnægjandi skil í fyrri umfjöllun. Nú höfum við þau verkfæri sem þarf til að fjalla um þessi hugtök á strangari stærðfræðilegan hátt og það gerum við í þessum undirkafla.

Í þessum undirkafla gerum við ráð fyrir að náttúrulegi logrinn, talan e og heildunar- og deildunarreglurnar sem tengjast þessum föllum hafi enn ekki verið skilgreind. Við lok undirkaflans munum við hafa fjallað um þessi hugtök á stærðfræðilega strangan hátt (og sjá að þau samræmast hugtökunum sem við kynntumst áður).

Við byrjum undirkaflann á því að skilgreina náttúrulega logrann með heildi. Þessi skilgreining er undirstaða undirkaflans. Út frá henni leiðum við út deildunarreglur og skilgreinum töluna $e,$ og útvíkkum þessi hugtök yfir í logra og vísisföll með hvaða grunntölu sem er.

Náttúrlegi logrinn sem heildi

Rifjum upp veldisregluna fyrir heildi:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq − 1 .

Ljóst er að þetta gengur ekki þegar $n = −1,$ þar sem þá þyrftum við að deila með núlli. Hvað gerum við þá við $\int \frac{1}{x} d x ?$ Rifjum upp úr undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar að $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ er stofnfall fallsins $1 / x .$ Því getum við sett fram eftirfarandi skilgreiningu.

Fyrir $x > 1,$ er þetta einfaldlega flatarmálið undir ferlinum $y = 1 / t$ frá $1$ til $x .$ Fyrir $x < 1,$ gildir $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = − \int_{x}^{1} \frac{1}{t} d t,$ þannig að í þessu tilviki er það neikvætt gildi flatarmálsins undir ferlinum frá $x til 1$ (sjá eftirfarandi mynd).

Á þessari mynd eru tvö gröf. Á fyrra grafinu er ferillinn y=1/t. Hann er minnkandi og liggur í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði. Vinstri mörk svæðisins eru við x=1. Svæðið er merkt „flatarmál=lnx“. Á seinna grafinu er sami ferill, y=1/t. Þar er skyggt svæði undir ferlinum sem afmarkast til hægri af x=1. Það er merkt „flatarmál=-lnx“. — **Mynd 6.75.** (a) Þegar 𝑥>1, $x > 1,$ er náttúrlegi logrinn flatarmálið undir ferlinum 𝑦=1/𝑡 $y = 1 / t$ frá 1to𝑥. $1 til x .$ (b) Þegar 𝑥<1, $x < 1,$ er náttúrlegi logrinn neikvætt gildi flatarmálsins undir ferlinum frá 𝑥 $x$ til 1. $1 .$

Takið eftir að $ln 1 = 0 .$ Enn fremur er fallið $y = 1 / t > 0$ fyrir $x > 0 .$ Af eiginleikum heilda er því ljóst að $ln x$ er vaxandi fyrir $x > 0 .$

Eiginleikar náttúrulega lograns

Vegna þess hvernig við skilgreindum náttúrulega logrann fæst eftirfarandi deildunarregla þegar í stað sem bein afleiðing af undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar.

Graf fallsins $ln x$ er sýnt á mynd 6.76. Takið eftir að það er samfellt á öllu skilgreiningarmenginu $(0, \infty) .$

Þessi mynd sýnir graf. Á grafinu er vaxandi ferill merktur f(x)=lnx. Ferillinn er vaxandi og y-ásinn er aðfella hans. Ferillinn sker x-ásinn í x=1. — **Mynd 6.76.** Graf 𝑓⁡(𝑥)=ln⁡𝑥 $f (x) = ln x$ sýnir að fallið er samfellt.

Dæmi 6.35

Útreikningur á afleiðum náttúrulegra logra

Reiknið eftirfarandi afleiður:

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(5⁢𝑥3−2) $\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2)$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢(ln⁡(3⁢𝑥))₂ $\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2}$

Lausn

Við þurfum að beita keðjureglunni í báðum tilvikum.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(5⁢𝑥3−2)=15⁢𝑥25⁢𝑥3−2 $\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2) = \frac{15 x^{2}}{5 x^{3} - 2}$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢(ln⁡(3⁢𝑥))₂=2⁢(ln⁡(3⁢𝑥))·33⁢𝑥=2⁢(ln⁡(3⁢𝑥))𝑥 $\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2} = \frac{2 (ln (3 x)) \cdot 3}{3 x} = \frac{2 (ln (3 x))}{x}$

Athugið að ef við notum tölugildisfallið og skilgreinum nýtt fall $ln | x |,$ getum við víkkað skilgreiningarmengi náttúrulega lograns þannig að það nái einnig yfir $x < 0 .$ Þá $(d / (d x)) ln | x | = 1 / x .$ Þetta leiðir til hinnar kunnuglegu heildunarreglu.

