66 Notkun heildunar

6.8 Veldisvöxtur og veldishnignun

Námsmarkmið

6.8.1 Notið veldisvaxtarlíkanið í hagnýtum verkefnum, meðal annars um fólksfjölgun og vaxtavexti.
6.8.2 Útskýrið hugtakið tvöföldunartími.
6.8.3 Beitið veldishnignunarlíkani í hagnýtum verkefnum, meðal annars um geislavirka hrörnun og kólnunarlögmál Newtons.
6.8.4 Útskýrið hugtakið helmingunartími.

Ein algengasta notkun vísisfalla er í líkönum af vexti og hnignun. Veldisvöxtur og veldishnignun koma fyrir í fjölmörgum hagnýtum viðfangsefnum í náttúrunni. Vísisföll eru alls staðar í náttúrunni, allt frá fólksfjölgun og samfelldum vaxtavöxtum til geislavirkrar hrörnunar og kólnunarlögmáls Newtons. Í þessum undirkafla skoðum við veldisvöxt og veldishnignun í samhengi við nokkur þessara viðfangsefna.

Veldisvaxtarlíkan

Mörg kerfi sýna veldisvöxt. Þessi kerfi fylgja líkani af gerðinni $y = y_{0} e^{k t},$ þar sem $y_{0}$ táknar upphafsástand kerfisins og $k$ er jákvæður fasti sem nefnist vaxtarfasti. Takið eftir að í veldisvaxtarlíkani gildir

y^{'} = k y_{0} e^{k t} = k y .

(6.27)

Það er að segja, vaxtarhraðinn er í réttu hlutfalli við núverandi gildi fallsins. Þetta er lykileinkenni veldisvaxtar. Jafna 6.27 felur í sér afleiður og nefnist deildajafna. Nánar er fjallað um deildajöfnur í Inngangi að deildajöfnum.

Vöxtur stofns er algengt dæmi um veldisvöxt. Lítum til dæmis á bakteríustofn. Eðlilegt virðist að vaxtarhraði stofnsins sé í réttu hlutfalli við stærð hans. Því fleiri bakteríur sem geta fjölgað sér, því hraðar vex stofninn. Mynd 6.79 og tafla 6.1 sýna vöxt bakteríustofns sem í upphafi telur $200$ bakteríur og hefur vaxtarfastann $0.02 .$ Takið eftir að eftir aðeins $2$ klukkustundir $(120$ mínútur) er stofninn orðinn $10$ sinnum stærri en í upphafi!

Myndin sýnir graf vísisfallsins y=200e^0.02t. Ferillinn liggur í fyrsta fjórðungi og er vaxandi. Hann hefst á y-ásnum. — **Mynd 6.79.** Dæmi um veldisvöxt baktería.

Tími (mín.)	Stofnstærð (fjöldi baktería)
1 0 10	2 4 4 244
2 0 20	2 9 8 298
3 0 30	3 6 4 364
4 0 40	4 4 5 445
5 0 50	5 4 4 544
6 0 60	6 6 4 664
7 0 70	8 1 1 811
8 0 80	9 9 1 991
9 0 90	1 2 1 0 1210
1 0 0 100	1 4 7 8 1478
1 1 0 110	1 8 0 5 1805
1 2 0 120	2 2 0 5 2205

Athugið að hér notum við samfellt fall til að líkja eftir hegðun sem er í eðli sínu strjál. Á hverjum tíma er fjöldi baktería í raunverulegum stofni heil tala, þótt líkanið taki einnig gildi sem eru ekki heiltölur. Þegar veldisvaxtarlíkön eru notuð verðum við ávallt að gæta þess að túlka fallgildin í samhengi við það fyrirbæri sem líkt er eftir.

Dæmi 6.42

Vöxtur stofns

Skoðum bakteríustofninn sem lýst var hér á undan. Stofninn vex samkvæmt fallinu 𝑓⁡(𝑡)=200⁢𝑒0.02⁢𝑡, $f (t) = 200 e^{0.02 t},$ þar sem t er mælt í mínútum. Hve margar bakteríur eru í stofninum eftir 5 $5$ klukkustundir (300 $(300$ mínútur)? Hvenær nær stofninn 100,000 $100,000$ bakteríum?

