1.1 Upprifjun á föllum

Gefin eru tvö mengi $A$ og $B,$. Mengi sem hefur að stökum röðuð pör $(x,y),$, þar sem $x$ er stak í $A$ og $y$ er stak í $B,$, nefnist vensl frá $A$ til $B.$. Vensl frá $A$ til $B$ skilgreina tengsl milli þessara tveggja mengja. Fall er sérstök gerð vensla þar sem hvert stak fyrra mengisins tengist nákvæmlega einu staki síðara mengisins. Stak fyrra mengisins nefnist inntak og stak síðara mengisins nefnist úttak. Föll eru víða notuð í stærðfræði til að lýsa tengslum milli tveggja mengja. Fyrir hvert fall ákvarðast úttakið þegar inntakið er þekkt og því segjum við að úttakið sé fall af inntakinu. Flatarmál fernings ákvarðast til dæmis af hliðarlengd hans og því segjum við að flatarmálið (úttakið) sé fall af hliðarlengdinni (inntakinu). Lýsa má hraða bolta sem kastað er upp í loftið sem falli af þeim tíma sem boltinn er á lofti. Burðargjald pakka er fall af þyngd pakkans. Þar sem föll hafa svo margvíslegt notagildi er mikilvægt að byggja rannsókn þeirra á nákvæmum skilgreiningum og skýru hugtakamáli.

Skoðum til dæmis fallið $f,$ þar sem skilgreiningarmengið er mengi allra rauntalna og reglan felst í því að setja inntakið í annað veldi. Þá er inntakinu $x=3$ úthlutað úttakinu $3^2=9.$ Þar sem sérhver rauntala sem er ekki neikvæð á sér rauntölukvaðratrót er sérhver tala sem er ekki neikvæð stak í myndmengi fallsins. Þar sem engin rauntala hefur neikvætt ferningsgildi eru neikvæðu rauntölurnar ekki stök í myndmenginu. Við ályktum því að myndmengið sé mengi allra rauntalna sem eru ekki neikvæðar.

Fyrir almennt fall $f$ með skilgreiningarmengið $D,$ táknum við inntakið oft með $x$ og úttakið með $y$; úttakið samsvarar $x.$. Þá köllum við $x$óháðu breytuna og $y$háðu breytuna, því hún er háð $x.$. Með fallatáknun skrifum við $y=f(x),$ og lesum jöfnuna þannig að $\text{“}y$ sé jafnt og $f$ af $x.\text{”}$. Fyrir ferningsfallið sem lýst var hér að framan skrifum við $f(x)=x^2.$

Hugtakið fall má skýra myndrænt með mynd 1.2 , mynd 1.3 og mynd 1.4 .

Við getum einnig sýnt fall myndrænt með því að merkja punkta $(x,y)$ í hnitakerfið þar sem $y=f(x).$Graf falls er mengi allra þessara punkta. Skoðum til dæmis fallið $f,$ þar sem skilgreiningarmengið er mengið $D=\left\{1,2,3\right\}$ og reglan er $f(x)=3-x.$ Á mynd 1.5 teiknum við graf þessa falls.

Sérhvert fall hefur skilgreiningarmengi. Stundum er falli þó lýst með jöfnu, eins og í $f(x)=x^2,$, án þess að tiltekið skilgreiningarmengi sé gefið. Þá er skilgreiningarmengið talið vera mengi allra rauntalna, $x$, sem gera $f(x)$ að rauntölu. Þar sem hægt er að hefja hvaða rauntölu sem er í annað veldi teljum við til dæmis skilgreiningarmengi $f(x)=x^2$ vera mengi allra rauntalna ef ekkert annað skilgreiningarmengi er tilgreint. Kvaðratrótarfallið $f(x)=\sqrt{x}$ gefur hins vegar aðeins rauntölu sem úttak ef $x$ er ekki neikvæð tala. Skilgreiningarmengi fallsins $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ er því mengi rauntalna sem eru ekki neikvæðar. Það nefnist stundum náttúrlegt skilgreiningarmengi.

