66 Notkun heildunar

Meginatriði

6.1 Flatarmál milli ferla

Rétt eins og nota má ákveðin heildi til að finna flatarmálið undir ferli má einnig nota þau til að finna flatarmálið milli tveggja ferla.
Flatarmálið milli tveggja ferla sem skilgreindir eru með föllum fæst með því að heilda mismun fallanna.
Ef gröf fallanna skerast eða svæðið er flókið skal nota algildi mismunar fallanna. Í því tilviki getur þurft að reikna tvö eða fleiri heildi og leggja niðurstöðurnar saman til að finna flatarmál svæðisins.
Stundum getur verið auðveldara að heilda með tilliti til y til að finna flatarmálið. Meginreglurnar eru þær sömu óháð því hvaða breyta er notuð sem heildunarbreyta.

6.2 Ákvörðun rúmmáls með sneiðum

Nota má ákveðin heildi til að finna rúmmál rúmhluta. Með sneiðaaðferðinni má finna rúmmál með því að heilda þversniðsflatarmálið.
Við útreikning á rúmmáli snúða eru rúmmálssneiðarnar oft skífur og þversniðin hringir. Skífuaðferðin felst í því að beita sneiðaaðferðinni í því sérstaka tilviki þegar þversniðin eru hringir og nota formúluna fyrir flatarmál hrings.
Ef snúður hefur holrúm í miðjunni eru rúmmálssneiðarnar hringkragar. Þegar hringkragaaðferðin er notuð er flatarmál innri hringsins dregið frá flatarmáli ytri hringsins áður en heildað er.

6.3 Rúmmál snúða: Sívalningshylki

Hylkjaaðferðin er önnur aðferð til að nota ákveðið heildi til að reikna rúmmál snúðs. Stundum er þessi aðferð heppilegri en skífuaðferðin eða hringkragaaðferðin vegna þess að heildað er með tilliti til hinnar breytunnar. Í sumum tilvikum er annað heildið mun flóknara en hitt.
Rúmfræðileg lögun fallanna og hversu erfið heildunin er ráða mestu um hvaða heildunaraðferð er valin.

6.4 Bogalengd ferils og yfirborðsflatarmál

Bogalengd ferils má reikna með ákveðnu heildi.
Bogalengdin er fyrst nálguð með línustrikum, sem gefur Riemann-summu. Þegar síðan er tekið markgildi fæst formúlan fyrir bogalengd sem ákveðið heildi. Sömu aðferð má beita á föll af 𝑦. $y .$
Alhæfa má hugtökin sem notuð eru til að reikna bogalengd og beita þeim til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatar.
Oft er erfitt að reikna heildin sem fást með formúlunum fyrir bogalengd og yfirborðsflatarmál. Nauðsynlegt kann að vera að nota tölvu eða reiknivél til að nálga gildi heildanna.

6.5 Hagnýting í eðlisfræði

Ákveðin heildi eiga sér ýmis algeng notkunarsvið í verkfræði og eðlisfræði.
Nota má ákveðin heildi til að ákvarða massa hlutar ef þéttleikafall hans er þekkt.
Einnig má reikna vinnu með því að heilda kraftfall, meðal annars þegar unnið er gegn þyngdarkraftinum eins og í dæmum um dælingu.
Einnig má nota ákveðin heildi til að reikna kraftinn sem verkar á hlut sem er á kafi í vökva.

6.6 Vægi og massamiðjur

Frá stærðfræðilegu sjónarmiði er massamiðja kerfis sá punktur þar sem hægt væri að samþjappa öllum massa kerfisins án þess að vægið breyttist. Í grófum dráttum má líta á massamiðjuna sem jafnvægispunkt kerfisins.
Fyrir punktmassa sem dreifast eftir talnalínu er vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins 𝑀=∑𝑛𝑖=1𝑚𝑖⁢𝑥𝑖. $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .$ Fyrir punktmassa sem dreifast í sléttu eru vægi kerfisins með tilliti til x- og y-ásanna gefin með 𝑀𝑥=∑𝑛𝑖=1𝑚𝑖⁢𝑦𝑖 $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ og 𝑀𝑦=∑𝑛𝑖=1𝑚𝑖⁢𝑥𝑖, $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i},$ í sömu röð.
Ef þunn plata afmarkast að ofan af falli 𝑓⁡(𝑥), $f (x),$ eru vægi kerfisins með tilliti til x- og y-ása, í sömu röð, 𝑀𝑥=𝜌⁢∫𝑏𝑎[𝑓⁡(𝑥)]22𝑑𝑥 $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ og 𝑀𝑦=𝜌⁢∫𝑏𝑎𝑥⁢𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥. $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
Hnit massamiðjunnar, x-hnitið og y-hnitið, má finna með því að deila vægjunum um y-ásinn og x-ásinn, í sömu röð, með heildarmassanum. Samhverfureglan segir að ef svæði er samhverft með tilliti til línu, þá liggi þungamiðja svæðisins á línunni.
Setning Pappusar um rúmmál segir að ef svæði er snúið um ytri ás sé rúmmál snúðsins sem myndast jafnt flatarmáli svæðisins margföldu með vegalengdinni sem þungamiðja svæðisins færist um.

