66 Notkun heildunar

6.6 Vægi og massamiðjur

Námsmarkmið

6.6.1 Finnið massamiðju hluta sem dreifast eftir línu.
6.6.2 Finnið massamiðju þunnrar plötu.
6.6.3 Notið samhverfu til að ákvarða þungamiðju þunnrar plötu.
6.6.4 Beitið setningu Pappusar til að reikna rúmmálið.

Í þessum undirkafla fjöllum við um massamiðjur (einnig nefndar þungamiðjur, við ákveðin skilyrði) og vægi. Grunnhugmynd massamiðju byggist á hugtakinu jafnvægispunktur. Mörg okkar hafa séð listamenn snúa diskum á endum prika. Listamennirnir reyna að halda nokkrum diskum á snúningi án þess að nokkur þeirra falli. Ef við skoðum einn disk (án þess að snúa honum) er á honum ákveðinn kjörpunktur þar sem hann helst í fullkomnu jafnvægi á prikinu. Ef við setjum prikið annars staðar en á þessum kjörpunkti helst diskurinn ekki í jafnvægi og fellur til jarðar. (Þess vegna snúa listamennirnir diskunum; snúningurinn hjálpar til við að koma í veg fyrir að diskarnir falli, jafnvel þótt prikið sé ekki nákvæmlega á réttum stað.) Í stærðfræði nefnist þessi kjörpunktur massamiðja disksins.

Í þessum undirkafla skoðum við fyrst þessi hugtök í einvíðu samhengi og útvíkkum síðan umfjöllunina þannig að hún nái til massamiðja tvívíðra svæða og samhverfu. Að lokum notum við þungamiðjur til að finna rúmmál tiltekinna rúmhluta með því að beita setningu Pappusar.

Massamiðja og vægi

Við skulum byrja á að skoða massamiðju í einvíðu samhengi. Lítum á langan, þunnan vír eða stöng með hverfandi massa sem hvílir á vogarási, eins og sýnt er á mynd 6.62(a). Gerum nú ráð fyrir að við komum fyrir hlutum með massana $m_{1}$ og $m_{2}$ í fjarlægðunum $d_{1}$ og $d_{2}$ frá vogarásnum, í sömu röð, eins og sýnt er á mynd 6.62(b).

Á þessari mynd eru tvær myndir. Sú fyrri sýnir lárétta línu ofan á jafnhliða þríhyrningi. Hún táknar stöng á vogarási. Síðari myndin er eins og sú fyrri, en tveimur ferningum hefur verið bætt við á línuna. Þeir eru merktir msub1 og msub2. Fjarlægðin frá msub1 að vogarásnum er dsub1. Fjarlægðin frá msub2 að vogarásnum er dsub2. — **Mynd 6.62.** (a) Mjó stöng hvílir á vogarási. (b) Massar eru settir á stöngina.

Algengasta dæmið úr daglegu lífi um kerfi af þessu tagi er vegasalt á leikvelli, þar sem börn af mismunandi þyngd sitja í mismikilli fjarlægð frá miðjunni. Ef eitt barn situr á hvorum enda vegasaltar sígur þyngra barnið niður en léttara barnið lyftist upp í loftið. Ef þyngra barnið rennir sér nær miðjunni kemst vegasaltinn hins vegar í jafnvægi. Þegar þessu hugtaki er beitt á massana á stönginni sjáum við að massarnir vega hver annan upp þá og því aðeins að $m_{1} d_{1} = m_{2} d_{2} .$

Í dæminu um vegasaltið komum við kerfinu í jafnvægi með því að færa massana (börnin) miðað við vogarásinn. Við höfum hins vegar í raun áhuga á kerfum þar sem ekki er unnt að færa massana og jafnvægjum kerfið þess í stað með því að færa vogarásinn. Gerum ráð fyrir að við höfum tvo punktmassa, $m_{1}$ og $m_{2},$ sem eru á talnalínu í punktunum $x_{1}$ og $x_{2},$ hvor um sig (Mynd 6.63). Massamiðjan, $\bar{x},$ er sá punktur þar sem staðsetja þarf vogarásinn svo kerfið verði í jafnvægi.

Myndin sýnir x-ásinn. Á ásnum er punktur merktur x̄. Einnig er á ásnum punkturinn xsub1 með ferning fyrir ofan sig. Inni í ferningnum stendur msub1. Á ásnum er einnig punkturinn xsub2. Fyrir ofan þann punkt er ferningur. Inni í ferningnum stendur msub2. — **Mynd 6.63.** Massamiðjan –𝑥 $\bar{x}$ er jafnvægispunktur kerfisins.

Því fæst

\begin{matrix} m_{1} | \bar{x} - x_{1} | & = & m_{2} | x_{2} - \bar{x} | \\ m_{1} (\bar{x} - x_{1}) & = & m_{2} (x_{2} - \bar{x}) \\ m_{1} \bar{x} - m_{1} x_{1} & = & m_{2} x_{2} - m_{2} \bar{x} \\ \bar{x} (m_{1} + m_{2}) & = & m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} \\ \bar{x} & = & \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

Segðin í teljaranum, $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2},$ kallast fyrsta vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins. Ef samhengið er skýrt sleppum við oft orðinu fyrsta og köllum þessa segð einfaldlega vægi kerfisins. Segðin í nefnaranum, $m_{1} + m_{2},$ er heildarmassi kerfisins. Því er massamiðja kerfisins sá punktur þar sem unnt væri að samþjappa öllum massa kerfisins án þess að breyta væginu.

