88 Ræðar stæður og jöfnur

8.6 Leysið ræðar jöfnur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Leyst ræðar jöfnur
Einangrað tiltekna breytu í ræðri jöfnu

Eftir að hugtökin stæða og jafna voru skilgreind snemma í Grunnatriðum höfum við notað þau í allri bókinni. Við höfum einfaldað margar gerðir stæðna og leyst margar gerðir jafna. Hingað til í kaflanum höfum við einfaldað margar ræðar stæður. Nú leysum við ræðar jöfnur.

Skilgreining ræðrar jöfnu er svipuð skilgreiningunni á jöfnu sem við notuðum í Grunnatriðum.

Gætið þess að þekkja muninn á ræðum stæðum og ræðum jöfnum. Jafnan inniheldur jafnaðarmerki.

\begin{matrix} Ræð stæða & Ræð jafna \\ \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} & \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ \frac{y + 6}{y^{2} - 36} & \frac{y + 6}{y^{2} - 36} = y + 1 \\ \frac{1}{n - 3} + \frac{1}{n + 4} & \frac{1}{n - 3} + \frac{1}{n + 4} = \frac{15}{n^{2} + n - 12} \end{matrix}

Leysið ræðar jöfnur

Við höfum áður leyst línulegar jöfnur sem innihéldu brot. Við fundum minnsta samnefnara (MSN) allra brota í jöfnunni og margfölduðum síðan báðar hliðar hennar með MSN til að losa jöfnuna við brotin.

Hér er verkefni sem við leystum þegar unnið var með línulegar jöfnur:


Við margfölduðum báðar hliðar með MSN.
Síðan margfölduðum við inn í sviga.
Við einfölduðum og fengum þá jöfnu án brota.
Að lokum leystum við jöfnuna.

Við notum sömu aðferð til að leysa ræðar jöfnur. Við margföldum báðar hliðar jöfnunnar með MSN. Þá fæst jafna sem inniheldur ekki ræðar stæður og er því mun auðveldari viðfangs.

Þar sem breyta getur verið í nefnara upphaflegu jöfnunnar verðum við þó að gæta þess að fá ekki lausn sem gerir nefnara jafnan núlli.

Áður en við leysum ræða jöfnu athugum við því hvaða gildi gera einhvern nefnara jafnan núlli. Þegar jafnan er leyst vitum við þá hvort hafna þurfi einhverjum algebrulausnum.

Algebrulausn ræðrar jöfnu sem gerir einhverja ræðu stæðu óskilgreinda kallast aukalausn.

Við skráum mögulegar aukalausnir c með því að rita $x \neq c$ við hlið jöfnunnar.

Dæmi 8.59

Hvernig leysa á jöfnur með ræðum stæðum

Leysið: $\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .$

Lausn

Í öðru skrefi er minnsti samnefnari allra nefnara jöfnunnar fundinn. Finnið MSN 1 deilt með x, eins þriðja og fimm sjöttu. MSN er 6 x.

Í þriðja skrefi er jafnan losuð við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN. Notið dreifiregluna og einfaldið; þá eru engin brot eftir.

Skref 4 er að leysa jöfnuna sem fæst. Einfaldið til að fá 6 jafnt 3 x og síðan 2 jafnt x.

Skref 5 er að sannreyna lausnirnar. Ef einhver gildi úr skrefi 1 eru algebrulausnir skal hafna þeim. Sannreynið aðrar lausnir í upphaflegu jöfnunni. 0 fékkst ekki sem algebrulausn. Setjið x = 2 inn í upphaflegu jöfnuna og staðfestið að báðar hliðar séu jafnar.

Skref aðferðarinnar eru sýnd hér á eftir.

Við byrjum alltaf á að skrá gildin sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.

Dæmi 8.60

Leysið: $1 - \frac{5}{y} = - \frac{6}{y^{2}} .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. MSN er y 2.
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN.
Margfaldið inn í svigann.
Margfaldið.
Leysið jöfnuna sem fæst. Ritið annars stigs jöfnuna fyrst á staðalformi.
Þáttið.
Notið núllmargfeldisregluna.
Leysið.
Athugið.
0 fékkst ekki sem algebrulausn.

