11 Föll og gröf

1.5 Vísisföll og lograföll

Námsmarkmið

1.5.1 Þekkja form vísisfalls.
1.5.2 Útskýra muninn á gröfum x b og b x .
1.5.3 Gera sér grein fyrir mikilvægi tölunnar e .
1.5.4 Þekkja form lografalls.
1.5.5 Útskýra sambandið milli vísisfalla og lografalla.
1.5.6 Lýsa því hvernig reikna má logra með öðrum grunni.
1.5.7 Þekkja breiðbogaföllin, gröf þeirra og helstu samsemdir.

Í þessum undirkafla skoðum við vísisföll og lograföll. Við notum eiginleika þessara falla til að leysa jöfnur sem innihalda vísis- eða lograliði og könnum merkingu og mikilvægi tölunnar $e .$ Við skilgreinum einnig breiðbogaföll og andhverf breiðbogaföll, sem fela í sér samsetningar vísisfalla og lografalla. (Athugið að í kaflanum Notkun heildunar setjum við fram aðrar skilgreiningar á vísisföllum og lograföllum og sýnum fram á að föllin hafi sömu eiginleika óháð því hvor skilgreiningin er notuð.)

Vísisföll

Vísisföll koma fyrir í mörgum hagnýtum viðfangsefnum. Eitt algengt dæmi er fólksfjölgun.

Til dæmis, ef stofn telur $P_{0}$ einstaklinga í upphafi og vex síðan um $2 %,$ á ári, er fjöldi einstaklinga í stofninum eftir 1 ár

P (1) = P_{0} + 0.02 P_{0} = P_{0} (1 + 0.02) = P_{0} (1.02) .

Stofnstærðin eftir 2 ár er

P (2) = P (1) + 0.02 P (1) = P (1) (1.02) = P_{0} {(1.02)}^{2} .

Almennt er stofnstærðin eftir $t$ ár

P (t) = P_{0} {(1.02)}^{t},

sem er vísisfall. Almennt séð er sérhvert fall af gerðinni $f (x) = b^{x},$ þar sem $b > 0, b \neq 1,$ er vísisfall með grunntölu $b$ og veldisvísi x. Vísisföll hafa fastar grunntölur og breytilega veldisvísa. Athugið að fall af gerðinni $f (x) = x^{b}$ fyrir einhvern fasta $b$ er ekki vísisfall heldur veldisfall.

Til að sjá muninn á vísisfalli og veldisfalli berum við saman föllin $y = x^{2}$ og $y = 2^{x} .$ Í töflu 1.10 sjáum við að bæði $2^{x}$ og $x^{2}$ stefna á óendanlegt þegar $x \to \infty .$ Að lokum verður þó $2^{x}$ stærra en $x^{2}$ og vex hraðar þegar $x \to \infty .$ Í hina áttina, þegar $x \to − \infty, x^{2} \to \infty,$ en $2^{x} \to 0 .$ Línan $y = 0$ er lárétt aðfella að $y = 2^{x} .$

𝒙 x	− 3 −3	− 2 −2	− 1 −1	0 0	1 1	2 2	3 3	4 4	5 5	6 6
𝒙 𝟐 x 2	9 9	4 4	1 1	0 0	1 1	4 4	9 9	1 6 16	2 5 25	3 6 36
𝟐 𝒙 2 x	1 / 8 1 / 8	1 / 4 1 / 4	1 / 2 1 / 2	1 1	2 2	4 4	8 8	1 6 16	3 2 32	6 4 64

Á mynd 1.43 teiknum við gröf fallanna $y = x^{2}$ og $y = 2^{x}$ til að sýna hvernig þau eru ólík.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -10 til 10 og y-ásinn frá 0 til 50. Grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er „y = x í öðru veldi“ og graf þess er fleygbogi. Fallið minnkar þar til það nær upphafspunktinum og tekur þá að vaxa. Síðara fallið er „y = 2 í veldinu x“. Graf þess hefst rétt ofan við x-ásinn og tekur að vaxa mjög hratt, hraðar en fyrra fallið. — **Mynd 1.43.** Bæði $2^{x}$ og $x^{2}$ stefna á óendanlegt þegar $x \to \infty,$ en $2^{x}$ vex hraðar en $x^{2} .$ Þegar $x \to − \infty, x^{2} \to \infty,$ en $2^{x} \to 0 .$

Útreikningur á gildum vísisfalla

Rifjum upp reglur um veldi: Ef $x$ er jákvæð heiltala skilgreinum við $b^{x} = b \cdot b \dots b$ (með $x$ þáttum af $b) .$ Ef $x$ er neikvæð heiltala, þá er $x = − y$ fyrir einhverja jákvæða heiltölu $y,$ og við skilgreinum $b^{x} = b^{− y} = 1 / b^{y} .$ Einnig er $b^{0}$ skilgreint sem $1 .$ Ef $x$ er ræð tala, þá er $x = p / q,$ þar sem $p$ og $q$ eru heiltölur og $b^{x} = b^{p / q} = \sqrt[q]{b^{p}} .$ Til dæmis er $9^{3 / 2} = \sqrt{9^{3}} = 27 .$ En hvernig er $b^{x}$ skilgreint ef $x$ er óræð tala? Til dæmis, hvað er átt við með $2^{\sqrt{2}} ?$ Þessari spurningu er of flókið að svara til fulls að svo stöddu; við getum þó nálgað svarið. Í töflu 1.11 tökum við saman nokkrar ræðar tölur sem nálgast $\sqrt{2},$ og sýnum einnig gildi $2^{x}$ fyrir hverja ræða tölu $x$ . Við fullyrðum að ef við veljum ræðar tölur $x$ sem nálgast $\sqrt{2},$ æ meir, þá nálgast gildi $2^{x}$ einhverja tölu $L .$ Við skilgreinum töluna $L$ sem $2^{\sqrt{2}} .$

𝒙 x	1 . 4 1.4	1 . 4 1 1.41	1 . 4 1 4 1.414	1 . 4 1 4 2 1.4142	1 . 4 1 4 2 1 1.41421	1 . 4 1 4 2 1 3 1.414213
𝟐 𝒙 2 x	2 . 6 3 9 2.639	2 . 6 5 7 3 7 2.65737	2 . 6 6 4 7 5 2.66475	2 . 6 6 5 1 1 9 2.665119	2 . 6 6 5 1 3 8 2.665138	2 . 6 6 5 1 4 3 2.665143

Dæmi 1.33

Bakteríuvöxtur

Gerum ráð fyrir að tiltekinn bakteríustofn tvöfaldist að stærð á $4$ klukkustunda fresti. Ef ræktun inniheldur í upphafi $1000$ bakteríur er fjöldi baktería eftir $4$ klukkustundir $n (4) = 1000 \cdot 2 .$ Fjöldi baktería eftir $8$ klukkustundir er $n (8) = n (4) \cdot 2 = 1000 \cdot 2^{2} .$ Almennt séð er fjöldi baktería eftir $4 m$ klukkustundir $n (4 m) = 1000 \cdot 2^{m} .$ Látum $t = 4 m,$ og sjáum þá að fjöldi baktería eftir $t$ klukkustundir er $n (t) = 1000 \cdot 2^{t / 4} .$ Finnið fjölda baktería eftir $6$ klukkustundir, $10$ klukkustundir og $24$ klukkustundir.

