1.2 Helstu flokkar falla

Einfaldasta gerð falls sem hægt er að skoða er línulegt fall. Línuleg föll eru af gerðinni $f(x)=ax+b,$ þar sem $a$ og $b$ eru fastar. Á mynd 1.15 sjáum við dæmi um línuleg föll þegar $a$ er jákvætt, neikvætt og núll. Athugið að ef $a>0,$ hækkar graf línunnar þegar $x$ vex. Með öðrum orðum er $f(x)=ax+b$ vaxandi á $\text{(−∞, ∞)}.$ Ef $a<0,$ lækkar graf línunnar þegar $x$ vex. Í því tilviki er $f(x)=ax+b$ minnkandi á $\text{(−∞, ∞)}.$ Ef $a=0,$ er línan lárétt.

Eins og mynd 1.15 gefur til kynna er graf sérhvers línulegs falls bein lína. Eitt af einkennum beinnar línu er hallatala hennar. Hallatalan er breytingin á $y$ fyrir hverja einingabreytingu á $x.$ Hallatalan mælir bæði hve brött línan er og stefnu hennar. Ef hallatalan er jákvæð vísar línan upp á við þegar farið er frá vinstri til hægri. Ef hallatalan er neikvæð vísar línan niður á við þegar farið er frá vinstri til hægri. Ef hallatalan er núll er línan lárétt. Til að reikna hallatölu línu þurfum við að ákvarða hlutfallið milli breytingarinnar á $y$ og breytingarinnar á $x.$ Til þess veljum við hvaða tvo punkta sem er, $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$, á línunni og reiknum $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$ Á mynd 1.16 sjáum við að þetta hlutfall er óháð því hvaða punktar eru valdir.

Nú skoðum við sambandið milli hallatölu og formúlu línulegs falls. Lítum á línulega fallið sem gefið er með formúlunni $f\left(x\right)=ax+b.$ Eins og áður hefur komið fram vitum við að graf línulegs falls er lína. Við getum notað skilgreiningu okkar á hallatölu til að reikna hallatölu þessarar línu. Eins og sýnt er getum við ákvarðað hallatöluna með því að reikna $(y_2-y_1)\text{/}(x_2-x_1)$ fyrir hvaða tvo punkta $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$ sem eru á línunni. Þegar gildi fallsins $f$ er reiknað í $x=0,$ sjáum við að $(0,b)$ er punktur á þessari línu. Þegar gildi fallsins er reiknað í $x=1,$ sjáum við að $(1,a+b)$ er einnig punktur á línunni. Hallatala línunnar er því

Við höfum sýnt að stuðullinn $a$ er hallatala línunnar. Við getum því ályktað að formúlan $f(x)=ax+b$ lýsi línu með hallatöluna $a.$ Þar að auki sker línan $y$-ásinn í punktinum $(0,b),$ svo skurðpunktur hennar við $y$-ásinn er $(0,b).$ Formúlan $f(x)=ax+b$ gefur okkur bæði hallatöluna, $a,$ og skurðpunkt línunnar við $y$-ásinn, $(0,b),$ fyrir þessa línu. Þar sem við notum oft táknið $m$ til að tákna hallatölu línu getum við skrifað

Stundum er hentugt að setja línulegt fall fram á mismunandi vegu. Til dæmis skulum við gera ráð fyrir að graf línulegs falls liggi í gegnum punktinn $(x_1,y_1)$ og að hallatala línunnar sé $m.$ Þar sem sérhver annar punktur $(x,f(x))$ á grafi $f$ verður að uppfylla jöfnuna

Þar sem sérhver lína sem er ekki lóðrétt er graf línulegs falls má lýsa punktum á slíkri línu með hallaskurðarjöfnu eða punkthallajöfnu. Lóðrétt lína er hins vegar ekki graf falls og ekki er hægt að setja hana fram á hvorugu þessara forma. Þess í stað er lóðréttri línu lýst með jöfnunni $x=k$ fyrir einhvern fastann $k.$ Þar sem hvorki hallaskurðarformið né punkthallaformið nær yfir lóðréttar línur notum við táknunina

þar sem $a,b$ eru hvorugt núll, til að tákna staðalform línu.

fyrir einhverja heiltölu $n\ge 0$ og fastana $a_n,a_{n-1}\text{,…,}{a}_0,$ þar sem $a_n\ne 0.$ Þegar $n=0,$ leyfum við $a_0=0;$ ef $a_0=0,$ nefnist fallið $f(x)=0$ núllfall. Gildið $n$ nefnist stig margliðunnar; fastinn $a_n$ nefnist stuðull hæsta veldis. Línulegt fall af gerðinni $f\left(x\right)=mx+b$ er margliða af stigi 1 ef $m\ne 0$ og af stigi 0 ef $m=0.$ Margliða af stigi 0 nefnist einnig fastafall. Margliðufall af stigi 2 nefnist annars stigs fall. Annars stigs fall er því sérstaklega af gerðinni $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,$ þar sem $a\ne 0.$ Margliðufall af stigi $3$ nefnist þriðja stigs fall.