Dæmi 8.61

Leysið: $\frac{5}{3 u - 2} = \frac{3}{2 u} .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. MSN er 2 u ( 3 u − 2 ).
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Margfaldið.
Leysið jöfnuna sem fæst.
Hvorki 0 né $\frac{2}{3}$ fékkst sem algebrulausn.

Þegar einn nefnarinn er annars stigs stæða skal muna að þátta hann fyrst til að finna MSN.

Dæmi 8.62

Leysið: $\frac{2}{p + 2} + \frac{4}{p - 2} = \frac{p - 1}{p^{2} - 4} .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. MSN er ( p + 2 ) ( p − 2 ).
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN.
Margfaldið inn í svigann.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Margfaldið inn í svigann.
Leysið.


2 eða − 2 eða − 22 fékkst ekki sem algebrulausn.

Dæmi 8.63

Leysið: $\frac{4}{q - 4} - \frac{3}{q - 3} = 1 .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. MSN er ( q − 4 ) ( q − 3 ).
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN.
Margfaldið inn í svigann.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Einfaldið.
Sameinið samkynja liði.
Leysið. Ritið fyrst á staðalformi.
Þáttið.
Notið núllmargfeldisregluna.
Hvorki 4 né 3 fékkst sem algebrulausn.

Dæmi 8.64

Leysið: $\frac{m + 11}{m^{2} - 5 m + 4} = \frac{5}{m - 4} - \frac{3}{m - 1} .$

Lausn


Þáttið alla nefnarana svo hægt sé að skrá öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. MSN er ( m − 4 ) ( m − 1 ).
Losið jöfnuna við brotin.
Margfaldið inn í svigann.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Leysið jöfnuna sem fæst.

Sannreynið. Eina algebrulausnin var 4, en við tókum fram að 4 gerði nefnara jafnan núlli. Algebrulausnin er því aukalausn. Jafnan hefur enga lausn.

Jafnan í sýnidæmi 8.64 hafði aðeins eina algebrulausn, en hún var aukalausn. Jafnan hafði því enga lausn. Sumar jöfnur hafa enga lausn.

Dæmi 8.65

Leysið: $\frac{n}{12} + \frac{n + 3}{3 n} = \frac{1}{n} .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. MSN er 12 n.
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN.
Margfaldið inn í svigann.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Leysið jöfnuna sem fæst.



Athugið.
n = 0 er aukalausn.

Dæmi 8.66

Leysið: $\frac{y}{y + 6} = \frac{72}{y^{2} - 36} + 4 .$

Lausn


Þáttið alla nefnarana svo hægt sé að skrá öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnarann. MSN er ( y − 6 ) ( y + 6 ).
Losið jöfnuna við brotin.
Einfaldið.
Einfaldið.
Leysið jöfnuna sem fæst.




Athugið.
y = − 6 er aukalausn.

Dæmi 8.67

Leysið: $\frac{x}{2 x - 2} - \frac{2}{3 x + 3} = \frac{5 x^{2} - 2 x + 9}{12 x^{2} - 12} .$

Lausn


Við byrjum á að þátta alla nefnara svo auðveldara sé að finna aukalausnir og MSN.
Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Finnið minnsta samnefnarann. MSN er 12 ( x − 1 ) ( x + 1 ). 12 ( x − 1 ) ( x + 1 )
Losið jöfnuna við brotin.
Einfaldið.
Einfaldið.
Leysið jöfnuna sem fæst.



Athugið.
x = 1 og x = − 1 eru aukalausnir. Jafnan hefur enga lausn.

Einangrið tiltekna breytu í ræðri jöfnu

Þegar við leystum línulegar jöfnur lærðum við að einangra tiltekna breytu í formúlu. Margar formúlur í viðskiptum, vísindum, hagfræði og öðrum greinum nota ræðar jöfnur til að lýsa tengslum tveggja eða fleiri breyta. Nú skoðum við hvernig tiltekin breyta er einangruð í ræðri jöfnu.

Við byrjum á formúlu sem tengir vegalengd, hraða og tíma. Við höfum oft notað hana áður, en yfirleitt ekki á þessu formi.

Dæmi 8.68

Leysið: $\frac{D}{T} = R fyrir T .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN, T.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með R til að einangra T.
Einfaldið.