Lausn

Fjöldi baktería eftir 6 klukkustundir er $n (6) = 1000 \cdot 2^{6 / 4} \approx 2828$ bakteríur. Fjöldi baktería eftir $10$ klukkustundir er $n (10) = 1000 \cdot 2^{10 / 4} \approx 5657$ bakteríur. Fjöldi baktería eftir $24$ klukkustundir er $n (24) = 1000 \cdot 2^{6} = 64,000$ bakteríur.

Teikning grafa vísisfalla

Fyrir sérhverja grunntölu $b > 0, b \neq 1,$ er vísisfallið $f (x) = b^{x}$ skilgreint fyrir allar rauntölur $x$ og $b^{x} > 0 .$ Því er skilgreiningarmengi $f (x) = b^{x}$ jafnt $(− \infty, \infty)$ og myndmengið er $(0, \infty) .$ Til að teikna graf $b^{x},$ tökum við eftir því að þegar $b > 1, b^{x}$ er vaxandi á $(− \infty, \infty)$ og $b^{x} \to \infty$ þegar $x \to \infty,$ en $b^{x} \to 0$ þegar $x \to − \infty .$ Hins vegar, ef $0 < b < 1, f (x) = b^{x}$ er minnkandi á $(− \infty, \infty)$ og $b^{x} \to 0$ þegar $x \to \infty$ en $b^{x} \to \infty$ þegar $x \to − \infty$ (mynd 1.44).

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn frá 0 til 4. Grafið sýnir fjögur föll. Fyrsta fallið er „f(x) = 2 í veldinu x“, vaxandi sveigður ferill sem hefst rétt ofan við x-ásinn og tekur síðan að vaxa. Annað fallið er „f(x) = 4 í veldinu x“, vaxandi sveigður ferill sem hefst rétt ofan við x-ásinn og tekur síðan að vaxa hratt, hraðar en fyrsta fallið. Þriðja fallið er „f(x) = (1/2) í veldinu x“, minnkandi sveigður ferill sem lækkar þar til hann nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. Fjórða fallið er „f(x) = (1/4) í veldinu x“, minnkandi sveigður ferill sem lækkar þar til hann nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. Það minnkar hraðar en þriðja fallið. — **Mynd 1.44.** Ef 𝑏>1, $b > 1,$ þá er 𝑏𝑥 $b^{x}$ vaxandi á (−∞,∞). $(− \infty, \infty) .$ Ef 0<𝑏<1, $0 < b < 1,$ þá er 𝑏𝑥 $b^{x}$ minnkandi á (−∞,∞). $(− \infty, \infty) .$

Athugið að vísisföll uppfylla almenn veldislögmál. Til að rifja þessi lögmál upp setjum við þau fram sem reglur.

Dæmi 1.34

Beiting veldislögmálanna

Notið veldisreglurnar til að einfalda hverja af eftirfarandi stæðum.

(2⁢𝑥2/3)₃(4⁢𝑥−1/3)₂ $\frac{{(2 x^{2 / 3})}^{3}}{{(4 x^{−1 / 3})}^{2}}$
(𝑥3⁢𝑦−1)₂(𝑥⁢𝑦2)−2 $\frac{{(x^{3} y^{−1})}^{2}}{{(x y^{2})}^{−2}}$

Lausn

Við getum einfaldað þetta sem hér segir:
$\frac{{(2 x^{2 / 3})}^{3}}{{(4 x^{−1 / 3})}^{2}} = \frac{2^{3} {(x^{2 / 3})}^{3}}{4^{2} {(x^{−1 / 3})}^{2}} = \frac{8 x^{2}}{16 x^{−2 / 3}} = \frac{x^{2} x^{2 / 3}}{2} = \frac{x^{8 / 3}}{2} .$
Við getum einfaldað þetta sem hér segir:
$\frac{{(x^{3} y^{−1})}^{2}}{{(x y^{2})}^{−2}} = \frac{{(x^{3})}^{2} {(y^{−1})}^{2}}{x^{−2} {(y^{2})}^{−2}} = \frac{x^{6} y^{−2}}{x^{−2} y^{−4}} = x^{6} x^{2} y^{−2} y^{4} = x^{8} y^{2} .$

Talan e

Sérstök gerð vísisfalls kemur oft fyrir í hagnýtum viðfangsefnum. Til að lýsa henni skulum við skoða eftirfarandi dæmi um vísisvöxt sem verður til þegar vextir eru lagðir við höfuðstól á sparnaðarreikningi. Gerum ráð fyrir að einstaklingur leggi inn $P$ dollara á sparnaðarreikning með ársvöxtunum $r,$ sem eru lagðir við höfuðstólinn árlega. Fjárhæðin eftir 1 ár er

A (1) = P + r P = P (1 + r) .

Fjárhæðin eftir $2$ ár er

A (2) = A (1) + r A (1) = P (1 + r) + r P (1 + r) = P {(1 + r)}^{2} .

Almennt séð er upphæðin eftir $t$ ár

A (t) = P {(1 + r)}^{t} .

Ef féð er vaxtareiknað 2 sinnum á ári er fjárhæðin eftir hálft ár

A (\frac{1}{2}) = P + (\frac{r}{2}) P = P (1 + (\frac{r}{2})) .

Fjárhæðin eftir $1$ ár er

A (1) = A (\frac{1}{2}) + (\frac{r}{2}) A (\frac{1}{2}) = P (1 + \frac{r}{2}) + \frac{r}{2} (P (1 + \frac{r}{2})) = P {(1 + \frac{r}{2})}^{2} .

Eftir $t$ ár er fjárhæðin á reikningnum

A (t) = P {(1 + \frac{r}{2})}^{2 t} .

Alme $n$ n $t$ séð er fjárhæðinni á reikningnum eftir t ár lýst með eftirfarandi falli ef vextir eru lagðir við höfuðstólinn n sinnum á ári:

A (t) = P {(1 + \frac{r}{n})}^{n t} .

Hvað gerist þegar $n \to \infty ?$ Til að svara þessari spurningu látum við $m = n / r$ og skrifum

{(1 + \frac{r}{n})}^{n t} = {(1 + \frac{1}{m})}^{m r t},

og skoðum hegðun ${(1 + 1 / m)}^{m}$ þegar $m \to \infty,$ með því að nota gildistöflu (töflu 1.12).

𝒎 m	1 0 10	1 0 0 100	1 0 0 0 1000	1 0 , 0 0 0 10,000	1 0 0 , 0 0 0 100,000	1 , 0 0 0 , 0 0 0 1,000,000
( 𝟏 + 𝟏 𝒎 ) 𝒎 ( 1 + 1/m ) m	2 . 5 9 3 7 2.5937	2 . 7 0 4 8 2.7048	2 . 7 1 6 9 2 2.71692	2 . 7 1 8 1 5 2.71815	2 . 7 1 8 2 6 8 2.718268	2 . 7 1 8 2 8 0 2.718280

Af töflunni virðist mega ráða að ${(1 + 1 / m)}^{m}$ stefni á tölu milli $2.7$ og $2.8$ þegar $m \to \infty .$ Reyndar stefnir ${(1 + 1 / m)}^{m}$ á tiltekna tölu þegar $m \to \infty .$ Við köllum þ $e$ ssa tölu e. Með sex aukastöfum er

e \approx 2.718282 .