Sum margliðuföll eru veldisföll. Veldisfall er sérhvert fall af gerðinni $f(x)=a{x}^b,$ þar sem $a$ og $b$ eru rauntölur að eigin vali. Veldisvísir veldisfalls getur verið hvaða rauntala sem er, en hér skoðum við tilvikið þegar veldisvísirinn er jákvæð heiltala. (Önnur tilvik eru skoðuð síðar.) Ef veldisvísirinn er jákvæð heiltala er $f(x)=a{x}^n$ margliða. Ef $n$ er slétt heiltala, þá er $f(x)=a{x}^n$ jafnstætt fall, því að $f(\text{−}\mathit{\text{x}})=a{(\text{−}\mathit{\text{x}})}^n=a{x}^n$ ef $n$ er slétt heiltala. Ef $n$ er oddatala, þá er $f(x)=a{x}^n$ oddstætt fall, því að $f(\text{−}\mathit{\text{x}})=a{(\text{−}\mathit{\text{x}})}^n=\text{−}a{x}^n$ ef $n$ er oddatala (Mynd 1.18).

Til að ákvarða hegðun falls $f$ þegar inntaksgildin stefna á óendanlegt skoðum við gildin $f(x)$ þegar inntaksgildin, svo sem $x,$ verða stærri. Fyrir sum föll stefnir $f(x)$ á endanlega tölu. Til dæmis inniheldur fallið $f\left(x\right)=2+1\text{/}x,$ liðinn $1\text{/}x$ sem verður sífellt nær núlli eftir því sem $x$ verður stærra. Fyrir þetta fall segjum við að $\text{„}f(x)$ stefni á tvo þegar $x$ stefnir á óendanlegt“ og skrifum $f\left(x\right)\to 2$ þegar $x\to \infty .$ Línan $y=2$ er lárétt aðfella fallsins $f\left(x\right)=2+1\text{/}x$ vegna þess að graf fallsins nálgast línuna eftir því sem $x$ verður stærra.

Fyrir önnur föll er ekki víst að gildin $f(x)$ stefni á endanlega tölu, heldur geta þau orðið æ stærri eftir því sem $x$ stækkar. Í því tilviki segjum við að $\text{„}f(x)$ stefni á óendanlegt þegar $x$ stefnir á óendanlegt“ og skrifum $f\left(x\right)\to \infty$ þegar $x\to \infty .$ Til dæmis verða úttaksgildi fallsins $f\left(x\right)=3x^2,$ þ.e. gildin $f(x)$, sífellt stærri eftir því sem inntaksgildin $x$ stækka. Við getum því ályktað að fallið $f(x)=3x^2$ stefni á óendanlegt þegar $x$ stefnir á óendanlegt, og skrifum $3x^2\to \infty$ þegar $x\to \infty .$ Hegðunina þegar $x\to \text{−}\infty$ og merkingu $f\left(x\right)\to \text{−}\infty$ þegar $x\to \infty$ eða $x\to \text{−}\infty$ má skilgreina á svipaðan hátt. Hegðun gilda $f(x)$ þegar $x\to \infty$ og þegar $x\to \text{−}\infty$ nefnist endahegðun fallsins.

Til að skilja endahegðun margliðufalla getum við einbeitt okkur að annars stigs og þriðja stigs föllum. Hegðun margliða af hærra stigi má greina á sambærilegan hátt. Lítum á annars stigs fall $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c.$ Ef $a>0,$ gildir $f\left(x\right)\to \infty$ þegar $x\to \text{±}\infty .$ Ef $a<0,$ gildir $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ þegar $x\to \text{±}\infty .$ Þar sem graf annars stigs falls er fleygbogi opnast hann upp ef $a>0;$ en niður ef $a<0.$ (Sjá mynd 1.19(a).)

