88 Ræðar stæður og jöfnur

8.5 Einfaldið flóknar ræðar stæður

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Einfaldað flókna ræða stæðu með því að rita hana sem deilingu
Einfaldað flókna ræða stæðu með minnsta samnefnaranum (MSN)

Flókin brot eru brot þar sem teljari eða nefnari inniheldur brot. Í kafla 1 einfölduðum við flókin brot á borð við þessi:

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}}

Í þessum hluta einföldum við flóknar ræðar stæður, en það eru ræðar stæður sem hafa ræðar stæður í teljara eða nefnara.

Hér eru nokkrar flóknar ræðar stæður:

\frac{\frac{4}{y - 3}}{\frac{8}{y^{2} - 9}} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} \frac{\frac{2}{x + 6}}{\frac{4}{x - 6} - \frac{4}{x^{2} - 36}}

Munið að við útilokum alltaf gildi sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.

Við notum tvær aðferðir til að einfalda flóknar ræðar stæður.

Einfaldið flókna ræða stæðu með því að rita hana sem deilingu

Við höfum áður séð þessa flóknu ræðu stæðu í kaflanum.

\frac{\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}}{\frac{2 x^{2} - 8 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}}

Við tókum eftir að brotastrik tákna deilingu og rituðum stæðuna því sem deilingu

(\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}) \div (\frac{2 x^{2} - 8 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6})

Síðan margfölduðum við fyrri ræðu stæðuna með margföldunarandhverfu þeirrar síðari, rétt eins og þegar tveimur brotum er deilt.

Þetta er ein leið til að einfalda ræðar stæður. Við ritum stæðuna eins og um deilingu tveggja brota væri að ræða.

Dæmi 8.50

Einfaldið: $\frac{\frac{4}{y - 3}}{\frac{8}{y^{2} - 9}} .$

Lausn

	4/y − 3/8/y² − 9
Ritið flókna brotið sem deilingu.	4/y − 3 ÷ 8/y² − 9
Ritið sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.	4/y − 3 · y² − 9/8
Margfaldið.	4 ( y² − 9 )/8 ( y − 3 )
Þáttið og leitið að sameiginlegum þáttum.	4 ( y − 3 ) ( y + 3 )/4 · 2 ( y − 3 )
Fellið út sameiginlega þætti.	4 ( y − 3 ) ( y + 3 )/4 · 2 ( y − 3 )
Einfaldið.	y + $\frac{3}{2}$

Eru einhver gildi $y$ sem eru ekki leyfileg? Einfaldaða ræða stæðan hefur aðeins fasta í nefnara. Upprunalega flókna ræða stæðan hafði þó nefnarana $y - 3$ og $y^{2} - 9$ . Stæðan væri óskilgreind ef $y = 3$ eða $y = −3$ .

Brotastrik virka sem flokkunartákn. Til að fylgja forgangsröð reikniaðgerða einföldum við því teljarann og nefnarann eins mikið og hægt er áður en við framkvæmum deilinguna.

Dæmi 8.51

Einfaldið: $\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} .$

Lausn


Einfaldið teljarann og nefnarann.
Finnið MSN og leggið saman brotin í teljaranum. Finnið MSN og leggið saman brotin í nefnaranum.
Einfaldið teljarann og nefnarann.
Einfaldið teljarann og nefnarann aftur.
Ritið flóknu ræðu stæðuna sem deilingu.
Margfaldið fyrri stæðuna með margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
Einfaldið.

Dæmi 8.52

Hvernig einfalda á flókna ræða stæðu með því að rita hana sem deilingu

Einfaldið: $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} .$

Lausn

Myndin hér að ofan hefur þrjá dálka og sýnir í þremur skrefum hvernig flóknum ræðum stæðum er deilt. Í fyrsta skrefi eru teljari og nefnari einfaldaðir. Í verkefninu er summan í teljara og mismunurinn í nefnara einfaldaður. Sameiginlegur nefnari er fundinn og brotin lögð saman í teljaranum, en sameiginlegur nefnari fundinn og brotin dregin frá í nefnaranum. Þá stendur ein ræð stæða í teljara og önnur í nefnara.

