11 Föll og gröf

1.4 Andhverf föll

Námsmarkmið

1.4.1 Ákvarða skilyrðin fyrir því að fall eigi sér andhverfu.
1.4.2 Nota lárétta línuprófið til að ákvarða hvenær fall er eintækt.
1.4.3 Finna andhverfu tiltekins falls.
1.4.4 Teikna graf andhverfs falls.
1.4.5 Reikna gildi andhverfra hornafalla.

Andhverft fall snýr við aðgerðinni sem tiltekið fall framkvæmir. Með öðrum orðum gerir andhverfa falls að engu það sem fallið gerir. Í þessum undirkafla skilgreinum við andhverft fall með formlegum hætti og setjum fram nauðsynleg skilyrði fyrir tilvist þess. Við skoðum hvernig finna má andhverft fall og könnum sambandið milli grafs falls og grafs andhverfu þess. Síðan notum við þessar hugmyndir til að skilgreina andhverf hornaföll og fjalla um eiginleika þeirra.

Tilvist andhverfs falls

Við byrjum á dæmi. Gefin séu fallið $f$ og úttakið $y = f (x),$ og við höfum oft áhuga á að finna hvaða gildi $x$ vörpuðust á $y$ með $f .$ Skoðum til dæmis fallið $f (x) = x^{3} + 4 .$ Þar sem sérhvert úttak $y = x^{3} + 4,$ getum við leyst þessa jöfnu fyrir $x$ og komist að því að inntakið er $x = \sqrt[3]{y - 4} .$ Þessi jafna skilgreinir $x$ sem fall af $y .$ Ef við táknum þetta fall með $f^{−1},$ og skrifum $x = f^{−1} (y) = \sqrt[3]{y - 4},$ sjáum við að fyrir sérhvert $x$ í skilgreiningarmengi $f, f^{−1} (f (x)) = f^{−1} (x^{3} + 4) = x .$ Þannig sneri nýja fallið $f^{−1},$ við því sem upphaflega fallið $f$ gerði. Fall með þennan eiginleika kallast andhverfa upphaflega fallsins.

Athugið að $f^{−1}$ er lesið „andhverfa f“. Hér er $−1$ ekki notað sem veldisvísir og $f^{−1} (x) \neq 1 / f (x) .$ Mynd 1.37 sýnir sambandið milli skilgreiningarmengis og myndmengis f og skilgreiningarmengis og myndmengis $f^{−1} .$

Mynd af tveimur bólum. Fyrri bólan er appelsínugul og hefur tvær merkingar: efri merkingin er „Skilgreiningarmengi f“ og sú neðri „Myndmengi andhverfu f“. Inni í þessari bólu er breytan „x“. Appelsínugul ör merkt „f“ vísar frá þessari bólu að hinni. Seinni bólan er blá og hefur tvær merkingar: efri merkingin er „Myndmengi f“ og sú neðri „Skilgreiningarmengi andhverfu f“. Inni í þessari bólu er breytan „y“. Blá ör merkt „andhverfa f“ vísar frá þessari bólu að þeirri fyrri. — **Mynd 1.37.** Fyrir fall $f$ og andhverfu þess $f^{−1}, f^{−1} (y) = x$ gildir þá og því aðeins að $f (x) = y .$ Myndmengi $f$ verður skilgreiningarmengi $f^{−1}$ og skilgreiningarmengi $f$ verður myndmengi $f^{−1} .$

Munið að fall hefur nákvæmlega eitt úttak fyrir hvert inntak. Til þess að skilgreina andhverft fall þurfum við því að varpa hverju inntaki á nákvæmlega eitt úttak. Reynum til dæmis að finna andhverfu fallsins $f (x) = x^{2} .$ Þegar jafnan $y = x^{2}$ er leyst með tilliti til $x,$ fæst jafnan $x = \pm \sqrt{y} .$ Þessi jafna lýsir $x$ ekki sem falli af $y$ vegna þess að jafnan hefur tvær lausnir fyrir hvert $y > 0 .$ Vandinn við að reyna að finna andhverfu fallsins $f (x) = x^{2}$ er sá að tveimur inntökum er varpað á sama úttakið fyrir hvert úttak $y > 0 .$ Fallið $f (x) = x^{3} + 4$ sem fjallað var um áður hafði ekki þennan vanda. Í því falli var hverju inntaki varpað á annað úttak en öllum hinum inntökunum. Fall sem varpar hverju inntaki á ólíkt úttak kallast eintækt fall.

Ein leið til að ákvarða hvort fall sé eintækt er að skoða graf þess. Ef fall er eintækt geta engin tvö inntaksgildi gefið sama úttaksgildi. Ef við drögum lárétta línu hvar sem er í $x y$ -sléttunni má hún því, samkvæmt lárétta línuprófinu, ekki skera grafið oftar en einu sinni. Athugum að lárétta línuprófið er frábrugðið lóðrétta línuprófinu. Lóðrétta línuprófið ákvarðar hvort graf sé graf falls. Lárétta línuprófið ákvarðar hvort fall sé eintækt (mynd 1.38).

