88 Ræðar stæður og jöfnur

8.1 Einfaldið ræðar stæður

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Ákvarðað fyrir hvaða gildi ræð stæða er óskilgreind
Reiknað gildi ræðra stæða
Einfaldað ræðar stæður
Einfaldað ræðar stæður með gagnstæðum þáttum

Í kafla 1 rifjuðum við upp eiginleika brota og reikniaðgerðir með þeim. Við kynntum ræðar tölur, sem eru brot með heiltölum í teljara og nefnara, þar sem nefnarinn er ekki núll.

Í þessum kafla vinnum við með brot þar sem teljari og nefnari eru margliður. Við köllum þau ræðar stæður.

Munið að deiling með 0 er óskilgreind.

Hér eru nokkur dæmi um ræðar stæður:

- \frac{13}{42} \frac{7 y}{8 z} \frac{5 x + 2}{x^{2} - 7} \frac{4 x^{2} + 3 x - 1}{2 x - 8}

Takið eftir að fyrsta ræða stæðan hér að ofan, $- \frac{13}{42},$ , er einfaldlega brot. Þar sem fasti er margliða af stigi núll er hlutfall tveggja fastra ræð stæða, að því gefnu að nefnarinn sé ekki núll.

Við framkvæmum sömu reikniaðgerðir með ræðum stæðum og með brotum. Við einföldum þær, leggjum saman, drögum frá, margföldum, deilum og notum þær í hagnýtum verkefnum.

Ákvarðið fyrir hvaða gildi ræð stæða er óskilgreind

Þegar við vinnum með tölubrot er auðvelt að forðast deilingu með núlli því við sjáum töluna í nefnaranum. Til að forðast deilingu með núlli í ræðri stæðu verðum við að útiloka þau gildi breytunnar sem gera nefnarann jafnan núlli.

Ef nefnarinn er núll er ræða stæðan óskilgreind. Teljari ræðrar stæðu má vera 0 en nefnarinn ekki.

Áður en við framkvæmum reikniaðgerð með ræðri stæðu skoðum við því fyrst hvaða gildi gera nefnarann jafnan núlli. Þegar við leysum til dæmis ræða jöfnu vitum við þá hvort algebrulausnirnar sem fást séu leyfilegar.

Dæmi 8.1

Ákvarðið fyrir hvaða gildi ræða stæðan er óskilgreind:

ⓐ $\frac{9 y}{x}$ ⓑ $\frac{4 b - 3}{2 b + 5}$ ⓒ $\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}$

Lausn

Stæðan er óskilgreind þegar nefnarinn er núll.

ⓐ

	9 y/x
Setjið nefnarann jafnan núlli. Einangrið breytuna.	x = 0
	9 y/x er óskilgreind fyrir x = 0.

ⓑ

	4 b − $\frac{3}{2}$ b + 5
Setjið nefnarann jafnan núlli. Einangrið breytuna.	2 b + 5 = 0 2 b = −5 b = − $\frac{5}{2}$
	4 b − $\frac{3}{2}$ b + 5 4 b − $\frac{3}{2}$ b + 5 er óskilgreind fyrir b = − $\frac{5}{2}$ .. b = − $\frac{5}{2}$ .

ⓒ

	x + 4/x² + 5 x + 6
Setjið nefnarann jafnan núlli. Einangrið breytuna.	x² + 5 x + 6 = 0 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 0 x + 2 = 0 eða x + 3 = 0 x = −2 eða x = −3
	x + 4/x² + 5 x + 6 x + 4/x² + 5 x + 6 er óskilgreind fyrir x = −2 eða x = −3 .. x = −2 eða x = −3 .

Að segja að ræða stæðan $\frac{x + 4}{x^{2} + 5 x + 6}$ sé óskilgreind fyrir $x = −2 eða x = −3$ svipar til orðalagsins „ógilt þar sem bannað er“ í keppnisreglum.