Lausn

Við höfum 𝑓⁡(𝑡)=200⁢𝑒0.02⁢𝑡. $f (t) = 200 e^{0.02 t} .$ Þá

f (300) = 200 e^{0.02 (300)} \approx 80,686 .

Það eru 80,686 $80,686$ bakteríur í stofninum eftir 5 $5$ klukkustundir.

Til að finna hvenær stofninn nær 100,000 $100,000$ bakteríum leysum við jöfnuna

\begin{matrix} 100,000 & = & 200 e^{0.02 t} \\ 500 & = & e^{0.02 t} \\ ln 500 & = & 0.02 t \\ t & = & \frac{ln 500}{0.02} \approx 310.73. \end{matrix}

Bakteríustofninn nær 100,000 $100,000$ bakteríum eftir 310.73 $310.73$ mínútur.

Beinum nú sjónum okkar að notkunardæmi úr fjármálum: vaxtavöxtum. Vextir sem ekki leggjast við höfuðstólinn kallast einfaldir vextir. Einfaldir vextir eru greiddir einu sinni, í lok tilgreinds tímabils (venjulega $1$ ár). Ef við leggjum því $$ 1000$ inn á sparnaðarreikning sem ber $2 %$ einfalda vexti á ári, eigum við eftirfarandi upphæð í lok ársins

1000 (1 + 0.02) = 1020

Vaxtavextir eru lagðir við höfuðstólinn nokkrum sinnum á ári, eftir lengd vaxtatímabilsins. Ef bankinn leggur vextina við höfuðstólinn á $6$ mánaða fresti færir hann því helming ársvaxtanna inn á reikninginn eftir $6$ mánuði. Seinni hluta ársins fást vextir ekki aðeins af upphaflegu $$ 1000,$ heldur einnig af vöxtunum sem fengust á fyrri hluta ársins. Með stærðfræðilegri framsetningu fæst því eftirfarandi í lok ársins:

1000 {(1 + \frac{0.02}{2})}^{2} = $ 1020.10 .

Á sama hátt, ef vextirnir eru lagðir við höfuðstólinn á $4$ mánaða fresti, fæst

1000 {(1 + \frac{0.02}{3})}^{3} = $ 1020.13,

og ef vextirnir eru lagðir við höfuðstól daglega $(365$ sinnum á ári) fæst $$ 1020.20 .$ Ef við útvíkkum þetta hugtak þannig að vextirnir séu lagðir samfellt við höfuðstólinn, fæst eftir $t$ ár

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} .

Umritum nú þessa stæðu þannig að við fáum vísisfall sem lýsir vexti. Rifjum upp að töluna $e$ má setja fram sem markgildi:

e = lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m} .

Á grundvelli þessa viljum við að stæðan innan sviganna sé á forminu $(1 + 1 / m) .$ Látum $n = 0.02 m .$ Athugum að þegar $n \to \infty,$ $m \to \infty$ einnig. Þá fáum við

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} = 1000 lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{0.02 m})}^{0.02 m t} = 1000 {[lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{0.02 t} .

Við þekkjum markgildið innan hornklofanna sem töluna $e .$ Því er innstæða bankareikningsins eftir $t$ ár gefin með $1000 e^{0.02 t} .$ Með því að alhæfa þetta hugtak sjáum við að ef bankareikningur með upphafsinnstæðu að fjárhæð $$ P$ ber vexti með vaxtastiginu $r %,$ með samfelldum vaxtavöxtum, þá er innstæða reikningsins eftir $t$ ár

Innistæða = P e^{r t} .