Mynd af tveimur gröfum. Á báðum gröfunum nær x-ásinn frá -3 til 3 og y-ásinn frá -3 til 4. Fyrra grafið er af fallinu „f(x) = x í öðru veldi“, sem er fleygbogi. Fallið minnkar þar til það nær upphafspunktinum en þaðan fer það að vaxa. Skurðpunktar þess við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum. Á grafinu eru einnig tvær appelsínugular láréttar línur sem hvor um sig sker graf fallsins í tveimur punktum. Seinna grafið er af fallinu „f(x) = x í þriðja veldi“, sem er vaxandi bogið fall. Skurðpunktar þess við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum. Á grafinu eru einnig þrjár appelsínugular línur sem hver um sig sker graf fallsins aðeins í einum punkti. — **Mynd 1.38.** (a) Fallið $f (x) = x^{2}$ er ekki eintækt vegna þess að það stenst ekki lárétta línuprófið. (b) Fallið $f (x) = x^{3}$ er eintækt vegna þess að það stenst lárétta línuprófið.

Dæmi 1.28

Ákvörðun á því hvort fall sé eintækt

Notið lárétta línuprófið fyrir hvert eftirfarandi fall til að ákvarða hvort það sé eintækt.

Lausn

Þar sem lárétta línan $y = n$ fyrir sérhverja heiltölu $n \geq 0$ sker grafið oftar en einu sinni er fallið ekki eintækt.
Þar sem sérhver lárétt lína sker grafið í mesta lagi einu sinni er fallið eintækt.

Andhverfa falls fundin

Nú getum við skoðað eintæk föll og sýnt hvernig andhverfur þeirra eru fundnar. Rifjum upp að fall varpar stökum í skilgreiningarmengi $f$ á stök í myndmengi $f .$ Andhverfan varpar hverju staki úr myndmengi $f$ aftur á samsvarandi stak úr skilgreiningarmengi $f .$ Til að finna andhverfu eintæks falls $f,$ þurfum við því, fyrir sérhvert $y$ í myndmengi $f,$ að ákvarða hvaða $x$ í skilgreiningarmengi $f$ uppfyllir $f (x) = y .$ Þar sem $f$ er eintækt er nákvæmlega eitt slíkt gildi $x .$ Við getum fundið gildið $x$ með því að leysa jöfnuna $f (x) = y$ með tilliti til $x .$ Þannig getum við ritað $x$ sem fall af $y$ , þar sem skilgreiningarmengi þessa falls er myndmengi $f$ og myndmengi nýja fallsins er skilgreiningarmengi $f .$ Þetta fall er því andhverfa $f,$ og við ritum $x = f^{−1} (y) .$ Þar sem breytan $x$ táknar yfirleitt óháðu breytuna og $y$ táknar háðu breytuna víxlum við oft hlutverkum $x$ og $y,$ og ritum $y = f^{−1} (x) .$ Þessi framsetning andhverfunnar kemur einnig að gagni síðar þegar við teiknum graf fallsins $f$ og graf andhverfu þess $f^{−1}$ í sama hnitakerfi.

Dæmi 1.29

Andhverfufall fundið

Finnið andhverfu fallsins $f (x) = 3 x - 4 .$ Tilgreinið skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfu fallsins. Sannreynið að $f^{−1} (f (x)) = x .$

Lausn

Fylgið skrefunum sem lýst er í aðferðinni.

Ef $y = 3 x - 4,$ þá er $3 x = y + 4$ og $x = \frac{1}{3} y + \frac{4}{3} .$
Umritið sem $y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$ og látið $y = f^{−1} (x) .$

Því gildir 𝑓−1⁡(𝑥)=13⁢𝑥+43. $f^{−1} (x) = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} .$

Þar sem skilgreiningarmengi $f$ er $(− \infty, \infty),$ er myndmengi $f^{−1}$ jafnt $(− \infty, \infty) .$ Þar sem myndmengi $f$ er $(− \infty, \infty),$ er skilgreiningarmengi $f^{−1}$ jafnt $(− \infty, \infty) .$

Sannreyna má að $f^{−1} (f (x)) = x$ með því að skrifa

f^{−1} (f (x)) = f^{−1} (3 x - 4) = \frac{1}{3} (3 x - 4) + \frac{4}{3} = x - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = x .

Athugið að til þess að $f^{−1} (x)$ sé andhverfa $f (x),$ verða bæði $f^{−1} (f (x)) = x$ og $f (f^{−1} (x)) = x$ að gilda fyrir öll x í skilgreiningarmengi innra fallsins.

Graf andhverfra falla

Skoðum sambandið milli grafs falls $f$ og grafs andhverfu þess. Skoðum graf $f$ sem sýnt er á mynd 1.39 og punkt $(a, b)$ á grafinu. Þar sem $b = f (a),$ gildir $f^{−1} (b) = a .$ Þegar við teiknum því graf $f^{−1},$ þá er punkturinn $(b, a)$ á grafinu. Af því leiðir að graf $f^{−1}$ er spegilmynd grafs $f$ um línuna $y = x .$

Mynd af tveimur gröfum. Fyrra grafið sýnir „y = f(x)“, sem er vaxandi sveigður ferill sem vex hraðar eftir því sem x stækkar. Punkturinn (a, b) liggur á grafi fallsins í fyrsta fjórðungi. Seinna grafið sýnir einnig „y = f(x)“ með punktinum (a, b), en þar er einnig graf fallsins „y = f⁻¹(x)“, sem er vaxandi sveigður ferill sem vex hægar eftir því sem x stækkar. Punkturinn (b, a) liggur á grafi þessa falls. Auk fallanna tveggja er sýnd ská punktalína með jöfnunni „y =x“, sem sýnir að „f(x)“ og „f⁻¹(x)“ eru spegilmyndir hvort annars um línuna „y =x“. — **Mynd 1.39.** (a) Graf fallsins $f$ sýnir punktinn $(a, b)$ á grafi $f .$ (b) Þar sem $(a, b)$ er á grafi $f,$ er punkturinn $(b, a)$ á grafi $f^{−1} .$ Graf $f^{−1}$ er spegilmynd af grafi $f$ um línuna $y = x .$

Dæmi 1.30

Teikning grafa andhverfra falla

Út frá grafi $f$ á eftirfarandi mynd skuluð þið teikna graf $f^{−1}$ með því að teikna línuna $y = x$ og nýta samhverfu. Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi $f^{−1} .$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -2 til 2 og y-ásinn frá 0 til 2. Grafið sýnir fallið „f(x) = kvaðratrótin af (x +2)“, sem er vaxandi ferill. Fallið hefst í punktinum (-2, 0). Skurðpunktur þess við x-ás er (-2, 0) og skurðpunktur þess við y-ás er um það bil (0, 1.4).