Dæmi 6.36

Útreikningur heilda sem fela í sér náttúrulega logra

Reiknið heildið ∫𝑥𝑥2+4⁢𝑑⁢𝑥. $\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x .$

Lausn

Notum 𝑢 $u$ -innsetningu og látum 𝑢=𝑥2+4. $u = x^{2} + 4 .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=2⁢𝑥𝑑⁢𝑥 $d u = 2 x d x$ og við fáum

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} ln | u | + C = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 4 | + C = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 4) + C .

Þótt við höfum kallað fallið okkar „logra“ höfum við í raun ekki sannað að neinir eiginleikar logra gildi um þetta fall. Það gerum við hér.

Sönnun

i. Samkvæmt skilgreiningu, $ln 1 = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} d t = 0 .$

ii. Við höfum

ln (a b) = \int_{1}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t .

Notum $u -innsetningu$ á síðasta heildið í þessari stæðu. Látum $u = t / a .$ Þá er $d u = (1 / a) d t .$ Enn fremur, þegar $t = a, u = 1,$ og þegar $t = a b, u = b .$ Því fæst

ln (a b) = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{a}{t} \cdot \frac{1}{a} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{b} \frac{1}{u} d u = ln a + ln b .

iv. Athugið að

\frac{d}{d x} ln (x^{r}) = \frac{r x^{r - 1}}{x^{r}} = \frac{r}{x} .

Enn fremur,

\frac{d}{d x} (r ln x) = \frac{r}{x} .

Þar sem afleiður þessara tveggja falla eru þær sömu leiðir af undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar að munurinn á föllunum er fasti. Því fæst

ln (x^{r}) = r ln x + C

fyrir einhvern fasta $C .$ Með því að velja $x = 1,$ fáum við

\begin{matrix} ln (1^{r}) & = & r ln (1) + C \\ 0 & = & r (0) + C \\ C & = & 0 . \end{matrix}

Því $ln (x^{r}) = r ln x$ og sönnuninni er lokið. Athugið að hægt er að útvíkka þennan eiginleika yfir á óræð gildi $r$ síðar í þessum undirkafla.
Liður iii. leiðir af liðum ii. og iv. og sönnun hans er látin lesandanum eftir.

□

Dæmi 6.37

Notkun eiginleika logra

Notið eiginleika logra til að einfalda eftirfarandi stæðu og rita hana sem einn logra:

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) .

Lausn

Við höfum

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) = ln (3^{2}) - 2 ln 3 + ln (3^{−1}) = 2 ln 3 - 2 ln 3 - ln 3 = − ln 3 .

Skilgreining á tölunni e

Nú þegar við höfum skilgreint náttúrulega logrann getum við notað það fall til að skilgreina töluna $e .$

Með öðrum orðum, flatarmálið undir ferlinum $y = 1 / t$ á milli $t = 1$ og $t = e$ er $1$ (mynd 6.77). Ykkur er látið eftir að sanna að slík tala sé til og sé ótvírætt ákvörðuð. (Vísbending: Notið milligildissetninguna til að sanna tilvist og þá staðreynd að $ln x$ er vaxandi til að sanna ótvíræðni.)

Myndin sýnir graf. Þar er ferillinn y=1/t. Hann er minnkandi og liggur í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði. Svæðið afmarkast til vinstri við x=1 og til hægri við x=e. Svæðið er merkt „flatarmál=1“. — **Mynd 6.77.** Flatarmálið undir ferlinum frá 1 $1$ til 𝑒 $e$ er jafnt einum.

Talan $e$ er óræð tala, en það verður ekki sýnt hér (sjá nemendaverkefnið í Taylor- og Maclaurin-röðum). Nálgunargildi hennar er

e \approx 2.71828182846 .