Þessi hugmynd takmarkast ekki við aðeins tvo punktmassa. Almennt séð, ef n massar, $m_{1}, m_{2},…, m_{n},$ eru staðsettir á talnalínu í punktunum $x_{1}, x_{2},…, x_{n},$ í sömu röð, þá er massamiðja kerfisins gefin með

\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} .

Við beitum þessari setningu í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.29

Ákvörðun massamiðju hluta á línu

Gerum ráð fyrir að fjórum punktmössum sé komið fyrir á talnalínu sem hér segir:

\begin{matrix} m_{1} = 30 kg, staðsettur við x_{1} = −2 m & m_{2} = 5 kg, staðsettur við x_{2} = 3 m \\ m_{3} = 10 kg, staðsettur við x_{3} = 6 m & m_{4} = 15 kg, staðsettur við x_{4} = −3 m . \end{matrix}

Finnið vægi kerfisins miðað við upphafspunktinn og finnið massamiðju kerfisins.

Lausn

Fyrst þurfum við að reikna vægi kerfisins:

\begin{matrix} M & = \sum_{i = 1}^{4} m_{i} x_{i} \\ = −60 + 15 + 60 - 45 = −30. \end{matrix}

Nú þurfum við að finna heildarmassa kerfisins til að ákvarða massamiðjuna:

\begin{matrix} m & = \sum_{i = 1}^{4} m_{i} \\ = 30 + 5 + 10 + 15 = 60 kg . \end{matrix}

Þá fæst

\bar{x} = \frac{M}{m} = \frac{−30}{60} = - \frac{1}{2} .

Massamiðjan er 1/2 m vinstra megin við upphafspunktinn.

Við getum alhæft þetta hugtak til að finna massamiðju kerfis punktmassa í sléttu. Látum $m_{1}$ vera punktmassa í punktinum $(x_{1}, y_{1})$ í sléttunni. Þá er vægið $M_{x}$ af massanum miðað við x-ásinn gefið með $M_{x} = m_{1} y_{1} .$ Á sama hátt er vægið $M_{y}$ miðað við y-ásinn gefið með $M_{y} = m_{1} x_{1} .$ Takið eftir að x-hnit punktsins er notað til að reikna vægið miðað við y-ásinn og öfugt. Ástæðan er sú að x-hnitið gefur fjarlægðina frá punktmassanum að y-ásnum og y-hnitið gefur fjarlægðina að x-ásnum (sjá eftirfarandi mynd).

Á myndinni eru x- og y-ásarnir merktir. Punktur er í fyrsta fjórðungi í (xsub1, ysub1). Punkturinn er merktur msub1. — **Mynd 6.64.** Punktmassi 𝑚1 $m_{1}$ er staðsettur í punktinum (𝑥1,𝑦1) $(x_{1}, y_{1})$ í sléttunni.

Ef við höfum nokkra punktmassa í xy-sléttunni getum við notað vægi með tilliti til x- og y-ásanna til að reikna x- og y-hnit massamiðju kerfisins.

Næsta dæmi sýnir hvernig beita má þessari setningu.

Dæmi 6.30

Að finna massamiðju hluta í sléttu

Gerum ráð fyrir að þremur punktmössum sé komið fyrir í xy-sléttunni sem hér segir (gerum ráð fyrir að hnitin séu gefin í metrum):

\begin{matrix} m_{1} = 2 kg, staðsettur í (−1, 3), \\ m_{2} = 6 kg, staðsettur í (1, 1), \\ m_{3} = 4 kg, staðsettur í (2, −2) . \end{matrix}

Finnið massamiðju kerfisins.

Lausn

Fyrst reiknum við heildarmassa kerfisins:

m = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} = 2 + 6 + 4 = 12 kg .

Næst finnum við vægin með tilliti til x- og y-ásanna:

\begin{matrix} M_{y} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} x_{i} = −2 + 6 + 8 = 12, \\ M_{x} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} y_{i} = 6 + 6 - 8 = 4. \end{matrix}

Þá fæst

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{12}{12} = 1 og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} .

Massamiðja kerfisins er (1,1/3), $(1, 1 / 3),$ í metrum.

Massamiðja þunnra platna

Hingað til höfum við skoðað kerfi punktmassa á línu og í sléttu. Nú viljum við, í stað þess að massi kerfisins sé samþjappaður í stökum punktum, skoða kerfi þar sem massinn dreifist samfellt um þunna efnisplötu. Hér gerum við ráð fyrir að platan sé svo þunn að líta megi á hana sem tvívíða. Slík efnisplata nefnist þunn plata. Næst þróum við aðferðir til að finna massamiðju þunnrar plötu. Í þessum undirkafla gerum við einnig ráð fyrir að þéttleiki þunnu plötunnar sé fastur.

Þunnum plötum er oft lýst með tvívíðu svæði í sléttu. Rúmfræðileg miðja slíks svæðis nefnist þungamiðja. Þar sem gert hefur verið ráð fyrir að þéttleiki þunnu plötunnar sé fastur ræðst massamiðja hennar eingöngu af lögun samsvarandi svæðis í sléttunni en ekki af þéttleikanum. Í þessu tilviki samsvarar massamiðja þunnu plötunnar þungamiðju afmarkaða svæðisins í sléttunni. Eins og þegar um punktmassakerfi er að ræða þarf að finna heildarmassa þunnu plötunnar og vægi hennar með tilliti til x- og y-ásanna.

