77 Þáttun

7.6 Annars stigs jöfnur

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

Leyst annars stigs jöfnur með núllmargfeldisreglunni
Leyst annars stigs jöfnur með þáttun
Leyst hagnýt verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum

Við höfum þegar leyst línulegar jöfnur, það er jöfnur af gerðinni $a x + b y = c$ . Í línulegum jöfnum eru breyturnar ekki hafðar í veldi. Annars stigs jöfnur eru jöfnur þar sem breytan er í öðru veldi. Hér eru nokkur dæmi um annars stigs jöfnur:

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 = 0 & 3 y^{2} + 4 y = 10 & 64 u^{2} - 81 = 0 & n (n + 1) = 42 \end{matrix}

Í síðustu jöfnunni virðist breytan ekki vera í öðru veldi, en þegar við einföldum stæðuna vinstra megin fáum við $n^{2} + n$ .

Almennt form annars stigs jöfnu er $a x^{2} + b x + c = 0, þar sem a \neq 0$ .

Til að leysa annars stigs jöfnur þurfum við aðrar aðferðir en við notuðum við lausn línulegra jafna. Hér skoðum við eina aðferð og síðar, í öðrum kafla, nokkrar aðrar.

Leysið annars stigs jöfnur með núllmargfeldisreglunni

Fyrst leysum við nokkrar annars stigs jöfnur með núllmargfeldisreglunni. Reglan segir að ef margfeldi tveggja stærða er núll, þá hljóti að minnsta kosti önnur stærðin að vera núll. Eina leiðin til að fá margfeldið núll er að margfalda með núlli.

Nú notum við núllmargfeldisregluna til að leysa annars stigs jöfnu.

Dæmi 7.69

Hvernig nota á núllmargfeldisregluna til að leysa annars stigs jöfnu

Leysið: $(x + 1) (x - 4) = 0$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við að leysa (x + 1)(x – 4) = 0. Fyrsta skrefið er að setja hvorn þátt jafnan 0. Þar sem margfeldið er jafnt 0 verður að minnsta kosti annar þátturinn að vera jafn 0. x + 1 = 0 eða x – 4 = 0.

Síðasta skrefið er að sannreyna báðar lausnirnar með því að setja gildin fyrir x inn í upphaflegu jöfnuna.

Yfirleitt þarf aðeins meiri útreikninga en í síðasta sýnidæmi til að leysa línulegu jöfnurnar sem fást með núllmargfeldisreglunni.

Dæmi 7.70

Leysið: $(5 n - 2) (6 n - 1) = 0$ .

Lausn

	( 5 n − 2 ) ( 6 n − 1 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0.	5 n − 2 = 0	6 n − 1 = 0
Leysið jöfnurnar.	n = $\frac{2}{5}$	n = $\frac{1}{6}$
Sannreynið svörin.

Takið eftir að þegar við sannreyndum lausnirnar gerði hvor þeirra aðeins annan þáttinn jafnan núlli. Margfeldið varð þó núll fyrir báðar lausnirnar.

Dæmi 7.71

Leysið: $3 p (10 p + 7) = 0$ .

Lausn

	3 p ( 10 p + 7 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0.	3 p = 0	10 p + 7 = 0
Leysið jöfnurnar.	p = 0	10 p = −7
		p = − $\frac{7}{10}$
Sannreynið svörin.

Í næsta sýnidæmi kann að virðast sem aðeins einn þáttur sé til staðar. Munið þó að ${(y - 8)}^{2}$ merkir $(y - 8) (y - 8)$ .

Dæmi 7.72

Leysið: ${(y - 8)}^{2} = 0$ .

Lausn

	( y − 8 ) 2 = 0
Endurritið vinstri hliðina sem margfeldi.	( y − 8 ) ( y − 8 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0.	y − 8 = 0	y − 8 = 0
Leysið jöfnurnar.	y = 8	y = 8
Þegar sama lausnin kemur fyrir tvisvar köllum við hana tvöfalda rót.
Sannreynið svarið.