Vísisfallið

Nú beinum við athygli okkar að fallinu $e^{x} .$ Athugið að náttúrlegi logrinn er eintækur og á sér því andhverft fall. Að svo stöddu táknum við þetta andhverfa fall með $exp x .$ Þá fæst:

\exp (\ln x) = xfyrirx 0 ogln (\exp x) = xfyrir llx

Eftirfarandi mynd sýnir gröf fallanna $exp x$ og $ln x .$

Myndin sýnir graf með þremur ferlum. Fyrsti ferillinn er merktur exp x. Hann er vaxandi og hefur x-ásinn sem lárétta aðfellu. Hann sker y-ásinn í y=1. Annar ferillinn er skálína sem liggur gegnum upphafspunktinn. Þriðji ferillinn er merktur lnx. Hann er vaxandi og hefur y-ásinn sem lóðrétta aðfellu. Hann sker x-ásinn í x=1. — **Mynd 6.78.** Gröf fallanna ln⁡𝑥 $ln x$ og exp⁡𝑥. $exp x .$

Við setjum fram þá tilgátu að $exp x = e^{x} .$ Fyrir ræð gildi $x,$ er auðvelt að sýna fram á þetta. Ef $x$ er ræð tala, þá gildir $ln (e^{x}) = x ln e = x .$ Þegar $x$ er ræð tala gildir því $e^{x} = exp x .$ Fyrir óræð gildi $x,$ skilgreinum við einfaldlega $e^{x}$ sem andhverft fall við $ln x .$

Þá gildir $e^{x} = exp (x)$ fyrir öll $x,$ og því

e^{ln x} = x fyrir x > 0 og ln (e^{x}) = x

(6.26)

fyrir öll $x .$

Eiginleikar vísisfallsins

Þar sem vísisfallið var skilgreint út frá andhverfu falli en ekki út frá veldi af $e,$ verðum við að sannreyna að venjulegar veldareglur gildi um fallið $e^{x} .$

Sönnun

Athugið að ef $p$ og $q$ eru ræðar tölur gilda eiginleikarnir. Ef $p$ eða $q$ er hins vegar óræð tala verðum við að beita skilgreiningunni á $e^{x}$ sem andhverfu falls og sannreyna eiginleikana. Hér er aðeins fyrsti eiginleikinn sannreyndur; ykkur er látið eftir að sannreyna hina tvo. Við höfum

ln (e^{p} e^{q}) = ln (e^{p}) + ln (e^{q}) = p + q = ln (e^{p + q}) .

Þar sem $ln x$ er eintækt, þá

e^{p} e^{q} = e^{p + q} .

□

Líkt og í iv. lið eiginleika logra getum við útvíkkað eiginleika iii. þannig að hann gildi fyrir óræð gildi $r,$ og það gerum við í lok undirkaflans.

Við viljum einnig sannreyna deildunarformúluna fyrir fallið $y = e^{x} .$ Til þess þurfum við að nota fólgna deildun. Látum $y = e^{x} .$ Þá

\begin{matrix} ln y & = & x \\ \frac{d}{d x} ln y & = & \frac{d}{d x} x \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & y . \end{matrix}

Þannig sjáum við

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}

eins og óskað var, sem leiðir þegar í stað til heildunarreglunnar

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

Við beitum þessum formúlum í eftirfarandi dæmum.

Dæmi 6.38

Notkun eiginleika vísisfalla

Reiknið eftirfarandi afleiður:

𝑑𝑑⁢𝑡⁢𝑒3⁢𝑡⁢𝑒𝑡2 $\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}}$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢𝑒3⁢𝑥2 $\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}}$

Lausn

Við beitum keðjureglunni eftir þörfum.

𝑑𝑑⁢𝑡⁢𝑒3⁢𝑡⁢𝑒𝑡2=𝑑𝑑⁢𝑡⁢𝑒3⁢𝑡+𝑡2=𝑒3⁢𝑡+𝑡2⁢(3+2⁢𝑡) $\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}} = \frac{d}{d t} e^{3 t + t^{2}} = e^{3 t + t^{2}} (3 + 2 t)$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢𝑒3⁢𝑥2=𝑒3⁢𝑥2⁢6⁢𝑥 $\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}} = e^{3 x^{2}} 6 x$

Dæmi 6.39

Notkun eiginleika vísisfalla

Reiknið eftirfarandi heildi: ∫2⁢𝑥⁢𝑒−𝑥2𝑑𝑥. $\int 2 x e^{− x^{2}} d x .$

Lausn

Notum 𝑢 $u$ -innsetningu og látum 𝑢=−𝑥2. $u = − x^{2} .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=−2⁢𝑥𝑑⁢𝑥, $d u = −2 x d x,$ og við fáum

\int 2 x e^{− x^{2}} d x = − \int e^{u} d u = − e^{u} + C = − e^{− x^{2}} + C .