Svissneski stærðfræðingurinn Leonhard Euler notaði fyrstur bókstafinn $e$ til að tákna þessa tölu á 3. áratug 18. aldar. Þótt Euler hafi ekki uppgötvað töluna sýndi hann fram á mörg mikilvæg tengsl milli $e$ og lografalla. Enn í dag notum við táknunina $e$ til heiðurs verkum Eulers, enda kemur hún fyrir á mörgum sviðum stærðfræðinnar og nýtist í fjölmörgum hagnýtum viðfangsefnum.

Ef við snúum aftur að dæminu um sparnaðarreikninginn getum við ályktað að ef einstaklingur leggur $P$ dollara inn á reikning með ársvöxtum $r,$ sem reiknast samfellt, þá er $A (t) = P e^{r t} .$ Þ $e$ tta fall kann að vera kunnuglegt. Þar sem föll með grunntöluna e koma oft fyrir í hagnýtum viðfangsefnum köllum við fallið $f (x) = e^{x}$ hið náttúrulega vísisfall. Fallið er áhugavert, ekki aðeins vegna skilgreiningarinnar á tölunni $e,$ heldur einnig vegna þess að graf þess hefur mikilvægan eiginleika, eins og fjallað verður um næst.

Þar sem $e > 1,$ vitum við að $e^{x}$ er vaxandi á $(− \infty, \infty) .$ Á mynd 1.45 sýnum við graf $f (x) = e^{x}$ ásamt snertilínu við grafið í $x = 0 .$ Í næsta ka $f$ la skilgreinum við snertilínu nákvæmlega, en óformlega segjum við að snertilína við graf f í $x = a$ sé lína sem liggur í gegnum punktinn $(a, f (a))$ og he $f$ ur sömu „hallatölu“ og f í þeim punkti $.$ Fallið $f (x) = e^{x}$ er eina vísisfallið $b^{x}$ sem hefur snertilínu í $x = 0$ með hallatöluna 1. Eins og við sjáum síðar í bókinni gerir þessi eiginleiki náttúrulega vísisfallið að einfaldasta vísisfallinu í notkun við margvíslegar aðstæður.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn nær frá 0 til 4. Grafið sýnir fallið „f(x) = e í veldinu x“, vaxandi feril sem hefst rétt ofan við x-ásinn. Skurðpunkturinn við y-ásinn er punkturinn (0, 1). Í þessum punkti er dreginn snertill við graf fallsins. Línan er merkt „halli = 1“. — **Mynd 1.45.** Graf $f (x) = e^{x}$ hefur snertilínu með hallatöluna $1$ í $x = 0 .$

Dæmi 1.35

Vaxtavextir

Gerum ráð fyrir að $⁢500 $$ 500$ sé lagt inn á reikning með ársvöxtum sem nema 𝑟=5.5%, $r = 5.5 %,$ þar sem vextir eru reiknaðir samfellt.

Látum $t$ tákna fjölda ára frá upphaflegu fjárfestingunni og $A (t)$ tákna fjárhæðina á reikningnum á tíma $t .$ Finnið formúlu fyrir $A (t) .$
Finnið fjárhæðina á reikningnum eftir $10$ ár og eftir $20$ ár.

Lausn

Ef 𝑃 $P$ dollarar eru lagðir inn á reikning með ársvöxtum 𝑟, $r,$ þar sem vextir eru reiknaðir samfellt, þá er 𝐴⁡(𝑡)=𝑃⁢𝑒𝑟⁢𝑡. $A (t) = P e^{r t} .$ Hér er 𝑃=$⁢500 $P = $ 500$ og 𝑟=0.055. $r = 0.055 .$ Því er 𝐴⁡(𝑡)=500⁢𝑒0.055⁢𝑡. $A (t) = 500 e^{0.055 t} .$
Eftir $10$ ár er fjárhæðin á reikningnum
$A (10) = 500 e^{0.055 \cdot 10} = 500 e^{0.55} \approx $ 866.63 .$

Eftir $20$ ár er fjárhæðin á reikningnum
$A (20) = 500 e^{0.055 \cdot 20} = 500 e^{1.1} \approx $ 1, 502.08 .$

Lograföll

Með því að nýta skilning okkar á vísisföllum getum við fjallað um andhverf föll þeirra, sem eru lograföllin. Þau koma að góðum notum þegar við þurfum að skoða fyrirbæri sem getur tekið gildi á mjög víðu bili, svo sem pH-gildi í efnafræði eða hljóðstyrk í desíbelum.

Vísisfallið $f (x) = b^{x}$ er eintækt, með skilgreiningarmengi $(− \infty, \infty)$ og myndmengi $(0, \infty) .$ Því á það sér andhverft fall, sem nefnist lografall með grunntölu $b .$ Fyrir sérhvert $b > 0, b \neq 1,$ hefur lografallið með grunntölu b, táknað með ${log}_{b},$ skilgreiningarmengið $(0, \infty)$ og myndmengið $(− \infty, \infty),$ og uppfyllir

{log}_{b} (x) = y þá og því aðeins að b^{y} = x .

Til dæmis,

\begin{matrix} {log}_{2} (8) = 3 & þar sem 2^{3} = 8, \\ {log}_{10} (\frac{1}{100}) = −2 & þar sem 10^{−2} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100}, \\ {log}_{b} (1) = 0 & þar sem b^{0} = 1 fyrir sérhverja grunntölu b > 0 . \end{matrix}

Enn fremur, þar sem $y = {log}_{b} (x)$ og $y = b^{x}$ eru andhverf föll,

{log}_{b} (b^{x}) = x og b^{{log}_{b} (x)} = x .

Algengasta lografallið er fallið ${log}_{e} .$ Þar s $e$ m þetta fall notar töluna e sem grunntölu kallast það náttúrlegi logrinn. Hér notum við táknunina $ln (x)$ eða $ln x$ í merkingunni ${log}_{e} (x) .$ Til dæmis,

ln (e) = {log}_{e} (e) = 1, ln (e^{3}) = {log}_{e} (e^{3}) = 3, ln (1) = {log}_{e} (1) = 0 .

Þar sem föllin $f (x) = e^{x}$ og $g (x) = ln (x)$ eru andhverf hvort annars,

ln (e^{x}) = x og e^{ln x} = x,

og gröf þeirra eru samhverf um línuna $y = x$ (mynd 1.46).

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn frá -3 til 4. Grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er „f(x) = e í veldinu x“, vaxandi bogið fall sem hefst rétt ofan við x-ásinn. Skurðpunktur þess við y-ásinn er punkturinn (0, 1) og það sker ekki x-ásinn. Síðara fallið er „f(x) = ln(x)“, vaxandi bogið fall. Skurðpunktur þess við x-ásinn er punkturinn (1, 0) og það sker ekki y-ásinn. Einnig er dregin punktalína, merkt „y = x“, á grafið til að sýna að föllin eru spegilmyndir hvort annars um þessa línu. — **Mynd 1.46.** Föllin $y = e^{x}$ og $y = ln (x)$ eru andhverf hvort öðru, þannig að gröf þeirra eru samhverf um línuna $y = x .$

Almennt gildir að fyrir sérhverja grunntölu $b > 0, b \neq 1,$ er fallið $g (x) = {log}_{b} (x)$ samhverft um línuna $y = x$ við fallið $f (x) = b^{x} .$ Með hliðsjón af þessu og gröfum vísisfallanna teiknum við gröf fallanna ${log}_{b}$ fyrir nokkur gildi $b > 1$ (mynd 1.47).