Lausn

Speglið grafið um línuna $y = x .$ Skilgreiningarmengi $f^{−1}$ er $[0, \infty) .$ Myndmengi $f^{−1}$ er $[−2, \infty) .$ Með því að beita framangreindri aðferð til að finna andhverf föll getum við sannreynt að andhverfa fallið sé $f^{−1} (x) = x^{2} - 2,$ eins og sýnt er á grafinu.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -2 til 2 og y-ásinn frá -2 til 2. Grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er „f(x) = kvaðratrótin af (x +2)“, sem er vaxandi ferill. Fallið hefst í punktinum (-2, 0). Skurðpunktur þess við x-ás er (-2, 0) og skurðpunktur þess við y-ás er um það bil (0, 1.4). Síðara fallið er „f⁻¹(x) = (x í öðru veldi) -2“, sem er vaxandi ferill sem hefst í punktinum (0, -2). Skurðpunktur þess við x-ás er um það bil (1.4, 0) og skurðpunktur þess við y-ás er (0, -2). Auk fallanna tveggja er skálína sýnd með punktalínu og merkt með jöfnunni „y =x“. Hún sýnir að „f(x)“ og „f⁻¹(x)“ eru spegilmyndir hvort af öðru um línuna „y =x“.

Takmörkun skilgreiningarmengja

Eins og við höfum séð hefur $f (x) = x^{2}$ ekki andhverft fall þar sem það er ekki eintækt. Hins vegar getum við valið hlutmengi úr skilgreiningarmengi $f$ þannig að fallið sé eintækt. Þetta hlutmengi kallast takmarkað skilgreiningarmengi. Ef við takmörkum skilgreiningarmengi $f,$ getum við skilgreint nýtt fall $g$ þannig að skilgreiningarmengi $g$ sé takmarkað skilgreiningarmengi $f$ og $g (x) = f (x)$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $g .$ Þá getum við skilgreint andhverfu fallsins $g$ á því skilgreiningarmengi. Til dæmis, þar sem $f (x) = x^{2}$ er eintækt á bilinu $[0, \infty),$ getum við skilgreint nýtt fall $g$ þannig að skilgreiningarmengi $g$ sé $[0, \infty)$ og $g (x) = x^{2}$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi þess. Þar sem $g$ er eintækt fall hefur það andhverft fall, sem gefið er með formúlunni $g^{−1} (x) = \sqrt{x} .$ Hins vegar er fallið $f (x) = x^{2}$ einnig eintækt á skilgreiningarmenginu $(− \infty, 0] .$ Því gætum við einnig skilgreint nýtt fall $h$ þannig að skilgreiningarmengi $h$ sé $(− \infty, 0]$ og $h (x) = x^{2}$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $h .$ Þá er $h$ eintækt fall og hlýtur því einnig að hafa andhverft fall. Andhverfa þess er gefin með formúlunni $h^{−1} (x) = − \sqrt{x}$ (Mynd 1.40).

Mynd af tveimur gröfum. Á báðum gröfunum nær x-ásinn frá -2 til 5 og y-ásinn frá -2 til 5. Fyrra grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er „g(x) = x í öðru veldi“, sem er vaxandi ferill sem hefst í punktinum (0, 0). Fallið vex hraðar eftir því sem gildi x verða stærri. Síðara fallið er „andhverfa g (x) = kvaðratrótin af x“, sem er vaxandi ferill sem hefst í punktinum (0, 0). Fallið vex hægar eftir því sem gildi x verða stærri. Á síðara grafinu er fyrra fallið „h(x) = x í öðru veldi“, sem er minnkandi ferill sem endar í punktinum (0, 0). Fallið minnkar hægar eftir því sem gildi x verða stærri. Síðara fallið er „andhverfa h (x) = -(kvaðratrótin af x)“, sem er vaxandi ferill sem hefst í punktinum (0, 0). Fallið minnkar hægar eftir því sem gildi x verða stærri. Auk fallanna tveggja er skálína sýnd með punktalínu og merkt með jöfnunni „y =x“. Hún sýnir að „f(x)“ og „f⁻¹(x)“ eru spegilmyndir hvort af öðru um línuna „y =x“. — **Mynd 1.40.** (a) Þegar $g (x) = x^{2}$ er takmarkað við $[0, \infty), g^{−1} (x) = \sqrt{x} .$ (b) Þegar $h (x) = x^{2}$ er takmarkað við $(− \infty, 0], h^{−1} (x) = − \sqrt{x} .$

Dæmi 1.31

Takmörkun skilgreiningarmengis

Skoðum fallið $f (x) = {(x + 1)}^{2} .$

Teiknið graf $f$ og notið lárétta línuprófið til að sýna að $f$ er ekki eintækt.
Sýnið að $f$ er eintækt á takmarkaða skilgreiningarmenginu $[−1, \infty) .$ Ákvarðið skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfu $f$ á þessu takmarkaða skilgreiningarmengi og finnið formúlu fyrir $f^{−1} .$

Lausn

Graf $f$ er graf $y = x^{2}$ hliðrað um 1 einingu til vinstri. Þar sem til er lárétt lína sem sker grafið oftar en einu sinni er $f$ ekki eintækt.
Á bilinu $[−1, \infty), f$ er eintækt.