Lítum nú á þriðja stigs fall $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d.$ Ef $a>0,$ þá $f\left(x\right)\to \infty$ þegar $x\to \infty$ og $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ þegar $x\to \text{−∞}.$ Ef $a<0,$ þá $f\left(x\right)\to \text{−∞}$ þegar $x\to \infty$ og $f\left(x\right)\to \infty$ þegar $x\to \text{−∞}.$ Eins og sjá má af báðum gröfunum ákvarðar forystuliður margliðunnar endahegðunina. (Sjá mynd 1.19(b).)

Annað einkenni grafs margliðufalls er hvar það sker $x$-ásinn. Til að ákvarða hvar fall $f$ sker $x$-ásinn þurfum við að leysa jöfnuna $f(x)=0$ með tilliti til x. Þegar um línulega fallið $f(x)=mx+b,$ er að ræða fæst $x$-skurðpunkturinn með því að leysa jöfnuna $mx+b=0.$ Í þessu tilviki sjáum við að $x$-skurðpunkturinn er $(\text{−}\mathit{\text{b}}\text{/}m,0).$ Þegar um annars stigs fall er að ræða þarf að finna núllstöðvar annars stigs jöfnu til að ákvarða $x$-skurðpunktinn eða -skurðpunktana: $a{x}^2+bx+c=0.$ Í sumum tilvikum er auðvelt að þátta margliðuna $a{x}^2+bx+c$ til að finna núllstöðvarnar. Ef það er ekki unnt notum við lausnarformúlu annars stigs jöfnu.

Þegar um margliður af hærra stigi er að ræða getur verið flóknara að ákvarða hvar grafið sker $x$-ásinn. Í sumum tilvikum er hægt að finna skurðpunkta við $x$-ás með því að þátta margliðuna og finna núllstöðvar hennar. Í öðrum tilvikum er ómögulegt að reikna nákvæm gildi skurðpunktanna við $x$-ás. Eins og við sjáum síðar í textanum getum við þó í slíkum tilvikum notað greiningaraðferðir til að nálga (með mjög mikilli nákvæmni) hvar skurðpunktarnir við $x$-ás eru. Hér beinum við sjónum að gröfum margliða sem hafa núllstöðvar sem við getum reiknað nákvæmlega.

Sem dæmi skulum við skoða stærðfræðilíkan sem fyrirtæki gæti notað til að lýsa tekjum sínum af sölu tiltekinnar vöru. Tekjunum $R$ sem fyrirtæki fær af sölu á $n$ einingum á verðinu $p$ dollarar á einingu er lýst með jöfnunni $R=p·n.$ Fyrirtækið vill kanna hvernig salan breytist þegar verð vörunnar breytist. Gerum ráð fyrir að gögnin í töflu 1.6 sýni fjölda eininga sem fyrirtækið selur sem fall af verði hverrar einingar.

Á mynd 1.20 sjáum við graf yfir fjölda seldra eininga (í þúsundum) sem fall af verði (í dollurum). Af lögun grafsins má ráða að fjöldi seldra eininga sé líklega línulegt fall af verði hverrar einingar og nálga má gögnin vel með línulega fallinu $n=\mathrm{-1.04}p+26$ fyrir $0\le p\le 25,$ þar sem $n$ táknar áætlaðan fjölda seldra eininga í þúsundum. Með þessu línulega falli má áætla tekjurnar (í þúsundum dollara) með annars stigs fallinu

fyrir $0\le p\le 25.$ Í dæmi 1.15 notum við þetta annars stigs fall til að spá fyrir um tekjur fyrirtækisins eftir verði hverrar einingar. Ekki er unnt að ákvarða með vissu raunverulegan fjölda seldra eininga fyrir þau gildi $p,$ sem engin gögn liggja fyrir um. Með hliðsjón af öðrum gagnagildum og grafinu virðist þó eðlilegt að ætla að fjöldi seldra eininga (í þúsundum), þegar verðið er $p$ dollarar, sé nálægt þeim gildum sem fást með línulega fallinu $n=\mathrm{-1.04}p+26.$

Rétt eins og ræðar tölur eru hlutföll heiltalna eru ræð föll hlutföll margliða. Nánar tiltekið er rætt fall sérhvert fall af gerðinni $f\left(x\right)=p(x)\text{/}q\left(x\right),$ þar sem $p(x)$ og $q(x)$ eru margliður. Til dæmis,

eru ræð föll. Rótarfall er veldisfall af gerðinni $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n},$ þar sem $n$ er jákvæð heiltala stærri en einn. Til dæmis er $f(x)=x^{1\text{/}2}=\sqrt{x}$ kvaðratrótarfallið og $g\left(x\right)=x^{1\text{/}3}=\sqrt[3]{x}$ teningsrótarfallið. Með samskeytingum rótarfalla og ræðra falla getum við myndað önnur algebruföll. Til dæmis er $f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$ algebrufall.

