66 Notkun heildunar

6.4 Bogalengd ferils og yfirborðsflatarmál

Námsmarkmið

6.4.1 Ákvarðið lengd ferils, y = f ⁡ ( x ) , milli tveggja punkta.
6.4.2 Ákvarðið lengd ferils, x = g ⁡ ( y ) , milli tveggja punkta.
6.4.3 Finnið yfirborðsflatarmál snúðs.

Í þessum undirkafla notum við ákveðin heildi til að reikna bogalengd ferils. Hún er sú vegalengd sem farin væri ef gengið væri eftir ferlinum. Bogalengd kemur við sögu í margvíslegum hagnýtum viðfangsefnum. Ef eldflaug er skotin á loft eftir fleygboga viljum við ef til vill vita hversu langa vegalengd hún fer. Ef ferill á korti táknar veg viljum við ef til vill vita hversu langt þarf að aka til að komast á áfangastað.

Fyrst reiknum við bogalengd ferla sem gefnir eru sem föll af $x,$ og skoðum síðan sömu aðferð fyrir ferla sem gefnir eru sem föll af $y .$ (Aðferðin er sú sama, en hlutverkum $x$ og $y$ er víxlað.) Aðferðirnar við útreikning bogalengdar má einnig nota til að finna yfirborðsflatarmál snúðs. Það hugtak skoðum við í lok undirkaflans.

Bogalengd ferilsins y = f(x)

Í fyrri dæmum um heildun nægði að fallið $f (x)$ væri heildanlegt eða samfellt. Við útreikning bogalengdar gerum við hins vegar strangari kröfur til fallsins $f (x) .$ Nánar tiltekið þarf fallið $f (x)$ að vera deildanlegt og afleiðan, $f^{'} (x),$ þarf að vera samfelld. Föll af þessu tagi, sem hafa samfelldar afleiður, kallast slétt. (Við komum aftur að þessum eiginleika í síðari köflum.)

Látum $f (x)$ vera slétt fall sem er skilgreint á $[a, b] .$ Við viljum reikna lengd ferilsins frá punktinum $(a, f (a))$ að punktinum $(b, f (b)) .$ Við byrjum á að nálga lengd ferilsins með línustrikum. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ drögum við síðan línustrik frá punktinum $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ að punktinum $(x_{i}, f (x_{i})) .$ Þótt rökrétt kunni að virðast að nota annaðhvort lárétt eða lóðrétt línustrik viljum við að línustrikin nálgi ferilinn eins vel og kostur er. Mynd 6.37 sýnir þessa uppbyggingu fyrir $n = 5 .$

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Ferillinn ýmist vex eða minnkar. Honum er skipt í hluta í punktunum a=xsub0, xsub1, xsub2, xsub3, xsub4 og xsub5=b. Auk þess liggja línustrik milli punktanna á ferlinum. — **Mynd 6.37.** Við getum nálgað lengd ferils með því að leggja saman lengdir línustrika.

Til að finna lengd hvers línustriks skoðum við breytingu bæði á lóðréttri og láréttri fjarlægð á hverju bili. Þar sem skiptingin er regluleg er lárétta breytingin á hverju bili $Δ x .$ Lóðrétta breytingin er hins vegar mismunandi eftir bilum. Við notum því $Δ y_{i} = f (x_{i}) - f (x_{i - 1})$ til að tákna breytinguna á lóðréttri fjarlægð á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}],$ eins og sýnt er á mynd 6.38. Athugið að sum (eða öll) $Δ y_{i}$ kunna að vera neikvæð.

Myndin sýnir graf. Ferill liggur ofan x-ássins og hefst í punktinum f(xsubi-1). Ferlinum lýkur í fyrsta fjórðungi í punktinum f(xsubi). Línustrikið milli punktanna er langhlið rétthyrnds þríhyrnings. Lárétta skammhliðin hefur lengdina delta x og sú lóðrétta lengdina delta y. — **Mynd 6.38.** Dæmigert línustrik nálgar ferilinn á bilinu [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]. $[x_{i - 1}, x_{i}] .$

Samkvæmt reglu Pýþagórasar fæst lengd línustriksins: $\sqrt{{(Δ x)}^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} .$ Sömu stærð má einnig rita sem $Δ x \sqrt{1 + {((Δ y_{i}) / (Δ x))}^{2}} .$ Samkvæmt meðalgildissetningunni er til punktur $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / (Δ x) .$ Lengd línustriksins er því $Δ x \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} .$ Með því að leggja saman lengdir allra línustrikanna fæst

Bogalengd \approx \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Með því að láta $n \to \infty,$ fæst

Bogalengd = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{1 + {[f^{'} (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

Við tökum þessar niðurstöður saman í eftirfarandi setningu.