Leysið annars stigs jöfnur með þáttun

Önnur hlið hverrar jöfnu sem við höfum leyst í þessum kafla hingað til var á þáttuðu formi. Til að nota núllmargfeldisregluna verður annars stigs jafnan að vera þáttuð og núll að vera öðrum megin. Við verðum því að byrja á annars stigs jöfnu á staðalforminu $a x^{2} + b x + c = 0$ . Síðan getum við þáttað stæðuna vinstra megin.

Dæmi 7.73

Hvernig leysa á annars stigs jöfnu með þáttun

Leysið: $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við að leysa jöfnuna x squared + 2 x – 8 = 0. Fyrsta skrefið er að rita jöfnuna á staðalformi annars stigs jöfnu, en hún er þegar á því formi.

Annað skrefið er að þátta annars stigs stæðuna x squared + 2 x – 8. Þættirnir eru (x + 4) og (x – 2).

Síðasta skrefið er að sannreyna báðar lausnirnar með því að setja þær inn í upphaflegu jöfnuna.

Áður en við þáttum verðum við að ganga úr skugga um að annars stigs jafnan sé á staðalformi.

Dæmi 7.74

Leysið: $2 y^{2} = 13 y + 45$ .

Lausn

	2 y² = 13 y + 45
Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi.	2 y² − 13 y − 45 = 0
Þáttið annars stigs stæðuna.	( 2 y + 5 ) ( y − 9 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0.	2 y + 5 = 0	y − 9 = 0
Leysið hvora jöfnu.	y = − $\frac{5}{2}$	y = 9
Sannreynið svörin.

Dæmi 7.75

Leysið: $5 x^{2} - 13 x = 7 x$ .

Lausn

	5 x² − 13 x = 7 x
Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi.	5 x² − 20 x = 0
Þáttið vinstri hlið jöfnunnar.	5 x ( x − 4 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0.	5 x = 0	x − 4 = 0
Leysið hvora jöfnu.	x = 0	x = 4
Sannreynið svörin.

Við lausn annars stigs jafna með þáttun nýtast allar þáttunaraðferðirnar sem þið hafið lært í þessum kafla. Kannist þið við sérstöku margfeldisregluna í næsta sýnidæmi?

Dæmi 7.76

Leysið: $144 q^{2} = 25$ .

Lausn


Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi.
Þáttið. Þetta er mismunur ferninga.
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0.	12 q – 5 = 0	12 q + 5 = 0
Leysið hvora jöfnu.	12 q = 5 q = $\frac{5}{12}$	12 q = –5 q = – $\frac{5}{12}$
Sannreynið svörin.

Í næsta sýnidæmi er vinstri hliðin þáttuð en hægri hliðin er ekki núll. Til að nota núllmargfeldisregluna verður önnur hlið jöfnunnar að vera núll. Við margföldum þættina og ritum síðan jöfnuna á staðalformi.

Dæmi 7.77

Leysið: $(3 x - 8) (x - 1) = 3 x$ .

Lausn

	( 3 x − 8 ) ( x − 1 ) = 3 x
Margfaldið tvíliðurnar.	3 x² − 11 x + 8 = 3 x
Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi.	3 x² − 14 x + 8 = 0
Þáttið þríliðinn.	( 3 x − 2 ) ( x − 4 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvorn þátt jafnan 0. Leysið hvora jöfnu.	3 x − 2 = 0 x − 4 = 0 3 x = 2 x = 4 x = $\frac{2}{3}$
Sannreynið svörin.	Þið sannreynið lausnina sjálf.

Núllmargfeldisreglan gildir einnig um margfeldi þriggja eða fleiri þátta. Ef margfeldið er núll verður að minnsta kosti einn þáttanna að vera núll. Með núllmargfeldisreglunni getum við leyst sumar jöfnur af hærra stigi en öðru á sama hátt og annars stigs jöfnur.

Dæmi 7.78

Leysið: $9 m^{3} + 100 m = 60 m^{2}$ .

Lausn


Færið alla liði yfir á aðra hliðina þannig að hin hliðin verði núll.
Takið fyrst stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga.
Þáttið þríliðinn.
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvern þátt jafnan 0.
Leysið hverja jöfnu.
Sannreynið svörin.	Þið sannreynið lausnina sjálf.

Þegar við þáttum annars stigs jöfnuna í næsta sýnidæmi fáum við þrjá þætti. Fyrsti þátturinn er þó fasti. Við vitum að sá þáttur getur ekki verið jafn 0.

