66 Notkun heildunar

6.5 Hagnýting í eðlisfræði

Námsmarkmið

6.5.1 Ákvarðið massa einvíðs hlutar út frá línuþéttleikafalli hans.
6.5.2 Ákvarðið massa tvívíðs hringlaga hlutar út frá geislaþéttleikafalli hans.
6.5.3 Reiknið vinnuna sem breytilegur kraftur vinnur meðfram línu.
6.5.4 Reikna vinnuna sem unnin er við að dæla vökva úr einni hæð í aðra.
6.5.5 Finnið kraftinn vegna vökvastöðuþrýstings á lóðrétta plötu á kafi.

Í þessum undirkafla skoðum við nokkur dæmi um notkun heildunar í eðlisfræði. Við byrjum á því að reikna massa út frá þéttleikafalli. Síðan beinum við sjónum að vinnu og ljúkum undirkaflanum með umfjöllun um kraft vegna vökvastöðuþrýstings.

Massi og þéttleiki

Við getum notað heildun til að leiða út formúlu til að reikna massa út frá þéttleikafalli. Fyrst skoðum við granna stöng eða vír. Stillum stönginni þannig upp að hún liggi eftir $x -ás,$ með vinstri enda stangarinnar við $x = a$ og hægri enda stangarinnar við $x = b$ (Mynd 6.48). Athugið að þótt stöngin sé sýnd með nokkurri þykkt á myndunum gerum við í stærðfræðilegum tilgangi ráð fyrir að hún sé nógu grönn til að líta megi á hana sem einvíðan hlut.

Myndin sýnir x- og y-ás. Á x-ásnum er sívalningur sem hefst við x=a og endar við x=b. — **Mynd 6.48.** Við getum reiknað massa þunnrar stangar sem liggur eftir 𝑥-ás $x -ás$ með því að heilda þéttleikafall hennar.

Ef stöngin hefur fastan línuþéttleika $ρ,$ , gefinn sem massi á lengdareiningu, er massi stangarinnar einfaldlega margfeldi línuþéttleikans og lengdar stangarinnar: $(b - a) ρ .$ Ef línuþéttleiki stangarinnar er hins vegar ekki fastur verður verkefnið nokkru erfiðara. Þegar línuþéttleiki stangarinnar er breytilegur frá einum punkti til annars notum við línulegt eðlismassafall, $ρ (x),$ , til að tákna línuþéttleika stangarinnar í sérhverjum punkti, $x .$ Látum $ρ (x)$ vera heildanlegt línuþéttleikafall. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n$ látum nú $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins $[a, b],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Mynd 6.49 sýnir dæmigert bil á stönginni.

Myndin sýnir x- og y-ás. Á x-ásnum er sívalningur sem hefst við x=a og endar við x=b. Sívalningnum hefur verið skipt í bil. Eitt bil nálægt miðjunni hefst við xsub(i-1) og endar við xsubi. — **Mynd 6.49.** Dæmigerður hluti stangarinnar.

Massi $m_{i}$ stangarhlutans frá $x_{i - 1}$ til $x_{i}$ er nálgaður með

m_{i} \approx ρ (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Með því að leggja saman massa allra hlutanna fáum við nálgun á massa stangarinnar í heild:

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Með því að taka markgildið þegar $n \to \infty,$ fæst eftirfarandi stæða fyrir nákvæman massa stangarinnar:

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} ρ (x) d x .

Við setjum þessa niðurstöðu fram í eftirfarandi setningu.

Við beitum þessari setningu í næsta dæmi.

Dæmi 6.23

Útreikningur á massa út frá línuþéttleika

Lítum á granna stöng sem liggur eftir x-ásnum yfir bilið [𝜋/2,𝜋]. $[π / 2, π] .$ Ef línuþéttleiki stangarinnar er gefinn með 𝜌⁡(𝑥)=sin⁡𝑥, $ρ (x) = sin x,$ hver er þá massi stangarinnar?

Lausn

Með því að beita jöfnu 6.10 beint, fáum við

m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x = \int_{π / 2}^{π} sin x d x = {− cos x |}_{π / 2}^{π} = 1 .

Við útvíkkum nú þetta hugtak til að finna massa tvívíðrar hringskífu með geisla $r .$ Líkt og með stöngina í einvíða tilvikinu gerum við hér ráð fyrir að hringskífan sé svo þunn að í stærðfræðilegum tilgangi megi líta á hana sem tvívíðan hlut. Við gerum ráð fyrir að þéttleikinn sé gefinn sem massi á flatarmálseiningu (kallaður flatarþéttleiki) og enn fremur að hann sé aðeins breytilegur eftir geisla hringskífunnar (kallaður geislaþéttleiki). Við leggjum hringskífuna í $x y -plani,$ þannig að miðja hennar sé í upphafspunktinum. Þá má líta á þéttleika hringskífunnar sem fall af $x,$ , táknað með $ρ (x) .$ Við gerum ráð fyrir að $ρ (x)$ sé heildanlegt. Þar sem þéttleikinn er fall af $x,$ skiptum við bilinu frá $[0, r]$ eftir $x -ás .$ Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins $[0, r],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Notum nú skiptinguna til að skipta hringskífunni í þunna (tvívíða) hringkraga. Hringskífa og dæmigerður hringkragi eru sýnd á næstu mynd.