6.7 Heildi, vísisföll og lograr

Í fyrri umfjöllun um logra og vísisföll voru föllin ekki skilgreind nákvæmlega og formlega. Í þessum undirkafla eru hugtökin sett fram á stærðfræðilega strangan hátt.
Hornsteinn þessarar umfjöllunar er skilgreining náttúrulega logranns með heildi.
Fallið 𝑒𝑥 $e^{x}$ er þá skilgreint sem andhverfa náttúrulega logranns.
Almenn vísisföll eru skilgreind með hjálp 𝑒𝑥, $e^{x},$ en samsvarandi andhverf föll eru almennir lograr.
Þekktir eiginleikar logra og veldisvísa gilda enn í þessu strangara samhengi.

6.8 Veldisvöxtur og veldishnignun

Veldisvöxtur og veldishnignun eru tvö algengustu notkunarsvið vísisfalla.
Kerfi sem sýna veldisvöxt fylgja líkani af gerðinni 𝑦=𝑦0⁢𝑒𝑘⁢𝑡. $y = y_{0} e^{k t} .$
Í veldisvexti er vaxtarhraðinn í réttu hlutfalli við það magn sem fyrir er. Með öðrum orðum, 𝑦′=𝑘⁢𝑦. $y^{'} = k y .$
Kerfi sem sýna veldisvöxt hafa fastan tvöföldunartíma sem er gefinn með (ln⁡2)/𝑘. $(ln 2) / k .$
Kerfi sem sýna veldishnignun fylgja líkani af gerðinni 𝑦=𝑦0⁢𝑒−𝑘⁢𝑡. $y = y_{0} e^{− k t} .$
Kerfi sem sýna veldishnignun hafa fastan helmingunartíma sem er gefinn með (ln⁡2)/𝑘. $(ln 2) / k .$

6.9 Stærðfræðigreining breiðbogafalla

Breiðbogaföll eru skilgreind með vísisföllum.
Með því að deilda lið fyrir lið fást deildunarreglur fyrir breiðbogaföllin. Af þeim leiða síðan heildunarreglur.
Með viðeigandi takmörkunum á myndmengi eiga öll breiðbogaföllin sér andhverfur.
Fólgin deildun gefur deildunarformúlur fyrir andhverfu breiðbogaföllin og af þeim leiða síðan heildunarformúlur.
Algengasta hagnýting breiðbogafalla í eðlisfræði felst í útreikningum á keðjulínum.

66 Notkun heildunar

Meginatriði

6.1 Flatarmál milli ferla

Rétt eins og nota má ákveðin heildi til að finna flatarmálið undir ferli má einnig nota þau til að finna flatarmálið milli tveggja ferla.
Flatarmálið milli tveggja ferla sem skilgreindir eru með föllum fæst með því að heilda mismun fallanna.
Ef gröf fallanna skerast eða svæðið er flókið skal nota algildi mismunar fallanna. Í því tilviki getur þurft að reikna tvö eða fleiri heildi og leggja niðurstöðurnar saman til að finna flatarmál svæðisins.
Stundum getur verið auðveldara að heilda með tilliti til y til að finna flatarmálið. Meginreglurnar eru þær sömu óháð því hvaða breyta er notuð sem heildunarbreyta.

6.2 Ákvörðun rúmmáls með sneiðum

Nota má ákveðin heildi til að finna rúmmál rúmhluta. Með sneiðaaðferðinni má finna rúmmál með því að heilda þversniðsflatarmálið.
Við útreikning á rúmmáli snúða eru rúmmálssneiðarnar oft skífur og þversniðin hringir. Skífuaðferðin felst í því að beita sneiðaaðferðinni í því sérstaka tilviki þegar þversniðin eru hringir og nota formúluna fyrir flatarmál hrings.
Ef snúður hefur holrúm í miðjunni eru rúmmálssneiðarnar hringkragar. Þegar hringkragaaðferðin er notuð er flatarmál innri hringsins dregið frá flatarmáli ytri hringsins áður en heildað er.

6.3 Rúmmál snúða: Sívalningshylki

Hylkjaaðferðin er önnur aðferð til að nota ákveðið heildi til að reikna rúmmál snúðs. Stundum er þessi aðferð heppilegri en skífuaðferðin eða hringkragaaðferðin vegna þess að heildað er með tilliti til hinnar breytunnar. Í sumum tilvikum er annað heildið mun flóknara en hitt.
Rúmfræðileg lögun fallanna og hversu erfið heildunin er ráða mestu um hvaða heildunaraðferð er valin.

6.4 Bogalengd ferils og yfirborðsflatarmál

Bogalengd ferils má reikna með ákveðnu heildi.
Bogalengdin er fyrst nálguð með línustrikum, sem gefur Riemann-summu. Þegar síðan er tekið markgildi fæst formúlan fyrir bogalengd sem ákveðið heildi. Sömu aðferð má beita á föll af 𝑦. $y .$
Alhæfa má hugtökin sem notuð eru til að reikna bogalengd og beita þeim til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatar.
Oft er erfitt að reikna heildin sem fást með formúlunum fyrir bogalengd og yfirborðsflatarmál. Nauðsynlegt kann að vera að nota tölvu eða reiknivél til að nálga gildi heildanna.

