11 Föll og gröf

Yfirlitsverkefni

Satt eða ósatt? Rökstyðjið svarið með sönnun eða gagndæmi.

310.

Fall er alltaf eintækt.

311.

$f \circ g = g \circ f,$ að því gefnu að f og g séu föll.

312.

Vensl sem standast bæði lárétta og lóðrétta línuprófið skilgreina eintækt fall.

313.

Vensl sem standast lárétta línuprófið skilgreina fall.

Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi eftirfarandi falla:

$f = x^{2} + 2 x - 3, g = ln (x - 5), h = \frac{1}{x + 4}$

314.

315.

316.

ℎ∘𝑓 $h \circ f$

317.

𝑔∘𝑓 $g \circ f$

Finnið stig, y-ásskurðpunkt og núllstöðvar eftirfarandi margliðufalla.

318.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+9⁢𝑥−5 $f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5$

319.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+2⁢𝑥2−2⁢𝑥 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$

Einfaldið eftirfarandi hornafallastæður.

320.

tan2⁢𝑥sec2⁢𝑥+cos2⁢𝑥 $\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x} + {cos}^{2} x$

321.

cos2⁢𝑥−sin2⁢𝑥 ${cos}^{2} x - {sin}^{2} x$

Finnið nákvæmar lausnir eftirfarandi hornafallajafna á bilinu $x = [−2 π, 2 π]$ .

322.

6⁢cos2⁢𝑥−3=0 $6 {cos}^{2} x - 3 = 0$

323.

sec2⁢𝑥−2⁢sec⁡𝑥+1=0 ${sec}^{2} x - 2 sec x + 1 = 0$

Leysið eftirfarandi lograjöfnur.

324.

5𝑥=16 $5^{x} = 16$

325.

log2⁢(𝑥+4)=3 ${log}_{2} (x + 4) = 3$

Eru eftirfarandi föll eintæk á skilgreiningarmengi sínu? Hefur fallið andhverfu? Ef svo er, finnið andhverfa fallið $f^{−1} (x)$ . Rökstyðjið svarið.

326.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+2⁢𝑥+1 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

327.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥 $f (x) = \frac{1}{x}$

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum stærsta skilgreiningarmengi þar sem fallið er eintækt og finnið andhverfu þess á því mengi.

328.

𝑓⁡(𝑥)=√9−𝑥 $f (x) = \sqrt{9 - x}$

329.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+3⁢𝑥+4 $f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

330.

Bíll ekur eftir hringlaga kappakstursbraut sem er 1 míla í þvermál. Þjálfari stendur í miðju hringsins og skráir staðsetningu bílsins á 5 sekúndna fresti. Að 5 sekúndum liðnum þarf þjálfarinn að snúa sér um 55° til að fylgjast áfram með bílnum. Hve hratt ekur bíllinn?

Í eftirfarandi verkefnum er miðað við veitingahúsaeiganda sem vill selja T-boli til að auglýsa vörumerki sitt. Hann man að kostnaðurinn skiptist í fastan og breytilegan kostnað en man ekki fjárhæðirnar. Hann veit hins vegar að bolaprentunarfyrirtækið tekur $440 fyrir 20 boli og $1000 fyrir 100 boli.

331.

a. Finnið jöfnuna $C = f (x)$ sem gefur heildarkostnaðinn sem fall af fjölda bola. b. Ákvarðið hve marga boli hann þarf að selja til að standa á sléttu ef hann selur hvern bol á $10.

332.

a. Finnið andhverfa fallið $x = f^{−1} (C)$ og lýsið merkingu þess. b. Ákvarðið hve marga boli eigandinn getur keypt ef hann hefur $8000 til ráðstöfunar.

Í eftirfarandi verkefnum er fjallað um íbúafjölda í Ocean City í New Jersey, en hann sveiflast reglubundið eftir árstíðum.

333.

Lýsa má íbúafjöldanum með $P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t],$ þar sem $t$ er tími í mánuðum $(t = 0$ táknar 1. janúar) og $P$ táknar íbúafjöldann (í þúsundum). Á hvaða tímabilum ársins er íbúafjöldinn innan við 20,000? Á hvaða tímabilum fer hann yfir 140,000?

334.

Í raun er líklegt að heildaríbúafjöldinn breytist jafnt og þétt frá ári til árs. Tökum tillit til þess með eftirfarandi líkani: $P (t) = 82.5 - 67.5 cos [(π / 6) t] + t,$ þar sem $t$ er tími í mánuðum ( $t = 0$ táknar 1. janúar) og $P$ táknar íbúafjöldann (í þúsundum). Hvenær nær íbúafjöldinn fyrst 200,000?