Skilgreiningarmengi og myndmengi $f^{−1}$ eru hvort um sig myndmengi og skilgreiningarmengi $f,$ og skilgreiningarmengi $f^{−1}$ er því $[0, \infty)$ og myndmengi $f^{−1}$ er $[−1, \infty) .$ Til að finna formúlu fyrir $f^{−1},$ skuluð þið leysa jöfnuna $y = {(x + 1)}^{2}$ með tilliti til $x .$ Ef $y = {(x + 1)}^{2},$ þá er $x = −1 \pm \sqrt{y} .$ Þar sem við takmörkum skilgreiningarmengið við bilið þar sem $x \geq −1,$ þurfum við að hafa $\pm \sqrt{y} \geq 0 .$ Því gildir $x = −1 + \sqrt{y} .$ Þegar við víxlum $x$ og $y,$ ritum við $y = −1 + \sqrt{x}$ og ályktum að $f^{−1} (x) = −1 + \sqrt{x} .$

Andhverf hornaföll

Grunnhornaföllin sex eru lotubundin og því eru þau ekki eintæk. Ef við takmörkum hins vegar skilgreiningarmengi hornafalls við bil þar sem það er eintækt getum við skilgreint andhverfu þess. Lítum á sínusfallið (Mynd 1.34). Sínusfallið er eintækt á óendanlega mörgum bilum, en venja er að takmarka skilgreiningarmengið við bilið $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .$ Þannig skilgreinum við andhverfa sínusfallið á skilgreiningarmenginu $[−1, 1]$ þannig að fyrir sérhvert $x$ á bilinu $[−1, 1],$ segir andhverfa sínusfallsins okkur hvaða horn $θ$ á bilinu $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ uppfyllir $sin θ = x .$ Á sama hátt getum við takmarkað skilgreiningarmengi hinna hornafallanna til að skilgreina andhverf hornaföll, en þau eru föll sem segja okkur hvaða horn á tilteknu bili gefur tiltekið gildi hornafalls.

Skilgreining

Andhverfa sínusfallsins, táknuð með sin−1 ${sin}^{−1}$ eða arcsin, og andhverfa kósínusfallsins, táknuð með cos−1 ${cos}^{−1}$ eða arccos, eru skilgreindar á skilgreiningarmenginu 𝐷={𝑥|−1≤𝑥≤1} $D = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ sem hér segir:

\begin{matrix} {sin}^{−1} (x) = y ef og aðeins ef sin (y) = x og - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}; \\ {cos}^{−1} (x) = y ef og aðeins ef cos (y) = x og 0 \leq y \leq π . \end{matrix}

(1.12)

Andhverfa tangensfallsins, táknuð með tan−1 ${tan}^{−1}$ eða arctan, og andhverfa kótangensfallsins, táknuð með cot−1 ${cot}^{−1}$ eða arccot, eru skilgreindar á skilgreiningarmenginu 𝐷={𝑥|−∞<𝑥<∞} $D = {x | - \infty < x < \infty}$ sem hér segir:

\begin{matrix} {tan}^{−1} (x) = y ef og aðeins ef tan (y) = x og - \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}; \\ {cot}^{−1} (x) = y ef og aðeins ef cot (y) = x og 0 < y < π . \end{matrix}

(1.13)

Andhverfa kósekansfallsins, táknuð með csc−1 ${csc}^{−1}$ eða arccsc, og andhverfa sekansfallsins, táknuð með sec−1 ${sec}^{−1}$ eða arcsec, eru skilgreindar á skilgreiningarmenginu 𝐷={𝑥||𝑥|≥1} $D = {x | | x | \geq 1}$ sem hér segir:

\begin{matrix} {csc}^{−1} (x) = y ef og aðeins ef csc (y) = x og - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, y \neq 0; \\ {sec}^{−1} (x) = y ef og aðeins ef sec (y) = x og 0 \leq y \leq π, y \neq π / 2 . \end{matrix}

(1.14)

Til að teikna gröf andhverfu hornafallanna notum við gröf hornafallanna sem einskorðuð eru við skilgreiningarmengin sem skilgreind voru fyrr og speglum gröfin um línuna $y = x$ (Mynd 1.41).