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn nær frá 0 til 4. Grafið sýnir þrjú föll. Öll þrjú föllin eru vaxandi, sveigð lograföll sem hefjast örlítið hægra megin við y-ásinn og skera x-ásinn í punktinum (1, 0). Fyrsta fallið er „y = log með grunntölu 10 (x)“, annað fallið er „f(x) = ln(x)“ og þriðja fallið er „y = log með grunntölu 2 (x)“. Þriðja fallið vex hraðast, annað fallið næsthraðast og fyrsta fallið hægast. — **Mynd 1.47.** Gröf $y = {log}_{b} (x)$ eru sýnd fyrir $b = 2, e, 10 .$

Áður en við leysum nokkrar jöfnur sem fela í sér vísisföll og lograföll skulum við rifja upp helstu eiginleika logra.

Dæmi 1.36

Lausn jafna sem innihalda vísisföll

Leysið hverja af eftirfarandi jöfnum með tilliti til 𝑥. $x .$

5𝑥=2 $5^{x} = 2$
𝑒𝑥+6⁢𝑒−𝑥=5 $e^{x} + 6 e^{− x} = 5$

Lausn

Þegar náttúrulega lografallinu er beitt á báðar hliðar jöfnunnar fæst
ln⁡5𝑥=ln⁡2. $ln 5^{x} = ln 2 .$

Með því að nota veldisreglu logra fæst
𝑥⁢ln⁡5=ln⁡2. $x \ln 5 = \ln 2 xln 5 = \ln 2$

Því er 𝑥=ln⁡2/⁢ln⁡5. $x = ln 2 / ln 5 .$
Með því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með 𝑒𝑥, $e^{x},$ fáum við jöfnuna
𝑒2⁢𝑥+6=5⁢𝑒𝑥. $e^{2 x} + 6 = 5 e^{x} .$

Ef við umritum þessa jöfnu sem
𝑒2⁢𝑥−5⁢𝑒𝑥+6=0, $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0,$

getum við síðan umritað hana sem annars stigs jöfnu í 𝑒𝑥: $e^{x} :$

(𝑒𝑥)₂−5⁢(𝑒𝑥)+6=0. ${(e^{x})}^{2} - 5 (e^{x}) + 6 = 0 .$

Nú getum við leyst annars stigs jöfnuna. Með því að þátta þessa jöfnu fáum við
(𝑒𝑥−3)⁢(𝑒𝑥−2)=0. $(e^{x} - 3) (e^{x} - 2) = 0 .$

Því uppfylla lausnirnar 𝑒𝑥=3 $e^{x} = 3$ og 𝑒𝑥=2. $e^{x} = 2 .$ Ef við tökum náttúrulega logrann af báðum hliðum fáum við lausnirnar 𝑥=ln⁡3,ln⁡2. $x = ln 3, ln 2 .$

Dæmi 1.37

Lausn jafna sem innihalda lograföll

Leysið hverja af eftirfarandi jöfnum með tilliti til $x .$

ln⁡(1𝑥)=4 $ln (\frac{1}{x}) = 4$
log10⁢√𝑥+log10⁢𝑥=2 ${logri}_{10} \sqrt{x} + {logri}_{10} x = 2$
ln⁡(2⁢𝑥)−3⁢ln⁡(𝑥2)=0 $ln (2 x) - 3 ln (x^{2}) = 0$

Lausn

Samkvæmt skilgreiningu náttúrulega lografallsins gildir
$ln (\frac{1}{x}) = 4 þá og því aðeins að e^{4} = \frac{1}{x} .$

Því er lausnin $x = 1 / e^{4} .$
Með því að beita margfeldis- og veldisreglum logra má umrita vinstri hlið jöfnunnar sem
${log}_{10} \sqrt{x} + {log}_{10} x = {log}_{10} x \sqrt{x} = {log}_{10} x^{3 / 2} = \frac{3}{2} {log}_{10} x .$

Því má umrita jöfnuna sem
$\frac{3}{2} {log}_{10} x = 2 eða {log}_{10} x = \frac{4}{3} .$

Lausnin er $x = 10^{4 / 3} = 10 \sqrt[3]{10} .$
Með því að nota veldisreglu lografalla getum við umritað jöfnuna sem ln⁡(2⁢𝑥)−ln⁡(𝑥6)=0. $ln (2 x) - ln (x^{6}) = 0 .$
Með því að nota deilingarregluna fæst
ln⁡(2𝑥5)=0. $ln (\frac{2}{x^{5}}) = 0 .$

Því er 2/𝑥5=1, $2 / x^{5} = 1,$ sem leiðir til þess að 𝑥=5√2. $x = \sqrt[5]{2} .$ Síðan ættum við að kanna hvort einhverjar aðskotalausnir hafi komið fram.

Þegar gildi lografalls er reiknað með reiknivél má taka eftir því að einu valkostirnir eru ${log}_{10}$ eða log, sem nefnist tuglogri, og ln, sem er náttúrulegi logrinn. Vísisföll og lograföll má hins vegar setja fram með hvaða grunntölu $b .$ sem óskað er. Ef nota þarf reiknivél til að reikna gildi stæðu með annarri grunntölu má fyrst beita grunnskiptiformúlunum. Með þessum grunnskiptum ritum við tiltekið vísisfall eða lografall yfirleitt með náttúrulega vísisfallinu og náttúrulega lografallinu.

Sönnun

Fyrri grunnskiptaformúluna leiðum við út með því að beita veldisreglu logra. Við vitum að fyrir sérhverja grunntölu $b > 0, b \neq 1, {log}_{b} (a^{x}) = x {log}_{b} a .$ Því gildir:

b^{{log}_{b} (a^{x})} = b^{x {log}_{b} a} .

Auk þess vitum við að $b^{x}$ og ${log}_{b} (x)$ eru andhverf föll. Þess vegna gildir:

b^{{log}_{b} (a^{x})} = a^{x} .

Með því að sameina þessar tvær síðustu jöfnur ályktum við að $a^{x} = b^{x {log}_{b} a} .$

Til að sanna seinni eiginleikann sýnum við að

({log}_{b} a) \cdot ({log}_{a} x) = {log}_{b} x .

Látum $u = {log}_{b} a, v = {log}_{a} x,$ og $w = {log}_{b} x .$ Við sýnum að $u \cdot v = w .$ Af skilgreiningu lografalla vitum við að $b^{u} = a, a^{v} = x,$ og $b^{w} = x .$ Af jöfnunum hér að framan sjáum við að

b^{u v} = {(b^{u})}^{v} = a^{v} = x = b^{w} .

Þar af leiðandi er $b^{u v} = b^{w} .$ Þar sem vísisföll eru eintæk getum við ályktað að $u \cdot v = w .$

□

Dæmi 1.38

Skipt um grunntölu

Notið reiknitæki til að reikna út ${log}_{3} 7$ með grunnskiptiformúlunni sem kynnt var hér að framan.