Fyrst skoðum við þunna plötu í lögun rétthyrnings. Rifjum upp að massamiðja þunnrar plötu er sá punktur sem platan jafnvægist á. Fyrir rétthyrning er sá punktur miðja rétthyrningsins bæði í lárétta og lóðrétta stefnu. Af þessu má ljóst vera að massamiðja rétthyrndrar plötu er skurðpunktur hornalínanna, sem leiðir af samhverfulögmálinu, og er það sett fram hér án sönnunar.

Víkjum nú að almennari þunnum plötum. Gerum ráð fyrir að þunn plata sé afmörkuð að ofan af grafi samfellds falls $f (x),$ og að neðan af x-ásnum, en til vinstri og hægri af línunum $x = a$ og $x = b,$ í sömu röð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir grafið y=f(x). Það er í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði merkt „R“. Skyggða svæðið afmarkast til vinstri við x=a og til hægri við x=b. — **Mynd 6.65.** Svæði í sléttunni sem táknar þunna plötu.

Líkt og með kerfi punktmassa þurfum við, til að finna massamiðju þunnu plötunnar, að finna heildarmassa hennar ásamt vægi hennar um x- og y-ásana. Eins og við höfum oft gert áður, nálgum við þessar stærðir með því að skipta bilinu $[a, b]$ og mynda rétthyrninga.

Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Rifjum upp að við getum valið hvaða punkt sem er innan bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ sem $x_{i}^{*} .$ Í þessu tilviki viljum við að $x_{i}^{*}$ sé x-hnit þungamiðju rétthyrninganna. Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við því $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $x_{i}^{*}$ sé miðpunktur bilsins. Það er, $x_{i}^{*} = (x_{i - 1} + x_{i}) / 2 .$ Nú smíðum við, fyrir $i = 1, 2,…, n,$ rétthyrning með hæðina $f (x_{i}^{*})$ á $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Massamiðja þessa rétthyrnings er $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*})) / 2),$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf ferilsins sem merktur er f(x). Hann er í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggður lóðréttur rétthyrningur. Hæð rétthyrningsins er merkt f(xsubi). Einnig er xsubi = xsubi – 1 + xsubi/2. — **Mynd 6.66.** Dæmigerður rétthyrningur þunnu plötunnar.

Næst þurfum við að finna heildarmassa rétthyrningsins. Látum $ρ$ tákna þéttleika þunnu plötunnar (athugið að $ρ$ er fasti). Í þessu tilviki er $ρ$ gefið upp sem massi á flatarmálseiningu. Til að finna heildarmassa rétthyrningsins margföldum við því flatarmál hans með $ρ .$ Þá er massi rétthyrningsins gefinn með $ρ f (x_{i}^{*}) Δ x .$

Til að fá nálgun á massa plötunnar leggjum við saman massa allra rétthyrninganna og fáum

m \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ f (x_{i}^{*}) Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Með því að taka markgildið þegar $n \to \infty$ fæst nákvæmur massi þunnu plötunnar:

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ f (x_{i}^{*}) Δ x = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x .

Næst reiknum við vægi þunnu plötunnar með tilliti til x-áss. Snúum aftur að dæmigerða rétthyrningnum og rifjum upp að massamiðja hans er $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*})) / 2) .$ Munum einnig að vægið breytist ekki þótt litið sé á rétthyrninginn sem punktmassa í massamiðjunni. Vægi rétthyrningsins með tilliti til x-áss fæst því með massa rétthyrningsins, $ρ f (x_{i}^{*}) Δ x,$ margfölduðum með fjarlægðinni frá massamiðjunni að x-ásnum: $(f (x_{i}^{*})) / 2 .$ Því er vægi rétthyrningsins með tilliti til x-áss $ρ ({[f (x_{i}^{*})]}^{2} / 2) Δ x .$ Með því að leggja saman vægi rétthyrninganna og taka markgildi Riemann-summunnar sem fæst sjáum við að vægi þunnu plötunnar með tilliti til x-áss er

M_{x} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ \frac{{[f (x_{i}^{*})]}^{2}}{2} Δ x = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x .

Við leiðum á svipaðan hátt út vægið með tilliti til y-ássins og tökum fram að fjarlægðin frá massamiðju rétthyrningsins að y-ásnum er $x_{i}^{*} .$ Þá er vægi þunnu plötunnar með tilliti til y-ássins gefið með

M_{y} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .

Við finnum hnit massamiðjunnar með því að deila vægjunum með heildarmassanum og fáum $\bar{x} = M_{y} / m og \bar{y} = M_{x} / m .$ Ef við skoðum vel stæðurnar fyrir $M_{x}, M_{y}, og m,$ sjáum við að fastinn $ρ$ styttist út þegar $\bar{x}$ og $\bar{y}$ eru reiknuð.

Við tökum þessar niðurstöður saman í eftirfarandi setningu.

Setning 6.12

Massamiðja þunnrar plötu í xy-sléttunni

Látum R tákna svæði sem afmarkast að ofan af grafi samfellds falls 𝑓⁡(𝑥), $f (x),$ að neðan af x-ásnum og til vinstri og hægri af línunum 𝑥=𝑎 $x = a$ og 𝑥=𝑏, $x = b,$ í sömu röð. Látum 𝜌 $ρ$ tákna þéttleika samsvarandi þunnrar plötu. Þá getum við sett fram eftirfarandi fullyrðingar:

Massi þunnu plötunnar er

𝑚=𝜌⁢∫𝑏𝑎𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥. $m = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x .$
(6.18)
Vægin 𝑀𝑥 $M_{x}$ og 𝑀𝑦 $M_{y}$ þunnu plötunnar með tilliti til x- og y-ásanna eru, í sömu röð,

𝑀𝑥=𝜌⁢∫𝑏𝑎[𝑓⁡(𝑥)]22𝑑𝑥og𝑀𝑦=𝜌⁢∫𝑏𝑎𝑥⁢𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥. $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x og M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
(6.19)
Hnit massamiðjunnar (–𝑥,–𝑦) $(\bar{x}, \bar{y})$ eru

–𝑥=𝑀𝑦𝑚og–𝑦=𝑀𝑥𝑚. $\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} .$
(6.20)

Í næsta dæmi notum við þessa setningu til að finna massamiðju þunnrar plötu.