Mynd af sex gröfum. Fyrsta grafið er af fallinu „f(x) = andhverft sínus(x)“, sem er vaxandi sveigja. Fallið hefst í punktinum (-1, -(pi/2)) og vex þar til það endar í punktinum (1, (pi/2)). Skurðpunktar við x-ás og y-ás eru í upphafspunkti hnitakerfisins. Annað grafið er af fallinu „f(x) = andhverft kósínus(x)“, sem er minnkandi sveigja. Fallið hefst í punktinum (-1, pi) og minnkar þar til það endar í punktinum (1, 0). Skurðpunkturinn við x-ás er í punktinum (1, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er í punktinum (0, (pi/2)). Þriðja grafið er af fallinu „f(x) = andhverft tangens(x)“, sem er vaxandi sveigja. Fallið hefst nálægt láréttu línunni „y = -(pi/2)“ og vex þar til það nálgast línuna „y = (pi/2)“. Fallið sker hvoruga línuna heldur helst alltaf á milli þeirra; þær eru láréttar aðfellur. Skurðpunktar við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum. Fjórða grafið er af fallinu „f(x) = andhverft kótangens(x)“, sem er minnkandi sveigja. Fallið hefst rétt neðan við láréttu línuna „y = pi“ og minnkar þar til það nálgast x-ásinn. Fallið sker hvoruga línuna heldur helst alltaf á milli þeirra; þær eru láréttar aðfellur. Fimmta grafið er af fallinu „f(x) = andhverft kósekans(x)“, sem er minnkandi sveigja. Fallið hefst rétt neðan við x-ásinn og minnkar síðan þar til það nær fylltum punkti í (-1, -(pi/2)). Grafið heldur síðan áfram frá punktinum (1, (pi/2)), þar sem fallið tekur aftur að minnka og nálgast x-ásinn án þess að snerta hann. X-ásinn er lárétt aðfella. Sjötta grafið er af fallinu „f(x) = andhverft sekans(x)“, sem er vaxandi sveigja. Fallið hefst rétt ofan við láréttu línuna „y = (pi/2)“ og vex síðan þar til það nær fylltum punkti í (-1, pi). Grafið heldur síðan áfram frá punktinum (1, 0), þar sem fallið tekur aftur að vaxa og nálgast láréttu línuna „y = (pi/2)“ án þess að snerta hana. Línan „y = (pi/2)“ er lárétt aðfella. — **Mynd 1.41.** Graf hvers andhverfs hornafalls er spegilmynd samsvarandi einskorðaðs hornafalls um línuna $y = x$ .

Þegar gildi andhverfs hornafalls er reiknað er útkoman horn. Til dæmis, til að reikna ${cos}^{−1} (\frac{1}{2}),$ þurfum við að finna horn $θ$ þannig að $cos θ = \frac{1}{2} .$ Augljóslega hafa mörg horn þennan eiginleika. Samkvæmt skilgreiningunni á ${cos}^{−1},$ þurfum við hins vegar að finna hornið $θ$ sem leysir ekki aðeins þessa jöfnu heldur liggur einnig á bilinu $[0, π] .$ Við ályktum að ${cos}^{−1} (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3} .$

Við skoðum nú samsetningu hornafalls og andhverfu þess. Skoðum til dæmis stæðurnar tvær $sin ({sin}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2}))$ og ${sin}^{−1} (sin (π)) .$ Fyrri stæðuna einföldum við á eftirfarandi hátt:

sin ({sin}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2})) = sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Síðari stæðan gefur

{sin}^{−1} (sin (π)) = {sin}^{−1} (0) = 0 .

Andhverfan á að „afturkalla“ áhrif upphaflega fallsins, svo hvers vegna er ekki ${sin}^{−1} (sin (π)) = π ?$ Samkvæmt skilgreiningu okkar á andhverfum föllum uppfylla fall $f$ og andhverfa þess $f^{−1}$ skilyrðið $f (f^{−1} (y)) = y$ fyrir öll $y$ í skilgreiningarmengi $f^{−1}$ og skilyrðið $f^{−1} (f (x)) = x$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $f,$ og hvað gerðist þá hér? Ástæðan er sú að andhverfa sínusfallsins, ${sin}^{−1},$ er andhverfa takmarkaða sínusfallsins sem er skilgreint á menginu $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] .$ Fyrir $x$ á bilinu $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ gildir því ${sin}^{−1} (sin x) = x .$ Fyrir gildi $x$ utan þessa bils gildir jafnan hins vegar ekki, þótt ${sin}^{−1} (sin x)$ sé skilgreint fyrir allar rauntölur $x .$

Hvað með $sin ({sin}^{−1} y) ?$ Kemur þar upp svipað vandamál? Svarið er nei. Þar sem skilgreiningarmengi ${sin}^{−1}$ er bilið $[−1, 1],$ ályktum við að $sin ({sin}^{−1} y) = y$ ef $−1 \leq y \leq 1$ og stæðan er ekki skilgreind fyrir önnur gildi $y .$ Til samantektar,

sin ({sin}^{−1} y) = y if −1 \leq y \leq 1

{sin}^{−1} (sin x) = x if - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2} .

Á sama hátt gildir fyrir kósínusfallið að

cos ({cos}^{−1} y) = y if −1 \leq y \leq 1

{cos}^{−1} (cos x) = x if 0 \leq x \leq π .

Hin hornaföllin og andhverfur þeirra hafa sambærilega eiginleika.

Dæmi 1.32

Útreikningur á gildum stæða sem innihalda andhverf hornaföll

Reiknið gildi hverrar af eftirfarandi stæðum.

sin−1⁢(−√32) ${sin}^{−1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$
tan⁡(tan−1⁢(−1√3)) $tan ({tan}^{−1} (- \frac{1}{\sqrt{3}}))$
cos−1⁢(cos⁡(5⁢𝜋4)) ${cos}^{−1} (cos (\frac{5 π}{4}))$
sin−1⁢(cos⁡(2⁢𝜋3)) ${sin}^{−1} (cos (\frac{2 π}{3}))$