Reiknið gildi ræðra stæða

Til að reikna gildi ræðrar stæðu setjum við gildi breytanna inn í stæðuna og einföldum, rétt eins og við höfum gert við margar aðrar stæður í bókinni.

Dæmi 8.2

Reiknið gildi $\frac{2 x + 3}{3 x - 5}$ fyrir hvert gildi:

ⓐ $x = 0$ ⓑ $x = 2$ ⓒ $x = −3$

Lausn

ⓐ



Einfaldið.

ⓑ



Einfaldið.

ⓒ



Einfaldið.

Dæmi 8.3

Reiknið gildi $\frac{x^{2} + 8 x + 7}{x^{2} - 4}$ fyrir hvert gildi:

ⓐ $x = 0$ ⓑ $x = 2$ ⓒ $x = −1$

Lausn

ⓐ



Einfaldið.

ⓑ



Einfaldið.

Þessi ræða stæða er óskilgreind fyrir x = 2.

ⓒ



Einfaldið.

Munið að brot er fullstytt þegar teljari og nefnari hafa engan sameiginlegan þátt annan en 1. Þegar við reiknum gildi ræðrar stæðu fullstyttum við brotið sem fæst.

Dæmi 8.4

Reiknið gildi $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{3 a b^{2}}$ fyrir hvert gildi:

ⓐ $a = 1, b = 2$ ⓑ $a = −2, b = −1$ ⓒ $a = \frac{1}{3}, b = 0$

Lausn

ⓐ

	a² + 2 a b + b 2/3 a b 2 þegar a = 1 , b = 2.

Einfaldið.

ⓑ

	a² + 2 a b + b 2/3 a b 2 þegar a = −2 , b = −1.

Einfaldið.

ⓒ

	a² + 2 a b + b 2/3 a b 2 þegar a = 1/3 , b = 0.

Einfaldið.

	Stæðan er óskilgreind.

Einfaldið ræðar stæður

Rétt eins og brot telst fullstytt ef teljari og nefnari hafa engan sameiginlegan þátt annan en 1, telst ræð stæða einfölduð ef teljari og nefnari hafa engan sameiginlegan þátt annan en 1.

Til dæmis:

$\frac{2}{3}$ er fullstytt vegna þess að 2 og 3 eiga engan sameiginlegan þátt.
$\frac{2 x}{3 x}$ er ekki einfölduð því x er sameiginlegur þáttur í 2 x og 3 x.

Við notum regluna um jafngild brot til að fullstytta tölubrot. Við rifjum hana upp hér því við notum hana einnig til að einfalda ræðar stæður.

Takið eftir að í reglunni um jafngild brot eru gildi sem gera nefnara jafna núlli sérstaklega útilokuð. Skilyrðið $b \neq 0, c \neq 0$ er tekið skýrt fram. Í hvert sinn sem við ritum ræða stæðu ættum við að taka fram sambærilegt skilyrði sem útilokar gildi sem gera nefnarann jafnan núlli. Til að geta einbeitt okkur að útreikningunum sleppum við þó að rita skilyrðið í sýnidæmunum.

Byrjum á að rifja upp hvernig tölubrot eru fullstytt.

Dæmi 8.5

Einfaldið: $- \frac{36}{63} .$

Lausn


Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegu þættirnir sjáist.
Einfaldið með reglunni um jafngild brot.

Takið eftir að brotið $- \frac{4}{7}$ er fullstytt vegna þess að ekki eru fleiri sameiginlegir þættir.

Í öllum þessum kafla gerum við ráð fyrir að öll tölugildi sem gera nefnarann jafnan núlli séu útilokuð. Við ritum ekki takmarkanirnar fyrir hverja ræða stæðu, en hafið í huga að nefnarinn má aldrei vera núll. Í næsta sýnidæmi gilda því $x \neq 0$ og $y \neq 0$ .

Dæmi 8.6

Einfaldið: $\frac{3 x y}{18 x^{2} y^{2}} .$

Lausn


Endurritið teljarann og nefnarann þannig að sameiginlegu þættirnir sjáist.
Einfaldið með reglunni um jafngild brot.

