8.8 Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða og vinnu
8.8 Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða og vinnu
Námsmarkmið
Í lok þessa hluta eigið þið að geta:
Leyst verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða
Leyst vinnuverkefni
Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða
Í fyrri köflum höfum við leyst verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða með formúlunni . Við notuðum töflu eins og þá hér að neðan til að skipuleggja upplýsingarnar og leiða okkur að jöfnunni.
Formúlan gerir ráð fyrir að r og t séu þekkt og notuð til að finna D. Ef D og r eru þekkt en finna þarf t, einangrum við t í jöfnunni og fáum formúluna .
Við höfum einnig útskýrt hvernig ferð með eða á móti straumi hefur áhrif á hraða farartækis. Við rifjum þá hugmynd upp í næsta sýnidæmi.
Dæmi 8.81
Flugvél getur flogið 200 mílur í mótvindi sem er 30 mílur á klukkustund á sama tíma og hún flýgur 300 mílur með meðvindi sem er 30 mílur á klukkustund. Hver er hraði flugvélarinnar?
Lausn
Þetta er dæmi um hreyfingu með jöfnum hraða. Teikning hjálpar okkur að sjá aðstæðurnar fyrir okkur.
Við fyllum út töfluna til að skipuleggja upplýsingarnar.
Við leitum að hraða flugvélarinnar.
Látum r = tákna hraða flugvélarinnar.
Þegar flugvélin flýgur með vindi eykur vindurinn hraða hennar og heildarhraðinn er r + 30.
Þegar flugvélin flýgur á móti vindi dregur vindurinn úr hraða hennar og heildarhraðinn er r − 30.
Skráið hraðana og vegalengdirnar. Þar sem D = r ∙ t einangrum við t og fáum D/r. Deilið vegalengdinni með hraðanum í hvorri röð og skráið stæðuna í tímadálkinn.
Við vitum að tímarnir eru jafnir og setjum því upp jöfnuna.
200/r − 30 = 300/r + 30
Margfaldið báðar hliðar með MSN. 200 ( r + 30 ) = 300 ( r − 30 )
( r + 30 ) ( r − 30 ) ( 200/r − 30 ) = ( r + 30 ) ( r − 30 ) ( 300/r + 30 )
Einfaldið.
( r + 30 ) ( 200 ) = ( r − 30 ) ( 300 )
200 r + 6000 = 300 r − 9000
Leysið.
15000 = 100 r150 = r
Sannreynið.
Er hraði upp á 150 mílur á klukkustund raunhæfur fyrir flugvél? Já. Ef flugvélin fer á 150 mílna hraða á klukkustund og vindhraðinn er 30 mílur á klukkustund:
Í næsta sýnidæmi er heildartíminn þekktur en vegalengdirnar eru farnar á mismunandi hraða.
Dæmi 8.82
Jazmine æfði í 3 klukkustundir á laugardegi. Hún hljóp 8 mílur og hjólaði síðan 24 mílur. Hjólahraði hennar er 4 mílum á klukkustund meiri en hlaupahraðinn. Hver er hlaupahraði hennar?
Lausn
Þetta er dæmi um hreyfingu með jöfnum hraða. Teikning hjálpar okkur að sjá aðstæðurnar fyrir okkur.
Við fyllum út töfluna til að skipuleggja upplýsingarnar.
Við leitum að hlaupahraða Jazmine.
Látum r = tákna hlaupahraða Jazmine.
Hjólahraði hennar er 4 mílum á klukkustund meiri en hlaupahraðinn.
r + 4 = táknar hjólahraða hennar
Vegalengdirnar eru gefnar; skráið þær í töfluna.
Þar sem D = r ∙ t einangrum við t og fáum t = D/r. Deilið vegalengdinni með hraðanum í hvorri röð og skráið stæðuna í tímadálkinn.
Skrifið setningu með orðum.
Samanlagður hlaupa- og hjólatími hennar er 3 klukkustundir.
Færið setninguna yfir í jöfnu.