Almenn lograföll og vísisföll

Við ljúkum þessum undirkafla með því að skoða vísisföll og logra með öðrum grunntölum en $e .$ Vísisföll eru föll á forminu $f (x) = a^{x} .$ Athugið að nema $a = e,$ höfum við enn ekki stærðfræðilega stranga skilgreiningu á þessum föllum fyrir óræða veldisvísa. Við skulum bæta úr því hér með því að skilgreina fallið $f (x) = a^{x}$ með vísisfallinu $e^{x} .$ Síðan skoðum við logra með öðrum grunntölum en $e$ sem andhverf föll vísisfalla.

Nú $a^{x}$ er skilgreint á stærðfræðilega strangan hátt fyrir öll gildi x. Þessi skilgreining gerir okkur einnig kleift að útvíkka eiginleika iv. logra og eiginleika iii. vísisfalla þannig að þeir gildi bæði um ræð og óræð gildi $r .$ Auðvelt er að sýna að veldareglurnar gilda um almenn vísisföll sem eru skilgreind með þessum hætti.

Beitum nú þessari skilgreiningu til að reikna út deildunarformúlu fyrir $a^{x} .$ Við höfum

\frac{d}{d x} a^{x} = \frac{d}{d x} e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a .

Samsvarandi heildunarregla fæst þegar í stað.

Ef $a \neq 1,$ þá er fallið $a^{x}$ eintækt og hefur vel skilgreint andhverft fall. Andhverfa þess er táknuð með ${log}_{a} x .$ Þá gildir

y = {log}_{a} x þá og því aðeins að x = a^{y} .

Athugið að rita má almenn lograföll með náttúrulega logranum. Látum $y = {log}_{a} x .$ Þá er $x = a^{y} .$ Með því að taka náttúrulega logrann af báðum hliðum þessarar síðari jöfnu fáum við

\begin{matrix} ln x & = & ln (a^{y}) \\ ln x & = & y ln a \\ y & = & \frac{ln x}{ln a} \\ {log}_{a} x & = & \frac{ln x}{ln a} . \end{matrix}

Því sjáum við að öll lograföll eru fastamargfeldi hvert annars. Næst notum við þessa formúlu til að finna deildunarformúlu fyrir logra með grunntölu $a .$ Látum aftur $y = {log}_{a} x .$ Þá fæst

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d}{d x} ({log}_{a} x) \\ = \frac{d}{d x} (\frac{ln x}{ln a}) \\ = (\frac{1}{ln a}) \frac{d}{d x} (ln x) \\ = \frac{1}{ln a} \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x ln a} . \end{matrix}

Dæmi 6.40

Útreikningur á afleiðum almennra vísisfalla og lografalla

Reiknið eftirfarandi afleiður:

𝑑𝑑⁢𝑡⁢(4𝑡·2𝑡2) $\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}})$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢log8⁢(7⁢𝑥2+4) $\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4)$

Lausn

Við þurfum að beita keðjureglunni eftir þörfum.

𝑑𝑑⁢𝑡⁢(4𝑡·2𝑡2)=𝑑𝑑⁢𝑡⁢(22⁢𝑡·2𝑡2)=𝑑𝑑⁢𝑡⁢(22⁢𝑡+𝑡2)=22⁢𝑡+𝑡2⁢ln⁡(2)⁢(2+2⁢𝑡) $\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t + t^{2}}) = 2^{2 t + t^{2}} ln (2) (2 + 2 t)$
𝑑𝑑⁢𝑥⁢log8⁢(7⁢𝑥2+4)=1(7⁢𝑥2+4)⁢(ln⁡8)⁢(14⁢𝑥) $\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4) = \frac{1}{(7 x^{2} + 4) (ln 8)} (14 x)$

Dæmi 6.41

Heildun almennra vísisfalla

Reiknið eftirfarandi heildi: ∫323⁢𝑥⁢𝑑⁢𝑥. $\int \frac{3}{2^{3 x}} d x .$

Lausn

Notum 𝑢-substitution $u -innsetningu$ og látum 𝑢=−3⁢𝑥. $u = −3 x .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=−3⁢𝑑⁢𝑥 $d u = −3 d x$ og við fáum

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x = \int 3 \cdot 2^{−3 x} d x = − \int 2^{u} d u = - \frac{1}{ln 2} 2^{u} + C = - \frac{1}{ln 2} 2^{−3 x} + C .