Skilgreiningarmengi fallanna $f(x)=x^2$ og $f(x)=\sqrt{x},$ eru mengi með óendanlega mörgum stökum. Augljóslega getum við ekki talið upp öll þessi stök. Þegar mengi með óendanlega mörgum stökum er lýst er oft gagnlegt að nota mengjalýsingu eða bilarithátt. Þegar mengjalýsing er notuð til að lýsa hlutmengi rauntalnanna, táknað $ℝ,$, skrifum við

Þetta lesum við sem mengi þeirra rauntalna $x$ sem eru þannig að $x$ hefur tiltekinn eiginleika. Ef við hefðum til dæmis áhuga á mengi þeirra rauntalna sem eru stærri en einn en minni en fimm gætum við táknað mengið með mengjalýsingu og skrifað

Mengi sem þetta, sem inniheldur allar tölur stærri en $a$ og minni en $b,$, má einnig tákna með bilarithætti $(a,b).$. Því gildir

Tölurnar $1$ og $5$ nefnast endapunktar þessa mengis. Ef við viljum skoða mengið sem inniheldur endapunktana táknum við það með því að skrifa

Minnsta talan í þessu mengi er núll en mengið hefur enga stærstu tölu. Með bilarithætti notum við táknið $\infty ,$, sem táknar jákvætt óendanlegt, og skrifum mengið sem

Mikilvægt er að hafa í huga að $\infty$ er ekki rauntala. Táknið er notað hér til að gefa til kynna að mengið innihaldi allar rauntölur sem eru stærri en eða jafnar núlli. Ef við vildum á sama hátt lýsa mengi allra talna sem eru ekki jákvæðar gætum við skrifað

Hér táknar $\text{−}\infty$ neikvætt óendanlegt og gefur til kynna að allar tölur sem eru minni en eða jafnar núlli séu teknar með, hversu litlar sem þær eru. Mengið

Sum föll eru skilgreind með mismunandi jöfnum á mismunandi hlutum skilgreiningarmengis síns. Slík föll nefnast kaflaskilgreind föll. Gerum til dæmis ráð fyrir að við viljum skilgreina fall $f$ sem hefur mengi allra rauntalna að skilgreiningarmengi þannig að $f(x)=3x+1$ þegar $x\ge 2$ og $f(x)=x^2$ þegar $x<2.$. Við táknum fallið með því að skrifa

Þegar gildi þessa falls er reiknað fyrir inntak $x,$ ræðst jafnan sem nota skal af því hvort $x\ge 2$ eða $x<2.$. Þar sem $5>2,$ notum við til dæmis þá staðreynd að $f(x)=3x+1$ þegar $x\ge 2$ og sjáum að $f(5)=3(5)+1=16.$. Fyrir $x=\mathrm{-1},$ notum við hins vegar þá staðreynd að $f(x)=x^2$ þegar $x<2$ og sjáum að $f(\mathrm{-1})=1.$

Föllum sem lýst er með gildistöflu bregður oft fyrir í raunverulegum viðfangsefnum. Lítum á eftirfarandi einfalda dæmi. Við getum lýst hitastigi á tilteknum degi sem falli af tíma dags. Gerum ráð fyrir að við skráum hitastigið á klukkutíma fresti í 24 klukkustundir frá miðnætti. Látum inntaksbreytuna $x$ tákna tímann frá miðnætti, mældan í klukkustundum, og úttaksbreytuna $y$ tákna hitastigið $x$ klukkustundum eftir miðnætti, mælt í Fahrenheit-gráðum. Við skráum gögnin okkar í töflu 1.1 .

Þegar fallinu $f$ er lýst með töflu getum við sýnt það myndrænt með grafi. Með því að teikna graf hitastiganna í töflu 1.1 fáum við betri mynd af sveiflum þeirra yfir daginn. Mynd 1.6 sýnir graf hitastigsfallsins.

Út frá punktunum sem merktir eru inn á grafið á mynd 1.6 getum við séð almenna lögun þess. Oft er gagnlegt að tengja saman punktana á grafinu, en þeir sýna gögnin úr töflunni. Í þessu dæmi getum við ekki dregið neina ótvíræða ályktun um hvað hitastigið var á þeim tímum þegar það var ekki skráð. Með hliðsjón af fjölda gagnapunkta og mynstrinu sem þeir mynda er þó eðlilegt að ætla að hitastigið á öðrum tímum hafi fylgt svipuðu mynstri, eins og sjá má á mynd 1.7 .