Tókuð þið eftir að þetta eru sömu skref og við notuðum þegar við deildum einliðum í kaflanum um margliður?

Til að einfalda ræðar stæður ritum við fyrst teljara og nefnara á þáttuðu formi. Síðan fellum við út sameiginlega þætti með reglunni um jafngild brot.

Farið mjög varlega þegar sameiginlegir þættir eru felldir út. Þættir eru margfaldaðir og mynda margfeldi. Fella má þátt út úr margfeldi en ekki lið úr summu.

Myndin hefur þrjá dálka. Fyrsti dálkurinn sýnir teljara og nefnara á þáttuðu formi. Í teljaranum er 2 sinnum 3 sinnum 7. Í nefnaranum er 3 sinnum 5 sinnum 7. Strikað er yfir sameiginlegu þættina 3 og 7. Í annarri línu fyrsta dálks sést það sem stendur eftir þegar strikað hefur verið yfir þristana og sjöurnar, brotið 2 yfir 5. Í síðustu línu fyrsta dálks stendur: „Við felldum út sameiginlegu þættina 3 og 7. Þeir eru þættir margfeldisins.“ Í fyrstu línu miðdálks er 3 x og síðan x mínus 9 innan sviga í teljaranum. Í nefnaranum er 5 og síðan x mínus 9 innan sviga. Strikað er yfir sameiginlega þáttinn x mínus 9. Í annarri línu miðdálks sést það sem stendur eftir, brotið 3 x yfir 5. Í síðustu línu miðdálks stendur: „Við felldum út sameiginlega þáttinn x mínus 9. Hann er þáttur margfeldisins.“ Í fyrstu línu þriðja dálks er x plús 5 í teljaranum og x í nefnaranum. Í annarri línu stendur „Engir sameiginlegir þættir“ og í þriðju línu: „Þótt x sé bæði í teljara og nefnara er x í teljaranum liður í summu.“

Takið eftir að ef x-in væru felld út úr $\frac{x + 5}{x}$ væri það eins og að stytta 2 úr brotinu $\frac{2 + 5}{2}$ !

Dæmi 8.7

Hvernig einfalda á ræðar tvíliðastæður

Einfaldið: $\frac{2 x + 8}{5 x + 20} .$

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og tveimur línum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnadálkur með heiti og númeri hvers skrefs. Annar dálkurinn inniheldur nánari leiðbeiningar og sá þriðji útreikninga. Í efstu línu fyrsta dálks stendur „Skref 1. Fullþáttið teljara og nefnara.“ Í öðrum dálki stendur „Þáttið 2x plús 8 og 5x mínus 20.“ Í þriðja dálki er 2x plús 8, deilt með 5x plús 20. Fyrir neðan er 2 sinnum x plús 4, deilt með 5 sinnum x plús 4.

Í annarri línu fyrsta dálks stendur „Skref 2. Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.“ Í öðrum dálki stendur „Fellið út sameiginlegu þættina.“ Í þriðja dálki er 2 sinnum x plús 4, deilt með 5 sinnum x plús 4. Þar er x plús 4 fellt út í teljara og nefnara og brotið einfaldast í 2 fimmtu.

Nú tökum við saman skrefin sem fylgja skal við einföldun ræðra stæða.

Yfirleitt látum við einfölduðu ræðu stæðuna standa á þáttuðu formi. Þá er auðvelt að sannreyna að allir sameiginlegir þættir hafi verið felldir út.

Í eftirfarandi sýnidæmum notum við aðferðirnar úr kaflanum um þáttun til að þátta margliðurnar í teljurum og nefnurum.

Dæmi 8.8

Einfaldið: $\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 12} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 12} \\ Þáttið teljara og nefnara. & \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 6)} \\ \begin{matrix} Fellið sameiginlega þáttinn x + 2 út í \\ teljara og nefnara. \end{matrix} & \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 6)} \\ \frac{x + 3}{x + 6} \end{matrix}$

Getið þið séð hvaða gildi x þarf að útiloka í þessu sýnidæmi?

