66 Notkun heildunar

6.1 Flatarmál milli ferla

Námsmarkmið

6.1.1 Ákvarðið flatarmál svæðis milli tveggja ferla með því að heilda með tilliti til óháðu breytunnar.
6.1.2 Finnið flatarmál samsetts svæðis.
6.1.3 Ákvarðið flatarmál svæðis milli tveggja ferla með því að heilda með tilliti til háðu breytunnar.

Í Inngangi að heildun kynntumst við ákveðnu heildi sem aðferð til að reikna flatarmál undir ferli á gefnu bili. Hér beitum við hugmyndinni á flóknari svæði. Við byrjum á að finna flatarmálið milli tveggja ferla sem eru gröf falla af $x,$ og skoðum fyrst einfalda tilvikið þar sem gildi annars fallsins er alltaf stærra en gildi hins. Síðan skoðum við tilvik þar sem gröf fallanna skerast. Að lokum skoðum við hvernig reikna má flatarmálið milli tveggja ferla sem eru gröf falla af $y .$

Flatarmál svæðis milli tveggja ferla

Látum $f (x)$ og $g (x)$ vera samfelld föll á bili $[a, b]$ þannig að $f (x) \geq g (x)$ á $[a, b] .$ Finna skal flatarmálið milli grafa fallanna, eins og næsta mynd sýnir.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Á grafinu eru tveir ferlar. Efri ferillinn er merktur „f(x)“ og neðri ferillinn er merktur „g(x)“. Á x-ásnum eru tvö mörk, merkt a og b. Svæðið milli ferlanna er skyggt og afmarkast af línum við x=a og x=b. — **Mynd 6.2.** Flatarmálið milli grafa tveggja falla, $f (x)$ og $g (x),$ á bilinu $[a, b] .$

Eins og áður skiptum við bilinu á $x -ásnum$ og nálgum flatarmálið milli grafa fallanna með rétthyrningum. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við því $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við síðan punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}],$ og á hverju bili $[x_{i - 1}, x_{i}]$ búum við til rétthyrning sem nær lóðrétt frá $g (x_{i}^{*})$ til $f (x_{i}^{*}) .$ Mynd 6.3(a) sýnir rétthyrningana þegar $x_{i}^{*}$ er valinn sem vinstri endapunktur bilsins og $n = 10 .$ Mynd 6.3(b) sýnir dæmigerðan rétthyrning í smáatriðum.

Myndin sýnir þrjú gröf. Á fyrsta grafinu eru tveir ferlar, annar fyrir ofan hinn. Milli ferlanna er rétthyrningur. Efri hlið rétthyrningsins liggur á efri ferlinum, sem er merktur „f(x*)“, og neðri hlið hans liggur á neðri ferlinum, sem er merktur „g(x*)“. Á öðru grafinu, sem er merkt „(a)“, eru tveir ferlar. Efri ferillinn er merktur „f(x)“ og neðri ferillinn er merktur „g(x)“. Á x-ásnum eru tvö mörk, merkt a og b. Svæðið milli ferlanna er skyggt og afmarkast af línum við x=a og x=b. Á þriðja grafinu, sem er merkt „(b)“, eru tveir ferlar, annar fyrir ofan hinn. Efri ferillinn er merktur „f(x*)“ og neðri ferillinn er merktur „g(x*)“. Milli þeirra er skyggður rétthyrningur. Breidd rétthyrningsins er merkt „delta x“. — **Mynd 6.3.** (a) Við getum nálgað flatarmálið milli grafa tveggja falla, $f (x)$ og $g (x),$ með rétthyrningum. (b) Dæmigerður rétthyrningur nær frá öðrum ferlinum til hins.

Hæð hvers einstaks rétthyrnings er $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})$ og breidd hvers rétthyrnings er $Δ x .$ Með því að leggja saman flatarmál allra rétthyrninganna fæst eftirfarandi nálgun fyrir flatarmálið milli ferlanna:

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x .