Í öðru skrefi er flókna ræða stæðan rituð sem deiling. Teljaranum er deilt með nefnaranum.

Í þriðja skrefi er stæðunum deilt. Fyrri stæðan er margfölduð með margföldunarandhverfu þeirrar síðari, stæður þáttaðar ef unnt er og sameiginlegir þættir felldir út. Einfalda niðurstaðan er 1 deilt með x mínus y.

Dæmi 8.53

Einfaldið: $\frac{n - \frac{4 n}{n + 5}}{\frac{1}{n + 5} + \frac{1}{n - 5}} .$

Lausn


Einfaldið teljarann og nefnarann.
Finnið MSN og leggið saman brotin í teljaranum. Finnið MSN og leggið saman brotin í nefnaranum.
Einfaldið teljarana.
Dragið ræðu stæðurnar frá í teljaranum og leggið þær saman í nefnaranum. Einfaldið.
Ritið sem deilingu brota.
Margfaldið fyrri stæðuna með margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
Þáttið stæður ef unnt er.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.

Einfaldið flókna ræða stæðu með MSN

Við losuðum jöfnur við brot með því að margfalda með MSN þegar við leystum jöfnur með brotum. Við getum beitt sömu aðferð hér til að einfalda flóknar ræðar stæður. Við margföldum teljarann og nefnarann með MSN allra brotanna í stæðunni.

Skoðum flóknu ræðu stæðuna sem við einfölduðum með annarri aðferð í sýnidæmi 8.51. Hér einföldum við hana með því að margfalda teljarann og nefnarann með minnsta samnefnaranum (MSN). Þegar við margföldum með $\frac{MSN}{MSN}$ margföldum við í raun með 1, svo gildið helst óbreytt.

Dæmi 8.54

Einfaldið: $\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} .$

Lausn


MSN allra brotanna í stæðunni er 6.
Losið stæðuna við brotin með því að margfalda teljarann og nefnarann með þessum MSN.
Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Dæmi 8.55

Hvernig einfalda á flókna ræða stæðu með MSN

Einfaldið: $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} .$

Lausn

Myndin hér að ofan hefur 3 dálka og sýnir hvernig flókin ræð stæða er einfölduð með MSN. Í fyrsta skrefi er MSN allra brotanna í stæðunni fundinn. MSN er xy. Margfaldið teljarann og nefnarann með MSN.

Í öðru skrefi eru bæði teljari og nefnari margfölduð með xy.

Í þriðja skrefi er stæðan einfölduð. Margfaldið inn í sviga, einfaldið og fellið út sameiginlega þætti. Niðurstaðan er 1 deilt með x mínus y.

Byrjið á að þátta alla nefnarana svo hægt sé að finna MSN.

Dæmi 8.56

Einfaldið: $\frac{\frac{2}{x + 6}}{\frac{4}{x - 6} - \frac{4}{x^{2} - 36}} .$

Lausn


Finnið MSN allra brota í flóknu ræðu stæðunni. MSN er ( x + 6 ) ( x − 6 ).
Margfaldið teljarann og nefnarann með MSN.
Einfaldið stæðuna.
Margfaldið inn í sviga í nefnaranum.
Einfaldið.
Einfaldið.
Til að einfalda nefnarann skal margfalda inn í sviga og sameina samkynja liði.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Takið eftir að teljari og nefnari hafa ekki lengur neina sameiginlega þætti.