Athugið að við heildum stæðu sem inniheldur $f^{'} (x),$ og því þurfum við að ganga úr skugga um að $f^{'} (x)$ sé heildanlegt. Þess vegna gerum við þá kröfu að $f (x)$ sé slétt. Eftirfarandi dæmi sýnir hvernig beita má setningunni.

Dæmi 6.18

Útreikningur á bogalengd falls af x

Látum 𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥3/2. $f (x) = 2 x^{3 / 2} .$ Reiknið bogalengd grafs 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ á bilinu [0,1]. $[0, 1] .$ Námundið svarið að þremur aukastöfum.

Lausn

Þar sem 𝑓′⁡(𝑥)=3⁢𝑥1/2, $f^{'} (x) = 3 x^{1 / 2},$ er [𝑓′⁡(𝑥)]2=9⁢𝑥. ${[f^{'} (x)]}^{2} = 9 x .$ Bogalengdin er því

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x . \end{matrix}

Gerum innsetninguna 𝑢=1+9⁢𝑥. $u = 1 + 9 x .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=9𝑑⁢𝑥. $d u = 9 d x .$ Þegar 𝑥=0, $x = 0,$ er 𝑢=1, $u = 1,$ og þegar 𝑥=1, $x = 1,$ er 𝑢=10. $u = 10 .$ Því fæst

\begin{matrix} Bogalengd & = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} d x \\ = \frac{1}{9} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 9 x} 9 d x = \frac{1}{9} \int_{1}^{10} \sqrt{u} d u \\ = {\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{3 / 2} |}_{1}^{10} = \frac{2}{27} [10 \sqrt{10} - 1] \approx 2.268 units . \end{matrix}

Þótt gott sé að hafa formúlu til að reikna bogalengd getur þessi tiltekna setning leitt til stæða sem erfitt er að heilda. Við kynnum okkur nokkrar heildunaraðferðir í Inngangi að heildunaraðferðum. Stundum þarf að nota tölvu eða reiknivél til að nálga gildi heildisins.

Dæmi 6.19

Notkun tölvu eða reiknivélar til að ákvarða bogalengd falls af x

Látum 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2. $f (x) = x^{2} .$ Reiknið bogalengd grafs 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ á bilinu [1,3]. $[1, 3] .$

Lausn

Þar sem 𝑓′⁡(𝑥)=2⁢𝑥, $f^{'} (x) = 2 x,$ er [𝑓′⁡(𝑥)]2=4⁢𝑥2. ${[f^{'} (x)]}^{2} = 4 x^{2} .$ Bogalengdin fæst því með

Bogalengd = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x .

Þegar gildi heildisins er nálgað með tölvu fæst

\int_{1}^{3} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \approx 8.26815 .

Bogalengd ferilsins x = g(y)

Hér að framan sáum við hvernig nálga má lengd ferils með línustrikum. Ef finna á bogalengd grafs falls af $y,$ má beita sömu aðferð, en skipta $y -ás$ í stað $x -ás .$ Mynd 6.39 sýnir dæmigert línustrik.

Myndin sýnir graf. Ferill hægra megin við y-ásinn hefst í punktinum g(ysubi-1). Ferlinum lýkur í fyrsta fjórðungi í punktinum g(ysubi). Línustrik liggur milli punktanna tveggja á ferlinum. Rétthyrndur þríhyrningur myndast þar sem þetta línustrik er langhliðin, lárétt skammhlið hefur lengdina delta x og lóðrétt skammhlið hefur lengdina delta y. — **Mynd 6.39.** Dæmigert línustrik yfir bilið [𝑦𝑖−1,𝑦𝑖]. $[y_{i - 1}, y_{i}] .$

Þá er lengd línustriksins $\sqrt{{(Δ y)}^{2} + {(Δ x_{i})}^{2}},$ sem einnig má rita sem $Δ y \sqrt{1 + {((Δ x_{i}) / (Δ y))}^{2}} .$ Með sömu röksemdafærslu og áður fæst formúla fyrir bogalengd fallsins $x = g (y) .$

Dæmi 6.20

Útreikningur á bogalengd falls af y

Látum 𝑔⁡(𝑦)=3⁢𝑦3. $g (y) = 3 y^{3} .$ Reiknið bogalengd grafs 𝑔⁡(𝑦) $g (y)$ á bilinu [1,2]. $[1, 2] .$

Lausn

Þar sem 𝑔′⁡(𝑦)=9⁢𝑦2, $g^{'} (y) = 9 y^{2},$ er [𝑔′⁡(𝑦)]2=81⁢𝑦4. ${[g^{'} (y)]}^{2} = 81 y^{4} .$ Bogalengdin er því

Bogalengd = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y .

