Meginatriði

Meginatriði

7.1 Stærsti sameiginlegi þáttur og þáttun með flokkun

• Stærsti sameiginlegi þátturinn (SSÞ) fundinn: Til að finna SSÞ tveggja stæða: Skref 1.
  Þáttið hvern stuðul í frumþætti. Ritið allar breytur með veldisvísum á útvíkkuðu formi. Skref 2. Skráið alla þætti og raðið samsvarandi sameiginlegum þáttum í dálka. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki. Skref 3. Takið niður þá sameiginlegu þætti sem allar stæðurnar hafa. Skref 4. Margfaldið þættina eins og í sýnidæmi 7.2.
  1. Skref 1. Frumþáttið hvern stuðul. Ritið allar breytur með veldisvísum í útvíkkaðri ritun.
  2. Skref 2. Skráið alla þætti og raðið samsvarandi sameiginlegum þáttum í dálk. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
  3. Skref 3. Færið niður sameiginlegu þættina sem allar stæðurnar hafa.
  4. Skref 4. Margfaldið þættina eins og í sýnidæmi 7.2.
• Stærsti sameiginlegi þátturinn tekinn út fyrir sviga í margliðu: Til að taka stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga
  í margliðu: Skref 1. Finnið SSÞ allra liða margliðunnar. Skref 2. Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSÞ. Skref 3. Notið dreifiregluna aftur á bak til að þátta stæðuna. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina eins og í sýnidæmi 7.5.
  1. Skref 1. Finnið SSÞ allra liða margliðunnar.
  2. Skref 2. Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSÞ.
  3. Skref 3. Notið dreifiregluna aftur á bak til að þátta stæðuna.
  4. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina eins og í sýnidæmi 7.5.
• Þáttun með flokkun: Til að þátta margliðu með 4 eða fleiri liðum: Skref 1.
  Flokkið saman liði sem hafa sameiginlega þætti. Skref 2. Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í hverjum flokki. Skref 3. Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í stæðunni. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina eins og í sýnidæmi 7.15.
  1. Skref 1. Flokkið saman liði með sameiginlega þætti.
  2. Skref 2. Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í hverjum hópi.
  3. Skref 3. Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í stæðunni.
  4. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina eins og í sýnidæmi 7.15.

7.2 Þáttið þríliði af gerðinni x2+bx+c

• Þáttið þríliði af gerðinni x 2 + b x + c . Skref 1. Ritið þættina sem tvo tvíliði með x sem fremsta lið: ( x ) ( x ) . Skref 2. Finnið tvær tölur m og n þannig að
  margfeldi þeirra sé c, m · n = c
  , og summa þeirra sé b, m + n = b . Skref 3. Notið m og n sem síðustu liði þáttanna: ( x + m ) ( x + n ) . Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina.
  1. Skref 1. Ritið þættina sem tvo tvíliði með eftirfarandi fremstu liði: x: $\left(x\right)\left(x\right)$.
  2. Skref 2. Finnið tvær tölur m og n þannig að
     margfeldi þeirra sé c, $m·n=c$
     summa þeirra sé b, $m+n=b$
  3. Skref 3. Notið m og n sem síðustu liði þáttanna: $(x+m)(x+n)$.
  4. Skref 4. Sannreynið með því að margfalda þættina.

