Meginatriði

Meginatriði

8.1 Einfaldið ræðar stæður

• Ákvarðið gildin sem gera ræða stæðu óskilgreinda. Skref 1.
  Setjið nefnarann jafnan núlli. Skref 2. Leysið jöfnuna ef hægt er.
  1. Skref 1. Setjið nefnarann jafnan núlli.
  2. Skref 2. Leysið jöfnuna ef hægt er.
• Einfölduð ræð stæða.
  Ræð stæða telst einfölduð ef teljari hennar og nefnari eiga enga sameiginlega þætti.
  • Ræð stæða telst einfölduð ef teljari og nefnari hafa enga sameiginlega þætti.
• Einfaldið ræða stæðu. Skref 1.
  Þáttið teljarann og nefnarann að fullu. Skref 2. Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
  1. Skref 1. Þáttið teljara og nefnara að fullu.
  2. Skref 2. Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
• Gagnstæðir þættir í ræðri stæðu. Gagnstætt
  gildi við $a-b$ er $b-a$.
  $\begin{array}{cccccc}\frac{a-b}{b-a}=\mathrm{-1}\hfill & & & & & a\ne 0,b\ne 0,\text{a}\ne \text{b}\hfill \end{array}$
  • Gagnstætt gildi við a − b er b − a.
    a − b/b − a = −1 a ≠ 0 , b ≠ 0 , a ≠ b

8.2 Margfaldið og deilið ræðum stæðum

• Margföldun ræðra stæðna. Ef
  $p,q,r,s$ eru margliður þar sem $q\ne 0,s\ne 0$, þá er $\frac{p}{q}·\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$ . Til að margfalda ræðar stæður skal margfalda teljarana saman og nefnarana saman.
  • Ef $p,q,r,s$ eru margliður þar sem $q\ne 0,s\ne 0$, þá er $\frac{p}{q}·\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$.
  • Til að margfalda ræðar stæður skal margfalda teljarana saman og nefnarana saman.
• Margfaldið ræðar stæður. Skref 1.
  Þáttið hvern teljara og nefnara að fullu. Skref 2. Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman. Skref 3. Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
  1. Skref 1. Þáttið hvern teljara og nefnara að fullu.
  2. Skref 2. Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.
  3. Skref 3. Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
• Deiling ræðra stæðna. Ef
  $p,q,r,s$ eru margliður þar sem $q\ne 0,r\ne 0,s\ne 0$, þá er $\frac{p}{q}÷\frac{r}{s}=\frac{p}{q}·\frac{s}{r}$ . Til að deila ræðum stæðum skal margfalda fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.
  • Ef $p,q,r,s$ eru margliður þar sem $q\ne 0,r\ne 0,s\ne 0$, þá er $\frac{p}{q}÷\frac{r}{s}=\frac{p}{q}·\frac{s}{r}$.
  • Til að deila ræðum stæðum skal margfalda fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara.
• Deilið ræðum stæðum. Skref
  1. Endurritið deilinguna sem margfeldi fyrri ræðu stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari. Skref 2. Þáttið teljarana og nefnarana að fullu. Skref 3. Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman. Skref 4. Einfaldið
  
  með því að fella út sameiginlega þætti.
  1. Skref 1. Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri ræðu stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
  2. Skref 2. Þáttið teljarana og nefnarana að fullu.
  3. Skref 3. Margfaldið teljarana saman og nefnarana saman.
     
     
  4. Skref 4. Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.

8.3 Leggið saman og dragið frá ræðar stæður með sameiginlegum nefnara

• Samlagning ræðra stæðna. Ef
  $p,q,\text{og}r$ eru margliður þar sem $r\ne 0$, þá er
  
  $$\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}$$
  Til að leggja saman ræðar stæður með sama nefnara skal leggja saman teljarana og setja summuna yfir sameiginlega nefnarann.
  • Ef $p,q,\text{og}r$ eru margliður þar sem $r\ne 0$, þá er
    
    $$\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}$$
    $$\frac{p}{r}+\frac{q}{r}=\frac{p+q}{r}$$
  • Til að leggja saman ræðar stæður með sameiginlegum nefnara skal leggja teljarana saman og setja summuna yfir sameiginlega nefnarann.
• Frádráttur ræðra stæðna. Ef
  $p,q,\text{og}r$ eru margliður þar sem $r\ne 0$, þá er
  
  $$\frac{p}{r}-\frac{q}{r}=\frac{p-q}{r}$$
  Til að draga ræðar stæður frá hvor annarri skal draga teljarana frá hvor öðrum og setja mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.
  • Ef $p,q,\text{og}r$ eru margliður þar sem $r\ne 0$, þá er
    
    $$\frac{p}{r}-\frac{q}{r}=\frac{p-q}{r}$$
    $$\frac{p}{r}-\frac{q}{r}=\frac{p-q}{r}$$
  • Til að draga ræðar stæður frá skal draga teljarana frá og setja mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.