Dæmi 8.9

Einfaldið: $\frac{y^{2} + y - 42}{y^{2} - 36} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{y^{2} + y - 42}{y^{2} - 36} \\ Þáttið teljara og nefnara. & \frac{(y + 7) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} \\ \begin{matrix} Fellið sameiginlega þáttinn y - 6 út í \\ teljara og nefnara. \end{matrix} & \frac{(y + 7) (y - 6)}{(y + 6) (y - 6)} \\ \frac{y + 7}{y + 6} \end{matrix}$

Dæmi 8.10

Einfaldið: $\frac{p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 4}{p^{2} - 7 p + 10} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 4}{p^{2} - 7 p + 10} \\ \begin{matrix} Þáttið teljara og nefnara, \\ með því að þátta teljarann með flokkun. \end{matrix} & \frac{p^{2} (p - 2) + 2 (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \frac{(p^{2} + 2) (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \begin{matrix} Fellið sameiginlega þáttinn p - 2 \\ út í teljara og nefnara. \end{matrix} & \frac{(p^{2} + 2) (p - 2)}{(p - 5) (p - 2)} \\ \frac{p^{2} + 2}{p - 5} \end{matrix}$

Dæmi 8.11

Einfaldið: $\frac{2 n^{2} - 14 n}{4 n^{2} - 16 n - 48} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{2 n^{2} - 14 n}{4 n^{2} - 16 n - 48} \\ \begin{matrix} Þáttið teljara og nefnara, \\ og takið fyrst SSÞ út fyrir sviga. \end{matrix} & \frac{2 n (n - 7)}{4 (n^{2} - 4 n - 12)} \\ \frac{2 n (n - 7)}{4 (n - 6) (n + 2)} \\ Fellið út sameiginlega þáttinn 2. & \frac{2 n (n - 7)}{2 \cdot 2 (n - 6) (n + 2)} \\ \frac{n (n - 7)}{2 (n - 6) (n + 2)} \end{matrix}$

Dæmi 8.12

Einfaldið: $\frac{3 b^{2} - 12 b + 12}{6 b^{2} - 24} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{3 b^{2} - 12 b + 12}{6 b^{2} - 24} \\ \begin{matrix} Þáttið teljara og nefnara, \\ og takið fyrst SSÞ út fyrir sviga. \end{matrix} & \frac{3 (b^{2} - 4 b + 4)}{6 (b^{2} - 4)} \\ \frac{3 (b - 2) (b - 2)}{6 (b + 2) (b - 2)} \\ Fellið sameiginlegu þættina b - 2 og 3 . & \frac{3 (b - 2) (b - 2)}{3 \cdot 2 (b + 2) (b - 2)} \\ \frac{b - 2}{2 (b + 2)} \end{matrix}$

Dæmi 8.13

Einfaldið: $\frac{m^{3} + 8}{m^{2} - 4} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{m^{3} + 8}{m^{2} - 4} \\ \begin{matrix} Þáttið teljara og nefnara, \\ með reglunum um summu teninga og \\ mismun ferninga. \end{matrix} & \frac{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)}{(m + 2) (m - 2)} \\ Fellið sameiginlega þáttinn m + 2 . & \frac{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)}{(m + 2) (m - 2)} \\ \frac{m^{2} - 2 m + 4}{m - 2} \end{matrix}$

Einfaldið ræðar stæður með gagnstæðum þáttum

Nú skoðum við hvernig einfalda má ræða stæðu þar sem teljari og nefnari hafa gagnstæða þætti. Byrjum á tölubrotinu $\frac{7}{−7}$ . Við vitum að brotið einfaldast í $−1$ og sjáum einnig að teljari og nefnari eru gagnstæðar tölur.

Í undirstöðukaflanum kynntum við rithátt fyrir móttölur: móttal $a$ er $− a$ . Við munum einnig að $− a = −1 \cdot a$ .