7.3 Þáttið þríliði af gerðinni ax2+bx+c

• Þáttið þríliði af gerðinni $a{x}^2+bx+c$ með prófunaraðferð: Sjá sýnidæmi 7.33.
  Skref 1. Ritið þríliðinn í lækkandi röð eftir stigi. Skref 2. Finnið öll þáttapör fyrsta liðarins. Skref 3. Finnið öll þáttapör þriðja liðarins. Skref 4. Prófið allar mögulegar samsetningar þáttanna þar til rétta margfeldið finnst. Skref 5. Sannreynið með margföldun.
  1. Skref 1. Ritið þríliðinn í lækkandi röð eftir stigi.
  2. Skref 2. Finnið öll þáttapör fyrsta liðarins.
  3. Skref 3. Finnið öll þáttapör þriðja liðarins.
  4. Skref 4. Prófið allar mögulegar samsetningar þáttanna þar til rétta margfeldið finnst.
  5. Skref 5. Sannreynið með margföldun.
• Þáttið þríliði af gerðinni $a{x}^2+bx+c$ með ac-aðferðinni: Sjá sýnidæmi 7.38. Skref 1. Takið SSÞ út
  fyrir sviga, sé hann til staðar. Skref 2. Finnið margfeldið ac. Skref 3. Finnið tvær tölur m og n þannig að:
  $\begin{array}{cccc}\text{Margfeldið á að vera}ac\hfill & & & m·n=a·c\hfill \\ \text{Summan á að vera}b\hfill & & & m+n=b\hfill \end{array}$ . Skref 4. Kljúfið miðliðinn með m og
  n. Skref 5. Þáttið með flokkun. Skref 6. Sannreynið með því að margfalda þættina.
  1. Skref 1. Takið SSÞ út fyrir sviga, ef hann er til.
  2. Skref 2. Finnið margfeldið ac.
  3. Skref 3. Finnið tvær tölur m og n þannig að:
     $\begin{array}{cccc}\text{Margfeldið á að vera}ac\hfill & & & m·n=a·c\hfill \\ \text{Summan á að vera}b\hfill & & & m+n=b\hfill \end{array}$
  4. Skref 4. Kljúfið miðliðinn með m og n:
     
     
  5. Skref 5. Þáttið með flokkun.
  6. Skref 6. Sannreynið með því að margfalda þættina.
• Veljið aðferð til að fullþátta margliður (uppfært): Skref 1. Er stærsti
  sameiginlegi þáttur til staðar? Takið hann út fyrir sviga. Skref 2. Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði? Ef hún
  er tvíliður höfum við enn enga aðferð til að þátta hana.
  Ef hún er þríliður af gerðinni $x^2+bx+c$
     , snúið FOIL-aðferðinni við: $\left(x\right)\left(x\right)$
  . Ef hún er þríliður af gerðinni $a{x}^2+bx+c$
     , notið prófunaraðferðina eða ac-aðferðina. Ef hún
  hefur fleiri en þrjá liði, notið
  þáttun með flokkun. Skref 3. Sannreynið með því að margfalda þættina.
  1. Skref 1. Er stærsti sameiginlegi þáttur til staðar? Takið hann út fyrir sviga.
  2. Skref 2. Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði? Ef hún
     er tvíliður höfum við enn enga aðferð til að þátta hana.
     Ef hún er þríliður af gerðinni $x^2+bx+c$
        , snúið FOIL-aðferðinni við: $\left(x\right)\left(x\right)$
     . Ef hún er þríliður af gerðinni $a{x}^2+bx+c$
        , notið prófunaraðferðina eða ac-aðferðina. Ef hún
     hefur fleiri en þrjá liði,
     notið þáttun með flokkun.
  3. Skref 3. Sannreynið með því að margfalda þættina.