Í sýnidæmi 8.69 er notuð formúlan fyrir hallatölu sem við notuðum til að leiða út punkthallaform jöfnu línu.

Dæmi 8.69

Leysið: $m = \frac{x - 2}{y - 3} fyrir y .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN, y − 3.
Einfaldið.
Einangrið liðinn sem inniheldur y.
Deilið báðum hliðum með m til að einangra y.
Einfaldið.

Fylgið öllum skrefunum í sýnidæmi 8.70. Formúlan kann að virðast mjög einföld, en ekki er hægt að einangra hvorn nefnara umsvifalaust.

Dæmi 8.70

Leysið 1/c + 1/m = 1 fyrir c .. $\frac{1}{c} + \frac{1}{m} = 1 fyrir c .$

Lausn


Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
Losið jöfnuna við brotin með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN, c m.
Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.
Safnið liðunum með c hægra megin.
Þáttið stæðuna hægra megin.
Til að einangra c skal deila báðum hliðum með m − 1.
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.

Takið eftir að þótt $c = 0 og m = 0$ hafi verið útilokað úr upphaflegu jöfnunni verðum við nú einnig að taka fram að $m \neq 1$ .

Verkefni úr hluta 8.6

Æfingin skapar meistarann

Leysið ræðar jöfnur

Leysið eftirfarandi verkefni.

303.

$\frac{1}{a} + \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$

304.

$\frac{5}{6} + \frac{3}{b} = \frac{1}{3}$

305.

$\frac{5}{2} - \frac{1}{c} = \frac{3}{4}$

306.

$\frac{6}{3} - \frac{2}{d} = \frac{4}{9}$

307.

$\frac{4}{5} + \frac{1}{4} = \frac{2}{v}$

308.

$\frac{3}{7} + \frac{2}{3} = \frac{1}{w}$

309.

$\frac{7}{9} + \frac{1}{x} = \frac{2}{3}$

310.

$\frac{3}{8} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}$

311.

$1 - \frac{2}{m} = \frac{8}{m^{2}}$

312.

$1 + \frac{4}{n} = \frac{21}{n^{2}}$

313.

$1 + \frac{9}{p} = \frac{−20}{p^{2}}$

314.

$1 - \frac{7}{q} = \frac{−6}{q^{2}}$

315.

$\frac{1}{r + 3} = \frac{4}{2 r}$

316.

$\frac{3}{t - 6} = \frac{1}{t}$

317.

$\frac{5}{3 v - 2} = \frac{7}{4 v}$

318.

$\frac{8}{2 w + 1} = \frac{3}{w}$

319.

$\frac{3}{x + 4} + \frac{7}{x - 4} = \frac{8}{x^{2} - 16}$

320.

$\frac{5}{y - 9} + \frac{1}{y + 9} = \frac{18}{y^{2} - 81}$

321.

$\frac{8}{z - 10} + \frac{7}{z + 10} = \frac{5}{z^{2} - 100}$

322.

$\frac{9}{a + 11} + \frac{6}{a - 11} = \frac{7}{a^{2} - 121}$

323.

$\frac{1}{q + 4} - \frac{2}{q - 2} = 1$

324.

$\frac{3}{r + 10} - \frac{4}{r - 4} = 1$

325.

$\frac{1}{t + 7} - \frac{5}{t - 5} = 1$

326.

$\frac{2}{s + 7} - \frac{3}{s - 3} = 1$

327.

$\frac{v - 10}{v^{2} - 5 v + 4} = \frac{3}{v - 1} - \frac{6}{v - 4}$

328.

$\frac{w + 8}{w^{2} - 11 w + 28} = \frac{5}{w - 7} + \frac{2}{w - 4}$

329.

$\frac{x - 10}{x^{2} + 8 x + 12} = \frac{3}{x + 2} + \frac{4}{x + 6}$

330.

$\frac{y - 3}{y^{2} - 4 y - 5} = \frac{1}{y + 1} + \frac{8}{y - 5}$

331.

$\frac{z}{16} + \frac{z + 2}{4 z} = \frac{1}{2 z}$

332.

$\frac{a}{9} + \frac{a + 3}{3 a} = \frac{1}{a}$

333.