Þegar gildi heildisins er nálgað með tölvu fæst

\int_{1}^{2} \sqrt{1 + 81 y^{4}} d y \approx 21.0277 .

Yfirborðsflatarmál snúðflatar

Aðferðirnar við útreikning bogalengdar má einnig nota til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatar. Yfirborðsflatarmál er samanlagt flatarmál ytra byrðis hlutar. Hjá teningum og öðrum margflötungum er það summa flatarmála allra hliðarflatanna. Útreikningurinn er flóknari þegar yfirborðið er sveigt. Látum $f (x)$ vera óneikvætt slétt fall á bilinu $[a, b] .$ Við viljum finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar grafi $y = f (x)$ er snúið um $x -ás$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Á þessari mynd eru tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir feril í fyrsta fjórðungi sem hefst við y-ásinn. Ferillinn er y=f(x). Síðara grafið er merkt „b“ og sýnir sama feril, y=f(x). Þar er einnig sýndur heill flötur sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn. — **Mynd 6.40.** (a) Ferill sem sýnir fallið 𝑓⁡(𝑥). $f (x) .$ (b) Snúðflöturinn sem myndast þegar grafi fallsins 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er snúið um 𝑥-ás. $x -ás .$

Eins og við höfum oft gert áður skiptum við bilinu $[a, b]$ og nálgum flatarmál flatarins með því að reikna flatarmál einfaldari forma. Við byrjum á að nálga ferilinn með línustrikum, eins og við gerðum fyrr í þessum undirkafla. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ drögum við síðan línustrik frá punktinum $(x_{i - 1}, f (x_{i - 1}))$ að punktinum $(x_{i}, f (x_{i})) .$ Nú snúum við þessum línustrikum um $x -ás$ til að fá nálgun á snúðfletinum, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Á þessari mynd eru tvö gröf. Fyrra grafið er merkt „a“ og sýnir feril í fyrsta fjórðungi sem hefst við y-ásinn. Ferillinn er y=f(x). Svæðinu undir ferlinum og ofan x-ássins hefur verið skipt í hluta með lóðréttum línum. Síðara grafið er merkt „b“ og sýnir sama feril, y=f(x). Þar er einnig sýndur heill flötur sem myndast þegar ferlinum er snúið um x-ásinn. — **Mynd 6.41.** (a) Nálgun á 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ með línustrikum. (b) Snúðflöturinn sem myndast þegar línustrikunum er snúið um 𝑥-ás. $x -ás .$

Þegar hverju línustriki er snúið um ásinn myndast ræma. Ræmurnar eru í raun hlutar úr keiluflötum (hugsið ykkur keilu þar sem oddurinn hefur verið skorinn af). Slíkur keiluhluti kallast keilustúfur.

Til að finna flatarmál beltisins þurfum við að finna hliðarflatarmálið, $S,$ á keilustúfnum (flatarmál skáhallandi ytra yfirborðs keilustúfsins eingöngu, án flatarmáls efri og neðri endaflatarins). Látum $r_{1}$ og $r_{2}$ vera geisla víðari og mjórri enda keilustúfsins, í sömu röð, og látum $l$ vera skáhæð keilustúfsins, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir keilustúf ofan x-ássins og y-ásinn liggur um miðju hans. Geisli neðri grunnflatar keilustúfsins er rsub1 og geisli efri grunnflatarins er rsub2. Lengd hliðarinnar er merkt „l“. — **Mynd 6.42.** Keilustúfur má nota til að nálga lítinn hluta yfirborðsins.

Hliðarflatarmál keilu fæst með

Hli arflatarm l = r s

þar sem $r$ er geisli grunnflatar keilunnar og $s$ er skáhæðin (sjá eftirfarandi mynd).

Á myndinni er keila. Keilan hefur geislann r, hæðina h og skáhæðina s. — **Mynd 6.43.** Hliðarflatarmál keilunnar fæst með 𝜋⁢𝑟⁢𝑠. $π r s .$

Líta má á keilustúf sem hluta af keilu. Hliðarflatarmál hans fæst því með því að draga hliðarflatarmál minni keilunnar, þ.e. keilutoppsins sem skorinn var af, frá hliðarflatarmáli allrar keilunnar (sjá eftirfarandi mynd).

Á myndinni er keilustúfur. Geisli neðri grunnflatar keilustúfsins er rsub1 og geisli efri grunnflatarins er rsub2. Skáhæðin er merkt „l“. Fyrir ofan keilustúfinn er einnig toppur keilu, sýndur með strikalínum. Skáhæð hans er s. — **Mynd 6.44.** Útreikningur á hliðarflatarmáli keilustúfs.