Á þessari mynd eru tvær teikningar. Sú fyrri er merkt „a“ og sýnir hring með geislann r. Miðja hringsins er merkt 0. Jákvæði x-ásinn hefst einnig í 0 og liggur í gegnum hringinn. Síðari teikningin er merkt „b“. Hún sýnir tvo sammiðja hringi með miðju í 0 og x-ásinn sem liggur út frá 0. Sammiðja hringirnir mynda hringkraga. Breidd hringkragans nær frá xsub(i-1) til xsubi og er merkt delta x. — **Mynd 6.50.** (a) Þunn skífa í xy-planinu. (b) Dæmigerður hringkragi.

Nú nálgum við eðlismassa og flatarmál hringkragans til að reikna nálgunargildi massans, $m_{i} .$ Athugið að flatarmál hringkragans er gefið með

\begin{matrix} A_{i} & = π {(x_{i})}^{2} - π {(x_{i - 1})}^{2} \\ = π [x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}] \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x . \end{matrix}

Þið munið ef til vill að við fengum svipaða stæðu þegar við reiknuðum rúmmál með hylkjaaðferðinni. Líkt og þar notum við $x_{i}^{*} \approx (x_{i} + x_{i - 1}) / 2$ til að nálga meðaltalsgeisla hringkragans. Við fáum

A_{i} = π (x_{i} + x_{i - 1}) Δ x \approx 2 π x_{i}^{*} Δ x .

Með því að nota $ρ (x_{i}^{*})$ til að nálga geislaþéttleika hringkragans nálgum við massa hans með

m_{i} \approx 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Þegar massar hringkraganna eru lagðir saman sést að massi $m$ allrar skífunnar er nálgaður með

m = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x .

Við sjáum aftur að þetta er Riemann-summa og tökum markgildið þegar $n \to \infty .$ Þetta gefur okkur

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 2 π x_{i}^{*} ρ (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x .

Við drögum þessar niðurstöður saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 6.24

Útreikningur massa út frá geislaþéttleika

Látum 𝜌⁡(𝑥)=√𝑥 $ρ (x) = \sqrt{x}$ tákna geislaþéttleika skífu. Reiknið massa skífu með geislann 4.

Lausn

Með því að beita formúlunni fáum við

\begin{matrix} m & = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x \\ = \int_{0}^{4} 2 π x \sqrt{x} d x = 2 π \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = 2 π {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{4 π}{5} [32] = \frac{128 π}{5} . \end{matrix}

Vinna sem kraftur vinnur

Fjöllum nú um vinnu. Í eðlisfræði tengist vinna krafti, sem oft er skilgreindur á innsæislegan hátt sem ýting eða tog sem verkar á hlut. Þegar kraftur færir hlut úr stað segjum við að krafturinn vinni vinnu á hlutnum. Með öðrum orðum má líta á vinnu sem þá orku sem þarf til að færa hlut úr stað. Samkvæmt eðlisfræðinni má, þegar krafturinn er fastur, lýsa vinnu sem margfeldi krafts og vegalengdar.

Í enska einingakerfinu er kraftseiningin pund og lengdareiningin fet, svo vinna er gefin upp í fetpundum. Í metrakerfinu eru notuð kílógrömm og metrar. Eitt njúton er sá kraftur sem þarf til að gefa $1$ kílógrammi af massa hröðunina $1$ m/sek². Algengasta eining vinnu er því njútonmetri. Þessi sama eining nefnist einnig júl. Báðar einingarnar eru skilgreindar sem kílógrömm sinnum metrar í öðru veldi deilt með sekúndum í öðru veldi $(kg \cdot m^{2} / s^{2}) .$

Þegar krafturinn er fastur er þetta tiltölulega einfalt. Kraftur er þó sjaldnast fastur. Vinnan sem þarf til að þjappa saman (eða lengja) gorm er til dæmis breytileg eftir því hversu mikið gorminum hefur þegar verið þjappað saman (eða hann teygður). Síðar í þessum undirkafla fjöllum við nánar um gorma.

Gerum ráð fyrir að breytilegur kraftur $F (x)$ færi hlut í jákvæða stefnu eftir x‑ásnum frá punkti $a$ að punkti $b .$ Til að reikna vinnuna sem krafturinn framkvæmir skiptum við bilinu $[a, b]$ og metum vinnuna á hverju hlutbili. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum því $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins $[a, b],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Til að reikna vinnuna við að færa hlut frá punkti $x_{i - 1}$ að punkti $x_{i},$ gerum við ráð fyrir að krafturinn sé nokkurn veginn fastur á bilinu og notum $F (x_{i}^{*})$ til að nálga kraftinn. Vinnan á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}],$ er þá gefin með

W_{i} \approx F (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) = F (x_{i}^{*}) Δ x .

Því er vinnan sem unnin er á bilinu $[a, b]$ um það bil

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x .

Þegar við tökum markgildi þessarar stæðu þegar $n \to \infty$ fæst nákvæmt gildi vinnunnar:

W = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} F (x_{i}^{*}) Δ x = \int_{a}^{b} F (x) d x .

Því getum við skilgreint vinnu sem hér segir.

Athugið að ef F er fasti, þá er gildi heildisins $F \cdot (b - a) = F \cdot d,$ sem er formúlan sem við settum fram í upphafi þessa undirkafla.

Lítum nú á tiltekið dæmi um vinnuna sem unnin er við að þjappa saman gormi eða teygja hann. Hugsum okkur kubb sem festur er við láréttan gorm. Kubburinn hreyfist fram og til baka þegar gormurinn teygist og þjappast saman. Í raunverulegum aðstæðum þyrftum við að taka tillit til núningskraftsins milli kubbsins og yfirborðsins sem hann hvílir á, en hér lítum við fram hjá núningi og gerum ráð fyrir að kubburinn hvíli á núningslausu yfirborði. Þegar gormurinn hefur náttúrulega lengd sína (er í hvíld) er kerfið sagt vera í jafnvægi. Í þessu ástandi er gormurinn hvorki teygður né samanþjappaður og kubburinn hreyfist ekki úr þessari jafnvægisstöðu fyrr en krafti er beitt. Við stillum hnitakerfinu þannig að $x = 0$ samsvari jafnvægisstöðunni (sjá eftirfarandi mynd).