7.4 Þáttið sérstök margfeldi

• Þáttið fullkomna ferningsþríliði. Sjá sýnidæmi 7.42.
  $\begin{array}{ccccccc}\text{Skref 1.}\text{Fylgir þríliðurinn reglunni?}\hfill & & & \hfill a^2+2ab+b^2\hfill & & & \hfill a^2-2ab+b^2\hfill \\ \text{Er fyrsti liðurinn fullkominn ferningur?}\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2\hfill \\ \text{Ritið hann sem annað veldi.}\hfill & & & & & & \\ \text{Er síðasti liðurinn fullkominn ferningur?}\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2{\left(b\right)}^2\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2{\left(b\right)}^2\hfill \\ \text{Ritið hann sem annað veldi.}\hfill & & & & & & \\ \text{Athugið miðliðinn. Er hann}2ab?\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2{}_{\text{↘}}\underset{2·a·b}{}{}_{\text{↙}}{\left(b\right)}^2\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2{}_{\text{↘}}\underset{2·a·b}{}{}_{\text{↙}}{\left(b\right)}^2\hfill \\ \text{Skref 2.}\text{Ritið annað veldi tvíliðarins.}\hfill & & & \hfill {\left(a+b\right)}^2\hfill & & & \hfill {\left(a-b\right)}^2\hfill \\ \text{Skref 3.}\text{Sannreynið með margföldun.}\hfill & & & & & & \end{array}$
• Þáttið mismun ferninga. Sjá sýnidæmi 7.47.
  $\begin{array}{cccc}\text{Skref 1.}\text{Fylgir tvíliðurinn reglunni?}\hfill & & & \hfill a^2-b^2\hfill \\ \text{Er þetta mismunur?}\hfill & & & \hfill \_\_\_\_-\_\_\_\_\hfill \\ \text{Eru fyrsti og síðasti liðurinn fullkomnir ferningar?}\hfill & & & \\ \text{Skref 2.}\text{Ritið þá sem ferninga.}\hfill & & & \hfill {\left(a\right)}^2-{\left(b\right)}^2\hfill \\ \text{Skref 3.}\text{Ritið margfeldi samokanna.}\hfill & & & \hfill \left(a-b\right)\left(a+b\right)\hfill \\ \text{Skref 4.}\text{Sannreynið með margföldun.}\hfill & & & \end{array}$
• Þáttið summu og mismun teninga. Til að þátta summu eða mismun teninga: Sjá sýnidæmi 7.54.
  Skref 1. Fylgir tvíliðurinn reglu um summu eða mismun teninga? Er þetta summa eða mismunur? Eru fyrsti og síðasti liðurinn fullkomnir teningar? Skref 2. Ritið þá sem teninga. Skref 3. Notið regluna um summu eða mismun teninga. Skref 4. Einfaldið innan sviganna. Skref 5. Sannreynið með því að margfalda þættina.
  1. Skref 1. Fylgir tvíliðurinn reglu um summu eða mismun teninga? Er þetta summa eða mismunur? Eru fyrsti og síðasti liðurinn fullkomnir teningar?
  2. Skref 2. Ritið þá sem teninga.
  3. Skref 3. Notið regluna um summu eða mismun teninga.
  4. Skref 4. Einfaldið innan sviganna
  5. Skref 5. Sannreynið með því að margfalda þættina.

7.5 Almenn aðferð við þáttun margliða

• Almenn aðferð við þáttun margliða. Sjá mynd 7.3.
• Hvernig þátta á margliður.
  Skref 1. Er stærsti sameiginlegi þáttur til staðar? Takið hann út
  fyrir sviga. Skref 2. Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en
  þrjá liði? Ef
  hún er
  tvíliður: Er hún summa? Ferninga? Summu ferninga er ekki hægt að þátta. Teninga? Notið
  regluna um summu
  
  teninga. Er hún mismunur? Ferninga? Þáttið sem margfeldi samoka. Teninga? Notið regluna um mismun teninga. Ef hún
  er þríliður: Er
  hún af gerðinni $x^2+bx+c$? Snúið FOIL-aðferðinni
  við. Er hún af gerðinni $a{x}^2+bx+c$
  ? Ef a og c eru fullkomnir ferningar skuluð þið athuga hvort hún fylgi reglunni um fullkomna ferningsþríliði. Notið prófunaraðferðina
  eða ac-aðferðina. Ef hún hefur
  fleiri en þrjá liði
  skuluð þið nota þáttun með flokkun. Skref 3. Sannreynið. Er margliðan fullþáttuð? Gefur margfeldi þáttanna upphaflegu margliðuna?
  1. Skref 1. Er stærsti sameiginlegi þáttur til staðar? Takið hann út fyrir sviga.
  2. Skref
     2. Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði?