$\frac{b + 3}{3 b} + \frac{b}{24} = \frac{1}{b}$

334.

$\frac{c + 3}{12 c} + \frac{c}{36} = \frac{1}{4 c}$

335.

$\frac{d}{d + 3} = \frac{18}{d^{2} - 9} + 4$

336.

$\frac{m}{m + 5} = \frac{50}{m^{2} - 25} + 6$

337.

$\frac{n}{n + 2} = \frac{8}{n^{2} - 4} + 3$

338.

$\frac{p}{p + 7} = \frac{98}{p^{2} - 49} + 8$

339.

$\frac{q}{3 q - 9} - \frac{3}{4 q + 12}$
$= \frac{7 q^{2} + 6 q + 63}{24 q^{2} - 216}$

340.

$\frac{r}{3 r - 15} - \frac{1}{4 r + 20}$
$= \frac{3 r^{2} + 17 r + 40}{12 r^{2} - 300}$

341.

$\frac{s}{2 s + 6} - \frac{2}{5 s + 5}$
$= \frac{5 s^{2} - s - 18}{10 s^{2} + 40 s + 30}$

342.

$\frac{t}{6 t - 12} - \frac{5}{2 t + 10}$
$= \frac{t^{2} - 23 t + 70}{12 t^{2} + 36 t - 120}$

Einangrið tiltekna breytu í ræðri jöfnu

Leysið eftirfarandi verkefni.

343.

$\frac{C}{r} = 2 π fyrir r$

344.

$\frac{I}{r} = P fyrir r$

345.

$\frac{V}{h} = l w fyrir h$

346.

$\frac{2 A}{b} = h fyrir b$

347.

$\frac{v + 3}{w - 1} = \frac{1}{2} fyrir w$

348.

$\frac{x + 5}{2 - y} = \frac{4}{3} fyrir y$

349.

$a = \frac{b + 3}{c - 2} fyrir c$

350.

$m = \frac{n}{2 - n} fyrir n$

351.

$\frac{1}{p} + \frac{2}{q} = 4 fyrir p$

352.

$\frac{3}{s} + \frac{1}{t} = 2 fyrir s$

353.

$\frac{2}{v} + \frac{1}{5} = \frac{3}{w} fyrir w$

354.

$\frac{6}{x} + \frac{2}{3} = \frac{1}{y} fyrir y$

355.

$\frac{m + 3}{n - 2} = \frac{4}{5} fyrir n$

356.

$\frac{E}{c} = m^{2} fyrir c$

357.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{y} = \frac{1}{4} fyrir y$

358.

$\frac{R}{T} = W fyrir T$

359.

$r = \frac{s}{3 - t} fyrir t$

360.

$c = \frac{2}{a} + \frac{b}{5} fyrir a$

Stærðfræði daglegs lífs

361.

Húsmálun. Alain getur málað hús á 4 dögum. Spiro væri 7 daga að mála sama hús. Einangrið t í jöfnunni $\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{1}{t}$ til að finna hve marga daga það tæki þá að mála húsið saman.

362.

Bátasigling. Ari getur siglt bátnum 18 mílur með straumnum á sama tíma og það tekur að sigla 10 mílur gegn straumnum. Ef hraði bátsins er 7 hnútar skal einangra c í jöfnunni $\frac{18}{7 + c} = \frac{10}{7 - c}$ til að finna hraða straumsins.

Ritunarverkefni

363.

Hvers vegna hefur jafnan $\frac{3}{x - 2} = \frac{5}{x - 2}$ enga lausn?

364.

Pétur telur að jafnan $\frac{y}{y + 6} = \frac{72}{y^{2} - 36} + 4$ hafi lausnirnar tvær $y = −6 og y = 4$ . Útskýrið hvers vegna Pétur hefur rangt fyrir sér.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

Taflan hefur þrjár línur og fjóra dálka. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína með fyrirsögnunum „Ég get…“, „Af öryggi“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í fyrsta dálki stendur „leyst ræðar jöfnur“ og „einangrað tiltekna breytu í ræðri jöfnu“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir yfirferð þessa gátlista til að ná öruggum tökum á öllum námsmarkmiðunum?