Í eftirfarandi verkefnum er fjallað um aldursgreiningu með geislavirkum samsætum. Beinagrind manns finnst við fornleifauppgröft. Aldur hennar er ákvarðaður með kolefnisaldursgreiningu og jöfnunni $y = e^{r t},$ þar sem $y$ táknar hlutfall þess geislakolefnis sem enn er í efninu, $t$ táknar fjölda liðinna ára og $r = −0.0001210$ er hrörnunarhraði geislakolefnis.

335.

Ef talið er að beinagrindin sé 2000 ára gömul, hve mörg prósent geislakolefnis ættu þá að vera eftir?

336.

Finnið andhverfu kolefnisaldursgreiningarjöfnunnar. Hvað táknar hún? Ef 25% geislakolefnisins eru eftir, hversu gömul er beinagrindin?

11 Föll og gröf

Yfirlitsverkefni

Satt eða ósatt? Rökstyðjið svarið með sönnun eða gagndæmi.

310.

Fall er alltaf eintækt.

311.

$f \circ g = g \circ f,$ að því gefnu að f og g séu föll.

312.

Vensl sem standast bæði lárétta og lóðrétta línuprófið skilgreina eintækt fall.

313.

Vensl sem standast lárétta línuprófið skilgreina fall.

Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi eftirfarandi falla:

$f = x^{2} + 2 x - 3, g = ln (x - 5), h = \frac{1}{x + 4}$

314.

315.

316.

ℎ∘𝑓 $h \circ f$

317.

𝑔∘𝑓 $g \circ f$

Finnið stig, y-ásskurðpunkt og núllstöðvar eftirfarandi margliðufalla.

318.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+9⁢𝑥−5 $f (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5$

319.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+2⁢𝑥2−2⁢𝑥 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x$

Einfaldið eftirfarandi hornafallastæður.

320.

tan2⁢𝑥sec2⁢𝑥+cos2⁢𝑥 $\frac{{tan}^{2} x}{{sec}^{2} x} + {cos}^{2} x$

321.

cos2⁢𝑥−sin2⁢𝑥 ${cos}^{2} x - {sin}^{2} x$

Finnið nákvæmar lausnir eftirfarandi hornafallajafna á bilinu $x = [−2 π, 2 π]$ .

322.

6⁢cos2⁢𝑥−3=0 $6 {cos}^{2} x - 3 = 0$

323.

sec2⁢𝑥−2⁢sec⁡𝑥+1=0 ${sec}^{2} x - 2 sec x + 1 = 0$

Leysið eftirfarandi lograjöfnur.

324.

5𝑥=16 $5^{x} = 16$

325.

log2⁢(𝑥+4)=3 ${log}_{2} (x + 4) = 3$

Eru eftirfarandi föll eintæk á skilgreiningarmengi sínu? Hefur fallið andhverfu? Ef svo er, finnið andhverfa fallið $f^{−1} (x)$ . Rökstyðjið svarið.

326.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+2⁢𝑥+1 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

327.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥 $f (x) = \frac{1}{x}$

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum stærsta skilgreiningarmengi þar sem fallið er eintækt og finnið andhverfu þess á því mengi.

328.

𝑓⁡(𝑥)=√9−𝑥 $f (x) = \sqrt{9 - x}$

329.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+3⁢𝑥+4 $f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

330.

331.

a. Finnið jöfnuna $C = f (x)$ sem gefur heildarkostnaðinn sem fall af fjölda bola. b. Ákvarðið hve marga boli hann þarf að selja til að standa á sléttu ef hann selur hvern bol á $10.

332.

a. Finnið andhverfa fallið $x = f^{−1} (C)$ og lýsið merkingu þess. b. Ákvarðið hve marga boli eigandinn getur keypt ef hann hefur $8000 til ráðstöfunar.

Í eftirfarandi verkefnum er fjallað um íbúafjölda í Ocean City í New Jersey, en hann sveiflast reglubundið eftir árstíðum.

333.

334.

335.

Ef talið er að beinagrindin sé 2000 ára gömul, hve mörg prósent geislakolefnis ættu þá að vera eftir?

336.

Finnið andhverfu kolefnisaldursgreiningarjöfnunnar. Hvað táknar hún? Ef 25% geislakolefnisins eru eftir, hversu gömul er beinagrindin?