Þetta er Riemann-summa, þannig að við tökum markgildið þegar $n \to \infty$ og fáum

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

Þessar niðurstöður eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Við beitum þessari setningu í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.1

Útreikningur flatarmáls milli tveggja ferla 1

Ef R er svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = x + 4$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = 3 - \frac{x}{2}$ á bilinu $[1, 4],$ finnið flatarmál svæðisins $R .$

Lausn

Svæðið sést á næstu mynd.

Á myndinni eru gröf tveggja línulegra falla í fyrsta fjórðungi. Föllin eru f(x) = x+4 og g(x)= 3-x/2. Milli þessara lína er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). Skyggða svæðið liggur milli x=1 og x=4. — **Mynd 6.4.** Sýnt er svæði milli tveggja ferla þar sem annar ferillinn liggur alls staðar ofan við hinn.

Við höfum

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{1}^{4} [(x + 4) - (3 - \frac{x}{2})] d x = \int_{1}^{4} [\frac{3 x}{2} + 1] d x \\ = {[\frac{3 x^{2}}{4} + x] |}_{1}^{4} = (16 - \frac{7}{4}) = \frac{57}{4} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $\frac{57}{4} {units}^{2} .$

Í dæmi 6.1, skilgreindum við bilið sem skoða skyldi sem hluta af verkefnalýsingunni. Oft viljum við þó skilgreina bilið út frá skurðpunktum grafa fallanna tveggja. Þetta er sýnt í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.2

Útreikningur flatarmáls milli tveggja ferla 2

Ef $R$ er svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = 9 - {(x / 2)}^{2}$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = 6 - x,$ finnið flatarmál svæðisins $R .$

Lausn

Svæðið sést á næstu mynd.

Á myndinni eru tvö gröf í fyrsta fjórðungi. Þau sýna föllin f(x) = 9-(x/2)^2 og g(x)= 6-x. Milli grafanna, sem eru fleygbogi á hvolfi og lína, er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). — **Mynd 6.5.** Þetta graf sýnir svæðið neðan við graf f ⁡ ( x ) og ofan við graf g ⁡ ( x ) .

Fyrst finnum við skurðpunkta grafa fallanna. Með því að setja $f (x) = g (x),$ fáum við

\begin{matrix} f (x) & = & g (x) \\ 9 - {(\frac{x}{2})}^{2} & = & 6 - x \\ 9 - \frac{x^{2}}{4} & = & 6 - x \\ 36 - x^{2} & = & 24 - 4 x \\ x^{2} - 4 x - 12 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 2) & = & 0. \end{matrix}

Gröf fallanna skerast þegar $x = 6$ eða $x = −2,$ og heildunarmörkin eru því $−2$ til $6 .$ Þar sem $f (x) \geq g (x)$ fyrir $−2 \leq x \leq 6,$ fæst

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{6} [9 - {(\frac{x}{2})}^{2} - (6 - x)] d x = \int_{−2}^{6} [3 - \frac{x^{2}}{4} + x] d x \\ = {[3 x - \frac{x^{3}}{12} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{−2}^{6} = \frac{64}{3} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $64 / 3$ einingar².

Flatarmál samsettra svæða

Hingað til höfum við gert þá kröfu að $f (x) \geq g (x)$ á öllu bilinu sem er til skoðunar, en hvað ef við viljum skoða svæði sem afmarkast af gröfum falla sem skerast? Þá aðlögum við aðferðina með því að nota algildisfallið.

Í reynd krefst beiting þessarar setningar þess að við skiptum bilinu $[a, b]$ upp og reiknum nokkur heildi, eftir því hvort fallgildið er stærra á hverjum hluta bilsins. Við skoðum þetta ferli í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.3

Að finna flatarmál svæðis sem afmarkast af föllum sem skerast

Ef R er svæðið milli grafa fallanna $f (x) = sin x$ og $g (x) = cos x$ á bilinu $[0, π],$ finnið flatarmál svæðisins $R .$

Lausn

Svæðið sést á næstu mynd.