Þversnið litlu og stóru keilunnar eru einslaga þríhyrningar. Því gildir að

\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{s - l}{s} .

Einangrum $s,$ og þá fæst

\begin{matrix} \frac{r_{2}}{r_{1}} & = & \frac{s - l}{s} \\ r_{2} s & = & r_{1} (s - l) \\ r_{2} s & = & r_{1} s - r_{1} l \\ r_{1} l & = & r_{1} s - r_{2} s \\ r_{1} l & = & (r_{1} - r_{2}) s \\ \frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}} & = & s . \end{matrix}

Hliðarflatarmál keilustúfsins (SA) er því

\begin{matrix} S & = (hliðarflatarmál stóru keilunnar) - (hliðarflatarmál litlu keilunnar) \\ = π r_{1} s - π r_{2} (s - l) \\ = π r_{1} (\frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}}) - π r_{2} (\frac{r_{1} l}{r_{1} - r_{2}} - l) \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + π r_{2} l \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + \frac{π r_{2} l (r_{1} - r_{2})}{r_{1} - r_{2}} \\ = \frac{π r_{1}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} + \frac{π r_{1} r_{2} l}{r_{1} - r_{2}} - \frac{π r_{2}^{2} l}{r_{1} - r_{2}} \\ = \frac{π (r_{1}^{2} - r_{2}^{2}) l}{r_{1} - r_{2}} = \frac{π (r_{1} - r_{2}) (r_{1} + r_{2}) l}{r_{1} - r_{2}} = π (r_{1} + r_{2}) l . \end{matrix}

Notum nú þessa formúlu til að reikna yfirborðsflatarmál hverrar ræmu sem myndast þegar línustrikunum er snúið um $x -ás .$ Dæmigerð ræma er sýnd á eftirfarandi mynd.

Myndin er í tveimur hlutum. Í þeim fyrri er ferill í fyrsta fjórðungi. Umhverfis x-ásinn er keilustúfur og hlið hans liggur að ferlinum. Hliðin hefst við f(xsubi-1) og endar við f(xsubi). Í seinni hlutanum er sami ferill með sama keilustúf. Hæð keilustúfsins er delta x og ferillinn er merktur y=f(x). — **Mynd 6.45.** Dæmigerð ræma sem notuð er til að ákvarða yfirborðsflatarmál.

Skáhæð keilustúfsins er jöfn lengd línustriksins sem myndar hann. Formúlan fyrir yfirborðsflatarmál gefur því

\begin{matrix} S & = π (r_{1} + r_{2}) l \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) \sqrt{Δ x^{2} + {(Δ y_{i})}^{2}} \\ = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(\frac{Δ y_{i}}{Δ x})}^{2}} . \end{matrix}

Nú beitum við meðalgildissetningunni, eins og við gerðum þegar við leiddum út formúluna fyrir bogalengd, til að velja $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $f^{'} (x_{i}^{*}) = (Δ y_{i}) / Δ x .$ Þá fæst

S = π (f (x_{i - 1}) + f (x_{i})) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Þar sem $f (x)$ er samfellt segir milligildissetningin að til sé punktur $x_{i}^{* *} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $f (x_{i}^{* *}) = (1 / 2) [f (x_{i - 1}) + f (x_{i})],$ og því fæst

S = 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Nálgun á flatarmáli alls snúðflatarins fæst þá með

Yfirborðsflatarmál \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} .

Þetta lítur nánast út eins og Riemann-summa, nema föllin eru reiknuð í tveimur mismunandi punktum, $x_{i}^{*}$ og $x_{i}^{* *},$ á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Við förum ekki nánar út í smáatriðin hér. Þar sem $f (x)$ er slétt fæst þó sama markgildi og fyrir Riemann-summu, þótt föllin séu metin í tveimur mismunandi punktum þegar $n \to \infty,$ sem er eðlilegt: bæði $x_{i}^{*}$ og $x_{i}^{* *}$ eru á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}],$ og þegar $n \to \infty,$ nálgast bæði $x_{i}^{*}$ og $x_{i}^{* *}$ gildið $x .$ Nánari rökstuðning má finna í ítarlegri kennslubók í stærðfræðigreiningu.

Með því að láta $n \to \infty,$ fæst

Yfirborðsflatarmál = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π f (x_{i}^{* *}) Δ x \sqrt{1 + {(f^{'} (x_{i}^{*}))}^{2}} = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x .

Á sama hátt má, fyrir fall af $y$ , leiða út formúlu fyrir yfirborðsflatarmál snúðflatar um $y -ás .$ Niðurstöðurnar eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 6.21

Útreikningur á yfirborðsflatarmáli snúðflatar 1

Látum 𝑓⁡(𝑥)=√𝑥 $f (x) = \sqrt{x}$ á bilinu [1,4]. $[1, 4] .$ Finnið yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar grafi 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er snúið um 𝑥-ás. $x -ás .$ Námundið svarið að þremur aukastöfum.