8/r + 24/r + 4 = 3
Leysið.
r ( r + 4 ) ( 8/r + 24/r + 4 ) = 3 ∙ r ( r + 4 ) 8 ( r + 4 ) + 24 r = 3 r ( r + 4 ) 8 r + 32 + 24 r = 3 r2 + 12 r32 + 32 r = 3 r2 + 12 r0 = 3 r2 − 20 r − 32 0 = ( 3 r + 4 ) ( r − 8 )
( 3 r + 4 ) = 0 ( r − 8 ) = 0
r = − r = 8
Sannreynið. r = − r = 8
Neikvæður hraði hefur enga merkingu í þessu verkefni og því er r = 8 lausnin.
Er hlaupahraði upp á 8 mílur á klukkustund raunhæfur? Já.
Enn á ný notum við formúluna fyrir hreyfingu með jöfnum hraða eftir að t hefur verið einangrað.
Dæmi 8.83
Hamilton hjólaði 12 mílur niður á við eftir árstígnum frá húsi sínu að sjónum og hjólaði síðan upp á við heim aftur. Hraði hans upp á við var 8 mílum á klukkustund minni en hraðinn niður. Heimferðin tók 2 klukkustundum lengri tíma en ferðin að sjónum. Finnið hraða Hamilton niður á við.
Lausn
Þetta er dæmi um hreyfingu með jöfnum hraða. Teikning hjálpar okkur að sjá aðstæðurnar fyrir okkur.
Við fyllum út töfluna til að skipuleggja upplýsingarnar.
Við leitum að hraða Hamilton niður á við.
Látum r = tákna hraða Hamilton niður á við.
Hraði hans upp á við er 8 mílum á klukkustund minni. Skráið hraðana í töfluna.
r − 8 = táknar hraða Hamilton upp á við
Vegalengdin er sú sama í báðar áttir, 12 mílur. Þar sem D = r ∙ t einangrum við t og fáum t = D/r. Deilið vegalengdinni með hraðanum í hvorri röð og skráið stæðuna í tímadálkinn.
Skrifið setningu með orðum um tímann.
Ferðin upp tók 2 klukkustundum lengri tíma en ferðin niður. Tíminn upp er 2 meiri en tíminn niður.
Færið setninguna yfir í jöfnu og leysið hana.
12/r − 8 = 12/r + 2 r ( r − 8 ) ( 12/r − 8 ) = r ( r − 8 ) ( 12/r + 2 ) 12 r = 12 ( r − 8 ) + 2 r ( r − 8 ) 12 r = 12 r − 96 + 2 r2 − 16 r0 = 2 r2 − 16 r − 96 0 = 2 ( r2 − 8 r − 48 ) 0 = 2 ( r − 12 ) ( r + 4 ) r − 12 = 0 r + 4 = 0 r = 12 r = −4
Sannreynið. Er hjólahraði upp á 12 mílur á klukkustund raunhæfur niður á við? Já.
Niður á við 12 mílur/klst. 12 mílur/12 mílur/klst. = 1 klukkustund
Upp á við 12 − 8 = 4 mílur/klst. 12 mílur/4 mílur/klst. = 3 klukkustundir
Tíminn upp er 2 klukkustundum lengri en tíminn niður. Hraði Hamilton niður á við er 12 mílur á klukkustund.
Leysið vinnuverkefni
Gerum ráð fyrir að Pete geti málað herbergi á 10 klukkustundum. Ef hann vinnur jafnt málar hann af herberginu á 1 klukkustund. Ef Alicia þarf 8 klukkustundir til að mála sama herbergi málar hún af því á 1 klukkustund. Hve lengi væru Pete og Alicia að mála herbergið saman, að því gefnu að þau tefji ekki hvort annað?
Þetta er dæmigert vinnuverkefni. Þrjár stærðir koma við sögu: tíminn sem hvort þeirra þarf til að ljúka verkinu eitt og sér og tíminn sem þau þurfa til að ljúka því saman.
Snúum aftur að því þegar Pete og Alicia mála herbergið. Látum t tákna fjölda klukkustunda sem þau þurfa til að mála það saman. Á 1 klukkustund ljúka þau því af verkinu saman.
Á einni klukkustund lauk Pete af verkinu, Alicia af því og saman luku þau af því.
Við getum sett þetta fram með jöfnu í orðum og síðan sem ræða jöfnu. Til að finna hve lengi þau væru að vinna saman einangrum við t.
Margfaldið með MSN, 40 t.
Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið og leysið.