Rótarföllin $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ hafa ólík grundvallareinkenni eftir því hvort $n$ er oddatala eða slétt heiltala. Fyrir allar sléttar heiltölur $n\ge 2,$ er skilgreiningarmengi $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ bilið $[0,\infty ).$ Fyrir allar oddatölur $n\ge 1,$ er skilgreiningarmengi $f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ mengi allra rauntalna. Þar sem $x^{1\text{/}n}={-\left(\text{−}\mathit{\text{x}}\right)}^{1\text{/}n}$ fyrir oddatölur $n,f\left(x\right)=x^{1\text{/}n}$ er oddstætt fall ef $n$ er oddatala. Sjá gröf rótarfallanna fyrir mismunandi gildi $n$ á mynd 1.21.

Hingað til höfum við fjallað um algebruföll. Sumum föllum er þó ekki unnt að lýsa með einföldum algebruaðgerðum. Þau eru kölluð torræð föll vegna þess að þau eru talin ná út fyrir algebruna. Algengustu torræðu föllin eru hornaföll, vísisföll og lograföll. Hornafall lýsir hlutföllum tveggja hliða í rétthyrndum þríhyrningi. Hornaföllin eru $\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\text{og}\csc x.$ (Fjallað er um hornaföll síðar í kaflanum.) Vísisfall er fall af gerðinni $f\left(x\right)=b^x,$ þar sem grunntalan $b>0,b\ne 1.$ Lografall er fall af gerðinni $f\left(x\right)={\log }_b(x)$ fyrir einhvern fasta $b>0,b\ne 1,$ þar sem ${\log }_b\left(x\right)=y$ þá og því aðeins að $b^y=x.$ (Einnig er fjallað um vísisföll og lograföll síðar í kaflanum.)

Stundum er fall skilgreint með ólíkum formúlum á mismunandi hlutum skilgreiningarmengis þess. Fall með þennan eiginleika nefnist hlutskilgreint fall. Tölugildisfallið er dæmi um hlutskilgreint fall þar sem formúlan breytist eftir formerki $x\text{:}$

Önnur hlutskilgreind föll geta verið sett fram með gjörólíkum formúlum eftir því í hvaða hluta skilgreiningarmengisins punktur liggur. Til að teikna graf hlutskilgreinds falls teiknum við hvern hluta fallsins á viðkomandi hluta skilgreiningarmengisins í sama hnitakerfi. Ef formúla falls er ólík fyrir $x<a$ og $x>a,$ þarf sérstaklega að gæta að hegðun grafsins við $x=a$. Stundum þarf að merkja opinn eða lokaðan hring á grafið til að sýna gildi fallsins þegar $x=a.$ Við skoðum þetta í næsta dæmi.

Við höfum séð nokkur dæmi þess að fastar séu lagðir við, dregnir frá eða margfaldaðir til að mynda tilbrigði við einföld föll. Í dæminu hér á undan drógum við til dæmis 2 frá viðfangi fallsins $y=x^2$ og fengum þannig fallið $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2.$ Þessi frádráttur samsvarar því að fallið $y=x^2$ hliðrist um tvær einingar til hægri. Lárétt eða lóðrétt hliðrun er ein tegund umbreytingar falls. Aðrar umbreytingar eru láréttar og lóðréttar kvarðanir og speglanir um ása.

Lóðrétt hliðrun fæst þegar sami fasti er lagður við eða dreginn frá hverju úttaksgildi $y.$ Fyrir $c>0,$ fæst graf $f\left(x\right)+c$ með því að hliðra grafi $f(x)$ upp um $c$ einingar, en graf $f\left(x\right)-c$ fæst með því að hliðra grafi $f\left(x\right)$ niður um $c$ einingar. Til dæmis fæst graf fallsins $f(x)=x^2+4$ með því að hliðra grafinu $y=x^2$ upp um $4$ einingar; graf fallsins $f(x)=x^2-4$ fæst með því að hliðra grafinu $y=x^2$ niður um $4$ einingar (Mynd 1.23).

Lárétt hliðrun fæst þegar sami fasti er lagður við eða dreginn frá hverju inntaki $x.$ Fyrir $c>0,$ fæst graf $f(x+c)$ með því að hliðra grafi $f(x)$ til vinstri um $c$ einingar; graf $f(x-c)$ fæst með því að hliðra grafi $f(x)$ til hægri um $c$ einingar. Hvers vegna hliðrast grafið til vinstri þegar fasta er lögð við en til hægri þegar fasta er dregin frá? Til að svara þessari spurningu skulum við skoða dæmi.