Á myndinni eru tvö gröf. Þau sýna föllin f(x) = sinx og g(x)= cosx. Bæði eru lotubundin föll sem líkjast bylgjum. Tvö skyggð svæði eru milli grafanna. Fyrra skyggða svæðið er merkt „R1“ og þar er g(x) fyrir ofan f(x). Svæðið hefst við y-ásinn og endar þar sem ferlarnir skerast. Síðara svæðið er merkt „R2“, hefst við skurðpunktinn og þar er f(x) fyrir ofan g(x). Skyggða svæðið endar við x=pi. — **Mynd 6.6.** Svæðinu milli tveggja ferla má skipta í tvö undirsvæði.

Gröf fallanna skerast í $x = π / 4 .$ Fyrir $x \in [0, π / 4],$ $cos x \geq sin x,$ þannig að

f (x) - g (x) = \sin x - \cos x = \cos x - \sin x

Á bilinu $x \in [π / 4, π],$ $sin x \geq cos x,$ þannig að

f (x) - g (x) = \sin x - \cos x = \sin x - \cos x

Þá

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x \\ = \int_{0}^{π} | sin x - cos x | d x = \int_{0}^{π / 4} (cos x - sin x) d x + \int_{π / 4}^{π} (sin x - cos x) d x \\ = {[sin x + cos x] |}_{0}^{π / 4} + {[− cos x - sin x] |}_{π / 4}^{π} \\ = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $2 \sqrt{2}$ einingar².

Dæmi 6.4

Að finna flatarmál flókins svæðis

Skoðum svæðið sem sýnt er á mynd 6.7. Finnið flatarmál $R .$

Á myndinni eru gröf tveggja falla í fyrsta fjórðungi. Föllin eru f(x) = x^2 og g(x) = 2-x. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af f(x) og til hægri af g(x). Svæðið er allt fyrir ofan x-ásinn og er merkt R. Skyggða svæðið liggur milli x=0 og x=2. — **Mynd 6.7.** Tvö heildi þarf til að reikna flatarmál þessa svæðis.

Lausn

Eins og í dæmi 6.3þurfum við að skipta bilinu í tvo hluta. Gröf fallanna skerast þegar $x = 1$ (setjum $f (x) = g (x)$ og leysum fyrir x); því reiknum við tvö aðskilin heildi: annað yfir bilinu $[0, 1]$ og hitt yfir bilinu $[1, 2] .$

Á bilinu $[0, 1],$ afmarkast svæðið að ofan af $f (x) = x^{2}$ og að neðan af x-ásnum, þannig að við fáum

A_{1} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

Á bilinu $[1, 2],$ afmarkast svæðið að ofan af $g (x) = 2 - x$ og að neðan af $x -ásnum,$ svo að við fáum

A_{2} = \int_{1}^{2} (2 - x) d x = {[2 x - \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

Þegar þessi flatarmál eru lögð saman fæst

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} .

Flatarmál svæðisins er $5 / 6$ einingar².

Svæði skilgreind með tilliti til y

Í dæmi 6.4þurftum við að reikna tvö aðskilin heildi til að finna flatarmál svæðisins. Hins vegar er einnig hægt að beita annarri aðferð sem krefst aðeins eins heildis. Hvað ef við lítum á ferlana sem föll af $y,$ í stað þess að líta á þá sem föll af $x ?$ Skoðum mynd 6.7. Takið eftir að vinstra grafið, sem sýnt er með rauðu, er reiknað með fallinu $y = f (x) = x^{2} .$ Við gætum allt eins leyst þessa jöfnu með tilliti til $x$ og gefið ferilinn með fallinu $x = v (y) = \sqrt{y} .$ (Takið eftir að $x = − \sqrt{y}$ er einnig gild framsetning á fallinu $y = f (x) = x^{2}$ sem falli af $y .$ Af grafinu er þó ljóst að við höfum áhuga á jákvæðu kvaðratrótinni.) Á sama hátt er hægra grafið reiknað með fallinu $y = g (x) = 2 - x,$ en mætti allt eins gefa með fallinu $x = u (y) = 2 - y .$ Þegar gröfin eru gefin sem föll af $y,$ sjáum við að svæðið afmarkast til vinstri af grafi annars fallsins og til hægri af grafi hins fallsins. Ef við heildum með tilliti til $y,$ þurfum við því aðeins að reikna eitt heildi. Leiðum nú út formúlu fyrir heildun af þessu tagi.