Á þessari mynd eru þrjár teikningar. Sú fyrsta sýnir x-ásinn. Vinstra megin er lóðréttur kubbur. Við kubbinn er festur gormur sem endar við y-ásinn og er merktur x=0. Teikningin er merkt „jafnvægi“. Önnur teikningin sýnir sama gorm, en hann endar áður en hann nær y-ásnum. Hún er merkt x<0 og „samanþjappaður“. Þriðja teikningin sýnir sama gorm ná út fyrir y-ásinn. Hún er merkt x>0 og „teygður“. — **Mynd 6.51.** Kubbur sem er festur við láréttan gorm í jafnvægisstöðu, þegar gormurinn er þjappaður og þegar hann er teygður.

Samkvæmt lögmáli Hookes er krafturinn sem þarf til að þjappa saman eða teygja gorm frá jafnvægisstöðu gefinn með $F (x) = k x,$ fyrir einhvern fasta $k .$ Gildi $k$ ræðst af eðliseiginleikum gormsins. Fastinn $k$ kallast gormstuðull og er alltaf jákvæður. Við getum notað þessar upplýsingar til að reikna vinnuna sem þarf til að þjappa saman gormi eða teygja hann, eins og sýnt er í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 6.25

Vinnan sem þarf til að teygja eða þjappa saman gormi

Gerum ráð fyrir að kraft upp á 10 $10$ N (í neikvæða stefnu) þurfi til að þjappa gormi um 0.2 $0.2$ m frá jafnvægisstöðu. Hve mikil vinna er unnin við að teygja gorminn um 0.5 $0.5$ m frá jafnvægisstöðu?

Lausn

Fyrst finnum við gormstuðulinn, 𝑘. $k .$ Þegar 𝑥=−0.2, $x = −0.2,$ vitum við að 𝐹⁡(𝑥)=−10, $F (x) = −10,$ því

\begin{matrix} F (x) & = & k x \\ - 10 & = & k (−0.2) \\ k & = & 50 \end{matrix}

og 𝐹⁡(𝑥)=50⁢𝑥. $F (x) = 50 x .$ Til að reikna vinnuna heildum við síðan kraftfallið og fáum

W = \int_{a}^{b} F (x) d x = \int_{0}^{0.5} 5 0 x d x = {25 x^{2} |}_{0}^{0.5} = 6.25 .

Vinnan sem þarf til að teygja gorminn er 6.25 $6.25$ J.

Vinna við dælingu

Lítum á vinnuna sem þarf til að dæla vatni (eða öðrum vökva) úr geymi. Dæluverkefni eru örlítið flóknari en gormaverkefni þar sem margir útreikningar ráðast af lögun og stærð geymisins. Auk þess fjöllum við ekki um vinnuna sem þarf til að færa einn massa heldur vinnuna sem þarf til að færa tiltekið rúmmál vatns, og það kostar meiri vinnu að færa vatnið frá botni geymisins en frá efsta hluta hans.

Við skoðum ferlið fyrst fyrir sívalan geymi með geisla $4$ m og hæð $10$ m, sem er fylltur af vatni upp í 8 m dýpt. Hve mikla vinnu þarf til að dæla öllu vatninu upp fyrir efri brún geymisins?

Fyrst þurfum við að skilgreina viðmiðunarkerfi. Látum $x$ tákna lóðréttu fjarlægðina niður frá efsta hluta geymisins. Við látum sem sagt $x -ás$ liggja lóðrétt, með upphafspunktinn efst í geyminum og jákvæða stefnu niður á við (sjá eftirfarandi mynd).

Myndin sýnir lóðréttan réttan hringstrending sem táknar vatnstank. Geisli hringstrendingsins er 4 m og hæð hans er 10 m. Hæð vatnsins í hringstrendingnum er 8 m. Einnig er lárétt lína ofan við geyminn sem táknar x=0. Lóðrétt lína er dregin við hlið hringstrendingsins, með ör sem vísar niður og er merkt x. — **Mynd 6.52.** Hversu mikla vinnu þarf til að tæma geymi sem er að hluta til fylltur af vatni?

Í þessu hnitakerfi nær vatnið frá $x = 2$ til $x = 10 .$ Við skiptum því bilinu $[2, 1 0]$ og skoðum vinnuna sem þarf til að lyfta hverju einstöku „lagi“ af vatni. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum því $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins $[2, 1 0],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Mynd 6.53 sýnir dæmigert lag.

Myndin sýnir réttan hringstrending sem táknar vatnstank. Inni í hringstrendingnum er vatnslag með þykktina delta x. Lagið hefst við xsub(i-1) og endar við xsubi. — **Mynd 6.53.** Dæmigert vatnslag.

Í dæmum um dælingu er krafturinn sem þarf til að lyfta vatninu upp á brún geymisins sá kraftur sem þarf til að vinna gegn þyngdaraflinu og er því jafn þyngd vatnsins. Þar sem þyngdarþéttleiki vatns er $9800$ N/m³, eða $62.4$ lb/ft³, fæst þyngdin með því að reikna rúmmál hvers lags. Í þessu tilviki fæst

V = π {(4)}^{2} Δ x = 16 π Δ x .

