6.3.2 Berið saman mismunandi aðferðir til að reikna rúmmál snúðs.
Í þessum undirkafla skoðum við hylkjaaðferðina, síðustu aðferðina sem við fjöllum um til að reikna rúmmál snúðs. Henni má beita á sömu snúða og skífu- og hringkragaaðferðunum. Með skífu- og hringkragaaðferðunum er heildað eftir hnitás sem er samsíða snúningsásnum. Með hylkjaaðferðinni er hins vegar heildað eftir hnitás sem er hornréttur á snúningsásinn. Möguleikinn á að velja heildunarbreytu getur skipt verulegu máli þegar fengist er við flóknari föll. Lögun snúðsins getur einnig gert hylkjaaðferðina hentugri en hringkragaaðferðina. Í lok undirkaflans rifjum við upp allar aðferðirnar sem við höfum kynnt okkur til að finna rúmmál og setjum fram leiðbeiningar um val á aðferð við tilteknar aðstæður.
Hylkjaaðferðin
Við vinnum enn á ný með snúð. Eins og áður skilgreinum við svæði sem afmarkast að ofan af grafi fallsins að neðan af og til vinstri og hægri af línunum og í þeirri röð, eins og sýnt er á mynd 6.25(a). Síðan snúum við svæðinu um y-ásinn, eins og sýnt er á mynd 6.25(b). Þetta er ólíkt því sem áður var gert. Hingað til höfum við snúið svæðum sem skilgreind eru út frá föllum af um eða línu samsíða honum.
Mynd 6.25. (a) Svæði sem afmarkast af grafi falls af (b) Snúðurinn sem myndast þegar svæðinu er snúið um
Eins og oft áður skiptum við bilinu með reglulegri skiptingu, og veljum fyrir punkt Því næst myndum við rétthyrning yfir bilinu sem hefur hæðina og breiddina Dæmigerður rétthyrningur er sýndur á mynd 6.26(a). Þegar þessum rétthyrningi er snúið um y-ásinn fæst sívalningshylki í stað skífu eða hringkraga, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 6.26. (a) Dæmigerður rétthyrningur. (b) Þegar þessum rétthyrningi er snúið um myndast sívalningshylki. (c) Þegar öll hylkin eru sett saman fæst nálgun á upprunalega snúðnum.
Til að reikna rúmmál þessa hylkis skulum við skoða mynd 6.27.
Mynd 6.27. Rúmmál hylkisins reiknað.
Hylkið er sívalningur og því fæst rúmmál þess með því að margfalda flatarmál þversniðsins með hæð sívalningsins. Þversniðin eru hringkragar (hringlaga svæði, það er hringir með gati í miðjunni) með ytri geisla og innri geisla Því er flatarmál þversniðsins Hæð sívalningsins er Þá er rúmmál hylkisins
Athugið að og því fæst
Enn fremur er bæði miðpunktur bilsins og meðalgeisli hylkisins, sem nálga má með Þá fæst
Önnur leið til að sjá þetta er að hugsa sér að hylkið sé skorið lóðrétt og síðan opnað þannig að það myndi flata plötu (mynd 6.28).
Mynd 6.28. (a) Skerið dæmigert hylki lóðrétt. (b) Opnið hylkið þannig að það myndi flata plötu.
Í raun er ytri geisli hylkisins stærri en innri geislinn og því væri aftari brún plötunnar örlítið lengri en fremri brún hennar. Hins vegar má nálga útflatta hylkið með flatri plötu sem hefur hæðina breiddina og þykktina (mynd 6.28). Rúmmál hylkisins er þá um það bil jafnt rúmmáli flötu plötunnar. Þegar hæð, breidd og þykkt plötunnar eru margfaldaðar saman fæst
sem er sama formúla og við fengum áður.
Til að reikna rúmmál alls snúðsins leggjum við saman rúmmál allra hylkjanna og fáum
Hér höfum við aðra Riemann-summu, nú fyrir fallið Með því að taka markgildið þegar fæst
Þetta leiðir til eftirfarandi reglu um hylkjaaðferðina.