Látum $u (y)$ og $v (y)$ vera samfelld föll á bili $[c, d]$ þannig að $u (y) \geq v (y)$ fyrir öll $y \in [c, d] .$ Finna skal flatarmálið milli grafa fallanna, eins og næsta mynd sýnir.

Á myndinni eru gröf tveggja falla í fyrsta fjórðungi. Föllin eru v(y) og u(y). Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af v(y) og til hægri af u(y). Svæðið er merkt R. Skyggða svæðið liggur milli láréttu markanna y=c og y=d. — **Mynd 6.8.** Við getum fundið flatarmálið milli grafa tveggja falla, $u (y)$ og $v (y) .$

Að þessu sinni skiptum við bilinu á $y -ásnum$ og notum lárétta rétthyrninga til að nálga flatarmálið milli fallanna. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við því $Q = {y_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[c, d] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við síðan punkt $y_{i}^{*} \in [y_{i - 1}, y_{i}],$ og á hverju bili $[y_{i - 1}, y_{i}]$ búum við til rétthyrning sem nær lárétt frá $v (y_{i}^{*})$ til $u (y_{i}^{*}) .$ Mynd 6.9(a) sýnir rétthyrningana þegar $y_{i}^{*}$ er valinn sem neðri endapunktur bilsins og $n = 10 .$ Mynd 6.9(b) sýnir dæmigerðan rétthyrning í smáatriðum.

Myndin sýnir þrjú gröf. Á fyrsta grafinu eru tveir ferlar. Þeir eru gröf fallanna v(y*) og u(y*). Milli ferlanna er láréttur rétthyrningur. Á annarri myndinni, sem er merkt „(a)“, er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af v(y) og til hægri af u(y). Skyggða svæðið liggur milli láréttu markanna y=c og y=d. Svæðinu er skipt í rétthyrninga milli ferlanna. Á þriðju myndinni, sem er merkt „(b)“, eru ferlarnir tveir v(y*) og u(y*). Milli ferlanna er láréttur rétthyrningur með breiddina delta y. — **Mynd 6.9.** (a) Flatarmálið milli grafa fallanna tveggja, $u (y)$ og $v (y),$ nálgað með rétthyrningum. (b) Flatarmál dæmigerðs rétthyrnings.

Hæð hvers einstaks rétthyrnings er $Δ y$ og breidd hvers rétthyrnings er $u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*}) .$ Þá fæst eftirfarandi nálgun fyrir flatarmálið milli ferlanna:

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y .

Þetta er Riemann-summa, þannig að við tökum markgildið þegar $n \to \infty,$ og fáum

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

Þessar niðurstöður eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 6.5

Heildun með tilliti til y

Skoðum aftur dæmi 6.4, en heildum nú með tilliti til $y .$ Látum $R$ vera svæðið sem sýnt er á mynd 6.10. Finnið flatarmál $R$ með því að heilda með tilliti til $y .$

Á myndinni eru tvö gröf í fyrsta fjórðungi. Þau eru gröf fallanna f(x) = x^2 og g(x)= 2-x. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast vinstra megin af f(x) og hægra megin af g(x). Svæðið er allt ofan x-ássins og er merkt R. Skyggða svæðið liggur milli x=0 og x=2. — **Mynd 6.10.** Flatarmál svæðisins R má aðeins reikna með einu heildi þegar ferlarnir eru settir fram sem föll af y .