Stundum eru gildi falls ekki gefin í töflu heldur með beinni formúlu. Formúlur koma fyrir í margs konar hagnýtingu. Flatarmál hrings með geisla $r$ er til dæmis gefið með formúlunni $A\left(r\right)=\pi r^2.$. Þegar hlut er kastað upp frá jörðu með upphafshraðanum $v_0$ fet á sekúndu er hæð hans yfir jörðu, frá því að honum er kastað þar til hann lendir, gefin með formúlunni $s\left(t\right)=\mathrm{-16}{t}^2+v_{0}t.$. Þegar $P$ dollarar eru lagðir inn á reikning með ársvöxtunum $r$ og samfelldri vaxtavöxtun er innstæðan eftir $t$ ár gefin með formúlunni $A\left(t\right)=P{e}^{rt}.$. Algebrulegar formúlur eru mikilvæg verkfæri til að reikna fallgildi. Oft sýnum við þessi föll einnig myndrænt með gröfum.

Þegar algebruleg formúla fyrir fall $f,$ er gefin er graf $f$ mengi punktanna $\left(x,f\left(x\right)\right),$, þar sem $x$ tilheyrir skilgreiningarmengi $f$ og $f(x)$ tilheyrir myndmenginu. Þegar teikna á graf falls sem gefið er með formúlu er gagnlegt að byrja á því að nota formúluna til að útbúa töflu yfir inntök og úttök. Ef skilgreiningarmengi $f$ hefur óendanlega mörg gildi getum við ekki talið þau öll upp. Þar sem mjög gagnlegt getur verið að skrá nokkur inntök og úttök er það þó oft góð byrjun.

Þegar tafla yfir inntök og úttök er útbúin athugum við yfirleitt hvort núll komi fyrir sem úttak. Þau gildi $x$ þar sem $f\left(x\right)=0$ nefnast núllstöðvar falls. Núllstöðvar $f\left(x\right)=x^2-4$ eru til dæmis $x=\pm 2.$. Núllstöðvarnar ákvarða hvar graf $f$ sker $x$-ásinn og veita þannig frekari upplýsingar um lögun grafs fallsins. Graf falls sker ef til vill aldrei x-ásinn, en það getur einnig skorið hann mörgum sinnum, jafnvel óendanlega oft.

Annar áhugaverður punktur er skurðpunkturinn við $y$-ásinn, ef hann er til. Skurðpunkturinn við $y$-ásinn er gefinn með $\left(0,f\left(0\right)\right).$

Þar sem fall hefur nákvæmlega eitt úttak fyrir hvert inntak getur graf falls í mesta lagi haft einn skurðpunkt við $y$-ásinn. Ef $x=0$ tilheyrir skilgreiningarmengi falls $f,$ hefur $f$ nákvæmlega einn skurðpunkt við $y$-ásinn. Ef $x=0$ tilheyrir ekki skilgreiningarmengi $f,$ hefur $f$ engan skurðpunkt við $y$-ásinn. Fyrir sérhverja rauntölu $c,$ gildir á sama hátt að ef $c$ tilheyrir skilgreiningarmengi $f,$ er til nákvæmlega eitt úttak $f\left(c\right),$ og línan $x=c$ sker graf $f$ nákvæmlega einu sinni. Ef $c$ tilheyrir hins vegar ekki skilgreiningarmengi $f,f(c)$ er ekki skilgreint og línan $x=c$ sker ekki graf $f.$. Þessi eiginleiki er dreginn saman í lóðrétta línuprófinu.

Við getum notað þetta próf til að ákvarða hvort mengi innmerktra punkta sé graf falls (mynd 1.8 ).