Dæmi 7.79

Leysið: $4 x^{2} = 16 x + 84$ .

Lausn

	4 x² = 16 x + 84
Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi.	4 x² − 16 x − 84 = 0
Takið fyrst stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga.	4 ( x² − 4 x − 21 ) = 0
Þáttið þríliðinn.	4 ( x − 7 ) ( x + 3 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna og setjið hvern þátt jafnan 0. Leysið hverja jöfnu.	4 ≠ 0 x − 7 = 0 x + 3 = 0 4 ≠ 0 x = 7 x = −3
Sannreynið svörin.	Þið sannreynið lausnina sjálf.

Leysið hagnýt verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum

Sama verkefnalausnaraðferð og við notuðum áður við verkefni sem má lýsa með línulegum jöfnum hentar jafn vel við verkefni sem má lýsa með annars stigs jöfnum. Við birtum aðferðina aftur hér til að geta haft hana til hliðsjónar.

Við byrjum á talnadæmi til að æfa okkur í að lýsa orðadæmi með annars stigs jöfnu.

Dæmi 7.80

Margfeldi tveggja samliggjandi heiltalna er 132. Finnið heiltölurnar.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	Við leitum að tveimur samliggjandi heiltölum.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að.	Látum n = the first heiltala n + 1 = the next consecutive heiltala
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Endursegið verkefnið í einni setningu.	Margfeldi samliggjandi heiltalnanna tveggja er 132.
	Fyrri heiltalan margfölduð með næstu heiltölu er 132.
Setjið fram sem jöfnu.	n ( n + 1 ) = 132
Skref 5. Leysið jöfnuna.	n² + n = 132
Færið alla liði yfir á aðra hliðina.	n² + n − 132 = 0
Þáttið þríliðinn.	( n − 11 ) ( n + 12 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna. Leysið jöfnurnar.	n − 11 = 0 n + 12 = 0 n = 11 n = −12
Tvö gildi á n leysa verkefnið. Því eru til tve n pör samliggjandi heiltalna sem ganga upp.
Ef fyrri heiltalan er n = 11, þá er næsta heiltala n + 1, eða 11 + 1 = 12. Ef fyrri heiltalan er n = −12, þá er næsta heiltala n + 1, eða −12 + 1 = −11.
Skref 6. Sannreynið svarið.
Samliggjandi heiltölurnar eru 11 , 12 og −11 , −12. Margfeldið 11 · 12 = 132 og margfeldið −11 ( −12 ) = 132. Bæði pör samliggjandi heiltalna eru lausnir.
Skref 7. Svarið spurningunni. Samliggjandi heiltölurnar eru 11 , 12 og −11 , −12.

Kom ykkur á óvart að neikvæða heiltalnaparið skyldi vera önnur lausnin í síðasta sýnidæmi? Margfeldi jákvæðu heiltalnanna tveggja og margfeldi neikvæðu heiltalnanna tveggja verða bæði 132.

Í sumum hagnýtum verkefnum gefur algebran neikvæðar lausnir sem eru þó ekki raunhæfar miðað við aðstæður.

Dæmi 7.81

Rétthyrndur garður er $15$ ferfet að flatarmáli. Lengd garðsins er tveimur fetum meiri en breiddin. Finnið lengd og breidd garðsins.

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið. Í verkefnum um rúmfræðilegar myndir getur skissa auðveldað ykkur að sjá aðstæðurnar fyrir ykkur.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	Við leitum að lengdinni og breiddinni.
Skref 3. Skilgreinið það sem leitað er að. Lengdin er tveimur fetum meiri en breiddin.	Látum W = the tákna breidd garðsins. W + 2 = lengd garðsins
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Endursegið mikilvægu upplýsingarnar í einni setningu.	Flatarmál rétthyrnda garðsins er 15 ferfet.
Notið formúluna fyrir flatarmál rétthyrnings.	A = L · W
Setjið breyturnar inn í formúluna.	15 = ( W + 2 ) W
Skref 5. Leysið jöfnuna. Dreifið fyrst úr svigum.	15 = W² + 2 W
Fáið núll öðrum megin.	0 = W² + 2 W − 15
Þáttið þríliðinn.	0 = ( W + 5 ) ( W − 3 )
Notið núllmargfeldisregluna.	0 = W + 5	0 = W − 3
Leysið hvora jöfnu.	−5 = W	3 = W
Þar sem W táknar breidd garðsins er ekki raunhæft að gildið sé neikvætt. Við útilokum því það gildi á W.	−5 = W W = 3	3 = W Breiddin er 3 fet.
Finnið gildi lengdarinnar.	W + 2 = lengd
	3 + 2
	5	Lengdin er 5 fet.
Skref 6. Sannreynið svarið. Er svarið raunhæft?