     Ef hún er tvíliður:
     Er hún
     summa? Ferninga? Summu ferninga er ekki hægt að þátta. Teninga? Notið regluna um
     summu teninga. Er
     
     hún mismunur? Ferninga? Þáttið sem margfeldi samoka. Teninga? Notið regluna um mismun teninga. Ef hún
     er þríliður: Er
     hún af gerðinni $x^2+bx+c$? Snúið FOIL-aðferðinni
     við. Er hún af gerðinni $a{x}^2+bx+c$
     ? Ef a og c eru fullkomnir ferningar skuluð þið athuga hvort hún fylgi reglunni um fullkomna ferningsþríliði. Notið prófunaraðferðina eða ac-aðferðina. Ef
     hún hefur fleiri en þrjá liði skuluð
     þið nota þáttun með flokkun.
     • Ef hún er tvíliður:
       Er hún summa?
       Ferninga? Summu ferninga er ekki hægt að þátta. Teninga? Notið regluna um summu teninga.
       Er hún mismunur?
       
       Ferninga? Þáttið sem margfeldi samoka. Teninga? Notið regluna um mismun teninga.
       • Ferninga? Summu ferninga er ekki hægt að þátta.
       • Teninga? Notið regluna um summu teninga.
       • Ferninga? Þáttið sem margfeldi samoka.
       • Teninga? Notið regluna um mismun teninga.
     • Ef hún er þríliður:
       Er hún af gerðinni $x^2+bx+c$? Snúið FOIL-aðferðinni
       við. Er hún af gerðinni $a{x}^2+bx+c$
       ? Ef a og c eru fullkomnir ferningar skuluð þið athuga hvort hún fylgi reglunni um fullkomna ferningsþríliði. Notið prófunaraðferðina eða ac-aðferðina.
       • Ef a og c eru fullkomnir ferningar skuluð þið athuga hvort þríliðurinn fylgi reglunni um fullkomna ferningsþríliði.
       • Notið prófunaraðferðina eða ac-aðferðina.
     • Ef hún hefur fleiri en þrjá liði:
       Notið þáttun með flokkun.
  3. Skref 3. Sannreynið. Er margliðan fullþáttuð? Gefur margfeldi þáttanna upphaflegu margliðuna?

7.6 Annars stigs jöfnur

• Núllmargfeldisreglan. Ef $a·b=0$, þá er annaðhvort $a=0$ eða $b=0$ , eða hvort tveggja. Sjá sýnidæmi 7.69.
• Leysið annars stigs jöfnu með þáttun. Til að leysa annars stigs jöfnu með þáttun: Sjá sýnidæmi
  7.73. Skref 1. Ritið annars stigs jöfnuna á staðalforminu $a{x}^2+bx+c=0$ . Skref 2. Þáttið annars stigs stæðuna. Skref 3. Notið núllmargfeldisregluna. Skref 4. Leysið línulegu jöfnurnar. Skref 5. Sannreynið.
  1. Skref 1. Ritið annars stigs jöfnuna á staðalforminu $a{x}^2+bx+c=0$.
  2. Skref 2. Þáttið annars stigs stæðuna.
  3. Skref 3. Notið núllmargfeldisregluna.
  4. Skref 4. Leysið línulegu jöfnurnar.
  5. Skref 5. Sannreynið.
• Notið verkefnalausnaraðferð til að leysa orðaverkefni. Sjá sýnidæmi 7.80. Skref 1.
  Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og hugmyndir séu skiljanleg. Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað. Skref 3. Skilgreinið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið í einni setningu sem inniheldur allar mikilvægar upplýsingar. Setjið síðan setninguna fram sem algebrujöfnu. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Skref 6. Sannreynið svarið í verkefninu og gangið úr skugga um að það sé raunhæft. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
  1. Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og allar hugmyndir séu skiljanleg.
  2. Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
  3. Skref 3. Nefnið stærðina sem leitað er að. Veljið breytu til að tákna hana.
  4. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægum upplýsingum. Setjið síðan setninguna fram sem algebrujöfnu.
  5. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.
  6. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi við verkefnið og gangið úr skugga um að það sé rökrétt.
  7. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.