77 Þáttun

7.5 Almenn aðferð við þáttun margliða

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

þekkt og notað viðeigandi aðferð til að fullþátta margliðu

Þekkið og notið viðeigandi aðferð til að fullþátta margliðu

Nú hafið þið kynnst öllum þáttunaraðferðum sem þið þurfið í þessu námskeiði. (Í næsta algebrunámskeiði bætast fleiri aðferðir við.) Myndin hér fyrir neðan tekur saman allar aðferðirnar sem við höfum fjallað um og dregur upp almenna aðferð sem þið ættuð að nota við þáttun margliða.

Aðferð

Þáttið margliður.

Skref 1.
Er til stærsti sameiginlegi þáttur?
- Takið hann út fyrir sviga.
Skref 2.
Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði?
- Ef hún er tvíliður:
  Er hún summa?
  - Ferninga? Summu ferninga er ekki hægt að þátta.
  - Teninga? Notið regluna um summu teninga.
  Er hún mismunur?
  - Ferninga? Þáttið sem margfeldi samoka.
  - Teninga? Notið regluna um mismun teninga.
- Ef hún er þríliður:
  Er hún af gerðinni x2+bx+c? Snúið FOIL-aðferðinni við.
  Er hún af gerðinni ax2+bx+c?
  - Ef $a$ og $c$ eru ferningar skuluð þið athuga hvort hún fylgi reglunni um fullkomna ferningsþríliði.
  - Notið prófun eða ac-aðferðina.
- Ef hún hefur fleiri en þrjá liði:
  Notið þáttun með flokkun.
Skref 3.
Sannreynið.
- Er margliðan fullþáttuð?
- Gefur margfeldi þáttanna upprunalegu margliðuna?

Munið að margliða er fullþáttuð þegar allir þættir hennar aðrir en einliðir eru óþáttanlegir.

Dæmi 7.59

Fullþáttið: $4 x^{5} + 12 x^{4}$ .

Lausn

$\begin{matrix} Er til SSÞ? & Já, 4 x^{4} . & 4 x^{5} + 12 x^{4} \\ Takið SSÞ út fyrir sviga. & 4 x^{4} (x + 3) \\ Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliður eða \\ hefur hún fleiri en þrjá liði? & Tvíliður. \\ Er hann summa? & Já. \\ Ferninga eða teninga? & Nei. \\ Sannreynið. \\ Er stæðan fullþáttuð? & Já. \\ Margfaldið. \\ 4 x^{4} (x + 3) \\ 4 x^{4} \cdot x + 4 x^{4} \cdot 3 \\ 4 x^{5} + 12 x^{4} ✓ \end{matrix}$

Dæmi 7.60

Fullþáttið: $12 x^{2} - 11 x + 2$ .

Lausn


Er til SSÞ?	Nei.
Er þetta tvíliður, þríliður eðafleiri en þrír liðir?	Þríliður.
Eru a og c fullkomnir ferningar?	Nei, a = 12,er ekki fullkominn ferningur.
Notið prófun eða ac-aðferðina.Hér notum við prófun.

Taflan ber fyrirsögnina 12 x í öðru veldi mínus 11 x plús 2 og sýnir mögulega þætti. Fyrri dálkurinn nefnist mögulegir þættir og sá síðari margfeldi. Í fjórum röðum stendur að margfeldið komi ekki til greina. Skýringin er: „Ef þríliðurinn hefur enga sameiginlega þætti getur hvorugur þátturinn haft sameiginlegan þátt.“ Síðustu þættirnir, (3 x - 2) og (4 x - 1), gefa margfeldið 12 x í öðru veldi mínus 11 x plús 2.

Sannreynið.

$(3 x - 2) (4 x - 1)$

$12 x^{2} - 3 x - 8 x + 2$

$12 x^{2} - 11 x + 2 ✓$

Dæmi 7.61

Fullþáttið: $g^{3} + 25 g$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, g.	g³ + 25 g
Takið SSÞ út fyrir sviga.		g ( g² + 25 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri en þrjá liði?	Tvíliður.
Er hún summa? Ferninga?	Já.	Summa ferninga er óþáttanleg.
Sannreynið.
Er stæðan fullþáttuð?	Já.
Margfaldið. g ( g² + 25 ) g³ + 25 g ✓