Æfingar í undirkafla 6.7

Í eftirfarandi æfingum skal finna afleiðuna $\frac{d y}{d x} .$

295.

𝑦=ln⁡(2⁢𝑥) $y = ln (2 x)$

296.

𝑦=ln⁡(2⁢𝑥+1) $y = ln (2 x + 1)$

297.

𝑦=1ln⁡𝑥 $y = \frac{1}{ln x}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna óákveðna heildið.

298.

∫𝑑𝑡3⁢𝑡 $\int \frac{d t}{3 t}$

299.

∫𝑑𝑥1+𝑥 $\int \frac{d x}{1 + x}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna afleiðuna $d y / d x .$ (Nota má reiknivél til að teikna gröf fallsins og afleiðunnar og staðfesta þannig að niðurstaðan sé rétt.)

300.

[T] 𝑦=ln⁡(𝑥)𝑥 $y = \frac{ln (x)}{x}$

301.

[T] 𝑦=𝑥⁢ln⁡(𝑥) $y = x ln (x)$

302.

[T] 𝑦=log10⁢𝑥 $y = {log}_{10} x$

303.

[T] 𝑦=ln⁡(sin⁡𝑥) $y = ln (sin x)$

304.

[T] 𝑦=ln⁡(ln⁡𝑥) $y = ln (ln x)$

305.

[T] 𝑦=7⁢ln⁡(4⁢𝑥) $y = 7 ln (4 x)$

306.

[T] 𝑦=ln⁡((4⁢𝑥)₇) $y = ln ({(4 x)}^{7})$

307.

[T] 𝑦=ln⁡(tan⁡𝑥) $y = ln (tan x)$

308.

[T] 𝑦=ln⁡(tan⁡(3⁢𝑥)) $y = ln (tan (3 x))$

309.

[T] 𝑦=ln⁡(cos2⁢𝑥) $y = ln ({cos}^{2} x)$

Í eftirfarandi æfingum skal finna ákveðið eða óákveðið heildi.

310.

∫10𝑑𝑥3+𝑥 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x}$

311.

∫10𝑑𝑡3+2⁢𝑡 $\int_{0}^{1} \frac{d t}{3 + 2 t}$

312.

∫20𝑥𝑑𝑥𝑥2+1 $\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x^{2} + 1}$

313.

∫20𝑥3⁢𝑑𝑥𝑥2+1 $\int_{0}^{2} \frac{x^{3} d x}{x^{2} + 1}$

314.

∫𝑒2𝑑𝑥𝑥⁢ln⁡𝑥 $\int_{2}^{e} \frac{d x}{x ln x}$

315.

∫𝑒2𝑑𝑥𝑥(ln⁡𝑥)₂ $\int_{2}^{e} \frac{d x}{{x (ln x)}^{2}}$

316.

∫cos⁡𝑥𝑑⁢𝑥sin⁡𝑥 $\int \frac{cos x d x}{sin x}$

317.

∫𝜋/40tan⁡𝑥𝑑⁢𝑥 $\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

318.

∫cot⁡(3⁢𝑥)𝑑𝑥 $\int cot (3 x) d x$

319.

∫(ln⁡𝑥)₂⁢𝑑𝑥𝑥 $\int \frac{{(ln x)}^{2} d x}{x}$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna $d y / d x$ með því að deilda $ln y .$

320.

𝑦=√𝑥2+1 $y = \sqrt{x^{2} + 1}$

321.

𝑦=√𝑥2+1⁢√𝑥2−1 $y = \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}$

322.

𝑦=𝑒sin⁡𝑥 $y = e^{sin x}$

323.

𝑦=𝑥−1/𝑥 $y = x^{−1 / x}$

324.