Lausn

Graf 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ og snúðflöturinn eru sýnd á eftirfarandi mynd.

Á þessari mynd eru tvö gröf. Fyrra grafið sýnir ferilinn f(x)=√x. Ferillinn er vaxandi og hefst í upphafspunktinum. Á grafinu eru einnig lóðréttu línurnar x=1 og x=4. Síðara grafið sýnir sama fall og fyrra grafið. Svæðinu milli f(x) og x-ássins, sem afmarkast af x=1 og x=4, hefur verið snúið um x-ásinn og þannig myndað flöt. — **Mynd 6.46.** (a) Graf f ⁡ ( x ) . (b) Snúðflöturinn.

Fallið er 𝑓⁡(𝑥)=√𝑥. $f (x) = \sqrt{x} .$ Afleiðan er 𝑓′⁡(𝑥)=1/(2⁢√𝑥) $f^{'} (x) = 1 / (2 \sqrt{x})$ og (𝑓′⁡(𝑥))₂=1/(4⁢𝑥). ${(f^{'} (x))}^{2} = 1 / (4 x) .$ Því fæst

\begin{matrix} Yfirborðsflatarmál & = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4 x}}) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x . \end{matrix}

Látum 𝑢=𝑥+1/4. $u = x + 1 / 4 .$ Þá er 𝑑⁢𝑢=𝑑⁢𝑥. $d u = d x .$ Þegar 𝑥=1, $x = 1,$ 𝑢=5/4, $u = 5 / 4,$ og þegar 𝑥=4, $x = 4,$ 𝑢=17/4. $u = 17 / 4 .$ Því fæst

\begin{matrix} \int_{1}^{4} (2 π \sqrt{x + \frac{1}{4}}) d x & = \int_{5 / 4}^{17 / 4} 2 π \sqrt{u} d u \\ = 2 π {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{5 / 4}^{17 / 4} = \frac{π}{6} [17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5}] \approx 30.846. \end{matrix}

Dæmi 6.22

Útreikningur á yfirborðsflatarmáli snúðflatar 2

Látum 𝑓⁡(𝑥)=𝑦=3√3⁢𝑥. $f (x) = y = \sqrt[3]{3 x} .$ Skoðum þann hluta ferilsins þar sem 0≤𝑦≤2. $0 \leq y \leq 2 .$ Finnið yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar grafi 𝑓⁡(𝑥) $f (x)$ er snúið um 𝑦-ás. $y -ás .$

Lausn

Takið eftir að ferlinum er snúið um 𝑦-ás, $y -ás,$ og bilið er tilgreint með 𝑦, $y,$ og því ritum við fallið sem fall af y. Þá fæst 𝑥=𝑔⁡(𝑦)=(1/3)⁢𝑦3. $x = g (y) = (1 / 3) y^{3} .$ Graf 𝑔⁡(𝑦) $g (y)$ og snúðflöturinn eru sýnd á eftirfarandi mynd.

Á þessari mynd eru tvö gröf. Fyrra grafið sýnir ferilinn g(y)=1/3y^3. Ferillinn er vaxandi og hefst í upphafspunktinum. Á grafinu eru einnig láréttu línurnar y=0 og y=2. Seinna grafið sýnir sama fall og fyrra grafið. Svæðinu milli g(y) og y-ássins, sem afmarkast af y=0 og y=2, hefur verið snúið um y-ásinn og þannig myndað yfirborð. — **Mynd 6.47.** (a) Graf g ⁡ ( y ) . (b) Snúðflöturinn.

Ef 𝑔⁡(𝑦)=(1/3)⁢𝑦3, $g (y) = (1 / 3) y^{3},$ þá er 𝑔′⁡(𝑦)=𝑦2 $g^{'} (y) = y^{2}$ og (𝑔′⁡(𝑦))₂=𝑦4. ${(g^{'} (y))}^{2} = y^{4} .$ Því fæst

\begin{matrix} Yfirborðsflatarmál & = \int_{c}^{d} (2 π g (y) \sqrt{1 + {(g^{'} (y))}^{2}}) d y \\ = \int_{0}^{2} (2 π (\frac{1}{3} y^{3}) \sqrt{1 + y^{4}}) d y \\ = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y . \end{matrix}