Dæmi 7.62

Fullþáttið: $12 y^{2} - 75$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, 3.	12 y² − 75
Takið SSÞ út fyrir sviga.		3 ( 4 y² − 25 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri en þrjá liði?	Tvíliður.
Er hún summa?	Nei.
Er hún mismunur? Ferninga eða teninga?	Já, ferninga.	3 ( ( 2 y ) 2 − ( 5 ) 2 )
Ritið sem margfeldi samoka.		3 ( 2 y − 5 ) ( 2 y + 5 )
Sannreynið.
Er stæðan fullþáttuð?	Já.
Hvorugur tvíliðurinn er mismunur ferninga.
Margfaldið. 3 ( 2 y − 5 ) ( 2 y + 5 ) 3 ( 4 y² − 25 ) 12 y² − 75 ✓

Dæmi 7.63

Fullþáttið: $4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Nei.
Er þetta tvíliður, þríliður eðafleiri liðir?
Þríliður með a ≠ 1. Fyrsti liðurinn er þó fullkominn ferningur.
Er síðasti liðurinn fullkominn ferningur?	Já.
Fylgir hann reglunni a² − 2 a b + b 2 ?	Já.
Ritið hann sem annað veldi.
Sannreynið svarið.
Er stæðan fullþáttuð?
Já.
Tvíliðurinn er ekki mismunur ferninga.
Margfaldið.
( 2 a − 3 b ) 2
( 2 a ) 2 − 2 ⋅ 2 a ⋅ 3 b + ( 3 b ) 2
4 a² − 12 a b + 9 b 2 ✓

Dæmi 7.64

Fullþáttið: $6 y^{2} - 18 y - 60$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, 6.	6 y² − 18 y − 60
Takið SSÞ út fyrir sviga.		6 ( y² − 3 y − 10 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri liði?	Þríliður með forystustuðulinn 1.
Snúið FOIL-aðferðinni við.	6 ( y ) ( y )	6 ( y + 2 ) ( y − 5 )
Sannreynið svarið.
Er stæðan fullþáttuð?		Já.
Hvorugur tvíliðurinn er mismunur ferninga.
Margfaldið. 6 ( y + 2 ) ( y − 5 ) 6 ( y² − 5 y + 2 y − 10 ) 6 ( y² − 3 y − 10 ) 6 y² − 18 y − 60 ✓

Dæmi 7.65

Fullþáttið: $24 x^{3} + 81$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, 3.	24 x³ + 81
Takið hann út fyrir sviga.		3 ( 8 x³ + 27 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri en þrjá liði?	Tvíliður.
Er þetta summa eða mismunur?	Summa.
Ferninga eða teninga?	Summa teninga.
Ritið hana með reglunni um summu teninga.
Er stæðan fullþáttuð?	Já.	3 ( 2 x + 3 ) ( 4 x² − 6 x + 9 )
Sannreynið með margföldun.		Þið sannreynið svarið sjálf.

Dæmi 7.66

Fullþáttið: $2 x^{4} - 32$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, 2.	2 x⁴ − 32
Takið hann út fyrir sviga.		2 ( x⁴ − 16 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri en þrjá liði?	Tvíliður.
Er þetta summa eða mismunur?	Já.
Ferninga eða teninga?	Mismunur ferninga.	2 ( ( x² ) 2 − ( 4 ) 2 )
Ritið hann sem margfeldi samoka.		2 ( x² − 4 ) ( x² + 4 )
Fyrri tvíliðurinn er aftur mismunur ferninga.		2 ( ( x ) 2 − ( 2 ) 2 ) ( x² + 4 )
Ritið hann sem margfeldi samoka.		2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x² + 4 )
Er stæðan fullþáttuð?	Já.
Enginn þessara tvíliða er mismunur ferninga.
Sannreynið svarið.
Margfaldið. 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x² + 4 ) 2 ( x² − 4 ) ( x² + 4 ) 2 ( x⁴ − 16 ) 2 x⁴ − 32 ✓

Dæmi 7.67

Fullþáttið: $3 x^{2} + 6 b x - 3 a x - 6 a b$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, 3.	3 x² + 6 b x − 3 a x − 6 a b
Takið SSÞ út fyrir sviga.		3 ( x² + 2 b x − a x − 2 a b )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri liði?	Fleiri en 3 liðir.
Notið þáttun með flokkun.		3 [ x ( x + 2 b ) − a ( x + 2 b ) ] 3 ( x + 2 b ) ( x − a )
Sannreynið svarið.
Er stæðan fullþáttuð? Já.
Margfaldið. 3 ( x + 2 b ) ( x − a ) 3 ( x² − a x + 2 b x − 2 a b ) 3 x² − 3 a x + 6 b x − 6 a b ✓

Dæmi 7.68

Fullþáttið: $10 x^{2} - 34 x - 24$ .