Dæmi 6.31

Að finna massamiðju þunnrar plötu

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins 𝑓⁡(𝑥)=√𝑥 $f (x) = \sqrt{x}$ og að neðan af x-ásnum á bilinu [0,4]. $[0, 4] .$ Finnið þungamiðju svæðisins.

Lausn

Svæðið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf ferilsins f(x)=kvaðratrót(x). Ferillinn er vaxandi í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt svæði. Það hefst við x=0 og afmarkast til hægri við x=4. — **Mynd 6.67.** Ákvörðun massamiðju þunnrar plötu.

Þar sem aðeins er beðið um þungamiðju svæðisins en hvorki massa né vægi samsvarandi þunnrar plötu, vitum við að þéttleikafastinn 𝜌 $ρ$ fellur að lokum út úr útreikningunum. Til hægðarauka skulum við því gera ráð fyrir að 𝜌=1. $ρ = 1 .$

Fyrst þurfum við að reikna heildarmassann:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x \\ = {\frac{2}{3} x^{3 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{2}{3} [8 - 0] = \frac{16}{3} . \end{matrix}

Því næst reiknum við vægin:

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \int_{0}^{4} \frac{x}{2} d x = {\frac{1}{4} x^{2} |}_{0}^{4} = 4 \end{matrix}

\begin{matrix} M_{y} & = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{4} x \sqrt{x} d x = \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{2}{5} [32 - 0] = \frac{64}{5} . \end{matrix}

Því fæst

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{64 / 5}{16 / 3} = \frac{64}{5} \cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{5} og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{4}{16 / 3} = 4 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{4} .

Þungamiðja svæðisins er (12/5,3/4). $(12 / 5, 3 / 4) .$

Við getum einnig lagað þessa aðferð að því að finna þungamiðjur flóknari svæða. Gerum ráð fyrir að svæðið afmarkist að ofan af grafi samfellds falls $f (x),$ eins og áður, en nú, í stað þess að neðri mörk svæðisins séu x-ásinn, gerum ráð fyrir að svæðið afmarkist að neðan af grafi annars samfellds falls, $g (x),$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi hnitakerfisins. Á henni eru tveir ferlar, merktir f(x) og g(x). f(x) liggur ofan við g(x). Milli ferlanna er skyggt svæði merkt „R“. Skyggða svæðið afmarkast til vinstri af x=a og til hægri af x=b. — **Mynd 6.68.** Svæði milli tveggja falla.

Aftur skiptum við bilinu $[a, b]$ og myndum rétthyrninga. Einn slíkur rétthyrningur er sýndur á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi hnitakerfisins. Á henni eru tveir ferlar, merktir f(x) og g(x). f(x) liggur ofan við g(x). Milli ferlanna er skyggður rétthyrningur. — **Mynd 6.69.** Dæmigerður rétthyrningur á svæðinu milli tveggja falla.

Athugið að þungamiðja þessa rétthyrnings er $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*}) + g (x_{i}^{*})) / 2) .$ Við förum ekki yfir öll smáatriðin í uppbyggingu Riemann-summunnar en skoðum nokkur lykilskref. Þegar formúlurnar fyrir massa þunnu plötunnar og vægið um y-ásinn eru leiddar út er hæð hvers rétthyrnings gefin með $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*}),$ sem leiðir til stæðunnar $f (x) - g (x)$ í heildisstofnunum.

Við afleiðslu formúlunnar fyrir vægið um x-ásinn fæst vægi hvers rétthyrnings með því að margfalda flatarmál rétthyrningsins, $ρ [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x,$ með fjarlægð þungamiðjunnar frá x-ásnum, $(f (x_{i}^{*}) + g (x_{i}^{*})) / 2,$ sem gefur $ρ (1 / 2) {{[f (x_{i}^{*})]}^{2} - {[g (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .$ Þegar þessar niðurstöður eru teknar saman fæst eftirfarandi setning.

Setning 6.13

Massamiðja þunnrar plötu sem afmarkast af tveimur föllum

Látum R tákna svæði sem afmarkast að ofan af grafi samfellda fallsins 𝑓⁡(𝑥), $f (x),$ að neðan af grafi samfellda fallsins 𝑔⁡(𝑥), $g (x),$ og til vinstri og hægri af línunum 𝑥=𝑎 $x = a$ og 𝑥=𝑏, $x = b,$ í sömu röð. Látum 𝜌 $ρ$ tákna þéttleika samsvarandi þunnrar plötu. Þá getum við sett fram eftirfarandi fullyrðingar:

Massi þunnu plötunnar er

𝑚=𝜌⁢∫𝑏𝑎[𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥)]𝑑𝑥. $m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .$
(6.21)
Vægin 𝑀𝑥 $M_{x}$ og 𝑀𝑦 $M_{y}$ fyrir þunnu plötuna um x- og y-ásana eru, í sömu röð,