Lausn

Að reikna ${sin}^{−1} (− \sqrt{3} / 2)$ jafngildir því að finna hornið $θ$ þannig að $sin θ = − \sqrt{3} / 2$ og $− π / 2 \leq θ \leq π / 2 .$ Hornið $θ = − π / 3$ uppfyllir þessi tvö skilyrði. Því er ${sin}^{−1} (− \sqrt{3} / 2) = − π / 3 .$
Fyrst notum við þá staðreynd að ${tan}^{−1} (−1 / \sqrt{3}) = − π / 6 .$ Þá er $tan (-π / 6) = −1 / \sqrt{3} .$ Því er $tan ({tan}^{−1} (−1 / \sqrt{3})) = −1 / \sqrt{3} .$
Til að reikna ${cos}^{−1} (cos (5 π / 4)),$ notum við fyrst þá staðreynd að $cos (5 π / 4) = − \sqrt{2} / 2 .$ . Þá þurfum við að finna hornið $θ$ þannig að $cos (θ) = − \sqrt{2} / 2$ og $0 \leq θ \leq π .$ . Þar sem $3 π / 4$ uppfyllir bæði skilyrðin, fæst ${cos}^{- 1} (cos (5 π / 4)) = {cos}^{−1} (− \sqrt{2} / 2) = 3 π / 4 .$
Þar sem $cos (2 π / 3) = −1 / 2,$ þurfum við að reikna ${sin}^{−1} (−1 / 2) .$ . Með öðrum orðum þurfum að finna hornið $θ$ þannig að $sin (θ) = −1 / 2$ og $− π / 2 \leq θ \leq π / 2 .$ . Þar sem $− π / 6$ uppfyllir bæði skilyrðin getum við ályktað að ${sin}^{−1} (cos (2 π / 3)) = {sin}^{−1} (−1 / 2) = − π / 6 .$

Nemendaverkefni

Hágildi falls

Á mörgum sviðum vísinda, verkfræði og stærðfræði er gagnlegt að þekkja hæsta gildi sem fall getur tekið, jafnvel þótt við vitum ekki nákvæmt gildi þess á tilteknu augnabliki. Ef við höfum til dæmis fall sem lýsir styrk þakbita viljum við vita hver mesti þungi er sem bitinn getur borið án þess að brotna. Ef við höfum fall sem lýsir hraða lestar viljum við vita hver mesti hraði hennar getur orðið áður en hún fer út af sporinu. Örugg hönnun byggist oft á því að þekkja hágildi.

Í þessu verkefni er lýst einföldu dæmi um fall með hágildi sem er háð tveimur stuðlum jöfnunnar. Við munum sjá að hágildi geta verið háð ýmsum öðrum þáttum en óháðu breytunni x.

Skoðið grafið á mynd 1.42 af fallinu $y = sin x + cos x .$ Lýsið heildarlögun þess. Er það lotubundið? Hvernig má sjá það?

Mynd 1.42 Graf fallsins $y = sin x + cos x .$

Notið grafreikni eða annað tæki til grafteikningar til að áætla $x$ - og $y$ -gildi hágildispunkts grafsins (fyrsta slíka punktsins þar sem x > 0). Gagnlegt kann að vera að setja $x$ -gildið fram sem margfeldi af π.
Lítum nú á önnur gröf af gerðinni $y = A sin x + B cos x$ fyrir ýmis gildi A og B. Teiknið grafið þegar A = 2 og B = 1 og finnið $x$ - og y-gildi hámarkspunktsins. (Munið að setja x-gildið fram sem margfeldi af π, ef unnt er.) Hefur hann færst?
Endurtakið fyrir A = 1, B = 2. Eru einhver tengsl við það sem þið funduð í lið (2)?
Fyllið út eftirfarandi töflu og bætið við nokkrum eigin valkostum fyrir A og B:

A B x y A B x y

0 1 $\sqrt{3}$ 1

1 0 1 $\sqrt{3}$

1 1 12 5

1 2 5 12

2 1

2 2

3 4

4 3
Reynið að finna formúluna fyrir y-gildin.
Formúlan fyrir $x$ -gildin er aðeins erfiðari. Gagnlegustu punktarnir úr töflunni eru $(1, 1), (1, \sqrt{3}), (\sqrt{3}, 1) .$ (Vísbending: Skoðið andhverf hornaföll.)
Ef þið funduð formúlur í liðum (5) og (6), sýnið þá að þær samræmast. Setjið formúluna fyrir $x$ -gildið sem þið funduð inn í $y = A sin x + B cos x$ og einfaldið þar til formúlan fyrir $y$ -gildið sem þið funduð fæst.

Æfingar úr kafla 1.4

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota lárétta línuprófið til að ákvarða hvort hvert gefið graf sé eintækt.

183.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir fall sem minnkar eftir beinni línu að upphafspunktinum en vex síðan eftir beinni línu. Skurðpunktar við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum.

184.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá 0 til 7 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir fall sem er alls staðar vaxandi. Áætlaður skurðpunktur við x-ás er í punktinum (1, 0) en enginn skurðpunktur við y-ás er sýndur.

185.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir fall sem líkist hálfhring, efri helmingi hrings. Fallið hefst í punktinum (-3, 0) og vex að punktinum (0, 3). Þar tekur það að minnka þar til það endar í punktinum (3, 0). Skurðpunktarnir við x-ás eru (-3, 0) og (3, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er (0, 3).

186.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir sveigt fall. Fallið vex þar til það nær upphafspunktinum og minnkar síðan að punktinum (2, -4), þar sem það tekur aftur að vaxa. Skurðpunktar við x-ás eru í upphafspunktinum og punktinum (3, 0). Skurðpunkturinn við y-ás er í upphafspunktinum.

187.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir sveigt fall sem er alls staðar vaxandi. Skurðpunktar við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum.

188.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 7 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir fall sem vex eftir beinni línu að áætlaða punktinum (, 3). Eftir þann punkt verður graf fallsins lárétt bein lína. Skurðpunktar við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum.