Dæmi 6.43

Vaxtavextir

25 ára námsmanni býðst tækifæri til að leggja peninga inn á lífeyrisreikning sem ber 5% $5 %$ ársvexti með samfelldum vaxtavöxtum. Hversu mikið þarf námsmaðurinn að leggja inn í dag til að eiga $⁢1 $$ 1$ milljón þegar hún verður 65? $65 ?$ Hvað ef hún gæti í staðinn fengið 6% $6 %$ ársvexti með samfelldum vaxtavöxtum?

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.05 (40)} \\ P & = & 135,335.28. \end{matrix}

Hún verður að fjárfesta $⁢135,335.28 $$ 135,335.28$ á 5% $5 %$ vöxtum.

Ef hún getur þess í stað fengið 6%, $6 %,$ verður jafnan

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.06 (40)} \\ P & = & 90,717.95. \end{matrix}

Í þessu tilviki þarf hún aðeins að fjárfesta $⁢90,717.95. $$ 90,717.95 .$ Þetta er um það bil tveir þriðju hlutar þeirrar upphæðar sem hún þarf að fjárfesta við 5%. $5 % .$ Sú staðreynd að vextirnir eru reiknaðir samfellt magnar verulega áhrif 1% $1 %$ hækkunar á vaxtastiginu.

Ef stærð vex með veldisvexti er tíminn sem það tekur hana að tvöfaldast fastur. Með öðrum orðum tekur það bakteríustofn jafnlangan tíma að vaxa úr $100$ í $200$ bakteríur og að vaxa úr $10,000$ í $20,000$ bakteríur. Þessi tími kallast tvöföldunartími. Til að reikna tvöföldunartímann viljum við vita hvenær stærðin nær tvöföldu upphafsgildi sínu. Því fæst

\begin{matrix} 2 y_{0} & = & y_{0} e^{k t} \\ 2 & = & e^{k t} \\ ln 2 & = & k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Dæmi 6.44

Notkun tvöföldunartíma

Gerum ráð fyrir að fiskistofn vaxi með veldisvexti. Í upphafi er 500 $500$ fiskum sleppt í tjörn. Eftir 6 $6$ mánuði eru 1000 $1000$ fiskar í tjörninni. Eigandinn mun leyfa vinum sínum og nágrönnum að veiða í tjörninni eftir að fiskistofninn hefur náð stærðinni 10,000. $10,000 .$ Hvenær fá vinir eigandans að veiða?

Lausn

Við vitum að það tekur fiskistofninn 6 $6$ mánuði að tvöfaldast. Ef t táknar tíma í mánuðum fæst samkvæmt tvöföldunartímaformúlunni að 6=(ln⁡2)/𝑘. $6 = (ln 2) / k .$ Þá er 𝑘=(ln⁡2)/6. $k = (ln 2) / 6 .$ Því er stofnstærðin gefin með 𝑦=500⁢𝑒((ln⁡2)/6)⁢𝑡. $y = 500 e^{((ln 2) / 6) t} .$ Til að finna hvenær stofninn nær 10,000 $10,000$ fiskum verðum við að leysa eftirfarandi jöfnu:

\begin{matrix} 10,000 & = & 500 e^{(ln 2 / 6) t} \\ 20 & = & e^{(ln 2 / 6) t} \\ ln 20 & = & (\frac{ln 2}{6}) t \\ t & = & \frac{6 (ln 20)}{ln 2} \approx 25.93. \end{matrix}

Vinir eigandans þurfa að bíða 25.93 $25.93$ mánuði (örlítið meira en 2 $2$ ár) áður en þeir geta veitt í tjörninni.

Veldishnignunarlíkan

Vísisföll má einnig nota til að lýsa stofnum sem minnka (til dæmis vegna sjúkdóma) eða efnasamböndum sem brotna niður með tímanum. Við segjum að slík kerfi sýni veldishnignun fremur en veldisvöxt. Líkanið er nánast hið sama, að öðru leyti en því að neikvætt formerki er í veldisvísinum. Því gildir fyrir einhvern jákvæðan fasta $k,$ að $y = y_{0} e^{− k t} .$

Líkt og við veldisvöxt er til deildajafna sem lýsir veldishnignun. Við höfum

y^{'} = − k y_{0} e^{− k t} = − k y .