Við skrifum svarið sem blandna tölu svo hægt sé að breyta því í klukkustundir og mínútur.
Munið að 1 hour = 60 mínútur.
Margfaldið og námundið síðan að næstu mínútu.
Pete og Alicia væru um 4 klukkustundir og 27 mínútur að mála herbergið.
Hafið í huga að tvær manneskjur sem vinna saman ættu að ljúka verki á skemmri tíma en hvor um sig þarf ein.
Dæmi 8.84
Vikulegt slúðurblað er með stóra frétt um barn prinsessunnar og ritstjórinn vill prenta blaðið sem fyrst. Hún biður prentsmiðjuna að keyra aðra prentvél til að ljúka prentuninni fyrr. Prentvél nr. 1 þarf 6 klukkustundir til verksins og prentvél nr. 2 þarf 12 klukkustundir. Hve lengi tekur að prenta blaðið þegar báðar vélarnar ganga samtímis?
Lausn
Þetta er vinnuverkefni. Tafla hjálpar okkur að skipuleggja upplýsingarnar.
Látum t = tákna fjölda klukkustunda sem þarf til að ljúka verkinu saman.
Skráið klukkustundir á hvert verk fyrir prentvél nr. 1, prentvél nr. 2 og vélarnar saman. Ef verk í prentvél nr. 1 tekur 6 klukkustundir lýkur hún af verkinu á 1 klukkustund. Finnið á sama hátt þann hluta verksins sem prentvél nr. 2 lýkur og þann hluta sem vélarnar ljúka saman, lokið/klukkustundir.
Skrifið setningu með orðum.
Hluti verksins sem prentvél nr. 1 lýkur plús hlutinn sem prentvél nr. 2 lýkur er jafnt því sem vélarnar ljúka saman.
Setjið setninguna fram sem jöfnu.
Leysið.
Margfaldið með MSN, 12 t.
Einfaldið.
Þegar báðar prentvélarnar ganga tekur 4 klukkustundir að ljúka verkinu.
Dæmi 8.85
Corey getur mokað allan snjó af gangstéttinni og innkeyrslunni á 4 klukkustundum. Ef hann og tvíburabróðir hans Casey vinna saman geta þeir lokið mokstrinum á 2 klukkustundum. Hve margar klukkustundir þyrfti Casey til að ljúka verkinu einn?
Lausn
Þetta er vinnuverkefni. Tafla hjálpar okkur að skipuleggja upplýsingarnar.
Við leitum að þeim fjölda klukkustunda sem Casey þarf til að ljúka verkinu einn.
Látum t = tákna fjölda klukkustunda sem Casey þarf til að ljúka verkinu.
Skráið klukkustundir á hvert verk fyrir Corey, Casey og þá saman. Ef Corey þarf 4 klukkustundir lýkur hann af verkinu á 1 klukkustund. Finnið á sama hátt þann hluta verksins sem Casey lýkur og þann hluta sem þeir ljúka saman, lokið/klukkustundir.
Skrifið setningu með orðum.
Samanlagður hluti verksins sem Corey og Casey ljúka hvor um sig er jafn þeim hluta sem þeir ljúka saman.
Setjið setninguna fram sem jöfnu:
Leysið.
Margfaldið með MSN, 4 t.
Einfaldið.
Casey þyrfti 4 klukkustundir til að ljúka verkinu einn.
Verkefni úr hluta 8.8
Æfingin skapar meistarann
Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða
Leysið eftirfarandi verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða.
429.
Mary fer í útsýnisflug með þyrlu sem getur flogið 450 mílur í mótvindi sem er 35 mílur á klukkustund á sama tíma og hún flýgur 702 mílur með meðvindi sem er 35 mílur á klukkustund. Finnið hraða þyrlunnar.
430.
Einkaþota getur flogið 1210 mílur í mótvindi sem er 25 mílur á klukkustund á sama tíma og hún flýgur 1694 mílur með meðvindi sem er 25 mílur á klukkustund. Finnið hraða þotunnar.
431.
Bátur siglir 140 mílur með straumi á sama tíma og hann siglir 92 mílur á móti straumi. Straumhraðinn er 6 mílur/klst. Hver er hraði bátsins?
432.