Látum 𝑢=𝑦4+1. $u = y^{4} + 1 .$ Þá fæst 𝑑⁢𝑢=4⁢𝑦3⁢𝑑⁢𝑦. $d u = 4 y^{3} d y .$ Þegar 𝑦=0, $y = 0,$ 𝑢=1, $u = 1,$ og þegar 𝑦=2, $y = 2,$ 𝑢=17. $u = 17 .$ Því fæst

\begin{matrix} \frac{2 π}{3} \int_{0}^{2} (y^{3} \sqrt{1 + y^{4}}) d y & = \frac{2 π}{3} \int_{1}^{17} \frac{1}{4} \sqrt{u} d u \\ = \frac{π}{6} {[\frac{2}{3} u^{3 / 2}] |}_{1}^{17} = \frac{π}{9} [{(17)}^{3 / 2} - 1] \approx 24.118. \end{matrix}

Æfingar í undirkafla 6.4

Í eftirfarandi æfingum skal finna lengd grafa fallanna á gefna bilinu.

165.

𝑦=5⁢𝑥frá𝑥=0til𝑥=2 $y = 5 x frá x = 0 til x = 2$

166.

𝑦=−12⁢𝑥+25frá𝑥=1til𝑥=4 $y = - \frac{1}{2} x + 25 frá x = 1 til x = 4$

167.

𝑥=4⁢𝑦frá𝑦=−1til𝑦=1 $x = 4 y frá y = −1 til y = 1$

168.

Veljið eitthvert línulegt fall 𝑥=𝑔⁡(𝑦) $x = g (y)$ á einhverju bili að eigin vali (𝑦1,𝑦2). $(y_{1}, y_{2}) .$ Ákvarðið lengd grafs fallsins og sannið síðan með rúmfræði að lengdin sé rétt.

169.

Finnið yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum 𝑦=√𝑥 $y = \sqrt{x}$ er snúið um 𝑥-ás $x -ás$ frá (1,1) $(1, 1)$ til (4,2), $(4, 2),$ eins og sést hér.

Þessi mynd sýnir flöt. Hann hefur myndast með því að snúa ferlinum y=√x um x-ásinn. Flöturinn er inni í teningi til að sýna þrívídd.

170.

Finnið yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar ferlinum 𝑦=𝑥2 $y = x^{2}$ er snúið um 𝑦-ás $y -ás$ frá (1,1) $(1, 1)$ til (3,9). $(3, 9) .$

Þessi mynd sýnir flöt. Efst er hann sporöskjulaga og myndar „skál“.

Í eftirfarandi æfingum skal finna lengdir grafa fallanna af $x$ á gefna bilinu. Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota tölvu eða reiknivél til að nálga gildi þess.

171.

𝑦=𝑥3/2 $y = x^{3 / 2}$ frá (0,0)⁢til⁡(1,1) $(0, 0) til (1, 1)$

172.

𝑦=𝑥2/3 $y = x^{2 / 3}$ frá (1,1)⁢til⁡(8,4) $(1, 1) til (8, 4)$

173.

𝑦=13⁢(𝑥2+2)₃/2 $y = \frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2}$ frá 𝑥=0til𝑥=1 $x = 0 til x = 1$

174.

𝑦=13⁢(𝑥2−2)₃/2 $y = \frac{1}{3} {(x^{2} - 2)}^{3 / 2}$ frá 𝑥=2 $x = 2$ til 𝑥=4 $x = 4$

175.

[T] 𝑦=𝑒𝑥 $y = e^{x}$ frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=1 $x = 1$

176.

𝑦=𝑥33+14⁢𝑥 $y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ frá 𝑥=1til𝑥=3 $x = 1 til x = 3$

177.

𝑦=𝑥44+18⁢𝑥2 $y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ frá 𝑥=1til𝑥=2 $x = 1 til x = 2$

178.

𝑦=2⁢𝑥3/23−𝑥1/22 $y = \frac{2 x^{3 / 2}}{3} - \frac{x^{1 / 2}}{2}$ frá 𝑥=1til𝑥=4 $x = 1 til x = 4$

179.

𝑦=127⁢(9⁢𝑥2+6)₃/2 $y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{3 / 2}$ frá 𝑥=0til𝑥=2 $x = 0 til x = 2$

180.

[T] 𝑦=sin⁡𝑥 $y = sin x$ frá 𝑥=0til𝑥=𝜋 $x = 0 til x = π$

Í eftirfarandi æfingum skal finna lengdir grafa fallanna af $y$ á gefnu bili. Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota tölvu eða reiknivél til að nálga gildi þess.

181.

𝑦=5−3⁢𝑥4 $y = \frac{5 - 3 x}{4}$ frá 𝑦=0 $y = 0$ til 𝑦=4 $y = 4$

182.

𝑥=12⁢(𝑒𝑦+𝑒−𝑦) $x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{− y})$ frá 𝑦=−1til𝑦=1 $y = −1 til y = 1$

183.