Lausn

Fyrst verðum við að setja gröfin fram sem föll af $y .$ Eins og við sáum í upphafi þessa undirkafla má lýsa ferlinum til vinstri með fallinu $x = v (y) = \sqrt{y},$ og ferlinum til hægri má lýsa með fallinu $x = u (y) = 2 - y .$

Nú þurfum við að ákvarða heildismörkin. Svæðið afmarkast að neðan af x-ásnum, þannig að neðra heildismarkið er $y = 0 .$ Efra heildismarkið ákvarðast af skurðpunkti grafanna tveggja, sem er punkturinn $(1, 1),$ þannig að efra heildismarkið er $y = 1 .$ Því fæst $[c, d] = [0, 1] .$

Þegar flatarmál svæðisins er reiknað fæst

\begin{matrix} A & = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y \\ = \int_{0}^{1} [(2 - y) - \sqrt{y}] d y = {[2 y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{3} y^{3 / 2}] |}_{0}^{1} \\ = \frac{5}{6} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $5 / 6$ einingar².

Æfingar í kafla 6.1

Í eftirfarandi æfingum skal ákvarða flatarmál svæðisins milli ferlanna tveggja á myndinni með heildun með tilliti til $x .$

𝑦=𝑥2−3og 𝑦=1 $y = x^{2} - 3 og y = 1$

Á myndinni eru gröf tveggja falla. Föllin eru f(x) = x^2-3and og g(x)=1. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x). Skyggða svæðið liggur milli x=-2 og x=2.

𝑦=𝑥2og 𝑦=3⁢𝑥+4 $y = x^{2} og y = 3 x + 4$

Á myndinni eru gröf tveggja falla. Föllin eru f(x) = x^2 og g(x)= 3x+4. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af g(x).

Í eftirfarandi æfingum skal skipta svæðinu milli ferlanna tveggja í tvö minni svæði og ákvarða síðan flatarmálið með því að heilda með tilliti til $x .$ Athugið að leysa þarf tvö heildi.

$y = x^{3}$ og $y = x^{2} + x$

Á myndinni eru gröf tveggja falla. Föllin eru f(x) = x^3 og g(x)= x^2+x. Gröfin skerast tvisvar. Svæðin milli skurðpunktanna eru skyggð. Fyrra svæðið afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). Síðara svæðið afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x).

$y = cos θ$ og $y = 0.5,$ fyrir $0 \leq θ \leq π$

Á myndinni eru gröf tveggja falla. Föllin eru f(theta) = cos(theta) og g(theta)= 0.5. Gröfin skerast tvisvar. Svæðin milli skurðpunktanna eru skyggð. Fyrra svæðið afmarkast að ofan af f(theta) og að neðan af g(theta). Síðara svæðið afmarkast að ofan af g(theta) og að neðan af f(theta).

Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða flatarmál svæðisins milli ferlanna tveggja með því að heilda með tilliti til $y .$

𝑥=𝑦2og 𝑥=9 $x = y^{2} og x = 9$

Á myndinni eru tvö gröf. Þau sýna jöfnurnar x=y^2 og x=9. Svæðið milli grafanna er skyggt. Það liggur lárétt á milli y-ássins og línunnar x=9.

𝑦=𝑥og 𝑥=𝑦2 $y = x og x = y^{2}$

Á myndinni eru tvö gröf. Þau sýna jöfnurnar y=x og x=y^2. Svæðið milli grafanna er skyggt og afmarkast að ofan af x=y^2 og að neðan af y=x.