𝑦=𝑒(𝑒⁢𝑥) $y = e^{(e x)}$

325.

𝑦=𝑥𝑒 $y = x^{e}$

326.

𝑦=𝑥(𝑒⁢𝑥) $y = x^{(e x)}$

327.

𝑦=√𝑥3√𝑥6√𝑥 $y = \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x}$

328.

𝑦=𝑥−1/ln⁡𝑥 $y = x^{−1 / ln x}$

329.

𝑦=𝑒−ln⁡𝑥 $y = e^{− ln x}$

Reiknið eftirfarandi dæmi með hvaða aðferð sem er.

330.

∫105𝑑⁢𝑡𝑡−∫10⁢𝑥5⁢𝑥𝑑𝑡𝑡 $\int_{5}^{10} \frac{d t}{t} - \int_{5 x}^{10 x} \frac{d t}{t}$

331.

∫𝑒𝜋1𝑑𝑥𝑥+∫−1−2𝑑𝑥𝑥 $\int_{1}^{e^{π}} \frac{d x}{x} + \int_{−2}^{−1} \frac{d x}{x}$

332.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫1𝑥𝑑𝑡𝑡 $\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t}$

333.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢∫𝑥2𝑥𝑑𝑡𝑡 $\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{t}$

334.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(sec⁡𝑥+tan⁡𝑥) $\frac{d}{d x} ln (sec x + tan x)$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota fallið $ln x .$ Ef ekki tekst að finna skurðpunkta með greiningaraðferðum skal nota reiknivél.

335.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast af 𝑥=1 $x = 1$ og 𝑦=5 $y = 5$ ofan við 𝑦=ln⁡𝑥. $y = ln x .$

336.

[T] Finnið bogalengd ln⁡𝑥 $ln x$ frá 𝑥=1 $x = 1$ til 𝑥=2. $x = 2 .$

337.

Finnið flatarmálið milli ln⁡𝑥 $ln x$ og x-ássins frá 𝑥=1to𝑥=2. $x = 1 til x = 2 .$

338.

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar þessum ferli er snúið frá 𝑥=1to𝑥=2 $x = 1 til x = 2$ um x-ásinn, eins og sýnt er hér.

Myndin sýnir flöt sem hefur myndast með því að snúa ferlinum ln x um x-ásinn. Flöturinn er inni í teningi sem sýnir að hann er þrívíður.

339.

[T] Finnið yfirborðsflatarmál snúðsins sem myndast þegar ferlinum í fyrri æfingu er snúið frá 𝑥=1 $x = 1$ til 𝑥=2 $x = 2$ um x-ásinn.

Ef ykkur tekst ekki að finna skurðpunkta með greiningaraðferðum í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota reiknivél.

340.

Finnið flatarmál breiðbogafjórðungsins sem afmarkast af 𝑥=2and𝑦=2 $x = 2 og y = 2$ ofan við 𝑦=1/𝑥. $y = 1 / x .$

341.

[T] Finnið bogalengd 𝑦=1/𝑥 $y = 1 / x$ frá 𝑥=1to𝑥=4. $x = 1 til x = 4 .$

342.

Finnið flatarmálið undir 𝑦=1/𝑥 $y = 1 / x$ og ofan við x-ásinn frá 𝑥=1to𝑥=4. $x = 1 til x = 4 .$

Í eftirfarandi æfingum skal sannreyna afleiðurnar og stofnföllin.

343.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(𝑥+√𝑥2+1)=1√1+𝑥2 $\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

344.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(𝑥−𝑎𝑥+𝑎)=2⁢𝑎(𝑥2−𝑎2) $\frac{d}{d x} ln (\frac{x - a}{x + a}) = \frac{2 a}{(x^{2} - a^{2})}$

345.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(1+√1−𝑥2𝑥)=−1𝑥⁢√1−𝑥2 $\frac{d}{d x} ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

346.

𝑑𝑑⁢𝑥⁢ln⁡(𝑥+√𝑥2−𝑎2)=1√𝑥2−𝑎2 $\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

347.

∫𝑑𝑥𝑥⁢ln⁡(𝑥)⁢ln⁡(ln⁡𝑥)=ln⁡(ln⁡(ln⁡𝑥))+𝐶 $\int \frac{d x}{x ln (x) ln (ln x)} = ln (ln (ln x)) + C$