Eftirfarandi mynd sýnir graf dæmigerðs vísisfalls sem lýsir stærð sem hnignar með veldisfalli.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi hnitakerfisins. Grafið er minnkandi vísisferill. Það hefst á y-ásnum í 2000 og lækkar í átt að t-ásnum. — **Mynd 6.80.** Dæmi um vísisminnkun.

Skoðum hagnýtt dæmi um veldishnignun úr eðlisfræði. Kólnunarlögmál Newtons segir að hlutur kólni með hraða sem er í réttu hlutfalli við mismuninn á hitastigi hlutarins og hitastigi umhverfisins. Með öðrum orðum, ef $T$ táknar hitastig hlutarins og $T_{a}$ táknar umhverfishitastigið í herbergi, þá

T^{'} = − k (T - T_{a}) .

Athugið að þetta er ekki alveg rétta líkanið fyrir veldishnignun. Við viljum að afleiðan sé í réttu hlutfalli við fallið, en í þessari stæðu kemur liðurinn $T_{a}$ einnig fyrir. Sem betur fer getum við gert breytuskipti sem leysa þetta vandamál. Látum $y (t) = T (t) - T_{a} .$ Þá gildir $y^{'} (t) = T^{'} (t) - 0 = T^{'} (t),$ og jafnan verður þá

y^{'} = − k y .

Af fyrri athugunum okkar vitum við að þetta samband milli y og afleiðu þess lýsir veldishnignun. Þannig,

y = y_{0} e^{− k t},

og við sjáum að

\begin{matrix} T - T_{a} & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} \\ T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \end{matrix}

þar sem $T_{0}$ táknar upphafshitastigið. Notum þessa formúlu í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.45

Kólnunarlögmál Newtons

Að sögn reyndra kaffibarþjóna er kjörhiti kaffis við framreiðslu á bilinu 155°F $155 ° F$ og 175°F. $175 ° F .$ Gerum ráð fyrir að kaffi sé hellt upp á við hitastigið 200°F, $200 ° F,$ og að eftir 2 $2$ mínútur í 70°F $70 ° F$ heitu herbergi hafi það kólnað niður í 180°F. $180 ° F .$ Hvenær er kaffið fyrst orðið nægilega svalt til framreiðslu? Hvenær er kaffið orðið of kalt til framreiðslu? Námundið svörin að næstu hálfu mínútu.

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \\ 180 & = & (200 - 70) e^{− k (2)} + 70 \\ 110 & = & 130 e^{−2 k} \\ \frac{11}{13} & = & e^{−2 k} \\ ln \frac{11}{13} & = & −2 k \\ ln 11 - ln 13 & = & −2 k \\ k & = & \frac{ln 13 - ln 11}{2} . \end{matrix}

Þá er líkanið

T = 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 .

Kaffið nær 175°F $175 ° F$ þegar

\begin{matrix} 175 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 105 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{21}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln \frac{21}{26} & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ ln 21 - ln 26 & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ t & = & \frac{2 (ln 21 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 2.56. \end{matrix}

Hægt er að bera kaffið fram um 2.5 $2.5$ mínútum eftir að því er hellt í bollann. Kaffið nær 155°F $155 ° F$ við

\begin{matrix} 155 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 85 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{17}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln 17 - ln 26 & = & (\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t \\ t & = & \frac{2 (ln 17 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 5.09. \end{matrix}

Kaffið er orðið of kalt til að bera það fram um 5 $5$ mínútum eftir að því er hellt upp á.

Rétt eins og kerfi sem sýna veldisvöxt hafa fastan tvöföldunartíma hafa kerfi sem sýna veldishnignun fastan helmingunartíma. Til að reikna helmingunartímann viljum við vita hvenær stærðin hefur minnkað niður í helming upphafsstærðar sinnar. Því fæst

\begin{matrix} \frac{y_{0}}{2} & = & y_{0} e^{− k t} \\ \frac{1}{2} & = & e^{− k t} \\ - ln 2 & = & − k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Athugið: Þetta er sama stæðan og við fengum fyrir tvöföldunartímann.