𝑥=5⁢𝑦3/2 $x = 5 y^{3 / 2}$ frá 𝑦=0 $y = 0$ til 𝑦=1 $y = 1$

184.

[T] 𝑥=𝑦2 $x = y^{2}$ frá 𝑦=0 $y = 0$ til 𝑦=1 $y = 1$

185.

𝑥=√𝑦 $x = \sqrt{y}$ frá 𝑦=0til𝑦=1 $y = 0 til y = 1$

186.

𝑥=23⁢(𝑦2+1)₃/2 $x = \frac{2}{3} {(y^{2} + 1)}^{3 / 2}$ frá 𝑦=1 $y = 1$ til 𝑦=3 $y = 3$

187.

[T] 𝑥=tan⁡𝑦 $x = tan y$ frá 𝑦=0 $y = 0$ til 𝑦=34 $y = \frac{3}{4}$

188.

[T] 𝑥=cos2⁢𝑦 $x = {cos}^{2} y$ frá 𝑦=−𝜋2 $y = - \frac{π}{2}$ til 𝑦=𝜋2 $y = \frac{π}{2}$

189.

[T] 𝑥=4𝑦 $x = 4^{y}$ frá 𝑦=0til𝑦=2 $y = 0 til y = 2$

190.

[T] 𝑥=ln⁡(𝑦) $x = ln (y)$ frá 𝑦=1𝑒 $y = \frac{1}{e}$ til 𝑦=𝑒 $y = e$

Í eftirfarandi æfingum skal finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar eftirfarandi ferlum er snúið um $x -ás .$ Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota reiknivél til að nálga gildi þess.

191.

𝑦=√𝑥 $y = \sqrt{x}$ frá 𝑥=2 $x = 2$ til 𝑥=6 $x = 6$

192.

𝑦=𝑥3 $y = x^{3}$ frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=1 $x = 1$

193.

𝑦=7⁢𝑥 $y = 7 x$ frá 𝑥=−1til𝑥=1 $x = −1 til x = 1$

194.

[T] 𝑦=1𝑥2 $y = \frac{1}{x^{2}}$ frá 𝑥=1til𝑥=3 $x = 1 til x = 3$

195.

𝑦=√4−𝑥2 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ frá 𝑥=0til𝑥=2 $x = 0 til x = 2$

196.

𝑦=√4−𝑥2 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ frá 𝑥=−1til𝑥=1 $x = −1 til x = 1$

197.

𝑦=5⁢𝑥 $y = 5 x$ frá 𝑥=1til𝑥=5 $x = 1 til x = 5$

198.

[T] 𝑦=tan⁡𝑥 $y = tan x$ frá 𝑥=−𝜋4til𝑥=𝜋4 $x = - \frac{π}{4} til x = \frac{π}{4}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna yfirborðsflatarmál snúðflatarins sem myndast þegar eftirfarandi ferlum er snúið um $y -ás .$ Ef ekki er unnt að reikna heildið nákvæmlega skal nota reiknivél til að nálga gildi þess.

199.

𝑦=𝑥2 $y = x^{2}$ frá 𝑥=0til𝑥=2 $x = 0 til x = 2$

200.

𝑦=12⁢𝑥2+12 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ frá 𝑥=0til𝑥=1 $x = 0 til x = 1$

201.

𝑦=𝑥+1 $y = x + 1$ frá 𝑥=0til𝑥=3 $x = 0 til x = 3$

202.

[T] 𝑦=1𝑥 $y = \frac{1}{x}$ frá 𝑥=12 $x = \frac{1}{2}$ til 𝑥=1 $x = 1$

203.

𝑦=3√𝑥 $y = \sqrt[3]{x}$ frá 𝑥=1til𝑥=27 $x = 1 til x = 27$

204.

[T] 𝑦=3⁢𝑥4 $y = 3 x^{4}$ frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=1 $x = 1$

205.

[T] 𝑦=1√𝑥 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ frá 𝑥=1 $x = 1$ til 𝑥=3 $x = 3$

206.

[T] 𝑦=cos⁡𝑥 $y = cos x$ frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=𝜋2 $x = \frac{π}{2}$

207.

Lampafótur fæst með því að snúa fjórðungshringnum 𝑦=√2⁢𝑥−𝑥2 $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ um 𝑦-ás $y -ás$ frá 𝑥=1 $x = 1$ til 𝑥=2, $x = 2,$ eins og sést hér. Setjið fram heildi fyrir yfirborðsflatarmál þessa snúðflatar og reiknið það.

Myndin sýnir flöt. Hann er hálfur hjólflötur sem myndast þegar ferlinum y=√(2x−x²) er snúið um y-ásinn.

208.