Skoðum nú dæmi.
Dæmi 6.12
Hylkjaaðferðin 1
Skilgreinum sem svæðið sem afmarkast að ofan af grafi og að neðan af á bilinu Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar er snúið um
Lausn
Teiknum fyrst svæðið og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 6.29. (a) Svæðið R undir grafi f ( x ) = 1 / x á bilinu [ 1 , 3 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y -ás .
Rúmmál snúðsins fæst þá með
Dæmi 6.13
Hylkjaaðferðin 2
Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi og að neðan af á bilinu Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar er snúið um
Lausn
Teiknum fyrst svæðið og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 6.30. (a) Svæðið R undir grafi f ( x ) = 2 x − x 2 á bilinu [ 0 , 2 ] . (b) Snúðurinn sem fæst þegar R er snúið um y -ás .
Rúmmál hlutarins fæst þá með
Hylkjaaðferðinni má, líkt og skífu- og hringkragaaðferðunum, beita á snúða um þegar heilda á með tilliti til Samsvarandi regla fyrir snúða af þessu tagi er hér á eftir.
Dæmi 6.14
Hylkjaaðferðin fyrir snúð um x-ásinn
Látum vera svæðið sem afmarkast til hægri af grafi og til vinstri af fyrir Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar er snúið um x-ásinn.
Lausn
Teiknum fyrst svæðið og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 6.31. (a) Svæðið Q vinstra megin við fallið g ( y ) á bilinu [ 0 , 4 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar Q er snúið um x -ás .
Merkjum skyggða svæðið Rúmmál snúðsins fæst þá með
Í næsta dæmi skoðum við snúð sem myndast þegar svæði undir grafi falls er snúið um aðra línu en hnitásana. Til að setja dæmið fram þurfum við að rifja upp hvernig hylkjaaðferðin var leidd út. Rifjum upp að rúmmál eins hylkis fæst með
Þetta byggðist á hylki með ytri geisla og innri geisla Ef svæðinu er hins vegar snúið um aðra línu en verða ytri og innri geislinn aðrir. Gerum til dæmis ráð fyrir að svæðinu sé snúið um línuna þar sem er jákvæður fasti. Þá er ytri geisli hylkisins og innri geislinn Þegar þessar stærðir eru settar inn í rúmmálsstæðuna sést að ef svæði í sléttu er snúið um línuna fæst rúmmál hylkis með
Eins og áður sést að er miðpunktur bilsins og nálga má hann með Þá fæst eftirfarandi nálgun á rúmmáli hylkisins
Útleiðslan heldur áfram með sama hætti og áður og því fæst
Svæðinu mætti einnig snúa um aðrar láréttar eða lóðréttar línur, svo sem lóðrétta línu í hægra hálfplaninu. Í hverju tilviki þarf að laga rúmmálsformúluna að aðstæðum. Nánar tiltekið þarf að setja stæðu sem táknar geisla hylkis í stað í heildinu. Eftirfarandi dæmi sýnir hvernig það er gert.
Dæmi 6.15
Snúningur svæðis um línu
Látum vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins og að neðan af á bilinu Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar er snúið um línuna
Lausn
Teiknum fyrst svæðið og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 6.32. (a) Svæðið R milli grafs f ( x ) og x -ás á bilinu [ 1 , 2 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um línuna x = −1 .
Athugið að geisli hylkisins er Rúmmál snúðsins fæst þá með
Í síðasta dæmi þessa undirkafla skoðum við rúmmál snúðs sem myndast úr svæði sem afmarkast af gröfum tveggja falla.
Dæmi 6.16
Svæði afmarkað af gröfum tveggja falla
Látum vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins og að neðan af grafi fallsins á bilinu Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar er snúið um
Lausn
Teiknum fyrst svæðið og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.
Mynd 6.33. (a) Svæðið R milli grafa fallanna f ( x ) og g ( x ) á bilinu [ 1 , 4 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y -ás .