Í eftirfarandi verkefnum skal teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Ákvarðið flatarmál þess með því að heilda með tilliti til $x .$

𝑦=𝑥2og 𝑦=−𝑥2+18⁢𝑥 $y = x^{2} og y = − x^{2} + 18 x$

𝑦=1𝑥,𝑦=1𝑥2,og 𝑥=3 $y = \frac{1}{x}, y = \frac{1}{x^{2}}, og x = 3$

$y = cos x$ og $y = {cos}^{2} x$ á $x = [− π, π]$

10.

𝑦=𝑒𝑥,𝑦=𝑒2⁢𝑥−1,og 𝑥=0 $y = e^{x}, y = e^{2 x - 1}, og x = 0$

11.

𝑦=𝑒𝑥,𝑦=𝑒−𝑥,𝑥=−1og 𝑥=1 $y = e^{x}, y = e^{− x}, x = −1 og x = 1$

12.

𝑦=𝑒,𝑦=𝑒𝑥,og 𝑦=𝑒−𝑥 $y = e, y = e^{x}, og y = e^{− x}$

13.

𝑦=|𝑥|og 𝑦=𝑥2 $y = | x | og y = x^{2}$

Í eftirfarandi æfingum skal teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Ef nauðsyn krefur skal skipta svæðinu í undirsvæði til að ákvarða heildarflatarmál þess.

14.

𝑦=sin⁡(𝜋⁢𝑥),𝑦=2⁢𝑥,og 𝑥>0 $y = sin (π x), y = 2 x, og x > 0$

15.

𝑦=12−𝑥,𝑦=√𝑥,og 𝑦=1 $y = 12 - x, y = \sqrt{x}, og y = 1$

16.

$y = sin x$ og $y = cos x$ yfir $x = [− π, π]$

17.

$y = x^{3} og y = x^{2} - 2 x$ yfir $x = [−1, 1]$

18.

$y = x^{2} + 9 og y = 10 + 2 x$ yfir $x = [−1, 3]$

19.

$y = x^{3} + 3 x$ og $y = 4 x$

Í eftirfarandi æfingum skal teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Ákvarðið flatarmál þess með því að heilda með tilliti til $y .$

20.

𝑥=𝑦3og 𝑥=3⁢𝑦−2 $x = y^{3} og x = 3 y - 2$

21.

𝑥=2⁢𝑦og 𝑥=𝑦3−𝑦 $x = 2 y og x = y^{3} - y$

22.

𝑥=−3+𝑦2og 𝑥=𝑦−𝑦2 $x = −3 + y^{2} og x = y - y^{2}$

23.

𝑦2=𝑥og 𝑥=𝑦+2 $y^{2} = x og x = y + 2$

24.

𝑥=|𝑦|og 2⁢𝑥=−𝑦2+2 $x = | y | og 2 x = − y^{2} + 2$

25.

𝑥=sin⁡𝑦,𝑥=cos⁡(2⁢𝑦),𝑦=𝜋/2,og 𝑦=−𝜋/2 $x = sin y, x = cos (2 y), y = π / 2, og y = − π / 2$

Í eftirfarandi æfingum skal teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Ákvarðið flatarmál þess með heildun með tilliti til x eða y, eftir því hvort þykir hentugra.

26.

𝑥=𝑦4og 𝑥=𝑦5 $x = y^{4} og x = y^{5}$

27.

𝑦=𝑥⁢𝑒𝑥,𝑦=𝑒𝑥,𝑥=0,og 𝑥=1 $y = x e^{x}, y = e^{x}, x = 0, og x = 1$

28.

𝑦=𝑥6og 𝑦=𝑥4 $y = x^{6} og y = x^{4}$

29.

𝑥=𝑦3+2⁢𝑦2+1og 𝑥=−𝑦2+1 $x = y^{3} + 2 y^{2} + 1 og x = − y^{2} + 1$

30.

𝑦=|𝑥|og 𝑦=𝑥2−1 $y = | x | og y = x^{2} - 1$

31.

𝑦=4−3⁢𝑥og 𝑦=1𝑥 $y = 4 - 3 x og y = \frac{1}{x}$

32.