Darrin getur farið 2 mílur á hjólabretti á móti vindi sem er 4 mílur á klukkustund á sama tíma og hann fer 6 mílur með vindi sem er 4 mílur á klukkustund. Finnið hraða Darrins á hjólabrettinu í logni.
433.
Jane eyddi 2 klukkustundum í að kanna fjall á torfæruhjóli. Hún fór 40 mílur upp á við og þar var hraðinn 5 mílum á klukkustund minni en þegar hún komst á tindinn og ók 12 mílur eftir fjallshryggnum. Hver var hraði hennar eftir hryggnum?
434.
Jill vildi léttast og skipulagði heilan dag af hreyfingu. Hún hjólaði og skokkaði í samtals 2 klukkustundir. Hún hjólaði 12 mílur og skokkaði 6 mílur. Skokkhraði hennar var 10 mílum á klukkustund minni en hjólahraðinn. Hver var skokkhraði hennar?
435.
Bill vildi prófa mismunandi vatnafarartæki. Hann fór 62 mílur með straumi í vélbáti og 27 mílur með straumi á sæþotu. Hraði hans á sæþotunni var 10 mílum á klukkustund meiri en í vélbátnum. Bill var samtals 4 klukkustundir á vatninu. Hver var hraði hans í vélbátnum?
436.
Nancy ók í 3 klukkustundir. Hún fór 50 mílur áður en hún lenti í óveðri. Síðan ók hún 68 mílur á hraða sem var 9 mílum á klukkustund minni en í góða veðrinu. Hver var hraði hennar í óveðrinu?
437.
Chester hjólaði 24 mílur upp brekku og síðan niður aftur á hraða sem var 2 mílum á klukkustund meiri en upp. Ef ferðin upp tók 2 klukkustundum lengri tíma en ferðin niður, hver var hraði hans upp brekkuna?
438.
Matthew skokkaði 12 mílur heim til vinar síns og fékk síðan far heim. Það tók hann 2 klukkustundum lengri tíma að skokka þangað en að aka til baka. Skokkhraðinn var 25 mílum á klukkustund minni en aksturshraðinn. Hver var skokkhraði hans?
439.
Hudson ferðast 1080 mílur með þotu og síðan 240 mílur með bíl á viðskiptafund. Þotan fer 300 mílum á klukkustund hraðar en bíllinn og bílferðin tekur 1 klukkustund lengri tíma en flugið. Hver er hraði bílsins?
440.
Nathan gekk 12 mílur eftir malbikuðum stíg. Hann gekk 12 mílur til baka að bílnum eftir malarvegi um skóginn. Á malbikinu gekk hann 2 mílum á klukkustund hraðar en á mölinni. Gangan á mölinni tók einni klukkustund lengri tíma en gangan á malbikinu. Hve hratt gekk hann á mölinni?
441.
John getur flogið flugvél sinni 2800 mílur með vindi sem er 50 mílur á klukkustund á sama tíma og hann flýgur 2400 mílur á móti vindinum. Ef vindhraðinn er 50 mílur á klukkustund skuluð þið finna hraða flugvélarinnar.
442.
Hraðbátur Jims getur siglt 20 mílur á móti straumi sem er 3 mílur á klukkustund á sama tíma og hann siglir 22 mílur með straumi sem er 3 mílur á klukkustund. Finnið hraða báts Jims.
443.
Hazel þarf að fara heim til barnabarns síns með flugvél og bílaleigubíl. Hún fer 900 mílur með flugvél og 250 mílur með bíl. Flugvélin fer 250 mílum á klukkustund hraðar en bíllinn. Ef hún ekur bílaleigubílnum í 2 klukkustundum lengri tíma en hún flýgur skuluð þið finna hraða bílsins.
444.
Stu æfði í 3 klukkustundir í gær. Hann hljóp 14 mílur og hjólaði síðan 40 mílur. Hjólahraði hans er 6 mílum á klukkustund meiri en hlaupahraðinn. Hver er hlaupahraði hans?
445.
Á 9 klukkustunda heimleið ók Sharon 390 mílur á hraðbraut og 150 mílur á sveitavegum. Hraði hennar á hraðbrautinni var 15 mílum á klukkustund meiri en á sveitavegunum. Hver var hraði hennar á sveitavegunum?
446.