Athugið að snúningsásinn er og því er geisli hylkisins einfaldlega Ekki þarf að breyta x-lið heildisstofnsins. Hæð hylkisins er hins vegar og því þarf í þessu tilviki að breyta -lið heildisstofnsins. Rúmmál snúðsins fæst því með
Hvaða aðferð eigum við að nota?
Við höfum kynnst nokkrum aðferðum til að finna rúmmál snúðs, en hvernig vitum við hvaða aðferð á að nota? Valið ræðst oft af því hvaða heildi er auðveldast að reikna. Mynd 6.34 lýsir mismunandi aðferðum fyrir snúða um Útbúið hliðstæða töflu fyrir snúða um
Skoðum tvö verkefni til viðbótar og ákveðum hvaða aðferð hentar best til að leysa þau.
Dæmi 6.17
Hentugasta aðferðin valin
Veljið fyrir hvert eftirfarandi verkefni hentugustu aðferðina til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar gefna svæðinu er snúið um og setjið upp heildið fyrir rúmmálið (reiknið heildið ekki).
Svæðið sem afmarkast af gröfunum og
Svæðið sem afmarkast af grafinu og
Lausn
Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.
Mynd6.35(a) Svæðið sem afmarkast af tveimur línum og (b) Snúðurinn sem myndast þegar er snúið um
Ef heilda á með tilliti til þarf að skipta heildinu í tvo hluta, því mismunandi föll afmarka svæðið á bilunum og Með skífuaðferðinni fengist
Ef hylkjaaðferðin væri notuð í staðinn væri ferlunum lýst með föllum af og þá fengist
Hvorugt þessara heilda er sérlega erfitt, en hylkjaaðferðin krefst aðeins eins heildis og heildisstofninn þarfnast minni einföldunar. Því er líklega best að velja hylkjaaðferðina í þessu tilviki.
Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.
Mynd6.36(a) Svæðið milli ferilsins og (b) Snúðurinn sem myndast þegar er snúið um
Þegar svæðið er skoðað sést að erfitt væri að skilgreina láréttan rétthyrning, því sama fall afmarkar svæðið bæði til vinstri og hægri. Því má útiloka hylkjaaðferðina. Snúðurinn hefur ekkert holrúm í miðjunni og því má nota skífuaðferðina. Þá fæst
Æfingar úr undirkafla 6.3
Í eftirfarandi æfingum skal finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefinn ás. Notið bæði hylkjaaðferðina og hringkragaaðferðina. Notið tækni til að teikna gröf fallanna og teiknið dæmigerða sneið í höndunum.
114.
[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum og er snúið um
115.
[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum er snúið um
116.
[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum er snúið um
117.
[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum er snúið um
118.
[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum er snúið um
119.
[T] Svæðinu sem afmarkast af ferlunum er snúið um
Í eftirfarandi æfingum skal nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmál gefnu snúðanna. Athugið að svæðin sem snúið er liggja milli ferilsins og og þeim er snúið um
120.
𝑦=1−𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=1
121.
𝑦=5𝑥3,𝑥=0,og 𝑥=1
122.
𝑦=1𝑥,𝑥=1,og 𝑥=100
123.
𝑦=√1−𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=1
124.
𝑦=11+𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=3
125.
𝑦=sin𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=√𝜋
126.
𝑦=1√1−𝑥2,𝑥=0,og 𝑥=12
127.
𝑦=√𝑥,𝑥=0,og 𝑥=1
128.
𝑦=(1+𝑥2)3,𝑥=0,og 𝑥=1
129.
𝑦=5𝑥3−2𝑥4,𝑥=0,og 𝑥=2
Í eftirfarandi æfingum skal nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli gefna ferilsins og er snúið um
130.
og x-ásinn
131.
og x-ásinn
132.
og x-ásinn
133.
og x-ásinn
134.
𝑥=11+𝑦2,𝑦=4
135.
og y-ásinn
136.
𝑥 =√4−𝑦2,𝑥 =0,𝑦 =0
137.