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið a. finna andhverfa fallið og b. finna skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfu fallsins.

189.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−4,𝑥≥0 $f (x) = x^{2} - 4, x \geq 0$

190.

𝑓⁡(𝑥)=3√𝑥−4 $f (x) = \sqrt[3]{x - 4}$

191.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+1 $f (x) = x^{3} + 1$

192.

𝑓⁡(𝑥)=(𝑥−1)₂,𝑥≤1 $f (x) = {(x - 1)}^{2}, x \leq 1$

193.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−1 $f (x) = \sqrt{x - 1}$

194.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥+2 $f (x) = \frac{1}{x + 2}$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota graf $f$ til að teikna graf andhverfa fallsins.

195.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir vaxandi línulegt fall, merkt „f“, sem er alls staðar vaxandi. Skurðpunkturinn við x-ás er (-2, 0) og skurðpunkturinn við y-ás er (0, 1).

196.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir sveigt minnkandi fall, merkt „f“. Þegar fallið minnkar nálgast það x-ásinn en snertir hann aldrei. Fallið hefur engan skurðpunkt við x-ás en skurðpunkturinn við y-ás er (0, 1).

197.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -8 til 8 og y-ásinn frá -8 til 8. Grafið sýnir vaxandi línulegt fall, merkt „f“. Fallið hefst í punktinum (0, 1) og vex eftir beinni línu að punktinum (4, 6). Eftir þann punkt heldur fallið áfram að vaxa, en hægar en áður, þegar það nálgast punktinn (8, 8). Fallið hefur engan skurðpunkt við x-ás en skurðpunkturinn við y-ás er (0, 1).

198.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir minnkandi sveigt fall, merkt „f“, sem endar í upphafspunktinum, en hann er bæði skurðpunktur við x-ás og y-ás. Annar punktur á grafi fallsins er (-4, 2).

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota samskeytingu falla til að ákvarða hvaða fallapör eru andhverf hvort annars.

199.

𝑓⁡(𝑥)=8⁢𝑥,𝑔⁡(𝑥)=𝑥8 $f (x) = 8 x, g (x) = \frac{x}{8}$

200.

𝑓⁡(𝑥)=8⁢𝑥+3,𝑔⁡(𝑥)=𝑥−38 $f (x) = 8 x + 3, g (x) = \frac{x - 3}{8}$

201.

𝑓⁡(𝑥)=5⁢𝑥−7,𝑔⁡(𝑥)=𝑥+57 $f (x) = 5 x - 7, g (x) = \frac{x + 5}{7}$

202.

𝑓⁡(𝑥)=23⁢𝑥+2,𝑔⁡(𝑥)=32⁢𝑥+3 $f (x) = \frac{2}{3} x + 2, g (x) = \frac{3}{2} x + 3$

203.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥−1,𝑥≠1,𝑔⁡(𝑥)=1𝑥+1,𝑥≠0 $f (x) = \frac{1}{x - 1}, x \neq 1, g (x) = \frac{1}{x} + 1, x \neq 0$

204.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3+1,𝑔⁡(𝑥)=(𝑥−1)₁/3 $f (x) = x^{3} + 1, g (x) = {(x - 1)}^{1 / 3}$

205.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+2⁢𝑥+1,𝑥≥−1,𝑔⁡(𝑥)=−1+√𝑥,𝑥≥0 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1, x \geq −1, g (x) = −1 + \sqrt{x}, x \geq 0$

206.

𝑓⁡(𝑥)=√4−𝑥2,0≤𝑥≤2,𝑔⁡(𝑥)=√4−𝑥2,0≤𝑥≤2 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}, 0 \leq x \leq 2, g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}, 0 \leq x \leq 2$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna gildi fallanna. Gefið nákvæmt gildi.

207.

tan−1⁢(√33) ${tan}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{3})$

208.

cos−1⁢(−√22) ${cos}^{−1} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

209.

cot−1⁢(1) ${cot}^{−1} (1)$

210.

sin−1⁢(−1) ${sin}^{−1} (−1)$

211.

cos−1⁢(√32) ${cos}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

212.

cos⁡(tan−1⁢(√3)) $cos ({tan}^{−1} (\sqrt{3}))$

213.

sin⁡(cos−1⁢(√22)) $sin ({cos}^{−1} (\frac{\sqrt{2}}{2}))$

214.

sin−1⁢(sin⁡(𝜋3)) ${sin}^{−1} (sin (\frac{π}{3}))$

215.

tan−1⁢(tan⁡(−𝜋6)) ${tan}^{−1} (tan (- \frac{π}{6}))$

216.

Fallið $C = T (F) = (5 / 9) (F - 32)$ breytir Fahrenheit-gráðum í Celsíusgráður.

Finnið andhverfa fallið $F = T^{−1} (C)$
Til hvers er andhverfa fallið notað?

217.

[T] Hraðanum V á blóði í slagæð (í sentímetrum á sekúndu) í fjarlægðinni x cm frá miðju slagæðarinnar má lýsa með fallinu $V = f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ fyrir $0 \leq x \leq 0.2 .$

Finnið $x = f^{−1} (V) .$
Túlkið til hvers andhverfa fallið er notað.
Finnið fjarlægðina frá miðju slagæðar þar sem hraðinn er 15 cm/sec, 10 cm/sec og 5 cm/sec.

218.