Tvær systur keppa gjarnan í hjólaferðum. Tamara getur hjólað 4 mílum á klukkustund hraðar en systir hennar Samantha. Ef Samantha er 1 klukkustund lengur en Tamara að hjóla 80 mílur, hve hratt getur Samantha hjólað?
Leysið vinnuverkefni
Leysið eftirfarandi vinnuverkefni.
447.
Mike er reyndur múrari og getur hlaðið vegg á 3 klukkustundum en sonur hans, sem er að læra, þarf 6 klukkustundir. Hve lengi eru þeir að hlaða vegg saman?
448.
Sam er 4 klukkustundir að raka grasflötina fyrir framan húsið en Dave bróðir hans getur rakað hana á 2 klukkustundum. Hve lengi eru þeir að raka hana saman?
449.
Mary getur þrifið íbúð sína á 6 klukkustundum en herbergisfélagi hennar á 5 klukkustundum. Hve lengi eru þær að þrífa íbúðina saman?
450.
Brian getur steypt plötu á 6 klukkustundum en Greg á 4 klukkustundum. Hve lengi eru Brian og Greg að verkinu saman?
451.
Leeson getur prófarkalesið eintak dagblaðs á 4 klukkustundum. Með hjálp Ryans geta þeir lokið verkinu á 3 klukkustundum. Hve lengi væri Ryan að verkinu einn?
452.
Paul getur þrifið gólf í kennslustofu á 3 klukkustundum. Þegar aðstoðarmaður hans hjálpar tekur verkið 2 klukkustundir. Hve lengi væri aðstoðarmaðurinn að því einn?
453.
Josephine getur farið yfir prófúrlausnir nemenda sinna á 5 klukkustundum en með hjálp kennsluaðstoðarmannsins tekur það þau 3 klukkustundir. Hve lengi væri aðstoðarmaðurinn að því einn?
454.
Levi er átta ára og er 2.5 klukkustundir að þvo bíl föður síns einn. Ef faðir hans hjálpar tekur það 1 klukkustund. Hve lengi er faðir Levis að þvo bílinn einn?
455.
Jackson getur rifið þakskífur af húsi á 7 klukkustundum en Martin á 5 klukkustundum. Hve lengi eru þeir að rífa þakskífurnar saman?
456.
Í lok dags getur Dodie þrifið hárgreiðslustofuna sína á 15 mínútum. Ann, sem vinnur með henni, getur þrifið stofuna á 30 mínútum. Hve lengi eru þær að þrífa stofuna saman?
457.
Ronald getur mokað innkeyrsluna á 4 klukkustundum en með hjálp Donalds bróður hans tekur það 2 klukkustundir. Hve lengi væri Donald að moka innkeyrsluna einn?
458.
Tina er 3 klukkustundir að setja krem á hátíðarsmákökurnar sínar en með hjálp Candy tekur það 2 klukkustundir. Hve lengi væri Candy að setja krem á kökurnar ein?
Stærðfræði daglegs lífs
459.
Dana finnst gaman að ganga með hundinn sinn en stundum sleppur hann og hún þarf að hlaupa á eftir honum. Dana gekk með hundinn 7 mílur en þurfti síðan að hlaupa 1 mílu. Hún var samtals 2.5 klukkustundir með hundinum. Hlaupahraði hennar var 3 mílum á klukkustund meiri en gönguhraðinn. Finnið gönguhraða hennar.
460.
Ken og Joe fara að heiman á fótboltaleik sem er í 45 mílna fjarlægð. Ken ekur bílnum sínum 30 mílum á klukkustund hraðar en Joe getur hjólað. Ef Joe er 2 klukkustundum lengur en Ken á leikinn, hver er hraði Joes?
Ritunarverkefni
461.
Í sýnidæmi 8.83 er lausnin strikuð út. Útskýrið hvers vegna.
462.
Paula og Yuki eru herbergisfélagar. Paula er 3 klukkustundir að þrífa íbúðina þeirra og Yuki 4 klukkustundir. Nota má jöfnuna til að finna t, fjölda klukkustunda sem þær væru að þrífa íbúðina saman. Útskýrið hvernig jafnan lýsir aðstæðunum.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið leyst verkefnin skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.
ⓑ Á kvarðanum 1–10, hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni hlutans í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?