	Já, þetta er raunhæft.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Breidd garðsins er 3 fet og lengdin er 5 fet.

Í fyrri kafla notuðum við setningu Pýþagórasar, $(a^{2} + b^{2} = c^{2})$ . Hún lýsir sambandinu milli skammhliða og langhliðar rétthyrnds þríhyrnings.

Við notum þessa formúlu í næsta sýnidæmi.

Dæmi 7.82

Justine ætlar að byggja pall í einu horni bakgarðsins í laginu eins og rétthyrndur þríhyrningur, eins og sýnt er hér fyrir neðan. Langhliðin verður 17 fet að lengd. Önnur skammhliðin verður 7 fetum styttri en hin. Finnið lengdir hliða pallsins.

Myndin sýnir rétthyrndan þríhyrning. Lóðrétta skammhliðin er merkt „x – 7“, lárétta skammhliðin, grunnlínan, er merkt „x“ og langhliðin er merkt „17“.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	Við leitum að lengdum hliða pallsins.
Skref 3. Skilgreinið það sem leitað er að. Önnur hliðin er 7 styttri en hin.	Látum x = lengd tákna lengd annarrar hliðar pallsins og x − 7 = lengd lengd hinnar hliðarinnar.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Þar sem þríhyrningurinn er rétthyrndur getum við notað setningu Pýþagórasar.	a² + b² = c²
Setjið breyturnar inn í formúluna.	x² + ( x − 7 ) 2 = 17 2
Skref 5. Leysið jöfnuna.	x² + x² − 14 x + 49 = 289
Einfaldið.	2 x² − 14 x + 49 = 289
Þetta er annars stigs jafna, svo fáið núll öðrum megin.	2 x² − 14 x − 240 = 0
Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga.	2 ( x² − 7 x − 120 ) = 0
Þáttið þríliðinn.	2 ( x − 15 ) ( x + 8 ) = 0
Notið núllmargfeldisregluna.	2 ≠ 0	x − 15 = 0	x + 8 = 0
Leysið.	2 ≠ 0	x = 15	x = −8
Þar sem x táknar hlið þríhyrningsins er x = −8 ekki raunhæft gildi.	2 ≠ 0	x = 15	x = −8
Finnið lengd hinnar hliðarinnar.
Ef lengd annarrar hliðarinnar er
þá er lengd hinnar hliðarinnar

	8 er lengd hinnar hliðarinnar.
Skref 6. Sannreynið svarið. Eru þessar tölur raunhæfar?

Skref 7. Svarið spurningunni.	Hliðar pallsins eru 8, 15 og 17 fet.

Verkefni úr hluta 7.6

Æfingin skapar meistarann

Notið núllmargfeldisregluna

Leysið eftirfarandi verkefni.

315.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

316.

$(y - 11) (y + 1) = 0$

317.

$(3 a - 10) (2 a - 7) = 0$

318.

$(5 b + 1) (6 b + 1) = 0$

319.

$6 m (12 m - 5) = 0$

320.

$2 x (6 x - 3) = 0$

321.

${(y - 3)}^{2} = 0$

322.

${(b + 10)}^{2} = 0$

323.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

324.

${(3 y + 5)}^{2} = 0$

Leysið annars stigs jöfnur með þáttun

Leysið eftirfarandi verkefni.

325.

$x^{2} + 7 x + 12 = 0$

326.

$y^{2} - 8 y + 15 = 0$

327.

$5 a^{2} - 26 a = 24$

328.

$4 b^{2} + 7 b = −3$

329.

$4 m^{2} = 17 m - 15$

330.