Lausn

Notið seinni jöfnuna með $a = 3$ og $e = 3 :$

log3⁢7=ln⁡7ln⁡3≈1.77124. ${log}_{3} 7 = \frac{ln 7}{ln 3} \approx 1.77124 .$

Dæmi 1.39

Kaflaupphaf: Richter-kvarðinn fyrir jarðskjálfta

Ljósmynd af jarðskjálftamisgengi. — **Mynd 1.48.** (mynd: breytt útgáfa af verki eftir Robb Hannawacker, Þjóðgarðaþjónusta Bandaríkjanna (NPS))

Árið 1935 þróaði Charles Richter kvarða (sem nú er þekktur sem Richterkvarðinn) til að mæla stærð jarðskjálfta. Kvarðinn er lograstika með grunntöluna 10 og honum má lýsa á eftirfarandi hátt: Lítum á einn jarðskjálfta af stærðinni $R_{1}$ á Richterkvarðanum og annan jarðskjálfta af stærðinni $R_{2}$ á Richterkvarðanum. Gerum ráð fyrir að $R_{1} > R_{2},$ sem merkir að jarðskjálftinn af stærðinni $R_{1}$ er sterkari, en hversu miklu sterkari er hann en hinn jarðskjálftinn? Ein leið til að mæla styrk jarðskjálfta er að nota jarðskjálftamæli til að mæla útslag jarðskjálftabylgnanna. Ef $A_{1}$ er útslagið sem mælist fyrir fyrri jarðskjálftann og $A_{2}$ er útslagið sem mælist fyrir seinni jarðskjálftann, þá uppfylla útslög og stærðir jarðskjálftanna tveggja eftirfarandi jöfnu:

R_{1} - R_{2} = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .

Skoðum jarðskjálfta sem mælist 8 á Richterkvarðanum og jarðskjálfta sem mælist 7 á Richterkvarðanum. Þá

8 - 7 = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .

Því,

{log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) = 1,

sem leiðir af sér að 𝐴1/𝐴2=10 $A_{1} / A_{2} = 10$ eða 𝐴1=10⁢𝐴2. $A_{1} = 10 A_{2} .$ Þar sem 𝐴1 $A_{1}$ er 10 sinnum stærri en 𝐴2, $A_{2},$ segjum við að styrkur fyrri jarðskjálftans sé 10 sinnum meiri en styrkur þess síðari. Ef annar jarðskjálftinn mælist hins vegar 8 á Richterkvarðanum og hinn mælist 6 uppfyllir hlutfallslegur styrkur jarðskjálftanna tveggja jöfnuna

{log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) = 8 - 6 = 2 .

Því er $A_{1} = 100 A_{2} .$ Það er að segja, fyrri jarðskjálftinn er 100 sinnum öflugri en sá síðari.

Hvernig getum við notað lograföll til að bera saman hlutfallslegan styrk jarðskjálftans af stærðinni 9 í Japan árið 2011 og jarðskjálftans af stærðinni 7.3 á Haítí árið 2010?

Lausn

Til að bera saman jarðskjálftana í Japan og á Haítí getum við notað jöfnu sem áður var sett fram:

9−7.3=log10⁢(𝐴1𝐴2). $9 - 7.3 = {log}_{10} (\frac{A_{1}}{A_{2}}) .$

Því er $A_{1} / A_{2} = 10^{1.7},$ og við ályktum að jarðskjálftinn í Japan hafi verið um það bil $50$ sinnum öflugri en jarðskjálftinn á Haítí.

Breiðbogaföll

Breiðbogaföllin eru skilgreind með tilteknum samsetningum af $e^{x}$ og $e^{− x} .$ Þessi föll koma eðlilega f $y$ rir í ýmsum hagnýtum verkefnum í verkfræði og eðlisfræði, meðal annars við rannsóknir á vatnsbylgjum og sveiflum teygjanlegra himna. Önnur algeng notkun breiðbogafalls er að lýsa hangandi keðju eða kapli, sem myndar svonefnda keðjulínu (Mynd 1.49). Ef við veljum hnitakerfi þannig að lægsti punktur keðjunnar liggi á y-ásnum getum við lýst hæð keðjunnar með breiðbogafalli. Fyrst skilgreinum við breiðbogaföllin.

Ljósmynd af köngulóarvef sem safnar á sig daggardropum. — **Mynd 1.49.** Lögun silkþráðar í köngulóarvef má lýsa með breiðbogafalli. Sömu lögun má sjá á keðju eða kapli sem hangir milli tveggja stoða og ber aðeins eigin þunga. (mynd: „Mtpaley“, Wikimedia Commons)

Heitið cosh rímar við „gosh“ en heitið sinh er borið fram „cinch“. Tanh, sech, csch og coth eru borin fram „tanch“, „seech“, „coseech“ og „cotanch“, í sömu röð.

Með því að nota skilgreininguna á $cosh (x)$ og lögmál eðlisfræðinnar má sýna fram á að hæð hangandi keðju, eins og þeirrar sem sést á mynd 1.49, má lýsa með fallinu $h (x) = a cosh (x / a) + c$ fyrir tiltekna fasta $a$ og $c .$

En hvers vegna eru þessi föll kölluð breiðbogaföll? Til að svara þessari spurningu skulum við skoða stærðina ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t .$ Með því að nota skilgreininguna á $cosh$ og $sinh,$ sjáum við að

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = \frac{e^{2 t} + 2 + e^{−2 t}}{4} - \frac{e^{2 t} - 2 + e^{−2 t}}{4} = 1 .

Þessi samsemd er hliðstæða hornafallasamsemdarinnar ${cos}^{2} t + {sin}^{2} t = 1 .$ Fyrir sérhvert gefið gildi $t,$ liggur punkturinn $(x, y) = (cosh t, sinh t)$ á einingarbreiðboganum $x^{2} - y^{2} = 1$ (Mynd 1.50).

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -1 til 3 og y-ásinn frá -3 til 3. Grafið sýnir venslin „(x í öðru veldi) - (y í öðru veldi) -1“. Punkturinn lengst til vinstri á grafinu er skurðpunkturinn við x-ás, sem er punkturinn (1, 0). Frá þessum punkti liggja sveigðar greinar venslanna bæði upp og niður þegar x stækkar. Þessi vensl kallast breiðbogi og grafið líkist bókstafnum „U“ sem liggur á hlið. Punkturinn „(cosh(1), sinh(1))“ er merktur inn á graf venslanna og er um það bil í punktinum (1.5, 1.2). — **Mynd 1.50.** Einingarbreiðboginn ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1 .$

Gröf breiðbogafalla

Til að teikna gröf $cosh x$ og $sinh x,$ nýtum við þá staðreynd að bæði föllin stefna á $(1 / 2) e^{x}$ þegar $x \to \infty,$ þar sem $e^{− x} \to 0$ þegar $x \to \infty .$ Þegar $x \to − \infty, cosh x$ stefnir á $1 / 2 e^{− x},$ en $sinh x$ stefnir á $−1 / 2 e^{− x} .$ Þess vegna notum við gröf $1 / 2 e^{x}, 1 / 2 e^{− x},$ og $− 1 / 2 e^{− x}$ sem fyrirmyndir og teiknum gröf $cosh x$ og $sinh x .$ Til að teikna graf $tanh x,$ notum við þá staðreynd að $tanh (0) = 0, −1 < tanh (x) < 1$ fyrir öll $x, tanh x \to 1$ þegar $x \to \infty,$ og $tanh x \to − 1$ þegar $x \to − \infty .$ Teikna má skissur af gröfum hinna þriggja breiðbogafallanna með því að nota gröf $cosh x, sinh x,$ og $tanh x$ (mynd 1.51).