Við einföldum brotið $\frac{a}{− a}$ , þar sem teljari og nefnari eru gagnstæðar tölur, á eftirfarandi hátt:

$\begin{matrix} \frac{a}{− a} \\ Við getum endurritað þetta. & \frac{1 \cdot a}{−1 \cdot a} \\ Fellið út sameiginlegu þættina. & \frac{1}{−1} \\ Einfaldið. & −1 \end{matrix}$

Á sama hátt getum við því einfaldað brotið $\frac{x - 3}{− (x - 3)}$ :

$\begin{matrix} Við getum endurritað þetta. & \frac{1 \cdot (x - 3)}{−1 \cdot (x - 3)} \\ Fellið út sameiginlegu þættina. & \frac{1}{−1} \\ Einfaldið. & −1 \end{matrix}$

En rita má móttölu $x - 3$ á annan hátt:

$\begin{matrix} − (x - 3) \\ Beitið dreifireglu. & − x + 3 \\ Endurskrifið. & 3 - x \end{matrix}$

Þetta merkir að brotið $\frac{x - 3}{3 - x}$ einfaldast í $−1$ .

Almennt má rita móttölu $a - b$ sem $b - a$ . Ræða stæðan $\frac{a - b}{b - a}$ einfaldast því í $−1$ .

Við notum þennan eiginleika til að einfalda ræðar stæður sem hafa gagnstæða þætti í teljara og nefnara.

Dæmi 8.14

Einfaldið: $\frac{x - 8}{8 - x} .$

Lausn

$\begin{matrix} \frac{x - 8}{8 - x} \\ Takið eftir að x - 8 og 8 - x eru gagnstæðir þættir. & −1 \end{matrix}$

Munið að fyrsta skrefið við einföldun ræðrar stæðu er að fullþátta teljara og nefnara.

Dæmi 8.15

Einfaldið: $\frac{14 - 2 x}{x^{2} - 49} .$

Lausn


Þáttið teljarann og nefnarann.
Takið eftir að 7 − x og x − 7 eru móttölur.
Einfaldið.

Dæmi 8.16

Einfaldið: $\frac{x^{2} - 4 x - 32}{64 - x^{2}} .$

Lausn


Þáttið teljarann og nefnarann.
Berið kennsl á þættina sem eru gagnstæðir.
Einfaldið.

Verkefni úr hluta 8.1

Æfingin skapar meistarann

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða fyrir hvaða gildi ræða stæðan er óskilgreind.

ⓐ $\frac{2 x}{z}$ ⓑ $\frac{4 p - 1}{6 p - 5}$ ⓒ $\frac{n - 3}{n^{2} + 2 n - 8}$

ⓐ $\frac{10 m}{11 n}$ ⓑ $\frac{6 y + 13}{4 y - 9}$ ⓒ $\frac{b - 8}{b^{2} - 36}$

ⓐ $\frac{4 x^{2} y}{3 y}$ ⓑ $\frac{3 x - 2}{2 x + 1}$ ⓒ $\frac{u - 1}{u^{2} - 3 u - 28}$

ⓐ $\frac{5 p q^{2}}{9 q}$ ⓑ $\frac{7 a - 4}{3 a + 5}$ ⓒ $\frac{1}{x^{2} - 4}$

Reiknið gildi ræðra stæða

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið reikna gildi ræðu stæðunnar fyrir gefin gildi.

$\frac{2 x}{x - 1}$

ⓐ $x = 0$ ⓑ $x = 2$ ⓒ $x = −1$

$\frac{4 y - 1}{5 y - 3}$

ⓐ $y = 0$ ⓑ $y = 2$ ⓒ $y = −1$

$\frac{2 p + 3}{p^{2} + 1}$

ⓐ $p = 0$ ⓑ $p = 1$ ⓒ $p = −2$

$\frac{x + 3}{2 - 3 x}$

ⓐ $x = 0$ ⓑ $x = 1$ ⓒ $x = −2$

$\frac{y^{2} + 5 y + 6}{y^{2} - 1}$

ⓐ $y = 0$ ⓑ $y = 2$ ⓒ $y = −2$

10.