𝑀𝑥=𝜌⁢∫𝑏𝑎12⁢([𝑓⁡(𝑥)]2−[𝑔⁡(𝑥)]2)⁢𝑑⁢𝑥og𝑀𝑦=𝜌⁢∫𝑏𝑎𝑥⁢[𝑓⁡(𝑥)−𝑔⁡(𝑥)]𝑑𝑥. $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ({[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}) d x og M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .$
(6.22)
Hnit massamiðjunnar (–𝑥,–𝑦) $(\bar{x}, \bar{y})$ eru

–𝑥=𝑀𝑦𝑚og–𝑦=𝑀𝑥𝑚. $\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} .$
(6.23)

Við skýrum þessa setningu með eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.32

Ákvörðun þungamiðju svæðis sem afmarkast af tveimur föllum

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins 𝑓⁡(𝑥)=1−𝑥2 $f (x) = 1 - x^{2}$ og að neðan af grafi fallsins 𝑔⁡(𝑥)=𝑥−1. $g (x) = x - 1 .$ Finnið þungamiðju svæðisins.

Lausn

Svæðið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf með tveimur ferlum. Þeir eru merktir f(x)=1-x^2 og g(x)=x-1. Milli ferlanna er skyggt svæði. Skyggða svæðið afmarkast til vinstri af x=a og til hægri af x=b. — **Mynd 6.70.** Ákvörðun þungamiðju svæðis milli tveggja ferla.

Gröf fallanna skerast í (−2,−3) $(−2, −3)$ og (1,0), $(1, 0),$ þannig að við heildum frá −2 til 1. Til hægðarauka gerum við enn á ný ráð fyrir að 𝜌=1. $ρ = 1 .$

Fyrst þurfum við að reikna heildarmassann:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{1} [1 - x^{2} - (x - 1)] d x = \int_{−2}^{1} (2 - x^{2} - x) d x \\ = {[2 x - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}] |}_{−2}^{1} = [2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}] - [−4 + \frac{8}{3} - 2] = \frac{9}{2} . \end{matrix}

Næst reiknum við vægin:

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ({[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{−2}^{1} ({(1 - x^{2})}^{2} - {(x - 1)}^{2}) d x = \frac{1}{2} \int_{−2}^{1} (x^{4} - 3 x^{2} + 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2}] |}_{−2}^{1} = - \frac{27}{10} \end{matrix}

\begin{matrix} M_{y} & = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{1} x [(1 - x^{2}) - (x - 1)] d x = \int_{−2}^{1} x [2 - x^{2} - x] d x \\ = \int_{−2}^{1} (2 x - x^{3} - x^{2}) d x \\ = {[x^{2} - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{1} = - \frac{9}{4} . \end{matrix}

Því fæst

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{9} = - \frac{1}{2} og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = - \frac{27}{10} \cdot \frac{2}{9} = - \frac{3}{5} .

Þungamiðja svæðisins er (−(1/2),−(3/5)). $(− (1 / 2), − (3 / 5)) .$

Samhverfulögmálið

Við settum samhverfulögmálið fram fyrr, þegar við skoðuðum þungamiðju rétthyrnings. Samhverfulögmálið getur komið að miklu gagni við að finna þungamiðjur samhverfra svæða. Skoðum eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.33

Ákvörðun þungamiðju samhverfs svæðis

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins 𝑓⁡(𝑥)=4−𝑥2 $f (x) = 4 - x^{2}$ og að neðan af x-ásnum. Finnið þungamiðju svæðisins.

Lausn

Svæðið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf fallsins f(x)=4-x^2. Það er fleygbogi sem opnast niður. Svæðið undir fleygboganum og ofan x-ássins er skyggt. Ferillinn sker x-ásinn í x=-2 og x=2. — **Mynd 6.71.** Við getum notað samhverfulögmálið til að finna þungamiðju samhverfs svæðis.

Svæðið er samhverft um y-ásinn. Því er x-hnit þungamiðjunnar núll. Við þurfum aðeins að reikna –𝑦. $\bar{y} .$ Enn á ný skulum við til hægðarauka gera ráð fyrir að 𝜌=1. $ρ = 1 .$

Fyrst reiknum við heildarmassann:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = \int_{−2}^{2} (4 - x^{2}) d x \\ = {[4 x - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{2} = \frac{32}{3} . \end{matrix}

Næst reiknum við vægin. Við þurfum aðeins að reikna 𝑀𝑥: $M_{x} :$

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} {[4 - x^{2}]}^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} (16 - 8 x^{2} + x^{4}) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{8 x^{3}}{3} + 16 x] |}_{−2}^{2} = \frac{256}{15} . \end{matrix}

Þá fæst

\bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3}{32} = \frac{8}{5} .

Þungamiðja svæðisins er (0,8/5). $(0, 8 / 5) .$

Nemendaverkefni

Útsýnispallurinn Grand Canyon Skywalk

Grand Canyon Skywalk-útsýnispallurinn var opnaður almenningi 28. mars 2007. Þetta verkfræðilega afrek er skeifulaga útsýnispallur sem svífur 4000 fet yfir Colorado-ánni við vesturbrún Miklagljúfurs. Kristaltært glergólfið veitir stórkostlegt útsýni yfir gljúfrið fyrir neðan (sjá eftirfarandi mynd).