Ljósapera er kúla með geisla 1/2 $1 / 2$ þumlungs. Neðan af henni er skorinn hluti svo að hún falli nákvæmlega að sívalningi með geisla 1/4 $1 / 4$ þumlungs og hæð 1/3 $1 / 3$ þumlungs, eins og hér sést. Þar sem skurðurinn fellur nákvæmlega að sívalningnum er geisli skurðhringsins 1/4 $1 / 4$ þumlungs. Finnið yfirborðsflatarmál (án efri og neðri grunnflatar sívalningsins).

Á þessari mynd eru tvær myndir. Sú fyrri sýnir kúlu ofan á sívalningi. Sú síðari sýnir ljósaperu.

209.

[T] Lampaskermur fæst með því að snúa 𝑦=1/𝑥 $y = 1 / x$ um 𝑥-ás $x -ás$ frá 𝑦=1 $y = 1$ til 𝑦=2, $y = 2,$ eins og sést hér. Ákvarðið með fjögurra aukastafa nákvæmni hversu mikið efni þarf í skerminn, þ.e. yfirborðsflatarmál hans.

Á þessari mynd eru tvær myndir. Sú fyrri líkist keilustúf með brúnum sem sveigjast inn á við. Sú síðari sýnir lampaskerm.

210.

[T] Akkeri dregst á eftir bát samkvæmt fallinu 𝑦=24⁢𝑒−𝑥/2−24, $y = 24 e^{− x / 2} - 24,$ þar sem 𝑦 $y$ táknar dýptina undir bátnum og 𝑥 $x$ er lárétt fjarlægð akkerisins frá afturenda bátsins. Ef akkerið er 23 $23$ fetum undir bátnum, hversu mikið af reipinu þarf að draga inn til að ná akkerinu? Námundið svarið að þremur aukastöfum.

211.

[T] Þið byggið 10 $10$ feta langa brú og ætlið að skreyta hana með reipi í laginu 𝑦=5⁢|sin⁡((𝑥⁢𝜋)/5)|, $y = 5 | sin ((x π) / 5) |,$ þar sem 𝑥 $x$ er fjarlægðin í fetum frá öðrum enda brúarinnar. Finnið hversu langt reipi þið þurfið að kaupa og gefið svarið upp sem heilan fjölda feta.

Í eftirfarandi æfingum skal finna nákvæma bogalengd á tilgreindu bili.

212.

𝑦=ln⁡(sin⁡𝑥) $y = ln (sin x)$ frá 𝑥=𝜋/4 $x = π / 4$ til 𝑥=(3⁢𝜋)/4. $x = (3 π) / 4 .$ (Vísbending: Rifjið upp samsemdir hornafalla.)

213.

[T] Teiknið gröf fallanna 𝑦=𝑥2, $y = x^{2},$ 𝑦=𝑥6, $y = x^{6},$ og 𝑦=𝑥10. $y = x^{10} .$ Fyrir 𝑦=𝑥𝑛, $y = x^{n},$ þegar 𝑛 $n$ vex, setjið fram tilgátu um bogalengd ferilsins milli (0,0) $(0, 0)$ og (1,1). $(1, 1) .$ Reiknið nú lengd grafs hvers þessara þriggja falla og ákvarðið hvort tilgátan sé rétt.

214.

Berið saman lengdir fleygbogans 𝑥=𝑦2 $x = y^{2}$ og línunnar 𝑥=𝑏⁢𝑦 $x = b y$ frá (0,0)⁢til⁡(𝑏2,𝑏) $(0, 0) til (b^{2}, b)$ eftir því sem 𝑏 $b$ vex. Hverju takið þið eftir?

215.

Reiknið lengd 𝑥=𝑦2 $x = y^{2}$ frá (0,0)⁢til⁡(1,1). $(0, 0) til (1, 1) .$ Sýnið að 𝑥=(1/2)⁢𝑦2 $x = (1 / 2) y^{2}$ frá (0,0) $(0, 0)$ til (2,2) $(2, 2)$ er tvöfalt lengri. Teiknið gröf beggja falla og útskýrið hvers vegna svo er.

216.

[T] Hvor er lengri milli (1,1) $(1, 1)$ og (2,1/2): $(2, 1 / 2) :$ breiðboginn 𝑦=1/𝑥 $y = 1 / x$ eða línan 𝑥+2⁢𝑦=3? $x + 2 y = 3 ?$

217.

Útskýrið hvers vegna yfirborðsflatarmálið er óendanlegt þegar grafinu 𝑦=1/𝑥 $y = 1 / x$ er snúið um 𝑥-ás $x -ás$ fyrir 1≤𝑥<∞, $1 \leq x < \infty,$ en rúmmálið er endanlegt.