$\frac{z^{2} + 3 z - 10}{z^{2} - 1}$

ⓐ $z = 0$ ⓑ $z = 2$ ⓒ $z = −2$

11.

$\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 5 a + 4}$

ⓐ $a = 0$ ⓑ $a = 1$ ⓒ $a = −2$

12.

$\frac{b^{2} + 2}{b^{2} - 3 b - 4}$

ⓐ $b = 0$ ⓑ $b = 2$ ⓒ $b = −2$

13.

$\frac{x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}}{2 x^{3} y}$

ⓐ $x = 1, y = −1$
ⓑ $x = 2, y = 1$
ⓒ $x = −1, y = −2$

14.

$\frac{c^{2} + c d - 2 d^{2}}{c d^{3}}$

ⓐ $c = 2, d = −1$
ⓑ $c = 1, d = −1$
ⓒ $c = −1, d = 2$

15.

$\frac{m^{2} - 4 n^{2}}{5 m n^{3}}$

ⓐ $m = 2, n = 1$
ⓑ $m = −1, n = −1$
ⓒ $m = 3, n = 2$

16.

$\frac{2 s^{2} t}{s^{2} - 9 t^{2}}$

ⓐ $s = 4, t = 1$
ⓑ $s = −1, t = −1$
ⓒ $s = 0, t = 2$

Einfaldið ræðar stæður

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

17.

$- \frac{4}{52}$

18.

$- \frac{44}{55}$

19.

$\frac{56}{63}$

20.

$\frac{65}{104}$

21.

$\frac{6 a b^{2}}{12 a^{2} b}$

22.

$\frac{15 x y}{3 x^{3} y^{3}}$

23.

$\frac{8 m^{3} n}{12 m n^{2}}$

24.

$\frac{36 v^{3} w^{2}}{27 v w^{3}}$

25.

$\frac{3 a + 6}{4 a + 8}$

26.

$\frac{5 b + 5}{6 b + 6}$

27.

$\frac{3 c - 9}{5 c - 15}$

28.

$\frac{4 d + 8}{9 d + 18}$

29.

$\frac{7 m + 63}{5 m + 45}$

30.

$\frac{8 n - 96}{3 n - 36}$

31.

$\frac{12 p - 240}{5 p - 100}$

32.

$\frac{6 q + 210}{5 q + 175}$

33.

$\frac{a^{2} - a - 12}{a^{2} - 8 a + 16}$

34.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 2 x + 1}$

35.

$\frac{y^{2} + 3 y - 4}{y^{2} - 6 y + 5}$

36.

$\frac{v^{2} + 8 v + 15}{v^{2} - v - 12}$

37.

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2} + 2 x - 15}$

38.

$\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 6 a - 16}$

39.

$\frac{y^{2} - 2 y - 3}{y^{2} - 9}$

40.

$\frac{b^{2} + 9 b + 18}{b^{2} - 36}$

41.

$\frac{y^{3} + y^{2} + y + 1}{y^{2} + 2 y + 1}$

42.

$\frac{p^{3} + 3 p^{2} + 4 p + 12}{p^{2} + p - 6}$

43.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 25 x + 50}{x^{2} - 25}$

44.

$\frac{q^{3} + 3 q^{2} - 4 q - 12}{q^{2} - 4}$

45.

$\frac{3 a^{2} + 15 a}{6 a^{2} + 6 a - 36}$

46.

$\frac{8 b^{2} - 32 b}{2 b^{2} - 6 b - 80}$

47.

$\frac{−5 c^{2} - 10 c}{−10 c^{2} + 30 c + 100}$

48.

$\frac{4 d^{2} - 24 d}{2 d^{2} - 4 d - 48}$

49.

$\frac{3 m^{2} + 30 m + 75}{4 m^{2} - 100}$

50.

$\frac{5 n^{2} + 30 n + 45}{2 n^{2} - 18}$

51.