8.4 Leggið saman og dragið frá ræðar stæður með ólíkum nefnurum

• Finnið minnsta samnefnara ræðra stæðna. Skref 1. Þáttið hverja stæðu
  að fullu. Skref 2. Skráið þætti hverrar stæðu. Látið samsvarandi þætti standa lóðrétt hvern undir öðrum þegar hægt er. Skref 3. Færið þættina í hverjum dálki niður. Skref 4. Margfaldið þættina.
  1. Skref 1. Þáttið hverja stæðu að fullu.
  2. Skref 2. Skráið þætti hverrar stæðu. Raðið sams konar þáttum lóðrétt þegar unnt er.
  3. Skref 3. Færið þættina í hverjum dálki niður.
  4. Skref 4. Margfaldið þættina.
• Leggið saman eða dragið frá ræðar
  stæður.
  Skref 1. Ákvarðið hvort stæðurnar hafi sameiginlegan nefnara. Já –
  farið í skref
  2. Nei – endurritið hverja ræða stæðu með
  minnsta samnefnaranum (MSN). Finnið MSN. Endurritið hverja ræða stæðu sem jafngilda ræða stæðu með MSN. Skref 2.
  Leggið saman eða dragið frá ræðu stæðurnar. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.
  1. Skref
     1. Ákvarðið hvort stæðurnar hafi sameiginlegan nefnara. Já –
     farið í
     skref 2. Nei – ritið hverja ræða stæðu

     aftur með MSN. Finnið MSN. Ritið hverja ræða stæðu sem jafngilda ræða stæðu með MSN.
     • Finnið MSN.
     • Ritið hverja ræða stæðu sem jafngilda ræða stæðu með MSN.
  2. Skref 2. Leggið ræðu stæðurnar saman eða dragið þær frá.
  3. Skref 3. Einfaldið ef hægt er.

8.5 Einfaldið flóknar ræðar stæður

• Einfaldið ræða stæðu með því að rita hana
  sem deilingu. Skref 1. Einfaldið teljarann og nefnarann. Skref 2. Endurritið flóknu ræðu stæðuna sem deilingardæmi. Skref 3. Deilið stæðunum.
  1. Skref 1. Einfaldið teljarann og nefnarann.
  2. Skref 2. Ritið flóknu ræðu stæðuna sem deilingardæmi.
  3. Skref 3. Deilið stæðunum.
• Einfaldið flókna ræða stæðu með MSN. Skref
  1. Finnið MSN allra brota í flóknu ræðu stæðunni. Skref 2. Margfaldið teljarann og nefnarann með MSN. Skref 3. Einfaldið stæðuna.
  1. Skref 1. Finnið MSN allra brota í flóknu ræðu stæðunni.
  2. Skref 2. Margfaldið teljarann og nefnarann með MSN.
  3. Skref 3. Einfaldið stæðuna.

8.6 Leysið ræðar jöfnur

• Aðferð til að leysa jöfnur með ræðum stæðum. Skref 1. Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli. Skref 2. Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar. Skref 3. Losið jöfnuna við brot með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN. Skref 4. Leysið jöfnuna sem fæst. Skref 5. Sannreynið. Ef eitthvert gildanna sem fundust í skrefi 1 reynist algebruleg lausn skal hafna því. Sannreynið allar lausnir sem eftir standa í upphaflegu jöfnunni.
  1. Skref 1. Skráið öll gildi breytunnar sem gera einhvern nefnara jafnan núlli.
  2. Skref 2. Finnið minnsta samnefnara allra nefnara jöfnunnar.
  3. Skref 3. Losið jöfnuna við brot með því að margfalda báðar hliðar hennar með MSN.
  4. Skref 4. Leysið jöfnuna sem fæst.
  5. Skref 5. Sannreynið.
  • Ef eitthvert gildanna úr skrefi 1 reynist algebruleg lausn skal hafna því.
  • Sannreynið allar lausnir sem eftir standa í upphaflegu jöfnunni.

8.7 Leysið verkefni um hlutfallajöfnur og líkar myndir

• Eiginleiki líkra þríhyrninga. Ef
  $\text{Δ}ABC$ er líkur $\text{Δ}XYZ$, þá eru samsvarandi horn þeirra jafnstór og samsvarandi hliðar þeirra í sama hlutfalli.
  • Ef Δ A B C er líkur Δ X Y Z, þá eru samsvarandi horn þeirra jafnstór og samsvarandi hliðar þeirra í sama hlutfalli.
• Aðferð til að leysa rúmfræðiverkefni. Skref 1. Lesið verkefnið
  og gangið úr skugga um að öll orð og hugmyndir séu skýr. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar. Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað. Skref 3. Gefið því sem leitað er að heiti með því að velja breytu fyrir það. Skref 4. Setjið fram jöfnu með því að rita viðeigandi formúlu eða líkan fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnar upplýsingar inn í jöfnuna. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Skref 6. Sannreynið svarið út frá verkefninu og gangið úr skugga um að það sé rökrétt. Skref 7. Svarið spurningunni með fullri setningu.
  1. Skref 1. Lesið verkefnið og gangið úr skugga um að öll orð og hugmyndir séu skiljanleg. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
  2. Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
  3. Skref 3. Gefið heiti því sem leitað er að með því að velja breytu fyrir það.
  4. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu með því að rita viðeigandi formúlu eða líkan fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn í jöfnuna.
  5. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.
  6. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé rökrétt.
  7. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.