11 Föll og gröf

Meginatriði

Fall er vörpun úr mengi inntaksgilda í mengi úttaksgilda þannig að hverju inntaksgildi samsvarar nákvæmlega eitt úttaksgildi.
Fyrir fallið $y = f (x),$ telst skilgreiningarmengið vera mengi allra rauntalna $x$ sem fallið er skilgreint fyrir.
Á grafi fallsins $f,$ má hver lóðrétt lína skera grafið í mesta lagi einu sinni.
Fall getur haft hvaða fjölda núllstöðva sem er en í mesta lagi einn y-ásskurðpunkt.
Til að skilgreina samskeytinguna $g \circ f,$ þarf myndmengi $f$ að vera hlutmengi skilgreiningarmengis $g .$
Jafnstæð föll eru samhverf um $y$ -ásinn en oddstæð föll eru samhverf um upphafspunktinn.

Veldisfallið $f (x) = x^{n}$ er jafnstætt fall ef $n$ er slétt tala og $n \neq 0,$ og það er oddstætt fall ef $n$ er oddatala.
Rótarfallið $f (x) = x^{1 / n}$ hefur skilgreiningarmengið $[0, \infty)$ ef $n$ er slétt tala og skilgreiningarmengið $(−∞, \infty)$ ef $n$ er oddatala. Ef $n$ er oddatala, þá er $f (x) = x^{1 / n}$ oddstætt fall.
Skilgreiningarmengi ræðifallsins $f (x) = p (x) / q (x),$ þar sem $p (x)$ og $q (x)$ eru margliðuföll, er mengi þeirra $x$ þannig að $q (x) \neq 0 .$
Föll sem fela í sér grunnaðgerðirnar samlagningu, frádrátt, margföldun, deilingu og veldisreikning eru algebruföll. Öll önnur föll eru torræð föll. Hornaföll, vísisföll og lograföll eru dæmi um torræð föll.
Um margliðufall $f$ af stigi $n \geq 1$ gildir að $f (x) \to ± \infty$ þegar $x \to ± \infty .$ Formerki úttaksins þegar $x \to \infty$ ræðst aðeins af formerki forystustuðulsins og því hvort $n$ er slétt tala eða oddatala.
Lóðréttar og láréttar hliðranir, lóðréttar og láréttar kvarðanir og speglanir um $x$ - og $y$ -ásana eru dæmi um umbreytingar falla.

Stærð horns í bogaeiningum er skilgreind þannig að hornið sem samsvarar boga af lengd 1 á einingarhringnum hefur stærðina 1 í bogaeiningum. Horn sem er $180 °$ mælist $π$ rad.
Fyrir hvasst horn $θ,$ eru gildi hornafallanna skilgreind sem hlutföll tveggja hliða í rétthyrndum þríhyrningi þar sem annað hvassa hornið er $θ .$
Fyrir almennt horn $θ,$ látum $(x, y)$ vera punkt á hring með geisla $r$ sem samsvarar horninu $θ .$ Rita má hornaföllin sem hlutföll sem fela í sér stærðirnar $x, y,$ $r .$
Hornaföllin eru lotubundin. Sínus-, kósínus-, sekans- og kósekansföllin hafa lotuna $2 π .$ Tangens- og kótangensföllin hafa lotuna $π .$

Til þess að fall eigi sér andhverfu verður það að vera eintækt. Af grafi falls má ráða hvort fallið sé eintækt með lárétta línuprófinu.
Ef fall er ekki eintækt getum við takmarkað skilgreiningarmengið við hlutmengi þar sem fallið er eintækt og síðan skilgreint andhverfu fallsins á því hlutmengi.
Fyrir fall $f$ og andhverfu þess $f^{−1}, f (f^{−1} (x)) = x$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $f^{−1}$ og $f^{−1} (f (x)) = x$ fyrir öll $x$ í skilgreiningarmengi $f .$
Til að skilgreina andhverf hornaföll þarf að takmarka skilgreiningarmengi hornafallanna.
Graf falls $f$ og graf andhverfu þess $f^{−1}$ eru samhverf um línuna $y = x .$

Vísisfallið $y = b^{x}$ er vaxandi ef $b > 1$ og minnkandi ef $0 < b < 1 .$ Skilgreiningarmengi þess er $(− \infty, \infty)$ og myndmengi þess er $(0, \infty) .$
Lografallið $y = {log}_{b} (x)$ er andhverfa $y = b^{x} .$ Skilgreiningarmengi þess er $(0, \infty)$ og myndmengi þess er $(− \infty, \infty) .$
Náttúrulega vísisfallið er $y = e^{x}$ og náttúrulega lografallið er $y = ln x = {log}_{e} x .$
Ef gefið er vísisfall eða lografall með grunntölu $a,$ má skipta um grunntölu og umrita fallið með sérhverri grunntölu $b > 0, b \neq 1 .$ Yfirleitt er skipt yfir í grunntöluna $e .$
Breiðbogaföllin fela í sér samsetningar vísisfallanna $e^{x}$ og $e^{− x} .$ Af því leiðir að andhverfu breiðbogaföllin fela í sér náttúrulega logrann.