Mynd af sex gröfum. Á hverju grafi nær x-ásinn frá -3 til 3 og y-ásinn frá -4 til 4. Fyrsta grafið sýnir fallið „y = cosh(x)“, sem er breiðbogi. Fallið minnkar þar til það nær punktinum (0, 1) en vex eftir það. Tvö önnur föll mynda einnig mörk fyrir þetta fall. Hið fyrra er „y = (1/2)(e í veldinu -x)“, sem er minnkandi sveigt fall, og hið síðara er „y = (1/2)(e í veldinu x)“, sem er vaxandi sveigt fall. Fallið „y = cosh(x)“ liggur ávallt fyrir ofan þessi tvö föll án þess að snerta þau. Annað grafið sýnir fallið „y = sinh(x)“, sem er vaxandi sveigt fall. Tvö önnur föll mynda einnig mörk fyrir þetta fall. Hið fyrra er „y = (1/2)(e í veldinu x)“, sem er vaxandi sveigt fall, og hið síðara er „y = -(1/2)(e í veldinu -x)“, sem er vaxandi sveigt fall sem nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. Fallið „y = sinh(x)“ liggur ávallt milli þessara tveggja falla án þess að snerta þau. Þriðja grafið sýnir fallið „y = sech(x)“, sem vex þar til það nær punktinum (0, 1) en minnkar eftir það. Graf fallsins er kryppulaga. Fjórða grafið sýnir fallið „y = csch(x)“. Vinstra megin við y-ásinn hefst graf fallsins rétt neðan við x-ásinn og lækkar þar til það nálgast y-ásinn án þess að snerta hann. Hægra megin við y-ásinn hefst graf fallsins rétt hægra megin við ásinn og lækkar þar til það nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. Fimmta grafið sýnir fallið „y = tanh(x)“, sem er vaxandi sveigt fall. Tvö önnur föll mynda einnig mörk fyrir þetta fall. Hið fyrra er „y = 1“, sem er lárétt lína, og hið síðara er „y = -1“, sem er önnur lárétt lína. Fallið „y = tanh(x)“ liggur ávallt milli þessara tveggja falla án þess að snerta þau. Sjötta grafið sýnir fallið „y = coth(x)“. Vinstra megin við y-ásinn hefst graf fallsins rétt neðan við markalínuna „y = 1“ og lækkar þar til það nálgast y-ásinn án þess að snerta hann. Hægra megin við y-ásinn hefst graf fallsins rétt hægra megin við ásinn og lækkar þar til það nálgast markalínuna „y = -1“ án þess að snerta hana. — **Mynd 1.51.** Breiðbogaföllin fela í sér samsetningar af $e^{x}$ og $e^{− x} .$

Samsemdir fyrir breiðbogaföll

Samsemdin ${cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t,$ sem sýnd er á mynd 1.50, er ein af nokkrum samsemdum sem varða breiðbogaföllin og eru sumar þeirra taldar upp hér á eftir. Fyrstu fjóra eiginleikana má auðveldlega leiða af skilgreiningum breiðbogasínuss og breiðbogakósínuss. Að nokkrum formerkjamun undanskildum eru flestir þessara eiginleika hliðstæðir samsemdum hornafalla.

Dæmi 1.40

Útreikningur á gildum breiðbogafalla

Einfaldið $sinh (5 ln x) .$
Ef $sinh x = 3 / 4,$ finnið gildi hinna fimm breiðbogafallanna.

Lausn

Með því að nota skilgreiningu $sinh$ fallsins getum við skrifað
$sinh (5 ln x) = \frac{e^{5 ln x} - e^{−5 ln x}}{2} = \frac{e^{ln (x^{5})} - e^{ln (x^{−5})}}{2} = \frac{x^{5} - x^{−5}}{2} .$
Með því að nota samsemdina cosh2⁢𝑥−sinh2⁢𝑥=1, ${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1,$ sjáum við að
cosh2⁢𝑥=1+(34)₂=2516. ${cosh}^{2} x = 1 + {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{25}{16} .$

Þar sem cosh⁡𝑥≥1 $cosh x \geq 1$ fyrir öll 𝑥, $x,$ verður að gilda að cosh⁡𝑥=5/4. $cosh x = 5 / 4 .$ Með því að nota síðan skilgreiningarnar á hinum breiðbogaföllunum fáum við að tanh⁡𝑥=3/5,csch⁡𝑥=4/3,sech⁡𝑥=4/5, $tanh x = 3 / 5, csch x = 4 / 3, sech x = 4 / 5,$ og coth⁡𝑥=5/3. $coth x = 5 / 3 .$

Andhverf breiðbogaföll

Af gröfum breiðbogafallanna má sjá að þau eru öll eintæk nema $cosh x$ og $sech x .$ Ef við takmörkum skilgreiningarmengi þessara tveggja falla við bilið $[0, \infty),$ eru öll breiðbogaföllin eintæk og við getum skilgreint andhverf breiðbogaföll. Þar sem breiðbogaföllin sjálf fela í sér vísisföll, fela andhverfu breiðbogaföllin í sér lograföll.

Skoðum hvernig fyrsta jafnan er leidd út. Hinar eru leiddar út á svipaðan hátt. Gerum ráð fyrir að $y = {sinh}^{−1} x .$ Þá gildir $x = sinh y$ og samkvæmt skilgreiningu breiðbogasínusfallsins gildir $x = \frac{e^{y} - e^{− y}}{2} .$ Því fæst,

e^{y} - 2 x - e^{− y} = 0 .

Með því að margfalda þessa jöfnu með $e^{y},$ fáum við

e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0 .

Þetta má leysa eins og annars stigs jöfnu og lausnin er

e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1} .

Þar sem $e^{y} > 0,$ er eina lausnin sú sem hefur jákvætt formerki. Með því að taka náttúrlega logra beggja hliða jöfnunnar fæst að

y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) .

Dæmi 1.41

Útreikningur á gildum andhverfra breiðbogafalla

Reiknið gildi hverrar af eftirfarandi stæðum.

{sinh}^{−1} (2)

{tanh}^{−1} (1 / 4)

Lausn

sinh−1⁢(2)=ln⁡(2+√22+1)=ln⁡(2+√5)≈1.4436 ${sinh}^{−1} (2) = ln (2 + \sqrt{2^{2} + 1}) = ln (2 + \sqrt{5}) \approx 1.4436$

tanh−1⁢(1/4)=12⁢ln⁡(1+1/41−1/4)=12⁢ln⁡(5/43/4)=12⁢ln⁡(53)≈0.2554 ${tanh}^{−1} (1 / 4) = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 1 / 4}{1 - 1 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5 / 4}{3 / 4}) = \frac{1}{2} ln (\frac{5}{3}) \approx 0.2554$

Æfingar úr kafla 1.5

Reiknið gildi gefnu vísisfallanna eins og tilgreint er í eftirfarandi dæmum, með tveimur marktækum tölustöfum á eftir kommu.

229.

𝑓⁡(𝑥)=5𝑥 $f (x) = 5^{x}$ a. 𝑥=3 $x = 3$ b. 𝑥=12 $x = \frac{1}{2}$ c. 𝑥=√2 $x = \sqrt{2}$

230.

𝑓⁡(𝑥)=(0.3)𝑥 $f (x) = {(0.3)}^{x}$ a. 𝑥=−1 $x = −1$ b. 𝑥=4 $x = 4$ c. 𝑥=−1.5 $x = −1.5$

231.