Takið eftir að fyrir þetta fall og fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $f\left(x\right)=\mathrm{-4}x+2$= − 4 ⁢ 𝑥 + 2 f ⁡ ( $f(x)$x ) = −4 ⁢ x + $x$2 sem sýnt er á grafi á mynd 1.9 verða gildi 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x ) minni eftir því sem 𝑥 x verður stærra. Fall með þennan $f\left(x\right)=\sqrt{x+3}+1$eiginleika kallast minnkandi. Hins vegar verða gildi 𝑓 ⁡ ( 𝑥 $f(x)$) f ⁡ ( x ) stærri eftir því sem gildi $x$𝑥 x verða stærri fyrir fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = √ 𝑥 + 3 + 1 f ⁡ ( x ) = x + 3 + 1 sem sýnt er á grafi á mynd 1.10 . Fall með þennan eiginleika kallast vaxandi. Mikilvægt er þó að hafa í huga að fall getur verið vaxandi á einu eða fleiri bilum og minnkandi á öðru eða öðrum bilum. Ef við skoðum til dæmis hitafallið á mynd 1.6 sjáum við að fallið er minnkandi á bilinu ( 0 , 4 ) , ( 0 , 4 ) , vaxandi á bilinu ( 4 $(0,4),$, 1 4 ) , ( 4 $(4,14),$, 14 ) , og síðan minnkandi á bilinu ( 1 $\left(14,23\right).$4 , 2 3 ) . ( 14 , 23 ) . Í næstu skilgreiningu setjum við fram nákvæmari lýsingu á því hvað felst í því að fall sé vaxandi eða minnkandi á tilteknu bili.

Til dæmis er fallið $f(x)=3x$ vaxandi á bilinu $(\text{−}\infty ,\infty )$ vegna þess að $3x_1<3x_2$ þegar $x_1<x_2.$ Hins vegar er fallið $f\left(x\right)=\text{−}{x}^3$ stranglega minnkandi á bilinu $(\text{−}\infty ,\infty )$ vegna þess að $\text{−}{x}_1^3>-x_2^3$ þegar $x_1<x_2$ ( mynd 1.11 ).

Nú þegar við höfum rifjað upp helstu eiginleika falla getum við kannað hvað verður um þessa eiginleika þegar við tengjum föll saman með ólíkum hætti og notum grunnaðgerðir stærðfræðinnar til að mynda ný föll. Ef kostnaður fyrirtækis við að framleiða $x$ vörur er til dæmis gefinn með fallinu $C(x)$ og tekjurnar af sölu $x$ vara eru gefnar með fallinu $R\left(x\right),$ þá er hagnaðurinn af framleiðslu og sölu $x$ vara skilgreindur sem $P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right).$ Með því að taka mismun tveggja falla mynduðum við nýtt fall.

Einnig getum við myndað nýtt fall með því að skeyta saman tveimur föllum. Ef föllin $f\left(x\right)=x^2$ og $g\left(x\right)=3x+1,$ eru til dæmis gefin er samskeytta fallið $f\circ g$ skilgreint þannig að

Samskeytta fallið $g\circ f$ er skilgreint þannig að

Til að tengja föll saman með reikniaðgerðum skrifum við einfaldlega föllin með viðeigandi reikniaðgerð og einföldum. Fyrir tvö föll $f$ og $g,$ getum við skilgreint fjögur ný föll:

Þegar við setjum saman föll tökum við fall af falli. Gerum til dæmis ráð fyrir að hitastiginu $T$ á tilteknum degi sé lýst sem falli af tímanum $t$ (mældum í klukkustundum frá miðnætti), eins og sýnt er í töflu 1.1 . Gerum ráð fyrir að kostnaðinum $C,$ við að hita eða kæla byggingu í 1 klukkustund, megi lýsa sem falli af hitastiginu $T.$ Með því að tengja þessi tvö föll saman getum við lýst kostnaðinum við að hita eða kæla byggingu sem falli af tíma með því að reikna $C\left(T\left(t\right)\right).$ Við höfum skilgreint nýtt fall, táknað með $C\circ T,$ sem er skilgreint þannig að $\left(C\circ T\right)\left(t\right)=C(T\left(t\right))$ fyrir öll $t$ í skilgreiningarmengi $T.$ Þetta nýja fall kallast samskeytt fall. Þar sem kostnaðurinn er fall af hitastigi og hitastigið er fall af tíma er eðlilegt að skilgreina þetta nýja fall $(C\circ T)(t).$ Hins vegar er ekki merkingarbært að skoða $(T\circ C)(t),$ því hitastig er ekki fall af kostnaði.

Líta má á samskeytt fall $g\circ f$ í tveimur skrefum. Fyrst varpar fallið $f$ hverju inntaki $x$ í skilgreiningarmengi $f$ á úttakið $f(x)$ í myndmengi $f.$ Þar sem myndmengi $f$ er hlutmengi í skilgreiningarmengi $g,$ er úttakið $f(x)$ síðan stak í skilgreiningarmengi $g,$ og því er því varpað á úttakið $g\left(f\left(x\right)\right)$ í myndmengi $g.$ Á mynd 1.12 sjáum við myndræna framsetningu á samskeyttu falli.