Dæmi 8.57

Einfaldið: $\frac{\frac{4}{m^{2} - 7 m + 12}}{\frac{3}{m - 3} - \frac{2}{m - 4}} .$

Lausn


Finnið MSN allra brota í flóknu ræðu stæðunni. MSN er ( m − 3 ) ( m − 4 ).
Margfaldið teljarann og nefnarann með MSN.
Einfaldið.
Einfaldið.
Margfaldið inn í svigann.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 8.58

Einfaldið: $\frac{\frac{y}{y + 1}}{1 + \frac{1}{y - 1}} .$

Lausn


Finnið MSN allra brota í flóknu ræðu stæðunni.
MSN er ( y + 1 ) ( y − 1 ).
Margfaldið teljarann og nefnarann með MSN.
Margfaldið inn í sviga í nefnaranum og einfaldið.
Einfaldið.
Einfaldið nefnarann og látið teljarann standa þáttaðan.

Þáttið nefnarann og fellið út þætti sem hann á sameiginlega með teljaranum.
Einfaldið.

Verkefni úr hluta 8.5

Æfingin skapar meistarann

Einfaldið flókna ræða stæðu með því að rita hana sem deilingu

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

255.

$\frac{\frac{2 a}{a + 4}}{\frac{4 a^{2}}{a^{2} - 16}}$

256.

$\frac{\frac{3 b}{b - 5}}{\frac{b^{2}}{b^{2} - 25}}$

257.

$\frac{\frac{5}{c^{2} + 5 c - 14}}{\frac{10}{c + 7}}$

258.

$\frac{\frac{8}{d^{2} + 9 d + 18}}{\frac{12}{d + 6}}$

259.

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}{\frac{2}{3} + \frac{7}{9}}$

260.

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{\frac{3}{5} + \frac{7}{10}}$

261.

$\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{9}}{\frac{3}{4} + \frac{5}{6}}$

262.

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}$

263.

$\frac{\frac{n}{m} + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - \frac{n}{m}}$

264.

$\frac{\frac{1}{p} + \frac{p}{q}}{\frac{q}{p} - \frac{1}{q}}$

265.

$\frac{\frac{1}{r} + \frac{1}{t}}{\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{t^{2}}}$

266.

$\frac{\frac{2}{v} + \frac{2}{w}}{\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{w^{2}}}$

267.

$\frac{x - \frac{2 x}{x + 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$

268.

$\frac{y - \frac{2 y}{y - 4}}{\frac{2}{y - 4} - \frac{2}{y + 4}}$

269.

$\frac{2 - \frac{2}{a + 3}}{\frac{1}{a + 3} + \frac{a}{2}}$

270.

$\frac{4 - \frac{4}{b - 5}}{\frac{1}{b - 5} + \frac{b}{4}}$

Einfaldið flókna ræða stæðu með MSN

Einfaldið í eftirfarandi verkefnum.

271.

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{8}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}}$

272.

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}{\frac{1}{6} + \frac{1}{12}}$

273.

$\frac{\frac{5}{6} + \frac{2}{9}}{\frac{7}{18} - \frac{1}{3}}$

274.

$\frac{\frac{1}{6} + \frac{4}{15}}{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}}$

275.

$\frac{\frac{c}{d} + \frac{1}{d}}{\frac{1}{d} - \frac{d}{c}}$

276.

$\frac{\frac{1}{m} + \frac{m}{n}}{\frac{n}{m} - \frac{1}{n}}$

277.

$\frac{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}{\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{q^{2}}}$

278.

$\frac{\frac{2}{r} + \frac{2}{t}}{\frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{t^{2}}}$

279.

$\frac{\frac{2}{x + 5}}{\frac{3}{x - 5} + \frac{1}{x^{2} - 25}}$

280.

$\frac{\frac{5}{y - 4}}{\frac{3}{y + 4} + \frac{2}{y^{2} - 16}}$

281.

$\frac{\frac{5}{z^{2} - 64} + \frac{3}{z + 8}}{\frac{1}{z + 8} + \frac{2}{z - 8}}$

282.

$\frac{\frac{3}{s + 6} + \frac{5}{s - 6}}{\frac{1}{s^{2} - 36} + \frac{4}{s + 6}}$

283.

$\frac{\frac{4}{a^{2} - 2 a - 15}}{\frac{1}{a - 5} + \frac{2}{a + 3}}$

284.