Mynd 6.72. Útsýnispallurinn Grand Canyon Skywalk býður upp á stórbrotið útsýni yfir gljúfrið. (mynd: 10da_ralta, Wikimedia Commons)

Skywalk er hannaður sem útkragandi mannvirki, sem þýðir að útsýnispallurinn skagar út yfir gljúfurbrúnina án sjáanlegra burðarvirkja undir honum. Þótt hvorki stoðstólpar né skástífur séu sýnileg eru útkragandi mannvirki hönnuð þannig að þau séu mjög stöðug og Skywalk er þar engin undantekning. Útsýnispallurinn er tryggilega festur við stoðstólpa sem ná 46 fet niður í berggrunninn. Mannvirkið var byggt til að þola vindhraða upp á 100 mílur á klukkustund og jarðskjálfta af stærðinni 8.0 í innan við 50 mílna fjarlægð og getur borið meira en 70,000,000 pund.

Einn þeirra þátta sem hafa áhrif á stöðugleika Skywalk-mannvirkisins er þyngdarmiðja þess. Við ætlum að reikna út þyngdarmiðju Skywalk-mannvirkisins og kanna hvernig hún breytist þegar ferðamenn ganga út á útsýnispallinn.

Útsýnispallurinn er U-laga. Armar U-lögunarinnar eru 10 fet breiðir og hefjast á landi, undir gestamiðstöðinni, 48 fet frá gljúfurbrúninni. Pallurinn nær 70 fet út yfir gljúfurbrúnina.

Til að reikna massamiðju mannvirkisins lítum við á það sem þunna plötu og látum tvívítt svæði í xy-sléttunni tákna pallinn. Við byrjum á að skipta svæðinu í þrjú hlutsvæði svo unnt sé að skoða hvert þeirra fyrir sig. Fyrsta svæðið, táknað með 𝑅1, $R_{1},$ samanstendur af sveigða hluta U-lögunarinnar. Við líkjum 𝑅1 $R_{1}$ við hálfhringlaga hringkraga með innri geisla 25 fet og ytri geisla 35 fet og miðju í upphafspunkti (sjá eftirfarandi mynd).

Mynd 6.73. Við gerum líkan af Skywalk með þremur hlutsvæðum.

Fætur pallsins, sem ná 35 fet milli 𝑅1 $R_{1}$ og gljúfurveggjarins, mynda annað hlutsvæðið, 𝑅2. $R_{2} .$ Að lokum mynda endar fótanna, sem ná 48 fet inn undir gestamiðstöðina, þriðja hlutsvæðið, 𝑅3. $R_{3} .$ Gerum ráð fyrir að þéttleiki þunnu plötunnar sé fastur og að heildarþyngd pallsins sé 1,200,000 pund (án þyngdar gestamiðstöðvarinnar; við tökum hana með síðar). Notið 𝑔=32fet/sek.2. $g = 32 {fet/sek.}^{2} .$

Reiknið flatarmál hvers hinna þriggja hlutsvæða. Athugið að flatarmál svæðanna 𝑅2 $R_{2}$ og 𝑅3 $R_{3}$ eiga aðeins að ná yfir flatarmál armanna en ekki auða svæðið á milli þeirra. Námundið svörin að næsta heila ferfeti.
Ákvarðið massann sem tilheyrir hverju hlutsvæðanna þriggja.
Reiknið massamiðju hvers hinna þriggja hlutsvæða.
Lítið nú á hvert hlutsvæðanna þriggja sem punktmassa í massamiðju viðkomandi hlutsvæðis. Reiknið massamiðju alls pallsins með þessari framsetningu.
Gerið ráð fyrir að gestamiðstöðin vegi 2,200,000 pund og að massamiðja hennar samsvari massamiðju 𝑅3. $R_{3} .$ Lítið á gestamiðstöðina sem punktmassa og reiknið massamiðju kerfisins aftur. Hvernig breytist massamiðjan?
Þótt Skywalk-pallurinn hafi verið byggður með það að markmiði að takmarka fjölda fólks á útsýnispallinum við 120 getur pallurinn borið allt að 800 manns sem vega 200 pund hver. Ef öllum 800 væri hleypt út á pallinn og þeir færu allir út á ysta enda hans, hvaða áhrif hefði það á þyngdarmiðju kerfisins? (Takið gestamiðstöðina með í útreikningana og táknið fólkið með punktmassa á ystu brún pallsins, 70 fet frá gljúfurveggnum.)

Setning Pappusar

Þessum undirkafla lýkur með umfjöllun um setningu Pappusar um rúmmál, sem gerir okkur kleift að finna rúmmál tiltekinna gerða rúmhluta með því að nota þungamiðjuna. (Einnig er til setning Pappusar um yfirborðsflatarmál, en hún er mun síður gagnleg en setningin um rúmmál.)

Sönnun

Við getum sannað tilvikið þegar svæðið afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x)$ og að neðan af grafi fallsins $g (x)$ á bilinu $[a, b],$ og snúningsásinn er y-ásinn. Í þessu tilviki er flatarmál svæðisins $A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .$ Þar sem snúningsásinn er y-ásinn ræðst vegalengdin sem þungamiðja svæðisins fer aðeins af x-hniti þungamiðjunnar, $\bar{x},$ sem er

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m},

þar sem

m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x og M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Þá fæst

d = 2 π \frac{ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x}{ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x}

og því

d \cdot A = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Hins vegar fáum við með hylkjaaðferðinni

V = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Því fæst

V = d \cdot A

og sönnuninni er lokið.