Þá er krafturinn sem þarf til að lyfta hverju lagi

F = 980016 x = 156,800 x

Athugið að þetta skref verður örlítið erfiðara ef geymirinn er ekki sívalningslaga. Í næsta dæmi skoðum við geymi sem er ekki sívalningslaga.

Við þurfum einnig að vita um hvaða vegalengd þarf að lyfta vatninu. Miðað við val okkar á hnitakerfum getum við notað $x_{i}^{*}$ sem nálgun á vegalengdinni sem þarf að lyfta laginu um. Þá er vinnan við að lyfta $i -ta$ þykku vatnslaginu $W_{i}$ um það bil

W_{i} \approx 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

Með því að leggja saman vinnuna fyrir hvert lag sjáum við að áætluð vinna við að tæma geyminn er gefin með

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

Þetta er Riemann-summa, þannig að með því að taka markgildið þegar $n \to \infty,$ fæst

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x \\ = 156,800 π \int_{2}^{10} x d x \\ = 156,800 π {[\frac{x^{2}}{2}] |}_{2}^{10} = 7,526,400 π \approx 23,644,883. \end{matrix}

Vinnan sem þarf til að tæma geyminn er um það bil 23,650,000 J.

Í verkefnum um dælingu eru útreikningarnir mismunandi eftir lögun geymisins eða ílátsins. Eftirfarandi lausnaleið lýsir skref fyrir skref ferli við að leysa verkefni um dælingu.

Nú beitum við þessari lausnaraðferð í dæmi þar sem geymirinn er ekki sívalningslaga.

Dæmi 6.26

Dælingarverkefni með tanki sem er ekki sívalningslaga

Gerum ráð fyrir tanki í laginu eins og keila á hvolfi, með hæðina 12 $12$ fet og grunnflatargeislann 4 $4$ fet. Tankurinn er fullur í upphafi og vatni er dælt yfir efri brún hans þar til hæð vatnsins sem eftir er í geyminum er 4 $4$ fet. Hversu mikla vinnu þarf til að dæla þessu vatnsmagni úr geyminum?

Lausn

Geymirinn er sýndur á Mynd 6.54. Líkt og í dæminu með sívala geyminn látum við 𝑥-ás $x -ás$ liggja lóðréttan, með upphafspunktinn efst í geyminum og jákvæða stefnu niður á við (skref 1).

Myndin sýnir keilu á hvolfi. Ás liggur gegnum miðju keilunnar. Efst á keilunni er ásinn merktur x=0. — **Mynd 6.54.** Vatnsgeymir í laginu eins og keila á hvolfi.

Geymirinn er fullur í upphafi en í lokin eru 4 $4$ ft af vatni eftir. Miðað við valið viðmiðunarkerfi þurfum við því að skipta bilinu [0,8]. $[0, 8] .$ Fyrir 𝑖=0,1,2⁢,…,𝑛, $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum síðan 𝑃={𝑥𝑖} $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins [0,8], $[0, 8],$ og fyrir 𝑖=1,2⁢,…,𝑛, $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt 𝑥*𝑖∈[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]. $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Við getum nálgað rúmmál lags með því að nota hringskífu og síðan notað einslaga þríhyrninga til að finna geisla hringskífunnar (sjá næstu mynd).

Myndin skiptist í tvo hluta. Í fyrri hlutanum er x-ás. Fyrir neðan ásinn liggur skáhallt línustrik sem nær upp að x-ásnum. Við hlið línustriksins er láréttur réttur hringstrendingur. Í síðari hlutanum er rétthyrndur þríhyrningur sem samsvarar fyrri hlutanum og hefur línustrikið þar sem langhlið. Efri hluti þríhyrningsins er 4 einingar. Lengd lóðréttu hliðarinnar er 12 einingar. Lóðrétta hliðin skiptist einnig í tvo hluta; sá fyrri er xsubi og sá síðari er 12-xsubi. Skiptingin er í sömu hæð og hringstrendingurinn á fyrri hluta myndarinnar. — **Mynd 6.55.** Notkun einslaga þríhyrninga til að lýsa geisla vatnsskífu.

Af eiginleikum einslaga þríhyrninga fæst

\begin{matrix} \frac{r_{i}}{12 - x_{i}^{*}} & = & \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ 3 r_{i} & = & 12 - x_{i}^{*} \\ r_{i} & = & \frac{12 - x_{i}^{*}}{3} \\ = & 4 - \frac{x_{i}^{*}}{3} . \end{matrix}

Þá er rúmmál skífunnar

V_{i} = π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 2).

Þyngdarþéttleiki vatns er 62.4 $62.4$ lb/ft³, þannig að krafturinn sem þarf til að lyfta hverju lagi er um það bil

F_{i} \approx 62.4 π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 3).

Samkvæmt myndinni er vegalengdin sem lyfta þarf vatninu um um það bil 𝑥*𝑖 $x_{i}^{*}$ fet (skref 4), þannig að vinnan sem þarf til að lyfta laginu er um það bil

W_{i} \approx 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 5).

Með því að leggja saman vinnuna sem þarf til að lyfta öllum lögunum fáum við nálgunargildi fyrir heildarvinnuna:

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (skref 6).

Tökum markgildið þegar 𝑛→∞, $n \to \infty,$ fáum við

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x \\ = \int_{0}^{8} 62.4 π x {(4 - \frac{x}{3})}^{2} d x \\ = 62.4 π \int_{0}^{8} x (16 - \frac{8 x}{3} + \frac{x^{2}}{9}) d x = 62.4 π \int_{0}^{8} (16 x - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{x^{3}}{9}) d x \\ = 62.4 π {[8 x^{2} - \frac{8 x^{3}}{9} + \frac{x^{4}}{36}] |}_{0}^{8} = 10,649.6 π \approx 33,456.7. \end{matrix}

Það þarf um það bil 33,450 $33,450$ ft-lb vinnu til að tæma geyminn niður í æskilega hæð.