𝑓⁡(𝑥)=10𝑥 $f (x) = 10^{x}$ a. 𝑥=−2 $x = −2$ b. 𝑥=4 $x = 4$ c. 𝑥=53 $x = \frac{5}{3}$

232.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥 $f (x) = e^{x}$ a. 𝑥=2 $x = 2$ b. 𝑥=−3.2 $x = −3.2$ c. 𝑥=𝜋 $x = π$

Í eftirfarandi dæmum skal para vísisjöfnuna við rétta grafið.

𝑦=4−𝑥 $y = 4^{− x}$
𝑦=3𝑥−1 $y = 3^{x - 1}$
𝑦=2𝑥+1 $y = 2^{x + 1}$
𝑦=(12)𝑥+2 $y = {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$
𝑦=−3−𝑥 $y = − 3^{− x}$
𝑦=1−5𝑥 $y = 1 - 5^{x}$

233.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -2 til 8. Grafið sýnir minnkandi feril falls. Fallið minnkar og nálgast línuna „y = 2“ en snertir hana aldrei. Skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn (0, 3) og grafið sker ekki x-ásinn.

234.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -9 til 2. Grafið sýnir fall sem hefst rétt neðan við línuna „y = 1“ og tekur að lækka hratt eftir sveigðum ferli. Skurðpunktarnir við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum.

235.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi feril falls sem hefst rétt ofan við x-ásinn og tekur að vaxa hratt. Grafið sker ekki x-ásinn og skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn (0, (1/3)). Annar punktur á grafinu er (1, 1).

236.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir feril minnkandi falls sem lækkar uns það nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. Grafið sker ekki x-ásinn en sker y-ásinn í punktinum (0, 1). Annar punktur á grafinu er (-1, 4).

237.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir feril vaxandi falls sem hækkar uns það nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. Grafið sker ekki x-ásinn en sker y-ásinn í punktinum (0, -1). Annar punktur á grafinu er (-1, -3).

238.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir feril vaxandi falls sem hefst rétt ofan við x-ásinn og vex síðan hratt. Grafið sker ekki x-ásinn en sker y-ásinn í punktinum (0, 2). Annar punktur á grafinu er (-1, 1).

Í eftirfarandi dæmum skal skissa graf vísisfallsins. Ákvarðið skilgreiningarmengi, myndmengi og lárétta aðfellu.

239.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒𝑥+2 $f (x) = e^{x} + 2$

240.

𝑓⁡(𝑥)=−2𝑥 $f (x) = − 2^{x}$

241.

𝑓⁡(𝑥)=3𝑥+1 $f (x) = 3^{x + 1}$

242.

𝑓⁡(𝑥)=4𝑥−1 $f (x) = 4^{x} - 1$

243.

𝑓⁡(𝑥)=1−2−𝑥 $f (x) = 1 - 2^{− x}$

244.

𝑓⁡(𝑥)=5𝑥+1+2 $f (x) = 5^{x + 1} + 2$

245.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒−𝑥−1 $f (x) = e^{− x} - 1$

Í eftirfarandi æfingum skal rita jöfnuna á jafngildu vísisformi.

246.

log3⁢81=4 ${log}_{3} 81 = 4$

247.

log8⁢2=13 ${log}_{8} 2 = \frac{1}{3}$

248.

log5⁢1=0 ${log}_{5} 1 = 0$

249.

log5⁢25=2 ${log}_{5} 25 = 2$

250.

log⁡0.1=−1 $log 0.1 = −1$

251.

ln⁡(1𝑒3)=−3 $ln (\frac{1}{e^{3}}) = −3$

252.

log9⁢3=0.5 ${log}_{9} 3 = 0.5$

253.

ln⁡1=0 $ln 1 = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skal rita jöfnuna á jafngildu lograformi.

254.

23=8 $2^{3} = 8$

255.

4−2=116 $4^{−2} = \frac{1}{16}$

256.

102=100 $10^{2} = 100$

257.

90=1 $9^{0} = 1$

258.

(13)₃=127 ${(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}$

259.

3√64=4 $\sqrt[3]{64} = 4$

260.

𝑒𝑥=𝑦 $e^{x} = y$

261.

9𝑦=150 $9^{y} = 150$

262.

𝑏3=45 $b^{3} = 45$

263.

4−3/2=0.125 $4^{−3 / 2} = 0.125$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið skissa graf lografallsins. Ákvarðið skilgreiningarmengi, myndmengi og lóðfellu.

264.

𝑓⁡(𝑥)=3+ln⁡𝑥 $f (x) = 3 + ln x$

265.

𝑓⁡(𝑥)=ln⁡(𝑥−1) $f (x) = ln (x - 1)$

266.

𝑓⁡(𝑥)=ln⁡(−𝑥) $f (x) = ln (− x)$

267.

𝑓⁡(𝑥)=1−ln⁡𝑥 $f (x) = 1 - ln x$

268.

𝑓⁡(𝑥)=log⁡𝑥−1 $f (x) = log x - 1$

269.

𝑓⁡(𝑥)=ln⁡(𝑥+1) $f (x) = ln (x + 1)$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota eiginleika logra til að skrifa stæðurnar sem summu, mismun og/eða margfeldi logra.

270.

log⁡𝑥4⁢𝑦 $log x^{4} y$

271.

log3⁢9⁢𝑎3𝑏 ${log}_{3} \frac{9 a^{3}}{b}$

272.

ln⁡𝑎⁢3√𝑏 $ln a \sqrt[3]{b}$

273.

log5⁢√125⁢𝑥⁢𝑦3 ${log}_{5} \sqrt{125 x y^{3}}$

274.

log4⁢3√𝑥⁢𝑦64 ${log}_{4} \frac{\sqrt[3]{x y}}{64}$

275.

ln⁡(6√𝑒3) $ln (\frac{6}{\sqrt{e^{3}}})$

Leysið vísisjöfnuna nákvæmlega í eftirfarandi verkefnum.

276.

5𝑥=125 $5^{x} = 125$

277.

𝑒3⁢𝑥−15=0 $e^{3 x} - 15 = 0$

278.

8𝑥=4 $8^{x} = 4$

279.

4𝑥+1−32=0 $4^{x + 1} - 32 = 0$

280.

3𝑥/14=110 $3^{x / 14} = \frac{1}{10}$

281.

10𝑥=7.21 $10^{x} = 7.21$

282.

4·23⁢𝑥−20=0 $4 \cdot 2^{3 x} - 20 = 0$

283.

73⁢𝑥−2=11 $7^{3 x - 2} = 11$

Í eftirfarandi verkefnum skal leysa lograjöfnuna nákvæmlega, ef unnt er.

284.

log3⁢𝑥=0 ${log}_{3} x = 0$

285.

log5⁢𝑥=−2 ${log}_{5} x = −2$

286.

log4⁢(𝑥+5)=0 ${log}_{4} (x + 5) = 0$

287.

log⁡(2⁢𝑥−7)=0 $log (2 x - 7) = 0$

288.

ln⁡√𝑥+3=2 $ln \sqrt{x + 3} = 2$

289.

log6⁢(𝑥+9)+log6⁢𝑥=2 ${log}_{6} (x + 9) + {log}_{6} x = 2$

290.

log4⁢(𝑥+2)−log4⁢(𝑥−1)=0 ${log}_{4} (x + 2) - {log}_{4} (x - 1) = 0$

291.

ln⁡𝑥+ln⁡(𝑥−2)=ln⁡4 $ln x + ln (x - 2) = ln 4$

Í eftirfarandi verkefnum skal nota grunnskiptiformúluna og annaðhvort grunntöluna 10 eða grunntöluna e til að reikna gildi gefnu stæðnanna. Svarið bæði á nákvæmu formi og nálgunarformi og námundið nálgunargildið að fjórum aukastöfum.