Dæmi 6.46

Aldursgreining með geislakoli

Ein algengasta notkun veldishnignunarlíkans er geislakolsgreining. Carbon-14 $Kolefni- 14$ hrörnar (gefur frá sér geislavirka ögn) með reglulegum og föstum veldishnignunarhraða. Ef við vitum hve mikið kolefni var upphaflega í hlut og hve mikið er eftir getum við því ákvarðað aldur hlutarins. Helmingunartími efnisins carbon-14 $kolefni- 14$ er um það bil 5730 $5730$ ár—sem merkir að eftir svo mörg ár hefur helmingur efnisins umbreyst úr upphafsefninu carbon-14 $kolefni- 14$ í ógeislavirka efnið nitrogen-14. $köfnunarefni- 14 .$ Ef í dag eru til 100 $100$ g carbon-14 $kolefni- 14$ , hve mikið verður eftir að 50 $50$ ár? Hve gamall er forngripur sem innihélt upphaflega 100 $100$ g af kolefni en inniheldur nú 10 $10$ g af kolefni? Námundið svarið að næsta hundraði ára.

Lausn

Við höfum

\begin{matrix} 5730 & = & \frac{ln 2}{k} \\ k & = & \frac{ln 2}{5730} . \end{matrix}

Líkanið segir því

y = 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} .

Eftir 50 $50$ ár höfum við

\begin{matrix} y & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) (50)} \\ \approx & 99.40 . \end{matrix}

Því verða, eftir að 50 $50$ ár eru liðin, 99.40 $99.40$ g af carbon-14 $kolefni- 14$ eftir.

Til að ákvarða aldur forngripsins verðum við að leysa

\begin{matrix} 10 & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ \frac{1}{10} & = & e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ t & \approx & 19035. \end{matrix}

Forngripurinn er um 19,000 $19,000$ ára gamall.

Æfingar úr kafla 6.8

Satt eða ósatt? Ef fullyrðingin er sönn, sannið hana. Ef hún er ósönn, finnið rétta svarið.

348.

Tvöföldunartíminn fyrir 𝑦=𝑒𝑐⁢𝑡 $y = e^{c t}$ er (ln⁡(2))/(ln⁡(𝑐)). $(ln (2)) / (ln (c)) .$

349.

Ef þið fjárfestið $⁢500, $$ 500,$ gefa ársvextir sem nema 3% $3 %$ meiri ávöxtun á fyrsta árinu en 2.5% $2.5 %$ samfelldir vextir.

350.

Ef þið skiljið 100°C $100 ° C$ tekönnu eftir við stofuhita (25°C) $(25 ° C)$ og sams konar tekönnu í ísskápnum (5°C), $(5 ° C),$ við 𝑘=0.02, $k = 0.02,$ nær teið í ísskápnum drykkjarhæfu hitastigi (70°C) $(70 ° C)$ meira en 5 $5$ mínútum á undan teinu við stofuhita.

351.

Ef gefinn er helmingunartími sem nemur t árum, er fastinn 𝑘 $k$ fyrir 𝑦=𝑒𝑘⁢𝑡 $y = e^{k t}$ reiknaður með 𝑘=ln⁡(1/2)/𝑡. $k = ln (1 / 2) / t .$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota $y = y_{0} e^{k t} .$

352.

Ef bakteríurækt tvöfaldast á 3 $3$ klukkustundum, hve margar klukkustundir þarf hún til að margfaldast með 10? $10 ?$

353.

Ef fjöldi baktería eykst um stuðulinn 10 $10$ á 10 $10$ klukkustundum, hve margar klukkustundir þarf þá til að fjöldinn margfaldist með stuðlinum 100? $100 ?$

354.