Kraftur og þrýstingur í vökvastöðu

Í þessum síðasta undirkafla skoðum við kraftinn og þrýstinginn sem verkar á hlut sem er á kafi í vökva. Í enska einingakerfinu er kraftur mældur í pundum. Í metrakerfinu er hann mældur í njútonum. Þrýstingur er kraftur á flatareiningu, þannig að í enska einingakerfinu er hann mældur í pundum á ferfet (eða, eins og ef til vill er algengara, pundum á fertommu, táknað psi). Í metrakerfinu er hann mældur í njútonum á fermetra, sem einnig kallast pasköl.

Við skulum byrja á einfalda tilvikinu þar sem plata með flatarmálið $A$ er á kafi í vatni í láréttri stöðu á dýpinu s (Mynd 6.56). Þá er krafturinn sem verkar á plötuna einfaldlega þyngd vatnsins fyrir ofan hana, en hann er gefinn með $F = ρ A s,$ þar sem $ρ$ er þyngdarþéttleiki vatns (þyngd á rúmmálseiningu). Til að finna vatnsstöðuþrýstinginn—það er að segja, þrýstinginn sem vatn beitir á hlut á kafi—deilum við kraftinum með flatarmálinu. Þrýstingurinn er því $p = F / A = ρ s .$

Myndin sýnir hringlaga plötu á kafi í vatni. Platan er merkt A og dýpi vatnsins er merkt s. — **Mynd 6.56.** Plata á kafi lárétt í vatni.

Samkvæmt lögmáli Pascals, er þrýstingur á tilteknu dýpi sá sami í öllum áttum og því skiptir ekki máli hvort platan er á kafi lárétt eða lóðrétt. Svo lengi sem við þekkjum dýpið þekkjum við því þrýstinginn. Við getum beitt lögmáli Pascals til að finna kraftinn sem verkar á lóðrétta fleti, svo sem stíflur. Við getum ekki beitt formúlunni $F = ρ A s$ beint, því dýpið er breytilegt frá einum punkti til annars á lóðréttum fleti. Eins og við höfum oft gert áður skiptum við því fletinum, myndum Riemann-summu og að lokum ákveðið heildi til að reikna kraftinn.

Gerum ráð fyrir að þunn plata sé á kafi í vatni. Við veljum hnitakerfi þannig að x-ásinn liggi lóðrétt, jákvæða stefnan vísi niður á við og punkturinn $x = 0$ samsvari hentugum viðmiðunarpunkti. Látum $s (x)$ tákna dýpið í punktinum x. Athugið að við látum oft $x = 0$ samsvara yfirborði vatnsins. Í þessu tilviki er dýpið í sérhverjum punkti einfaldlega gefið með $s (x) = x .$ Í sumum tilvikum gætum við þó viljað velja annan viðmiðunarpunkt fyrir $x = 0,$ og því höldum við áfram með útleiðsluna í almennara tilvikinu. Að lokum látum við $w (x)$ tákna breidd plötunnar í punktinum $x .$

Gerum ráð fyrir að efri brún plötunnar sé við punkt $x = a$ og neðri brún hennar við punkt $x = b .$ Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum síðan $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins $[a, b],$ og fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við einhvern punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Skiptingin skiptir plötunni í nokkrar þunnar, rétthyrndar ræmur (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir hringlaga plötu á kafi, séða ofan frá. x-ásinn er við hlið plötunnar. Þvermál plötunnar nær frá x=a til x=b. Í miðri plötunni er ræma með þykktina delta x. Á ásnum hefst þessi þykkt við x=xsub(i-1) og endar við x=xsubi. Lengd ræmunnar í plötunni er merkt w(csubi). — **Mynd 6.57.** Þunn plata á kafi lóðrétt í vatni.

Metum nú kraftinn á dæmigerða ræmu. Ef ræman er nægilega þunn getum við litið svo á að hún sé á föstu dýpi, $s (x_{i}^{*}) .$ Þá fæst

F_{i} = ρ A s = ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

Með því að leggja kraftana saman fáum við mat á kraftinum sem verkar á plötuna:

F \approx \sum_{i = 1}^{n} F_{i} = \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) .

Þetta er Riemann-summa, þannig að með því að taka markgildið fáum við nákvæman kraft. Við fáum

F = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ [w (x_{i}^{*}) Δ x] s (x_{i}^{*}) = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x .

(6.13)

Með því að reikna þetta heildi fáum við kraftinn sem verkar á plötuna. Við drögum þetta saman í eftirfarandi aðferð við lausn verkefna.

Dæmi 6.27

Útreikningur krafts vegna vökvastöðuþrýstings

Vatnsrenna, sem er 15 fet löng, hefur enda í laginu eins og jafnarma þríhyrningar sem snúa á hvolf, með 8 feta langa grunnlínu og 3 feta hæð. Finnið kraftinn á annan enda stokksins ef hann er fullur af vatni.

Lausn

Mynd 6.58 sýnir rennuna og nákvæmari mynd af öðrum enda hennar.