$\frac{\frac{5}{b^{2} - 6 b - 27}}{\frac{3}{b - 9} + \frac{1}{b + 3}}$

285.

$\frac{\frac{5}{c + 2} - \frac{3}{c + 7}}{\frac{5 c}{c^{2} + 9 c + 14}}$

286.

$\frac{\frac{6}{d - 4} - \frac{2}{d + 7}}{\frac{2 d}{d^{2} + 3 d - 28}}$

287.

$\frac{2 + \frac{1}{p - 3}}{\frac{5}{p - 3}}$

288.

$\frac{\frac{n}{n - 2}}{3 + \frac{5}{n - 2}}$

289.

$\frac{\frac{m}{m + 5}}{4 + \frac{1}{m - 5}}$

290.

$\frac{7 + \frac{2}{q - 2}}{\frac{1}{q + 2}}$

Einfaldið

Notið aðra hvora aðferðina í eftirfarandi verkefnum.

291.

$\frac{\frac{3}{4} - \frac{2}{7}}{\frac{1}{2} + \frac{5}{14}}$

292.

$\frac{\frac{v}{w} + \frac{1}{v}}{\frac{1}{v} - \frac{v}{w}}$

293.

$\frac{\frac{2}{a + 4}}{\frac{1}{a^{2} - 16}}$

294.

$\frac{\frac{3}{b^{2} - 3 b - 40}}{\frac{5}{b + 5} - \frac{2}{b - 8}}$

295.

$\frac{\frac{3}{m} + \frac{3}{n}}{\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}}$

296.

$\frac{\frac{2}{r - 9}}{\frac{1}{r + 9} + \frac{3}{r^{2} - 81}}$

297.

$\frac{x - \frac{3 x}{x + 2}}{\frac{3}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}}$

298.

$\frac{\frac{y}{y + 3}}{2 + \frac{1}{y - 3}}$

Stærðfræði daglegs lífs

299.

Rafeindatækni. Viðnám rásar sem mynduð er með því að tengja tvö viðnám samhliða er $\frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}}$ .

ⓐ Einfaldið flókna brotið $\frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}}$ .
ⓑ Finnið viðnám rásarinnar þegar $R_{1} = 8$ og $R_{2} = 12$ .

300.

Straujun. Lenóra getur lokið straujun fyrir fjölskyldufyrirtækið á $h$ klukkustundum. Dóttir hennar væri $h + 2$ klukkustundir að ljúka verkinu. Ef Lenóra og dóttir hennar vinna saman með 2 straujárn er klukkustundafjöldinn sem verkið tekur $\frac{1}{\frac{1}{h} + \frac{1}{h + 2}}$ .

ⓐ Einfaldið flókna brotið $\frac{1}{\frac{1}{h} + \frac{1}{h + 2}}$ .
ⓑ Finnið hve margar klukkustundir það tæki Lenóru og dóttur hennar að ljúka straujuninni saman þegar $h = 4$ .

Ritunarverkefni

301.

Í þessum hluta lærðuð þið að einfalda flókna brotið $\frac{\frac{3}{x + 2}}{\frac{x}{x^{2} - 4}}$ á tvo vegu:

með því að rita það sem deilingu

með því að margfalda teljarann og nefnarann með MSN

Hvora aðferðina kjósið þið? Hvers vegna?

302.

Efraím vill byrja að einfalda flókna brotið $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}$ með því að fella breyturnar út í teljara og nefnara. Útskýrið hvað er rangt við áætlun Efraíms.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

Myndin sýnir töflu með fjórum dálkum og þremur línum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína. Fyrirsagnirnar eru „Ég get…“, „Af öryggi“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í fyrsta dálki stendur „einfaldað flókna ræða stæðu með því að rita hana sem deilingu“ og „einfaldað flókna ræða stæðu með MSN“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Eftir að hafa skoðað gátlistann, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta hluta? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?