Hversu gömul er höfuðkúpa sem inniheldur fimmtung þess geislakolefnis sem er í nútímahöfuðkúpu? Athugið að helmingunartími geislakolefnis er 5730 $5730$ ár.

355.

Ef fornmunur inniheldur 90% $90 %$ jafn mikið af geislavirku kolefni og nýtt efni, getur hann þá verið frá tímum Krists (fyrir um 2000 $2000$ árum)? Athugið að helmingunartími geislavirks kolefnis er 5730 $5730$ ár.

356.

Íbúum Kaíró fjölgaði úr 5 $5$ milljónum í 10 $10$ milljónir á 20 $20$ árum. Notið veldisvaxtarlíkan til að finna hvenær íbúafjöldinn var 8 $8$ milljónir.

357.

Íbúafjöldi New York og Los Angeles vex um 1% $1 %$ og 1.4% $1.4 %$ á ári, í sömu röð. Ef upphaflegur íbúafjöldi er 8 $8$ milljónir (New York) og 6 $6$ milljónir (Los Angeles), hvenær verður íbúafjöldi borganna jafn? Námundið svarið að heilum árum.

358.

Gerum ráð fyrir að verðgildi $⁢1 $$ 1$ í japönskum jenum lækki um 2% $2 %$ á ári. Miðað við $⁢1=¥⁢250, $$ 1 = ¥ 250,$ hvenær mun $⁢1=¥⁢1? $$ 1 = ¥ 1 ?$

359.

Áhrif auglýsinga dvína með vísisfallshætti. Ef 40% $40 %$ íbúanna man eftir nýrri vöru eftir 3 $3$ daga, hversu lengi mun 20% $20 %$ muna eftir henni?

360.

Ef 𝑦=1000 $y = 1000$ við 𝑡=3 $t = 3$ og 𝑦=3000 $y = 3000$ við 𝑡=4, $t = 4,$ hvert var 𝑦0 $y_{0}$ við 𝑡=0? $t = 0 ?$

361.

Ef 𝑦=100 $y = 100$ þegar 𝑡=4 $t = 4$ og 𝑦=10 $y = 10$ þegar 𝑡=8, $t = 8,$ hvenær 𝑦=1? $y = 1 ?$

362.

Ef banki býður ársvexti upp á 7.5% $7.5 %$ eða samfellda vexti upp á 7.25%, $7.25 %,$ hvort gefur þá betri ársávöxtun?

363.

Hvaða samfelldu vextir gefa sömu ávöxtun og ársvextir upp á 9%? $9 % ?$

364.

Ef þið leggið $⁢5000 $$ 5000$ inn á reikning með 8% $8 %$ ársvöxtum, í hversu mörg ár getið þið tekið út $⁢500 $$ 500$ (frá lokum fyrsta árs) án þess að peningarnir klárist?

365.

Þið ætlið að safna $⁢50,000 $$ 50,000$ á 20 $20$ árum fyrir skólagjöldum barnsins ykkar. Ef vextir eru reiknaðir samfellt og vaxtahlutfallið er 10%, $10 %,$ , hversu mikið þurfið þið að fjárfesta í upphafi?

366.

Þið eruð að kæla kalkún sem var tekinn úr ofninum með innra hitastigið 165°F. $165 ° F .$ Eftir 10 $10$ mínútna hvíld kalkúnsins í 70°F $70 ° F$ heitri íbúð hefur hitastigið náð 155°F. $155 ° F .$ Hvert er hitastig kalkúnsins 20 $20$ mínútum eftir að hann var tekinn úr ofninum?

367.

Þið eruð að reyna að þíða grænmeti sem hefur hitastigið 1°F. $1 ° F .$ Til að þíða grænmetið á öruggan hátt þurfið þið að setja það í ísskáp, þar sem umhverfishitinn er 44°F. $44 ° F .$ Þið athugið grænmetið 2 $2$ klukkustundum eftir að þið settuð það í ísskápinn og kemst að því að hitastig þess er nú 12°F. $12 ° F .$ Teiknið hitastigsferilinn sem fæst og notið hann til að ákvarða hvenær grænmetið nær hitastiginu 33°F. $33 ° F .$

368.