Á þessari mynd eru tvær myndir. Sú fyrri sýnir vatnsrennu með rétthyrndum hliðum. Lengd rennunnar er 15 fet, dýptin er 3 fet og breiddin er 8 fet. Seinni myndin sýnir þversnið rennunnar. Það er þríhyrningur. Efri hliðin er 8 fet á lengd og hliðar þríhyrningsins eru 5 fet á lengd. Hæðin er merkt 3 fet. — **Mynd 6.58.** (a) Vatnsrenna með þríhyrningslaga þversnið. (b) Mál annars enda vatnsrennunnar.

Veljum viðmiðunarkerfi þar sem 𝑥-ás $x -ás$ liggur lóðrétt og stefna niður á við er jákvæð. Veljum efri brún rennunnar sem punktinn sem samsvarar 𝑥=0 $x = 0$ (skref 1). Dýptarfallið er þá 𝑠⁡(𝑥)=𝑥. $s (x) = x .$ Með því að nota einslaga þríhyrninga sjáum við að 𝑤⁡(𝑥)=8−(8/3)⁢𝑥 $w (x) = 8 - (8 / 3) x$ (skref 2). Þyngdarþéttleiki vatns er 62.4 $62.4$ lb/ft³ (skref 3), þannig að með því að beita jöfnu 6.13 fáum við

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{0}^{3} 62.4 (8 - \frac{8}{3} x) x d x = 62.4 \int_{0}^{3} (8 x - \frac{8}{3} x^{2}) d x \\ = 62.4 {[4 x^{2} - \frac{8}{9} x^{3}] |}_{0}^{3} = 748.8. \end{matrix}

Vatnið verkar með 748,8 punda krafti á enda rennunnar (skref 4).

Dæmi 6.28

Kaflaupphaf: Útreikningur krafts vegna vökvastöðuþrýstings

Við beinum nú athygli okkar aftur að Hoover-stíflunni, sem minnst var á í upphafi þessa kafla. Stíflan sjálf er bogadregin en ekki flöt, en við gerum nokkrar einfaldandi forsendur til að auðvelda útreikningana. Gerum ráð fyrir að framhlið Hoover-stíflunnar sé í laginu eins og jafnarma trapisa með neðri grunnlínu 750 $750$ fet, efri grunnlínu 1250 $1250$ fet og hæð 750 $750$ fet (sjá eftirfarandi mynd).

Á þessari mynd eru tvær myndir. Sú fyrri sýnir stíflu. Á myndinni við hlið stíflunnar er trapisa sem sýnir mál stíflunnar. Efri grunnlínan er 1250 fet og sú neðri 750 fet. Hæðin er 750 fet.

Þegar miðlunarlónið er fullt er mesta dýpi Mead-vatns um 530 fet og yfirborð vatnsins er um 10 fetum neðan við efri brún stíflunnar (sjá eftirfarandi mynd).

Myndin sýnir trapisu með lengri grunnlínuna efst. Inni í henni er minni trapisa með hæðina 530 fet. Efri brún hennar er einnig 10 fet neðan við efri brún stærri trapisunnar. — **Mynd 6.59.** Einfaldað líkan af Hoover-stíflunni með áætluðum málum.

Finnið kraftinn sem verkar á flöt stíflunnar þegar lónið er fullt.
Suðvesturhluti Bandaríkjanna hefur glímt við þurrka og yfirborð Mead-vatns er um 125 fetum neðar en það væri ef miðlunarlónið væri fullt. Hver er krafturinn á framhlið stíflunnar við þessar aðstæður?

Lausn

Við byrjum á að velja viðmiðunarkerfi. Að venju látum við 𝑥-ás $x -ás$ liggja lóðréttan og veljum stefnu niður á við sem jákvæða. Að þessu sinni látum við hins vegar 𝑥=0 $x = 0$ tákna efsta hluta stíflunnar en ekki yfirborð vatnsins. Þegar miðlunarlónið er fullt er yfirborð vatnsins 10 $10$ ft neðan við efsta hluta stíflunnar, þannig að 𝑠⁡(𝑥)=𝑥−10 $s (x) = x - 10$ (sjá eftirfarandi mynd).

Mynd 6.60 Fyrst veljum við viðmiðunarkerfi.

Til að finna breiddarfallið notum við aftur einslaga þríhyrninga, eins og sýnt er á myndinni hér fyrir neðan.

Mynd 6.61 Við notum einslaga þríhyrninga til að ákvarða fall fyrir breidd stíflunnar. (a) Áætluð mál stíflunnar; (b) einslaga þríhyrningarnir auðkenndir.

Af myndinni sjáum við að 𝑤⁡(𝑥)=750+2⁢𝑟. $w (x) = 750 + 2 r .$ Með því að nota eiginleika einslaga þríhyrninga fáum við 𝑟=250−(1/3)⁢𝑥. $r = 250 - (1 / 3) x .$ Því fæst

𝑤⁡(𝑥)=1250−23⁢𝑥(skref 2). $w (x) = 1250 - \frac{2}{3} x (skref 2).$

Með því að nota þyngdarþéttleikann 62.4 $62.4$ lb/ft³ (skref 3) og með því að beita jöfnu 6.13 fáum við

𝐹=∫𝑏𝑎𝜌⁢𝑤⁡(𝑥)⁢𝑠⁡(𝑥)⁢𝑑⁢𝑥=∫5401062.4⁢(1250−23⁢𝑥)⁢(𝑥−10)𝑑𝑥=62.4⁢∫54010−23⁢[𝑥2−1885⁢𝑥+18750]⁢𝑑⁢𝑥=−62.4⁢(23)⁢[𝑥33−1885⁢𝑥22+18750⁢𝑥]∣54010≈8,832,245,000lb=4,416,122.5t. $\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{10}^{540} 62.4 (1250 - \frac{2}{3} x) (x - 10) d x = 62.4 \int_{10}^{540} - \frac{2}{3} [x^{2} - 1885 x + 18750] d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{1885 x^{2}}{2} + 18750 x] |}_{10}^{540} \approx 8,832,245,000 lb = 4,416,122.5 t . \end{matrix}$