Lausn

Er til SSÞ?	Já, 2.	10 x² − 34 x − 24
Takið SSÞ út fyrir sviga.		2 ( 5 x² − 17 x − 12 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliðureða hefur hún fleiri en þrjá liði?	Þríliður með a ≠ 1 .
Notið prófun eða ac-aðferðina.		2 ( 5 x² − 17 x^-12 ) 2 ( 5 x + 3 ) ( x − 4 )
Sannreynið svarið. Er stæðanfullþáttuð? Já.
Margfaldið. 2 ( 5 x + 3 ) ( x − 4 ) 2 ( 5 x² − 20 x + 3 x − 12 ) 2 ( 5 x² − 17 x − 12 ) 10 x² − 34 x − 24 ✓

Verkefni úr hluta 7.5

Æfingin skapar meistarann

Þekkið og notið viðeigandi aðferð til að fullþátta margliðu

Fullþáttið í eftirfarandi verkefnum.

279.

$10 x^{4} + 35 x^{3}$

280.

$18 p^{6} + 24 p^{3}$

281.

$y^{2} + 10 y - 39$

282.

$b^{2} - 17 b + 60$

283.

$2 n^{2} + 13 n - 7$

284.

$8 x^{2} - 9 x - 3$

285.

$a^{5} + 9 a^{3}$

286.

$75 m^{3} + 12 m$

287.

$121 r^{2} - s^{2}$

288.

$49 b^{2} - 36 a^{2}$

289.

$8 m^{2} - 32$

290.

$36 q^{2} - 100$

291.

$25 w^{2} - 60 w + 36$

292.

$49 b^{2} - 112 b + 64$

293.

$m^{2} + 14 m n + 49 n^{2}$

294.

$64 x^{2} + 16 x y + y^{2}$

295.

$7 b^{2} + 7 b - 42$

296.

$3 n^{2} + 30 n + 72$

297.

$3 x^{3} - 81$

298.

$5 t^{3} - 40$

299.

$k^{4} - 16$

300.

$m^{4} - 81$

301.

$15 p q - 15 p + 12 q - 12$

302.

$12 a b - 6 a + 10 b - 5$

303.

$4 x^{2} + 40 x + 84$

304.

$5 q^{2} - 15 q - 90$

305.

$u^{5} + u^{2}$

306.

$5 n^{3} + 320$

307.

$4 c^{2} + 20 c d + 81 d^{2}$

308.

$25 x^{2} + 35 x y + 49 y^{2}$

309.

$10 m^{4} - 6250$

310.

$3 v^{4} - 768$

Stærðfræði daglegs lífs

311.

Vatnsmelóna látin falla Vorhefð við Kaliforníuháskóla í San Diego er að láta vatnsmelónu falla af sjöundu hæð Urey Hall.

ⓐ Tvíliðurinn $−16 t^{2} + 80$ gefur hæð vatnsmelónunnar $t$ sekúndum eftir að hún er látin falla. Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í tvíliðnum.
ⓑ Ef vatnsmelónunni er kastað niður á upphafshraðanum 8 fet á sekúndu er hæð hennar eftir $t$ sekúndur gefin með þríliðnum $−16 t^{2} - 8 t + 80$ . Fullþáttið þríliðinn.

312.

Grasker látið falla Hausthefð við Kaliforníuháskóla í San Diego er að láta grasker falla af elleftu hæð Tioga Hall.

ⓐ Tvíliðurinn $−16 t^{2} + 128$ gefur hæð graskersins t sekúndum eftir að það er látið falla. Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í tvíliðnum.
ⓑ Ef graskerinu er kastað niður á upphafshraðanum 32 fet á sekúndu er hæð þess eftir $t$ sekúndur gefin með þríliðnum $−16 t^{2} - 32 t + 128$ . Fullþáttið þríliðinn.

Ritunarverkefni

313.

Mismun ferninganna $y^{4} - 625$ má þátta sem $(y^{2} - 25) (y^{2} + 25)$ . En stæðan er ekki fullþáttuð. Hvað þarf að gera til viðbótar til að fullþátta hana?

314.

Af öllum þáttunaraðferðum kaflans — SSÞ, flokkun, að snúa FOIL-aðferðinni við, ac-aðferð og sérstök margfeldi — hver finnst ykkur auðveldust? Hver er erfiðust? Útskýrið svörin.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Í töflunni er fullyrðingin „Ég get þekkt og notað viðeigandi aðferð til að fullþátta margliðu“. Dálkarnir við hlið hennar bera fyrirsagnirnar „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“.

ⓑ Þegar á heildina er litið, eftir að hafa skoðað gátlistann, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta hluta? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?