$\frac{5 r^{2} + 30 r - 35}{r^{2} - 49}$

52.

$\frac{3 s^{2} + 30 s + 72}{3 s^{2} - 48}$

53.

$\frac{t^{3} - 27}{t^{2} - 9}$

54.

$\frac{v^{3} - 1}{v^{2} - 1}$

55.

$\frac{w^{3} + 216}{w^{2} - 36}$

56.

$\frac{v^{3} + 125}{v^{2} - 25}$

Einfaldið ræðar stæður með gagnstæðum þáttum

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið einfalda hverja ræða stæðu.

57.

$\frac{a - 5}{5 - a}$

58.

$\frac{b - 12}{12 - b}$

59.

$\frac{11 - c}{c - 11}$

60.

$\frac{5 - d}{d - 5}$

61.

$\frac{12 - 2 x}{x^{2} - 36}$

62.

$\frac{20 - 5 y}{y^{2} - 16}$

63.

$\frac{4 v - 32}{64 - v^{2}}$

64.

$\frac{7 w - 21}{9 - w^{2}}$

65.

$\frac{y^{2} - 11 y + 24}{9 - y^{2}}$

66.

$\frac{z^{2} - 9 z + 20}{16 - z^{2}}$

67.

$\frac{a^{2} - 5 a - 36}{81 - a^{2}}$

68.

$\frac{b^{2} + b - 42}{36 - b^{2}}$

Stærðfræði daglegs lífs

69.

Skatthlutföll. Fyrir skattárið 2015 má finna skatt sem einhleypur einstaklingur með tekjur á milli $37,450 og $90,750 skuldar með því að reikna gildi formúlunnar $0.25 x - 4206.25,$ , þar sem x táknar tekjur. Meðalskatthlutfall þessara tekna má finna með því að reikna gildi formúlunnar $\frac{0.25 x - 4206.25}{x} .$ . Hvert væri meðalskatthlutfall einhleypings með $50,000 í tekjur?

70.

Vinna. Tímann sem tvær manneskjur þurfa til að ljúka sama verki ef þær vinna saman má finna með því að reikna gildi formúlunnar $\frac{x y}{x + y} .$ . Ef Tom getur málað setustofuna á $x =$ 45 mínútum og Bobby bróðir hans á $y =$ 60 mínútum, hversu margar mínútur þurfa þeir ef þeir vinna saman?

Ritunarverkefni

71.

Útskýrið hvernig þið finnið þau gildi x sem gera ræðu stæðuna $\frac{x^{2} - x - 20}{x^{2} - 4}$ óskilgreinda.

72.

Útskýrið hvert skref sem þið takið til að einfalda ræðu stæðuna p 2 + 4 p − 21/9 − p 2 .. $\frac{p^{2} + 4 p - 21}{9 - p^{2}} .$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Myndin sýnir töflu með fjórum dálkum og fimm línum. Fyrsta línan er fyrirsagnalína og hver dálkur er merktur. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get…“, annar „Örugglega“, þriðji „Með nokkurri hjálp“ og sá fjórði „Nei, ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálki undir „Ég get…“ stendur: „ákvarðað fyrir hvaða gildi ræð stæða er óskilgreind“, „reiknað gildi ræðra stæða“, „einfaldað ræðar stæður“ og „einfaldað ræðar stæður með gagnstæðum þáttum“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:

… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo að þið getið beitt þeim áfram. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum atriðum? Verið nákvæm.

… með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því að atriði sem þið náið ekki tökum á verða hindranir á leiðinni að árangri. Stærðfræði er stigbundin og hvert viðfangsefni byggist á fyrri þekkingu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari geta veitt góða aðstoð. Er hægt að fá aðstoð stærðfræðileiðbeinanda í skólanum? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

… nei – ég skil þetta ekki! Þetta er alvarlegt og því má ekki hunsa það. Þið þurfið að fá hjálp strax, annars verður efnið ykkur fljótt ofviða. Ræðið sem fyrst við kennarann um stöðuna. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.