Athugið breytinguna úr pundum í tonn (2000 $(2000$ lb = 1 $1$ tonn) (skref 4).
Takið eftir að þurrkarnir breyta dýptarfallinu okkar, 𝑠⁡(𝑥), $s (x),$ og heildismörkunum. Við höfum 𝑠⁡(𝑥)=𝑥−135. $s (x) = x - 135 .$ Neðra heildismarkið er 135. $135 .$ Efra heildismarkið er áfram 540. $540 .$ Þegar heildið er reiknað fáum við

\begin{matrix} F & = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x \\ = \int_{135}^{540} 62.4 (1250 - \frac{2}{3} x) (x - 135) d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x - 1875) (x - 135) d x = −62.4 (\frac{2}{3}) \int_{135}^{540} (x^{2} - 2010 x + 253125) d x \\ = −62.4 (\frac{2}{3}) {[\frac{x^{3}}{3} - 1005 x^{2} + 253125 x] |}_{135}^{540} \approx 5,015,230,000 lb = 2,507,615 t . \end{matrix}

Æfingar úr kafla 6.5

Reiknið vinnuna sem unnin er í eftirfarandi æfingum.

218.

Finnið vinnuna sem unnin er þegar fastur kraftur 𝐹=12 $F = 12$ lb færir stól frá 𝑥=0.9 $x = 0.9$ til 𝑥=1.1 $x = 1.1$ ft.

219.

Hve mikil vinna er unnin þegar einstaklingur lyftir 50 $50$ punda kassa af teiknimyndasögum upp á vörubíl sem er 3 $3$ fet frá jörðu?

220.

Hversu mikil vinna er unnin við að lyfta 20 $20$ kg barni af gólfinu upp í 2 $2$ m hæð? (Athugið að massi sem er1 $1$ kg hefur þyngdina 9.8 $9.8$ N nálægt yfirborði jarðar.)

221.

Finnið vinnuna sem unnin er þegar kassa er ýtt eftir gólfinu 2 $2$ m, þegar beitt er föstum krafti sem nemur 𝐹=100N. $F = 100 N .$

222.

Reiknið vinnuna sem kraftur 𝐹=12/𝑥2 $F = 12 / x^{2}$ N vinnur frá 𝑥=1 $x = 1$ til 𝑥=2 $x = 2$ m.

223.

Hve mikil vinna er unnin við að færa ögn frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=1 $x = 1$ m ef krafturinn sem verkar á hana er 𝐹=3⁢𝑥2 $F = 3 x^{2}$ N?

Í eftirfarandi æfingum skal finna massa einvíða hlutarins.

224.

Vír sem er 2 $2$ fet að lengd (og hefst í 𝑥=0) $x = 0)$ og hefur þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=𝑥2+2⁢𝑥 $ρ (x) = x^{2} + 2 x$ pund/fet

225.

Bílaloftnet sem er 3 $3$ fet á lengd (frá 𝑥=0) $x = 0)$ og hefur þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=3⁢𝑥+2 $ρ (x) = 3 x + 2$ pund/fet

226.

Málmstöng sem er 8 $8$ tommur á lengd (frá 𝑥=0) $x = 0)$ og hefur þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥) =𝑒(1/2)⁢𝑥 $ρ (x) = e^{(1 / 2) x}$ pund/tommu.

227.

Blýantur sem er 4 $4$ tommur á lengd (frá 𝑥=2) $x = 2)$ og hefur þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=5/𝑥 $ρ (x) = 5 / x$ únsa/tommu.

228.

Reglustika sem er 12 $12$ tommur á lengd (frá 𝑥=5) $x = 5)$ og hefur þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=ln⁡(𝑥)+(1/2)⁢𝑥2 $ρ (x) = ln (x) + (1 / 2) x^{2}$ únsur/tommu.

Í eftirfarandi æfingum skal finna massa tvívíða hlutarins sem hefur miðju í upphafspunktinum.

229.

Óvenjustór íshokkípökkur með radíus 2 $2$ tommur með þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=𝑥3−2⁢𝑥+5 $ρ (x) = x^{3} - 2 x + 5$

230.

Frisbídiskur með radíus 6 $6$ tommur og þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=𝑒−𝑥 $ρ (x) = e^{− x}$

231.

Plata með radíus 10 $10$ tommur og þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=1+cos⁡(𝜋⁢𝑥) $ρ (x) = 1 + cos (π x)$

232.

Lok á krukku með geislann 3 $3$ tommur með þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=ln⁡(𝑥+1) $ρ (x) = ln (x + 1)$

233.

Hringflötur með geisla 5 $5$ cm og þéttleikafallið 𝜌⁡(𝑥)=√3⁢𝑥 $ρ (x) = \sqrt{3 x}$

234.

12 $12$ tommu gormur er teygður í 15 $15$ tommur með 75 $75$ punda krafti. Hver er gormstuðullinn?

235.

Gormur hefur náttúrulega lengd 10 $10$ cm. Það þarf 2 $2$ J af vinnu til að teygja gorminn í 15 $15$ cm. Hversu mikla vinnu þyrfti til að teygja gorminn frá 15 $15$ cm í 20 $20$ cm?

236.