□

Dæmi 6.34

Notkun setningar Pappusar um rúmmál

Látum R vera hring með geisla 2 og miðju í (4,0). $(4, 0) .$ Notið setningu Pappusar um rúmmál til að finna rúmmál hringsnúðsins sem myndast þegar R er snúið um y-ásinn.

Lausn

Svæðið og hringsnúðurinn eru sýnd á eftirfarandi mynd.

Á þessari mynd eru tvö gröf. Fyrra grafið sýnir xy-hnitakerfið með hring sem hefur miðju á x-ásnum í x=4. Geislinn er 2. Síðara grafið sýnir xy-hnitakerfið. Hringnum á fyrri myndinni hefur verið snúið um y-ásinn og þannig myndaður hringsnúður. — **Mynd 6.74.** Ákvörðun rúmmáls hringsnúðs með setningu Pappusar. (a) Hringlaga svæði R í sléttunni; (b) hringsnúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y-ásinn.

Svæðið R er hringur með geisla 2, svo flatarmál R er 𝐴=4⁢𝜋 $A = 4 π$ einingar². Samkvæmt samhverfulögmálinu er þungamiðja R miðja hringsins. Þungamiðjan fer umhverfis y-ásinn eftir hringferli með geisla 4 og fer því vegalengdina 𝑑=8⁢𝜋 $d = 8 π$ einingar. Rúmmál hringsnúðsins er þá 𝐴·𝑑=32⁢𝜋2 $A \cdot d = 32 π^{2}$ einingar³.

Æfingar úr undirkafla 6.6

Reiknið massamiðju gefins massasafns í eftirfarandi æfingum.

254.

𝑚1=2 $m_{1} = 2$ við 𝑥1=1 $x_{1} = 1$ og 𝑚2=4 $m_{2} = 4$ við 𝑥2=2 $x_{2} = 2$

255.

𝑚1=1 $m_{1} = 1$ við 𝑥1=−1 $x_{1} = −1$ og 𝑚2=3 $m_{2} = 3$ við 𝑥2=2 $x_{2} = 2$

256.

𝑚=3 $m = 3$ við 𝑥=0,1,2,6 $x = 0, 1, 2, 6$

257.

Einingarmassar við (𝑥,𝑦)=(1,0),(0,1),(1,1) $(x, y) = (1, 0), (0, 1), (1, 1)$

258.

𝑚1=1 $m_{1} = 1$ við (1,0) $(1, 0)$ og 𝑚2=4 $m_{2} = 4$ við (0,1) $(0, 1)$

259.

𝑚1=1 $m_{1} = 1$ í (1,0) $(1, 0)$ og 𝑚2=3 $m_{2} = 3$ í (2,2) $(2, 2)$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna massamiðjuna $\bar{x} .$

260.

𝜌=1 $ρ = 1$ fyrir 𝑥∈(−1,3) $x \in (−1, 3)$

261.

𝜌=𝑥2 $ρ = x^{2}$ fyrir 𝑥∈(0,𝐿) $x \in (0, L)$

262.

𝜌=1 $ρ = 1$ fyrir 𝑥∈(0,1) $x \in (0, 1)$ og 𝜌=2 $ρ = 2$ fyrir 𝑥∈(1,2) $x \in (1, 2)$

263.

𝜌=sin⁡𝑥 $ρ = sin x$ fyrir 𝑥∈(0,𝜋) $x \in (0, π)$

264.

𝜌=cos⁡𝑥 $ρ = cos x$ fyrir 𝑥∈(0,𝜋2) $x \in (0, \frac{π}{2})$

265.

𝜌=𝑒𝑥 $ρ = e^{x}$ fyrir 𝑥∈(0,2) $x \in (0, 2)$

266.

𝜌=𝑥3+𝑥⁢𝑒−𝑥 $ρ = x^{3} + x e^{− x}$ fyrir 𝑥∈(0,1) $x \in (0, 1)$

267.

𝜌=𝑥⁢sin⁡𝑥 $ρ = x sin x$ fyrir 𝑥∈(0,𝜋) $x \in (0, π)$

268.

𝜌=√𝑥 $ρ = \sqrt{x}$ fyrir 𝑥∈(1,4) $x \in (1, 4)$

269.

𝜌=ln⁡𝑥 $ρ = ln x$ fyrir 𝑥∈(1,𝑒) $x \in (1, e)$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna massamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y}) .$ Notið samhverfu til að ákvarða staðsetningu massamiðjunnar þegar þess er kostur.

270.

𝜌=7 $ρ = 7$ í ferningnum 0≤𝑥≤1, $0 \leq x \leq 1,$ 0≤𝑦≤1 $0 \leq y \leq 1$

271.

𝜌=3 $ρ = 3$ í þríhyrningnum með hornpunkta (0,0), $(0, 0),$ (𝑎,0), $(a, 0),$ og (0,𝑏) $(0, b)$

272.

𝜌=2 $ρ = 2$ fyrir svæðið sem afmarkast af 𝑦=cos⁡(𝑥), $y = cos (x),$ 𝑦=−cos⁡(𝑥), $y = − cos (x),$ 𝑥=−𝜋2, $x = - \frac{π}{2},$ og 𝑥=𝜋2 $x = \frac{π}{2}$

Í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél til að teikna svæðið og reikna síðan massamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y}) .$ Notið samhverfu til að auðvelda staðsetningu massamiðjunnar þegar þess er kostur.

273.

[T] Svæðið sem afmarkast af 𝑦=cos⁡(2⁢𝑥), $y = cos (2 x),$ 𝑥=−𝜋4, $x = - \frac{π}{4},$ og 𝑥=𝜋4 $x = \frac{π}{4}$

274.