292.

log5⁢47 ${log}_{5} 47$

293.

log7⁢82 ${log}_{7} 82$

294.

log6⁢103 ${log}_{6} 103$

295.

log0.5⁢211 ${log}_{0.5} 211$

296.

log2⁢𝜋 ${log}_{2} π$

297.

log0.2⁢0.452 ${log}_{0.2} 0.452$

298.

Umritið eftirfarandi stæður með vísisföllum og einfaldið.

a. 2⁢cosh⁡(ln⁡𝑥) $2 cosh (ln x)$ b. cosh⁡4⁢𝑥+sinh⁡4⁢𝑥 $cosh 4 x + sinh 4 x$ c. cosh⁡2⁢𝑥−sinh⁡2⁢𝑥 $cosh 2 x - sinh 2 x$ d. ln⁡(cosh⁡𝑥+sinh⁡𝑥)+ln⁡(cosh⁡𝑥−sinh⁡𝑥) $ln (cosh x + sinh x) + ln (cosh x - sinh x)$

299.

[T] Fjölda baktería N í ræktun eftir t daga má lýsa með fallinu $N (t) = 1300 \cdot {(2)}^{t / 4} .$ Finnið fjölda baktería eftir 15 daga.

300.

[T] Eftirspurnin D (í milljónum tunna) eftir olíu í olíuríku landi er gefin með fallinu $D (p) = 150 \cdot {(2.7)}^{−0.25 p},$ þar sem p er verð (í dollurum) á olíutunnu. Finnið eftirspurnina eftir olíu (námundaða að næstu milljón tunna) þegar verðið er á bilinu $15 til $20.

301.

[T] Verðmæti $100,000 fjárfestingar með samfelldri vaxtareiknun eftir t ár er táknað með A og gefið með 𝐴⁡(𝑡)=100,000·𝑒0.055⁢𝑡. $A (t) = 100,000 \cdot e^{0.055 t} .$ Finnið upphæðina A sem hefur safnast upp á 5 árum.

302.

[T] Fjárfesting ber vexti sem eru lagðir við höfuðstól mánaðarlega, ársfjórðungslega eða árlega og er lýst með fallinu 𝐴=𝑃⁢(1+𝑗𝑛)𝑛⁢𝑡, $A = P {(1 + \frac{j}{n})}^{n t},$ þar sem 𝐴 $A$ er verðmæti fjárfestingarinnar á tímanum 𝑡,𝑃 $t, P$ er upphaflegi höfuðstóllinn sem var f 𝑗 $j$ árfest, j er ársvextir 𝑛 $n$ ir og n segir til um hversu oft vextirnir eru lagðir við höfuðstólinn á ári. Gefið er að ársvextir séu 3.5% og upphaflegi höfuðstóllinn sé $100,000. Finnið upphæðina 𝐴 $A$ sem hefur safnast upp á 5 árum þegar vextir eru lagðir við höfuðstólinn a. daglega, b. mánaðarlega, c. ársfjórðungslega og d. árlega.

303.

[T] Styrkur vetnisjóna í efni er táknaður með $[H^{+}],$ mældur í mólum á lítra. Sýrustig efnis er skilgreint með lografallinu $pH = − log [H^{+}] .$ Þetta fall er notað til að mæla sýrustig efnis. Sýrustig vatns er 7. Efni með sýrustig undir 7 er sýra en efni með sýrustig yfir 7 er basi.

Finnið pH-gildi eftirfarandi efna. Námundið svörin að einum aukastaf.
Ákvarðið hvort efnið sé sýra eða basi.
1. Egg: [H+]=1.6×10−8 $[H^{+}] = 1.6 \times 10^{−8}$ mól/L
2. Bjór: [H+]=3.16 $\times ⁠$ 10−3 $[H^{+}] = 3.16 \times 10^{−3}$ mól/L
3. Tómatsafi: [H+]=7.94 $\times ⁠$ 10−5 $[H^{+}] = 7.94 \times 10^{−5}$ mól/L

304.

[T] Joð-131 er geislavirkt efni sem hrörnar samkvæmt fallinu 𝑄⁡(𝑡)=𝑄0·𝑒−0.08664⁢𝑡, $Q (t) = Q_{0} \cdot e^{−0.08664 t},$ þar sem 𝑄0 $Q_{0}$ er upphafsmagn sýnis af efninu og t er gefið í dögum. Ákvarðið hve langur tími líður (námundað að næsta heila degi) þar til 95% af magninu hefur hrörnað.

305.

[T] Samkvæmt Alþjóðabankanum var íbúafjöldi Bandaríkjanna í lok árs 2013 ( $t = 0$ ) 316 milljónir og jókst samkvæmt eftirfarandi líkani:

$P (t) = 316 e^{0.0074 t},$ þar sem P er mælt í milljónum manna og t er mælt í árum frá árinu 2013.

Hver verður íbúafjöldi Bandaríkjanna árið 2020 samkvæmt þessu líkani?
Ákvarðið hvenær íbúafjöldi Bandaríkjanna verður tvöfaldur á við það sem hann var árið 2013.

306.

[T] Upphæðin A sem safnast upp þegar 1000 dollarar eru ávaxtaðir í t ár á 4% vöxtum er lýst með fallinu $A (t) = 1000 {(1.04)}^{t} .$

Finnið þá fjárhæð sem hefur safnast upp eftir 5 ár og 10 ár.
Ákvarðið hve langur tími líður þar til upphaflega fjárfestingin hefur þrefaldast.

307.

[T] Vitað er að fjöldi baktería í bakteríuþyrpingu sem ræktuð er á rannsóknarstofu tvöfaldast á 12 klukkustundum. Gerum ráð fyrir að í upphafi séu 1000 bakteríur til staðar.

Notið vísisfallið $Q = Q_{0} e^{k t}$ til að ákvarða gildið $k,$ sem er vaxtarhraði bakteríanna. Námundið að fjórum aukastöfum.
Áætlið hve langan tíma það tekur bakteríunum að fjölga í 200,000.

308.

[T] Kanínustofninn í veiðifriðlandinu tvöfaldast á 6 mánaða fresti. Gerum ráð fyrir að í upphafi hafi kanínurnar verið 120 talsins.

Notið vísisfallið 𝑃=𝑃0⁢𝑎𝑡 $P = P_{0} a^{t}$ til að ákvarða vaxtarfastann 𝑎. $a .$ Námundið að fjórum aukastöfum.
Notið fallið í a-lið til að ákvarða um það bil hve langur tími líður þar til kanínustofninn nær 3500.

309.

[T] Jarðskjálftinn í San Francisco árið 1906 mældist 8.3 á Richterskvarða. Á sama tíma varð jarðskjálfti í Japan sem mældist 4.9 og olli aðeins minniháttar skemmdum. Um það bil hversu miklu öflugri var jarðskjálftinn í San Francisco en jarðskjálftinn í Japan? Sjá skilgreiningu Richterskvarðans í [tengill] í þessum undirkafla.