𝑥=𝑦3−2𝑦2,𝑥=0,𝑥=9
138.
og x-ásinn
139.
𝑥=3√27𝑦og 𝑥=3𝑦4
Í eftirfarandi æfingum skal finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefinn ás.
140.
afmarka svæði sem snúið er um
141.
afmarka svæði sem snúið er um
142.
afmarka svæði sem snúið er um
143.
afmarka svæði sem snúið er um línuna
144.
afmarka svæði sem snúið er um línuna
145.
afmarka svæði sem snúið er um
146.
afmarka svæði sem snúið er um línuna
147.
afmarka svæði sem snúið er um
148.
afmarka svæði sem snúið er um línuna
149.
[T] Svæðið vinstra megin við en hægra megin við er snúið um
Í eftirfarandi æfingum skal nota tækni til að teikna svæðið. Ákvarðið hvaða aðferð þið teljið auðveldast að nota til að reikna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu sem fallið afmarkar er snúið um tilgreindan ás. Notið síðan aðferðina sem þið völduð til að finna rúmmálið.
150.
[T] og afmarka svæði sem snúið er um
151.
[T] afmarka svæði sem snúið er um Þetta verkefni krefst háþróaðrar reiknitækni. Nota má tækni við heildunina.
152.
[T] afmarka svæði sem snúið er um
153.
[T] afmarka svæði sem snúið er um
154.
[T] afmarka svæði sem snúið er um
155.
[T] afmarka svæði sem snúið er um
156.
[T] og afmarka svæði sem snúið er um
157.
[T] afmarka svæði sem snúið er um
Í eftirfarandi æfingum skal nota hylkjaaðferðina til að nálga rúmmál nokkurra algengra hluta sem sýndir eru á meðfylgjandi myndum.
158.
Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kúlu með geisla 𝑟.
159.
Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál keilu með geisla og hæð
160.
Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sporvölungsins sem fæst þegar sporbauginum er snúið um
161.
Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sívalnings með geisla og hæð
162.
Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kleinuhringsins sem myndast þegar hringnum er snúið um línuna
163.
Lítum á svæðið sem afmarkast af gröfum og Hvert er rúmmál snúðsins sem myndast þegar þessu svæði er snúið um Gerið ráð fyrir að fallið sé skilgreint á bilinu
164.
Lítum á fallið sem minnkar frá niður í Setjið upp heildin, bæði með hylkjaaðferðinni og skífuaðferðinni, sem ákvarða rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu, sem afmarkast einnig af og er snúið um Sannið að báðar aðferðirnar nálgi sama rúmmál. Hvorri aðferðinni er auðveldara að beita? (Ábending: Þar sem er eintækt hefur það andhverfu,
![Á myndinni er tafla sem ber saman aðferðir til að finna rúmmál snúða. Dálkarnir heita „samanburður“, „skífuaðferð“, „hringkragaaðferð“ og „hylkjaaðferð“. Raðirnar heita „rúmmálsformúla“, „hlutur“, „bil sem er skipt“, „rétthyrningar“, „dæmigert svæði“ og „rétthyrningur“. Fyrir skífuaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá a til b af pí sinnum f(x) í öðru veldi. Hluturinn hefur ekkert holrúm, bilinu [a,b] er skipt, rétthyrningarnir eru lóðréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan x-ássins og undir grafi f(x). Fyrir hringkragaaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá a til b af pí sinnum mismuninum f(x) í öðru veldi og g(x) í öðru veldi. Hluturinn hefur holrúm, bilinu [a,b] er skipt, rétthyrningarnir eru lóðréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan grafs g(x) og undir grafi f(x). Fyrir hylkjaaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá c til d af 2 pí sinnum y g(y). Hluturinn getur verið með eða án holrúms, bilinu [c,d] er skipt, rétthyrningarnir eru láréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan x-ássins og undir grafi g(y).](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/calculus-volume-1/is/image-v3/b203402c564ea2afeb7b81db0849f83189a77162/rendered.png?v=cd4468aecd8f)