1 $1$ m langur gormur þarf 10 $10$ J til að teygja gorminn í 1.1 $1.1$ m. Hversu mikla vinnu þyrfti til að teygja gorminn frá 1 $1$ m í 1.2 $1.2$ m?

237.

Það þarf 5 $5$ J til að teygja fjöðrina úr 8 $8$ cm í 12 $12$ cm og 4 $4$ J til viðbótar til að teygja fjöðrina úr 12 $12$ cm í 14 $14$ cm. Hver er náttúruleg lengd gormsins?

238.

Höggdeyfir þjappast saman um 1 tommu undan 1 tonns þunga. Hver er gormstuðullinn?

239.

Kraftur að stærð 𝐹=20⁢𝑥−𝑥3 $F = 20 x - x^{3}$ N teygir ólínulega gorminn um 𝑥 $x$ metra. Hversu mikla vinnu þarf til að teygja gorminn frá 𝑥=0 $x = 0$ til 𝑥=2 $x = 2$ m?

240.

Finnið vinnuna sem þarf til að vinda upp hangandi streng sem er 100 $100$ fet að lengd og hefur þyngd á lengdareiningu 5 $5$ pund/fet.

241.

Hve mikil vinna er unnin við að lyfta kaplinum í undanfarandi æfingu 50 $50$ fet?

242.

Hve mikil viðbótarvinna er unnin fyrir strenginn í æfingunni á undan með því að hengja 200 $200$ lb lóð í enda strengsins?

243.

[T] Pýramídi sem er 500 $500$ ft á hæð er með ferningslaga grunnflöt sem er 800 $800$ ft sinnum 800 $800$ ft. Finnið flatarmálið 𝐴 $A$ í hæðinni ℎ. $h .$ Ef bergið sem notað var til að byggja pýramídann vegur um það bil 𝑤=100lb/ft3, $w = 100 {lb/ft}^{3},$ hversu mikla vinnu þurfti til að lyfta öllu berginu?

244.

[T] Gerum ráð fyrir að við byggingu pýramídans í æfingunni hér á undan hafi starfað 1000 $1000$ verkamenn sem hver um sig vann 10 $10$ klukkustundir á dag, 5 $5$ daga í viku, 50 $50$ vikur á ári. Ef verkamennirnir lyftu að meðaltali 10 steinum sem vógu 100 lb um 2 $2$ ft/hr, hversu langan tíma tók að byggja pýramídann?

245.

[T] Þyngdarkrafturinn sem verkar á massa 𝑚 $m$ er 𝐹=−((𝐺⁡𝑀⁢𝑚)/𝑥2) $F = − ((G M m) / x^{2})$ njúton. Reiknið vinnuna sem þarf til að lyfta eldflaug með massa 𝑚=1000kg, $m = 1000 kg,$ frá 𝑥=6400 $x = 6400$ upp í 𝑥=6500 $x = 6500$ km hæð. Gefið svörin með þremur markverðum tölustöfum. (Athugið: 𝐺=6.67 $\times ⁠$ 10−11N m2/kg2 $G = 6.67 \times 10^{−11} {N m}^{2} / {kg}^{2}$ og 𝑀=6 $\times ⁠$ 1024kg.) $M = 6 \times 10^{24} kg .)$

246.

[T] Fyrir eldflaugina í æfingunni á undan skal finna vinnuna sem þarf til að lyfta eldflauginni frá 𝑥=6400 $x = 6400$ til 𝑥=∞. $x = \infty .$

247.

[T] Rétthyrnd stífla er 40 $40$ fet á hæð og 60 $60$ fet á breidd. Gerið ráð fyrir að þyngdarþéttleiki vatns sé 62.5 lbs/ft³. Reiknið heildarkraftinn 𝐹 $F$ á stífluna þegar

yfirborð vatnsins er við efri brún stíflunnar og
vatnsyfirborðið er mitt á milli efri og neðri brúnar stíflunnar.

248.

[T] Reiknið vinnuna sem þarf til að dæla öllu vatninu úr hringstrendingi sem hefur hringlaga grunnflöt með geisla 5 $5$ fet og hæð 200 $200$ fet. Notið að þyngdarþéttleiki vatns er 62 $62$ pund/fet³.

249.

[T] Finnið vinnuna sem þarf til að dæla öllu vatninu úr hringstrendingnum í verkefninu á undan ef hringstrendingurinn er aðeins hálffullur.

250.

[T] Hve mikla vinnu þarf til að dæla vatninu úr sundlaug ef flatarmál botnsins er 800 $800$ ft², vatnsdýptin er 4 $4$ ft og efri brún laugarinnar er 1 $1$ ft fyrir ofan vatnsborðið? Gerið ráð fyrir að þyngdarþéttleiki vatns sé 62 $62$ lb/ft³.

251.

Sívalningur með dýptina 𝐻 $H$ og þverskurðarflatarmálið 𝐴 $A$ er fullur af vatni með eðlismassann 𝜌. $ρ .$ Reiknið vinnuna sem þarf til að dæla öllu vatninu upp að efri brúninni.

252.

Fyrir hringstrendinginn í æfingunni hér á undan skal reikna vinnuna sem þarf til að dæla öllu vatninu upp að efri brún hans ef hann er aðeins hálffullur.

253.

Keilulaga geymir hefur þverskurðarflatarmál sem eykst með dýptinni: 𝐴=(𝜋⁢𝑟2⁢ℎ2)/𝐻3. $A = (π r^{2} h^{2}) / H^{3} .$ Sýnið að vinnan við að tæma hann sé helmingur vinnunnar við að tæma hringstrending með sömu hæð og sama grunnflöt.