[T] Svæðið á milli 𝑦=2⁢𝑥2, $y = 2 x^{2},$ 𝑦=0, $y = 0,$ 𝑥=0, $x = 0,$ og 𝑥=1 $x = 1$

275.

[T] Svæðið milli 𝑦=54⁢𝑥2 $y = \frac{5}{4} x^{2}$ og 𝑦=5 $y = 5$

276.

[T] Svæðið milli 𝑦=√𝑥, $y = \sqrt{x},$ 𝑦=ln⁡(𝑥), $y = ln (x),$ 𝑥=1, $x = 1,$ og 𝑥=4 $x = 4$

277.

[T] Svæðið sem afmarkast af 𝑦=0, $y = 0,$ 𝑥24+𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

278.

[T] Svæðið sem afmarkast af 𝑦=0, $y = 0,$ 𝑥=0, $x = 0,$ og 𝑥24+𝑦29=1 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

279.

[T] Svæðið sem afmarkast af 𝑦=𝑥2 $y = x^{2}$ og 𝑦=𝑥4 $y = x^{4}$ í fyrsta fjórðungi

Í eftirfarandi æfingum skal nota setningu Pappusar til að ákvarða rúmmál hlutarins.

280.

Snúningur 𝑦=𝑚⁢𝑥 $y = m x$ um 𝑥 $x$ -ásinn milli 𝑥=0 $x = 0$ og 𝑥=1 $x = 1$

281.

Með því að snúa 𝑦=𝑚⁢𝑥 $y = m x$ um 𝑦 $y$ -ásinn milli 𝑥=0 $x = 0$ og 𝑥=1 $x = 1$

282.

Almenn keila sem myndast við að snúa þríhyrningi með hornpunkta (0,0), $(0, 0),$ (𝑎,0), $(a, 0),$ og (0,𝑏) $(0, b)$ um 𝑦 $y$ -ásinn. Samræmist svarið rúmmáli keilu?

283.

Almennur sívalningur sem myndast með því að snúa rétthyrningi með hornpunkta (0,0), $(0, 0),$ (𝑎,0),(0,𝑏), $(a, 0), (0, b),$ og (𝑎,𝑏) $(a, b)$ um 𝑦 $y$ -ásinn. Er svarið í samræmi við rúmmál sívalnings?

284.

Kúla sem myndast þegar hálfhring með geisla 𝑎 $a$ er snúið um 𝑦 $y$ -ásinn. Samræmist svarið rúmmáli kúlu?

Í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél til að teikna svæðið sem ferillinn afmarkar. Finnið flatarmálið $M$ og þungamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y})$ fyrir gefin form. Notið samhverfu til að auðvelda staðsetningu massamiðjunnar þegar þess er kostur.

285.

[T] Fjórðungshringur: 𝑦=√1−𝑥2, $y = \sqrt{1 - x^{2}},$ 𝑦=0, $y = 0,$ og 𝑥=0 $x = 0$

286.

[T] Þríhyrningur: 𝑦=𝑥, $y = x,$ 𝑦=2−𝑥, $y = 2 - x,$ og 𝑦=0 $y = 0$

287.

[T] Linsa: 𝑦=𝑥2 $y = x^{2}$ og 𝑦=𝑥 $y = x$

288.

[T] Hringkragi: 𝑦2+𝑥2=1 $y^{2} + x^{2} = 1$ og 𝑦2+𝑥2=4 $y^{2} + x^{2} = 4$

289.

[T] Hálfur hringkragi: 𝑦2+𝑥2=1, $y^{2} + x^{2} = 1,$ 𝑦2+𝑥2=4, $y^{2} + x^{2} = 4,$ og 𝑦=0 $y = 0$

290.

Finnið almennu massamiðjuna í ræmunni milli 𝑦=𝑥𝑎 $y = x^{a}$ og 𝑦=𝑥𝑏 $y = x^{b}$ þar sem 𝑎>𝑏. $a > b .$ Notið síðan setningu Pappusar til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu er snúið um y-ásinn.

291.

Finnið almennu massamiðjuna á milli 𝑦=𝑎2−𝑥2, $y = a^{2} - x^{2},$ 𝑥=0, $x = 0,$ og 𝑦=0. $y = 0 .$ Notið síðan setningu Pappusar til að finna rúmmál þess hlutar sem myndast við snúning um y-ásinn.

292.

Finnið almennu massamiðjuna milli 𝑦=𝑏⁢sin⁡(𝑎⁢𝑥), $y = b sin (a x),$ 𝑥=0, $x = 0,$ og 𝑥=𝜋𝑎. $x = \frac{π}{a} .$ Notið síðan setningu Pappusar til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu er snúið um y-ásinn.

293.

Notið setningu Pappusar til að finna rúmmál hringsnúðsins (sem sýndur er hér). Gerið ráð fyrir að hringskífa með geisla 𝑎 $a$ sé staðsett þannig að vinstri endi hringsins sé í 𝑥=𝑏, $x = b,$ 𝑏>0, $b > 0,$ og henni sé snúið um y-ásinn.

Þessi mynd sýnir hringsnúð. Innri geisli hans er b. Þversnið inni í hringsnúðnum er hringur með geisla a.

294.

Finnið massamiðjuna (–𝑥,–𝑦) $(\bar{x}, \bar{y})$ fyrir þunnan vír sem liggur eftir hálfhringnum 𝑦=√1−𝑥2 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ með einingarmassa. (Ábending: Notið setningu Pappusar.)