𝑦=sin⁡𝑥,𝑥=−𝜋/6,𝑥=𝜋/6,og 𝑦=cos3⁢𝑥 $y = sin x, x = − π / 6, x = π / 6, og y = {cos}^{3} x$

33.

𝑦=𝑥2−3⁢𝑥+2og 𝑦=𝑥3−2⁢𝑥2−𝑥+2 $y = x^{2} - 3 x + 2 og y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

34.

𝑦=2cos3⁢(3⁢𝑥),𝑦=−1,𝑥=𝜋4,og 𝑥=−𝜋4 $y = 2 {cos}^{3} (3 x), y = −1, x = \frac{π}{4}, og x = - \frac{π}{4}$

35.

𝑦+𝑦3=𝑥og 2⁢𝑦=𝑥 $y + y^{3} = x og 2 y = x$

36.

𝑦=√1−𝑥2og 𝑦=𝑥2−1 $y = \sqrt{1 - x^{2}} og y = x^{2} - 1$

37.

𝑦=cos−1⁢𝑥,𝑦=sin−1⁢𝑥,𝑥=−1,og 𝑥=1 $y = {cos}^{−1} x, y = {sin}^{−1} x, x = −1, og x = 1$

Í eftirfarandi æfingum skal finna nákvæmt flatarmál svæðisins sem afmarkast af gefnu jöfnunum, ef unnt er. Ef ekki er unnt að finna skurðpunktana með beinum útreikningi skal nota reiknivél til að nálga þá að þremur aukastöfum og finna nálgunargildi flatarmálsins.

38.

[T] 𝑥=𝑒𝑦og 𝑦=𝑥−2 $x = e^{y} og y = x - 2$

39.

[T] 𝑦=𝑥2og 𝑦=√1−𝑥2 $y = x^{2} og y = \sqrt{1 - x^{2}}$

40.

[T] 𝑦=3⁢𝑥2+8⁢𝑥+9og 3⁢𝑦=𝑥+24 $y = 3 x^{2} + 8 x + 9 og 3 y = x + 24$

41.

[T] 𝑥=√4−𝑦2og 𝑦2=1+𝑥2 $x = \sqrt{4 - y^{2}} og y^{2} = 1 + x^{2}$

42.

[T] 𝑥2=𝑦3og 𝑥=3⁢𝑦 $x^{2} = y^{3} og x = 3 y$

43.

[T] 𝑦=sin3⁢𝑥+2,𝑦=tan⁡𝑥,𝑥=−1.5,og 𝑥=1.5 $y = {sin}^{3} x + 2, y = tan x, x = −1.5, og x = 1.5$

44.

[T] 𝑦=√1−𝑥2og 𝑦2=𝑥2 $y = \sqrt{1 - x^{2}} og y^{2} = x^{2}$

45.

[T] 𝑦=√1−𝑥2og 𝑦=𝑥2+2⁢𝑥+1 $y = \sqrt{1 - x^{2}} og y = x^{2} + 2 x + 1$

46.

[T] 𝑥=4−𝑦2og 𝑥=1+3⁢𝑦+𝑦2 $x = 4 - y^{2} og x = 1 + 3 y + y^{2}$

47.

[T] 𝑦=cos⁡𝑥,𝑦=𝑒𝑥,𝑥=−𝜋,og 𝑥=0 $y = cos x, y = e^{x}, x = − π, og x = 0$

48.

Stærsti þríhyrningurinn með grunn á $x -ásnum$ sem rúmast innan efri helmings einingarhringsins $y^{2} + x^{2} = 1$ afmarkast af línunum $y = 1 + x$ og $y = 1 - x .$ Sjá næstu mynd. Hvert er flatarmálið innan hálfhringsins en utan þríhyrningsins?

Á myndinni er graf hrings með miðju í upphafspunkti og geisla 1. Innritaður þríhyrningur hefur grunn á x-ásnum frá -1 til 1 og þriðja hornpunktinn í y=1.