6.5 Hagnýting í eðlisfræði

Ákveðin heildi eiga sér ýmis algeng notkunarsvið í verkfræði og eðlisfræði.
Nota má ákveðin heildi til að ákvarða massa hlutar ef þéttleikafall hans er þekkt.
Einnig má reikna vinnu með því að heilda kraftfall, meðal annars þegar unnið er gegn þyngdarkraftinum eins og í dæmum um dælingu.
Einnig má nota ákveðin heildi til að reikna kraftinn sem verkar á hlut sem er á kafi í vökva.

6.6 Vægi og massamiðjur

Frá stærðfræðilegu sjónarmiði er massamiðja kerfis sá punktur þar sem hægt væri að samþjappa öllum massa kerfisins án þess að vægið breyttist. Í grófum dráttum má líta á massamiðjuna sem jafnvægispunkt kerfisins.
Fyrir punktmassa sem dreifast eftir talnalínu er vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins 𝑀=∑𝑛𝑖=1𝑚𝑖⁢𝑥𝑖. $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .$ Fyrir punktmassa sem dreifast í sléttu eru vægi kerfisins með tilliti til x- og y-ásanna gefin með 𝑀𝑥=∑𝑛𝑖=1𝑚𝑖⁢𝑦𝑖 $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ og 𝑀𝑦=∑𝑛𝑖=1𝑚𝑖⁢𝑥𝑖, $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i},$ í sömu röð.
Ef þunn plata afmarkast að ofan af falli 𝑓⁡(𝑥), $f (x),$ eru vægi kerfisins með tilliti til x- og y-ása, í sömu röð, 𝑀𝑥=𝜌⁢∫𝑏𝑎[𝑓⁡(𝑥)]22𝑑𝑥 $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ og 𝑀𝑦=𝜌⁢∫𝑏𝑎𝑥⁢𝑓⁡(𝑥)𝑑𝑥. $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
Hnit massamiðjunnar, x-hnitið og y-hnitið, má finna með því að deila vægjunum um y-ásinn og x-ásinn, í sömu röð, með heildarmassanum. Samhverfureglan segir að ef svæði er samhverft með tilliti til línu, þá liggi þungamiðja svæðisins á línunni.
Setning Pappusar um rúmmál segir að ef svæði er snúið um ytri ás sé rúmmál snúðsins sem myndast jafnt flatarmáli svæðisins margföldu með vegalengdinni sem þungamiðja svæðisins færist um.

6.7 Heildi, vísisföll og lograr

Í fyrri umfjöllun um logra og vísisföll voru föllin ekki skilgreind nákvæmlega og formlega. Í þessum undirkafla eru hugtökin sett fram á stærðfræðilega strangan hátt.
Hornsteinn þessarar umfjöllunar er skilgreining náttúrulega logranns með heildi.
Fallið 𝑒𝑥 $e^{x}$ er þá skilgreint sem andhverfa náttúrulega logranns.
Almenn vísisföll eru skilgreind með hjálp 𝑒𝑥, $e^{x},$ en samsvarandi andhverf föll eru almennir lograr.
Þekktir eiginleikar logra og veldisvísa gilda enn í þessu strangara samhengi.

6.8 Veldisvöxtur og veldishnignun

Veldisvöxtur og veldishnignun eru tvö algengustu notkunarsvið vísisfalla.
Kerfi sem sýna veldisvöxt fylgja líkani af gerðinni 𝑦=𝑦0⁢𝑒𝑘⁢𝑡. $y = y_{0} e^{k t} .$
Í veldisvexti er vaxtarhraðinn í réttu hlutfalli við það magn sem fyrir er. Með öðrum orðum, 𝑦′=𝑘⁢𝑦. $y^{'} = k y .$
Kerfi sem sýna veldisvöxt hafa fastan tvöföldunartíma sem er gefinn með (ln⁡2)/𝑘. $(ln 2) / k .$
Kerfi sem sýna veldishnignun fylgja líkani af gerðinni 𝑦=𝑦0⁢𝑒−𝑘⁢𝑡. $y = y_{0} e^{− k t} .$
Kerfi sem sýna veldishnignun hafa fastan helmingunartíma sem er gefinn með (ln⁡2)/𝑘. $(ln 2) / k .$

6.9 Stærðfræðigreining breiðbogafalla

Breiðbogaföll eru skilgreind með vísisföllum.
Með því að deilda lið fyrir lið fást deildunarreglur fyrir breiðbogaföllin. Af þeim leiða síðan heildunarreglur.
Með viðeigandi takmörkunum á myndmengi eiga öll breiðbogaföllin sér andhverfur.
Fólgin deildun gefur deildunarformúlur fyrir andhverfu breiðbogaföllin og af þeim leiða síðan heildunarformúlur.
Algengasta hagnýting breiðbogafalla í eðlisfræði felst í útreikningum á keðjulínum.