Skoðum fallið $f\left(x\right)=\left|x+3\right|$ og metum fallið í $x-3.$ Þar sem $f\left(x-3\right)=\left|x\right|$ og $x-3<x,$ er graf $f\left(x\right)=\left|x+3\right|$ graf $y=\left|x\right|$ hliðrað um 3 einingar til vinstri. Á sama hátt er graf $f\left(x\right)=\left|x-3\right|$ graf $y=\left|x\right|$ hliðrað um $3$ einingar til hægri (Mynd 1.24).

Lóðrétt kvörðun grafs verður þegar öll úttaksgildi $y$ falls eru margfölduð með sama jákvæða fastanum. Fyrir $c>0,$ fæst graf fallsins $cf(x)$ með því að kvarða graf $f(x)$ lóðrétt með stuðlinum $c.$ Ef $c>1,$ eru úttaksgildi fallsins $cf(x)$ stærri en úttaksgildi fallsins $f(x);$ grafið teygist því lóðrétt. Ef $0<c<1,$ eru úttaksgildi fallsins $cf(x)$ minni og grafið þjappast því lóðrétt. Graf fallsins $f\left(x\right)=3x^2$ fæst til dæmis með því að teygja grafið $y=x^2$ lóðrétt með stuðlinum 3, en graf $f\left(x\right)=x^2\text{/}3$ fæst með því að þjappa grafinu $y=x^2$ lóðrétt með stuðlinum $3$ (Mynd 1.25).

Lárétt kvörðun falls á sér stað þegar inntaksgildin $x$ eru margfölduð með sama jákvæða fastanum. Fyrir $c>0,$ fæst graf fallsins $f(cx)$ með því að kvarða graf $f(x)$ lárétt með stuðlinum $c.$ Ef $c>1,$ fæst graf $f(cx)$ með því að þjappa grafi $f(x)$ saman lárétt. Ef $0<c<1,$ fæst graf $f\left(cx\right)$ með því að teygja graf $f\left(x\right)$ lárétt. Skoðum til dæmis fallið $f\left(x\right)=\sqrt{2x}$ og reiknum gildi $f$ við $x\text{/}2.$ Þar sem $f(x\text{/}2)=\sqrt{x},$ fæst graf $f\left(x\right)=\sqrt{2x}$ með því að þjappa grafi $y=\sqrt{x}$ saman lárétt. Graf $y=\sqrt{x\text{/}2}$ fæst með láréttri teygingu á grafinu $y=\sqrt{x}$ (Mynd 1.26).

Við höfum kannað hvað verður um graf falls $f$ þegar $f$ er margfaldað með fasta $c>0$ til að mynda fallið $cf(x).$ Við höfum einnig fjallað um hvað verður um graf falls $f$ þegar óháða breytan $x$ er margfölduð með $c>0$ til að mynda fallið $f(cx).$ Við höfum hins vegar ekki fjallað um hvað verður um graf fallsins þegar fastinn $c$ er neikvæður. Ef fastinn er $c<0,$ má rita c sem jákvæða tölu margfaldaða með $\mathrm{-1};$ en hvaða umbreyting fæst þegar fallið eða rök þess eru margfölduð með $\mathrm{-1}?$ Þegar öll úttaksgildi eru margfölduð með $\mathrm{-1},$ fæst speglun um $x$-ásinn. Þegar öll inntaksgildi eru margfölduð með $\mathrm{-1},$ fæst speglun um $y$-ásinn. Graf $f\left(x\right)=\text{−}(x^3+1)$ er til dæmis graf $y=(x^3+1)$ speglað um $x$-ásinn. Graf $f\left(x\right)={\left(\text{−}x\right)}^3+1$ er graf $y=x^3+1$ speglað um $y$-ásinn (Mynd 1.27).

Ef graf falls fæst með fleiri en einni umbreytingu á öðru grafi er mikilvægt að framkvæma umbreytingarnar í réttri röð. Fyrir gefið fall $f(x),$ má fá graf hins tengda falls $y=cf\left(a\left(x+b\right)\right)+d$ út frá grafi $y=f(x)$ með því að framkvæma umbreytingarnar í eftirfarandi röð.

Í eftirfarandi verkefnum skal nota graf fallsins $y=f(x)$ til að teikna graf hvers umbreytts falls $g.$