49.

Fyrirtæki sem selur farsíma hefur jaðarkostnaðarfallið $C (x) = 0.01 x^{2} - 3 x + 229,$ þar sem $x$ táknar fjölda farsíma, $C$ er jaðarkostnaðurinn í dollurum við að selja $x$ farsíma og jaðartekjufallið er $R (x) = 429 - 2 x$ , þar sem $R$ er jaðartekjan í dollurum af sölu á $x$ farsímum. Finnið flatarmálið á svæðinu sem afmarkast af gröfum þessara falla og línunni $x = 0 .$ Hvað táknar þetta flatarmál?

50.

Skemmtigarður hefur jaðarkostnaðarfallið $C (x) = 1000 e^{− x} + 5,$ þar sem $x$ táknar fjölda seldra miða og jaðartekjufallið er $R (x) = 60 - 0.1 x .$ Finnið heildarhagnaðinn sem fæst þegar seldir eru $550$ miðar. Notið reiknivél, ef þörf krefur, til að ákvarða skurðpunkta með tveimur aukastöfum.

51.

Skjaldbakan og hérinn: Hraða hérans lýsir sínusfallið $H (t) = 1 - cos ((π t) / 2)$ en hraði skjaldbökunnar er $T (t) = 0 . 1032 t$ þar sem $t$ er tími mældur í klukkustundum og hraðinn er mældur í mílum á klukkustund. Finnið flatarmálið milli ferlanna frá $t = 0$ þar til hraði þeirra verður fyrst aftur jafn eftir að ein klukkustund er liðin. Hvað táknar flatarmálið? Notið reiknivél til að ákvarða skurðpunktana, ef þörf krefur, með þriggja aukastafa nákvæmni.

52.

Skjaldbakan og hérinn: Hraða hérans lýsir sínusfallið $H (t) = (1 / 2) - (1 / 2) cos (2 π t)$ en hraði skjaldbökunnar er $T (t) = \sqrt{t},$ þar sem $t$ er tími mældur í klukkustundum og hraðinn er mældur í kílómetrum á klukkustund. Kapphlaupinu lauk eftir $1$ klukkustund. Hvort þeirra vann kapphlaupið og með hve miklum mun? Notið reiknivél til að ákvarða skurðpunktana, ef þörf krefur, með þriggja aukastafa nákvæmni.

Í eftirfarandi æfingum skal finna flatarmálið milli ferlanna með því að heilda með tilliti til $x$ og síðan með tilliti til $y .$ Er önnur aðferðin auðveldari en hin? Fæst sama svar með báðum aðferðum?

53.

𝑦=𝑥2+2⁢𝑥+1og 𝑦=−𝑥2−3⁢𝑥+4 $y = x^{2} + 2 x + 1 og y = − x^{2} - 3 x + 4$

54.

𝑦=𝑥4og 𝑥=𝑦5 $y = x^{4} og x = y^{5}$

55.

𝑥=𝑦2−2og 𝑥=2⁢𝑦 $x = y^{2} - 2 og x = 2 y$

Leysið eftirfarandi æfingar með aðferðum stærðfræðigreiningar og sannreynið síðan svörin með rúmfræði.

56.

Ákvarðið jöfnur hliða ferningsins sem snertir einingarhringinn á öllum fjórum hliðum, eins og sést á eftirfarandi mynd. Finnið flatarmálið innan jaðars ferningsins en utan einingarhringsins. Er hægt að leysa þetta á annan hátt án þess að nota stærðfræðigreiningu?

Á myndinni er graf hrings með miðju í upphafspunkti og geisla 1. Ferningur er umritaður um hringinn.

57.

Finnið flatarmálið innan jaðars einingarhringsins en utan þríhyrningsins sem myndast af $y = 2 x + 1, y = 1 - 2 x$ og $y = - \frac{3}{5},$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd. Er hægt að leysa þetta án þess að nota stærðfræðigreiningu?