Þið eruð fornleifafræðingar og fáið bein sem fullyrt er að sé úr grameðlu (Tyrannosaurus rex). Þið vitið að þessar risaeðlur lifðu á krítartímabilinu (146 $(146$ milljónum ára til 65 $65$ milljónum ára) og með geislakolsgreiningu komist þið að því að þar er 0.000001% $0.000001 %$ af upphaflegu magni geislakolefnisins. Er þetta bein frá krítartímabilinu?

369.

Úrbrunnið eldsneyti úr kjarnakljúfi inniheldur plúton-239, sem hefur helmingunartímann 24,000 $24,000$ ár. Ef 1 $1$ tunna sem inniheldur 10kg $10 kg$ af plúton-239 er innsigluð, hversu mörg ár þurfa þá að líða þar til aðeins 10⁢𝑔 $10 g$ af plúton-239 er eftir?

Notið eftirfarandi töflu, sem sýnir mannfjölda í heiminum eftir áratugum, við næstu verkefni.

Ár frá 1950	Mannfjöldi (í milljónum)
0 0	2 , 5 5 6 2,556
1 0 10	3 , 0 3 9 3,039
2 0 20	3 , 7 0 6 3,706
3 0 30	4 , 4 5 3 4,453
4 0 40	5 , 2 7 9 5,279
5 0 50	6 , 0 8 3 6,083
6 0 60	6 , 8 4 9 6,849

370.

[T] Vísisferillinn sem fellur best að gögnunum og er á forminu 𝑃⁡(𝑡)=𝑎⁢𝑒𝑏⁢𝑡 $P (t) = a e^{b t}$ er gefinn með 𝑃⁡(𝑡)=2686⁢𝑒0.01604⁢𝑡. $P (t) = 2686 e^{0.01604 t} .$ Notið grafíska reiknivél til að teikna gögnin og vísisferilinn á sama graf.

371.

[T] Finnið og teiknið graf afleiðunnar 𝑦′ $y^{'}$ af jöfnunni ykkar. Hvar er hún vaxandi og hvaða merkingu hefur þessi vöxtur?

372.

[T] Finnið aðra afleiðu jöfnunnar og teiknið graf hennar. Hvar er hún vaxandi og hvaða merkingu hefur þessi vöxtur?

373.

[T] Finnið þann dag sem því er spáð að stofninn nái 10 $10$ milljörðum. Notið fyrri svör ykkar um fyrstu og aðra afleiðu til að útskýra hvers vegna veldisvöxtur hentar ekki til að spá fyrir um framtíðina.

Í næstu verkefnum skal nota eftirfarandi töflu, sem sýnir íbúafjölda San Francisco á 19. öld.

Ár frá 1850	Mannfjöldi (í þúsundum)
0 0	2 1 . 0 0 21.00
1 0 10	5 6 . 8 0 56.80
2 0 20	1 4 9 . 5 149.5
3 0 30	2 3 4 . 0 234.0

374.

[T] Sá vísisferill af gerðinni sem fellur best að gögnunum 𝑃⁡(𝑡)=𝑎⁢𝑒𝑏⁢𝑡 $P (t) = a e^{b t}$ er gefinn með 𝑃⁡(𝑡)=35.26⁢𝑒0.06407⁢𝑡. $P (t) = 35.26 e^{0.06407 t} .$ Notið grafíska reiknivél til að teikna gögnin og vísisferilinn saman.

375.

[T] Finnið og teiknið graf afleiðunnar 𝑦′ $y^{'}$ af jöfnu ykkar. Hvar er hún vaxandi? Hvað merkir þessi vöxtur? Er til gildi þar sem vöxturinn er mestur?

376.

[T] Finnið aðra afleiðu jöfnunnar og teiknið graf hennar. Hvar er hún vaxandi? Hvað felst í þessum vexti?