$n^{2} = 5 n - 6$

331.

$7 a^{2} + 14 a = 7 a$

332.

$12 b^{2} - 15 b = −9 b$

333.

$49 m^{2} = 144$

334.

$625 = x^{2}$

335.

$(y - 3) (y + 2) = 4 y$

336.

$(p - 5) (p + 3) = −7$

337.

$(2 x + 1) (x - 3) = −4 x$

338.

$(x + 6) (x - 3) = −8$

339.

$16 p^{3} = 24 p^{2} - 9 p$

340.

$m^{3} - 2 m^{2} = − m$

341.

$20 x^{2} - 60 x = −45$

342.

$3 y^{2} - 18 y = −27$

Leysið hagnýt verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum

Leysið eftirfarandi verkefni.

343.

Margfeldi tveggja samliggjandi heiltalna er 56. Finnið heiltölurnar.

344.

Margfeldi tveggja samliggjandi heiltalna er 42. Finnið heiltölurnar.

345.

Rétthyrnd gólfmotta er 28 ferfet að flatarmáli. Lengdin er þremur fetum meiri en breiddin. Finnið lengd og breidd mottunnar.

346.

Rétthyrndur stoðveggur er 15 ferfet að flatarmáli. Hæð veggjarins er tveimur fetum minni en lengdin. Finnið hæð og lengd veggjarins.

347.

Veifa er í laginu eins og rétthyrndur þríhyrningur með 10 feta langhlið. Önnur skammhlið veifunnar er tveimur fetum lengri en hin. Finnið lengd skammhliða veifunnar.

348.

Spegiltjörn er í laginu eins og rétthyrndur þríhyrningur og önnur skammhliðin liggur meðfram húsvegg. Langhliðin er 9 fetum lengri en hliðin meðfram húsinu. Þriðja hliðin er 7 fetum lengri en hliðin meðfram húsinu. Finnið lengdir allra þriggja hliða tjarnarinnar.

Blönduð verkefni

Leysið eftirfarandi verkefni.

349.

$(x + 8) (x - 3) = 0$

350.

$(3 y - 5) (y + 7) = 0$

351.

$p^{2} + 12 p + 11 = 0$

352.

$q^{2} - 12 q - 13 = 0$

353.

$m^{2} = 6 m + 16$

354.

$4 n^{2} + 19 n = 5$

355.

$a^{3} - a^{2} - 42 a = 0$

356.

$4 b^{2} - 60 b + 224 = 0$

357.

Margfeldi tveggja samliggjandi heiltalna er 110. Finnið heiltölurnar.

358.

Önnur skammhlið rétthyrnds þríhyrnings er þremur fetum lengri en hin. Ef langhliðin er 15 fet skuluð þið finna lengdir skammhliðanna.

Stærðfræði daglegs lífs

359.

Flatarmál verandar. Ef hver hlið ferningslaga verandar er lengd um 4 fet verður flatarmál hennar 196 ferfet. Leysið jöfnuna ${(s + 4)}^{2} = 196$ fyrir s til að finna lengd hliðar verandarinnar.

360.

Vatnsmelónu sleppt. Vatnsmelónu er sleppt af tíundu hæð byggingar. Leysið jöfnuna $−16 t^{2} + 144 = 0$ fyrir $t$ il að finna hversu margar sekúndur það tekur melónuna að falla til jarðar.

Ritunarverkefni

361.

Útskýrið hvernig þið leysið annars stigs jöfnu. Hversu mörgum lausnum búist þið við að annars stigs jafna hafi?

362.

Gefið dæmi um annars stigs jöfnu sem hefur stærsta sameiginlegan þátt en enga lausn jafna núlli.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Í töflunni eru þrjár fullyrðingar sem hefjast á orðunum Ég get: leyst annars stigs jöfnur með núllmargfeldisreglunni, leyst annars stigs jöfnur með þáttun og leyst hagnýt verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum. Dálkarnir við hlið fullyrðinganna bera fyrirsagnirnar Örugglega og Með nokkurri hjálp; síðasti dálkurinn er fyrir þau sem skilja efnið ekki.

ⓑ Þegar á heildina er litið, eftir að hafa skoðað gátlistann, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta hluta? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?