Í dæmi 1.7 sjáum við að $\left(f\circ g\right)\left(x\right)\ne \left(g\circ f\right)\left(x\right).$ Þetta segir okkur almennt að röðin sem við skeytum föllunum saman í skiptir máli.

Gröf tiltekinna falla hafa samhverfueiginleika sem hjálpa okkur að skilja fallið og lögun grafs þess. Skoðum til dæmis fallið $f(x)=x^4-2x^2-3$ sem sýnt er á mynd 1.13 (a). Ef við tökum þann hluta ferilsins sem liggur hægra megin við y -ásinn og speglum hann yfir y -ásinn fellur hann nákvæmlega ofan á ferilinn vinstra megin við y -ásinn. Í þessu tilviki segjum við að fallið sé samhverft um y -ásinn . Skoðum hins vegar fallið $f(x)=x^3-4x$ sem sýnt er á mynd 1.13 (b). Ef við tökum grafið og snúum því $180\text{°}$ um upphafspunktinn verður grafið óbreytt. Í þessu tilviki segjum við að fallið sé samhverft um upphafspunktinn .

Ef graf falls er gefið er auðvelt að sjá hvort það hefur annan hvorn þessara samhverfueiginleika. En hvernig getum við ákvarðað með algebru hvort fall 𝑓 f sé samhverft ef grafið er ekki gefið? Þegar við skoðum mynd 1.13 aftur sjáum við að þar sem 𝑓 f er samhverft um 𝑦 y -ásinn er punkturinn ( − 𝑥 , 𝑦 ) ( − x $f$, y ) einnig á grafinu ef punkturinn ( 𝑥 , 𝑦 ) ( x , y ) er á $f$því. Með öðrum orðum, 𝑓 ⁡ ( − $y$𝑥 ) = 𝑓 ⁡ ( $(x,y)$𝑥 ) . f ⁡ ( − x ) $(\text{−}x,y)$= f ⁡ ( x ) . Ef fall 𝑓 f $f\left(\text{−}x\right)=f\left(x\right).$hefur þennan eiginleika segjum $f$við að 𝑓 f sé jafnstætt fall, en graf $f$þess er samhverft um y -ásinn. Til dæmis er 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 2 f ⁡ ( x ) = $f(x)=x^2$x 2 jafnstætt því að

Þegar við skoðum hins vegar mynd 1.13 aftur sjáum við að ef fall 𝑓 f er samhverft um upphafspunktinn er punkturinn ( − 𝑥 , $f$− 𝑦 ) ( − x , − y ) einnig á grafinu í hvert sinn sem punkturinn ( 𝑥 , 𝑦 ) ( x $(x,y)$, y ) er á því. Með öðrum orðum, 𝑓 ⁡ ( $\left(\text{−}x,\text{−}y\right)$− 𝑥 ) = − 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) . f ⁡ ( − x ) $f(\text{−}x)=\text{−}f(x).$= $f$− f ⁡ ( x ) . Ef 𝑓 f hefur þennan $f$eiginleika segjum við að 𝑓 f sé oddstætt fall, en graf þess er samhverft um upphafspunktinn. Til dæmis er 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 𝑥 3 f ⁡ ( x ) $f(x)=x^3$= x 3 oddstætt því að

Eitt samhverft fall sem kemur oft fyrir er tölugildisfallið, táknað með $\left|x\right|.$ Tölugildisfallið er skilgreint sem

Sumir nemendur lýsa þessu falli með því að segja að það „geri allt jákvætt“. Af skilgreiningu tölugildisfallsins sést að ef $x<0,$ þá er $\left|x\right|=\text{−}x>0,$ og ef $x>0,$ þá er $\left|x\right|=x>0.$ Hins vegar, fyrir $x=0,\left|x\right|=0.$ Því er nákvæmara að segja að fyrir öll inntaksgildi önnur en núll sé úttaksgildið jákvætt, en ef $x=0,$ þá er úttaksgildið $\left|x\right|=0.$ Við ályktum að myndmengi tölugildisfallsins sé $\left\{y|y\ge 0\right\}.$ Á mynd 1.14 sjáum við að tölugildisfallið er samhverft um y-ásinn og er því jafnstætt fall.