Fall sem breytir bandarískum fatastærðum í evrópskar er gefið með $D (x) = 2 x + 24 .$

Finnið evrópsku fatastærðirnar sem samsvara bandarísku stærðunum 6, 8, 10 og 12.
Finnið fallið sem breytir evrópskum fatastærðum í bandarískar fatastærðir.
Notið b-lið til að finna bandarísku fatastærðirnar sem samsvara 46, 52, 62 og 70.

219.

[T] Kostnaðurinn við að fjarlægja eiturefni úr stöðuvatni er gefinn með fallinu

$C (p) = 75 p / (85 - p),$ þar sem $C$ er kostnaðurinn (í þúsundum dollara) og $p$ er magn eiturefnisins í litlu stöðuvatni (mælt í milljarðshlutum [ppb]). Þetta líkan gildir aðeins þegar magn eiturefnisins er minna en 85 ppb.

Finnið kostnaðinn við að fjarlægja 25 ppb, 40 ppb og 50 ppb af eiturefninu úr stöðuvatninu.
Finnið andhverfa fallið. c. Notið b-lið til að ákvarða hve mikið af eiturefninu er fjarlægt fyrir $50,000.

220.

[T] Kappakstursbíll eykur hraðann og hraði hans er gefinn með

$v (t) = \frac{25}{4} t + 54,$ þar sem v er hraðinn (í fetum á sekúndu) á tíma t.

Finnið hraða bílsins eftir 10 sek.
Finnið andhverfa fallið.
Notið b-lið til að ákvarða hversu langan tíma það tekur bílinn að ná hraðanum 150 ft/sec.

221.

[T] Mach-tala flugvélar M er hlutfall hraða hennar og hljóðhraðans. Þegar flugvél flýgur í fastri hæð er Mach-horn hennar gefið með $μ = 2 {sin}^{−1} (\frac{1}{M}) .$

Finnið Mach-hornið (námundað að næstu heilu gráðu) fyrir eftirfarandi Mach-tölur.

Mynd úr fuglssjónarhorni af flugvél. Beint fyrir framan flugvélina er V-laga form á hlið og flýgur flugvélin beint inn í op þess. V-formið er merkt „Mach-bylgja“. Á myndinni eru tvær örvar með merkingum. Fyrri örin liggur frá nefi flugvélarinnar að horni V-formsins. Örin er merkt „hraði = v“. Seinni örin liggur á ská frá nefi flugvélarinnar að jaðri efri hluta V-formsins. Örin er merkt „hljóðhraði = a“. Milli örvanna er horn merkt „Mach-horn“. Á myndinni stendur einnig „mach = M > 1.0“.

𝑀=1.4 $M = 1.4$
𝑀=2.8 $M = 2.8$
𝑀=4.3 $M = 4.3$

222.

[T] Notið $μ = 2 {sin}^{−1} (\frac{1}{M}),$ en finnið síðan Mach-töluna M fyrir eftirfarandi horn.

𝜇=𝜋6 $μ = \frac{π}{6}$
𝜇=2⁢𝜋7 $μ = \frac{2 π}{7}$
𝜇=3⁢𝜋8 $μ = \frac{3 π}{8}$

223.

[T] Lýsa má meðalhita (í gráðum á Celsíus) í borg í norðurhluta Bandaríkjanna með fallinu

$T (x) = 5 + 18 sin [\frac{π}{6} (x - 4.6)],$ þar sem $x$ táknar tíma í mánuðum og $x = 1.00$ samsvarar 1. janúar. Ákvarðið þann dag eða þá daga (mánuð og mánaðardag) þegar meðalhitinn er $21 ° C .$ Látið heiltöluhluta svarsins eða svaranna tákna mánuðinn og reiknið mánaðardaginn út frá tugabrotshlutanum.

224.

[T] Dýpt vatns (í fetum) við bryggju breytist með flóði og fjöru. Henni er lýst með fallinu

$D (t) = 5 sin (\frac{π}{6} t - \frac{7 π}{6}) + 8,$ þar sem $t$ er fjöldi klukkustunda eftir miðnætti. Ákvarðið hvenær fyrst eftir miðnætti dýpið er 11.75 fet.

225.

[T] Hreyfingu hlutar í einfaldri sveifluhreyfingu er lýst með fallinu

$s (t) = −6 cos (\frac{π t}{2}),$ þar sem $s$ er mælt í tommum og $t$ er mælt í sekúndum. Ákvarðið hvenær vegalengdin sem hluturinn hefur farið verður fyrst 4.5 tommur.

226.

[T] Á listasafni í nágrenninu hangir 3 feta hátt málverk þannig að neðri brún þess er 2.5 fetum ofan við augnhæð meðalmanneskju. Lýsa má sjónarhorninu $θ$ með fallinu

$θ = {tan}^{−1} \frac{5.5}{x} - {tan}^{−1} \frac{2.5}{x},$ þar sem $x$ er fjarlægðin (í fetum) frá andlitsmyndinni. Finnið sjónarhornið þegar einstaklingur er 4 fet frá andlitsmyndinni.

227.

[T] Notið reiknivél til að reikna ${tan}^{−1} (tan (2.1))$ og ${cos}^{−1} (cos (2.1)) .$ Útskýrið hvora niðurstöðu fyrir sig.

228.

[T] Notið reiknivél til að reikna $sin ({sin}^{−1} (−2))$ og $tan ({tan}^{−1} (−2)) .$ Útskýrið niðurstöðuna í hvoru tilviki.

A	B	A	B
0	1	$\sqrt{3}$	1
1	0	1	$\sqrt{3}$
1	1	12	5
1	2	5	12
2	1
2	2
3	4
4	3