77 Þáttun

7.1 Stærsti sameiginlegi þáttur og þáttun með flokkun

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

fundið stærsta sameiginlega þátt tveggja eða fleiri stæða
tekið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðu
þáttað með flokkun

Finnið stærsta sameiginlega þátt tveggja eða fleiri stæða

Áður margfölduðum við þætti saman til að fá margfeldi. Nú snúum við ferlinu við: byrjum á margfeldi og skiptum því í þætti. Að skipta margfeldi í þætti kallast þáttun.

Myndin sýnir tvo þætti margfaldaða saman, 8 og 7. Við hliðina eru þættirnir 2x og (x + 3) margfaldaðir saman og margfeldið er 2x² + 6x. Fyrir ofan er ör til hægri merkt „margfalda“ og fyrir neðan er ör til vinstri merkt „þátta“.

Við höfum lært að þátta tölur til að finna minnsta sameiginlega margfeldi (MSM) tveggja eða fleiri talna. Nú þáttum við stæður og finnum stærsta sameiginlega þátt tveggja eða fleiri stæða. Aðferðin er svipuð þeirri sem við notuðum til að finna MSM.

Fyrst finnum við SSÞ tveggja talna.

Dæmi 7.1

Hvernig finna á stærsta sameiginlega þátt tveggja eða fleiri stæða

Finnið SSÞ 54 og 36.

Lausn

Taflan er í þremur dálkum. Í fyrsta dálkinum eru skref þáttunarinnar. Í fyrstu röð er fyrsta skrefið: frumþáttið hvern stuðul og ritið allar breytur með veldisvísum í útvíkkaðri ritun. Í öðrum dálki fyrstu raðar stendur „þáttið 54 og 36“. Í þriðja dálki eru 54 og 36 frumþáttaðar með þáttatrjám. Dreginn er hringur um frumþætti 54, sem eru 3, 3, 2 og 3. Einnig er dreginn hringur um frumþætti 36, sem eru 2,3 og 2,3.

Í annarri röð er annað skrefið: „Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.“ Í öðrum dálki annarrar raðar stendur: „Dragið hring um 2, 3 og 3, sem báðar tölurnar hafa.“ Í þriðja dálki eru frumþættir 36 og 54 í röðum hvorir fyrir ofan aðra. Dreginn er hringur um sameiginlegu þættina 2, 3 og 3.

Í þriðju röð er skrefið: „Færið niður sameiginlegu þættina sem allar stæðurnar hafa.“ Í öðrum dálki þriðju raðar stendur: „Færið 2,3 og 3 niður og margfaldið síðan.“ Í þriðja dálki stendur: „SSÞ = 2 sinnum 3 sinnum 3.“

Í fjórðu röð er fjórða skrefið: „Margfaldið þættina.“ Annar dálkur fjórðu raðar er auður. Í þriðja dálki stendur „SSÞ = 18“ og „SSÞ 54 og 36 er 18“.

Takið eftir að þar sem SSÞ er þáttur í báðum tölunum má rita 54 og 36 sem margfeldi af 18.

\begin{matrix} 54 = 18 \cdot 3 \\ 36 = 18 \cdot 2 \end{matrix}

Hér tökum við saman skrefin við að finna SSÞ.

Í fyrsta dæminu var SSÞ fastatala. Í næstu tveimur dæmum verða breytur í stærsta sameiginlega þættinum.

Dæmi 7.2

Finnið stærsta sameiginlega þátt $27 x^{3} og 18 x^{4}$ .

Lausn

Frumþáttið hvern stuðul og ritið breyturnar með veldisvísum í útvíkkaðri ritun. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
Færið sameiginlegu þættina niður.
Margfaldið þættina.
	SSÞ 27 x 3 og 18 x 4 er 9 x 3 .

Dæmi 7.3

Finnið SSÞ $4 x^{2} y, 6 x y^{3}$ .

Lausn

Frumþáttið hvern stuðul og ritið breyturnar með veldisvísum í útvíkkaðri ritun. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
Færið sameiginlegu þættina niður.
Margfaldið þættina.
	SSÞ 4 x 2 y og 6 x y 3 er 2 xy.

Dæmi 7.4

Finnið SSÞ: $21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x$ .

Lausn

Frumþáttið hvern stuðul og ritið breyturnar með veldisvísum í útvíkkaðri ritun. Dragið hring um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
Færið sameiginlegu þættina niður.
Margfaldið þættina.
	SSÞ 21 x 3, 9 x 2 og 15 x er 3 x .

Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðu

Líkt og í talnareikningi, þar sem stundum er gagnlegt að rita tölu á þáttuðu formi (til dæmis 12 sem $2 \cdot 6 eða 3 \cdot 4),$ getur verið gagnlegt í algebru að rita margliðu á þáttuðu formi. Ein leið er að finna SSÞ allra liðanna. Munið að við margföldum margliðu með einlið á eftirfarandi hátt:

\begin{matrix} 2 (x + 7) & þættir \\ 2 \cdot x + 2 \cdot 7 \\ 2 x + 14 & margfeldi \end{matrix}

Nú byrjum við á margfeldi, til dæmis $2 x + 14$ , og endum með þætti þess, $2 (x + 7)$ . Til þess beitum við dreifireglunni afturábak.

Hér setjum við dreifiregluna fram eins og í fyrri köflum og sýnum einnig hvernig henni er beitt afturábak.

Hvernig er dreifireglan þá notuð til að þátta margliðu? Finnið SSÞ allra liðanna og ritið margliðuna sem margfeldi.

Dæmi 7.5

Hvernig taka á stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðu

Þáttið: $4 x + 12$ .

Lausn

Taflan er í þremur dálkum. Í fyrsta dálkinum eru skref þáttunarinnar. Í fyrstu röð er fyrsta skrefið: „Finnið SSÞ allra liða margliðunnar.“ Í öðrum dálki stendur: „Finnið SSÞ 4x og 12.“ Í þriðja dálki er 4x þáttað sem 2 sinnum 2 sinnum x og fyrir neðan er 18 þáttað sem 2 sinnum 2 sinnum 3. Fyrir neðan þættina stendur „SSF = 2 sinnum 2“ og „SSF = 4“.

Í annarri röð er annað skrefið: „Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSÞ.“ Í öðrum dálki stendur: „Endurritið 4x og 12 sem margfeldi með SSÞ þeirra, 4.“ Síðan koma jöfnurnar 4 x = 4 sinnum x og 12 = 4 sinnum 3. Í þriðja dálki eru stæðurnar 4x + 12 og þar fyrir neðan 4 sinnum x + 4 sinnum 3.

Í þriðju röð er skrefið: „Beitið dreifireglunni afturábak til að þátta stæðuna.“ Annar dálkur er auður. Í þriðja dálki stendur „4(x + 3)“.

Í fjórðu röð er fjórða skrefið: „Sannreynið með því að margfalda þættina.“ Annar dálkur er auður. Í þriðja dálki eru þrjár stæður. Sú fyrsta er 4(x + 3), önnur er 4 sinnum x + 4 sinnum 3 og sú þriðja er 4 x + 12.

Dæmi 7.6

Þáttið: $5 a + 5$ .

Lausn

Finnið SSÞ 5a og 5.

Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSÞ.
Beitið dreifireglunni afturábak til að taka SSÞ út fyrir sviga.
Sannreynið með því að margfalda þættina og fá upphaflegu margliðuna.
5 ( a + 1 )
5 ⋅ a + 5 ⋅ 1
5 a + 5 ✓

Stæðurnar í næsta dæmi hafa nokkra sameiginlega þætti. Munið að rita SSÞ sem margfeldi allra sameiginlegu þáttanna.

Dæmi 7.7

Þáttið: $12 x - 60$ .

Lausn

Finnið SSÞ 12x og 60.

Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSÞ.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Sannreynið með því að margfalda þættina.
12 ( x − 5 )
12 ⋅ x − 12 ⋅ 5
12 x − 60 ✓

Nú tökum við stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í þrílið. Við byrjum á að finna SSÞ allra þriggja liðanna.

Dæmi 7.8

Þáttið: $4 y^{2} + 24 y + 28$ .

Lausn

Við byrjum á að finna SSÞ allra þriggja liðanna.

Finnið SSÞ 4 y 2, 24 y og 28.

Endurritið hvern lið sem margfeldi með SSÞ.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Sannreynið með margföldun.
4 ( y² + 6 y + 7 )
4 ⋅ y² + 4 ⋅ 6 y + 4 ⋅ 7
4 y² + 24 y + 28 ✓

Dæmi 7.9

Þáttið: $5 x^{3} - 25 x^{2}$ .

Lausn

Finnið SSÞ 5 x 3 og 25 x 2 .

Endurritið hvern lið.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Athugið.
5 x 2 ( x − 5 )
5 x² ⋅ x − 5 x² ⋅ 5
5 x³ − 25 x 2 ✓

Dæmi 7.10

Þáttið: $21 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x$ .

Lausn

Í fyrra dæmi fundum við að SSÞ $21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x$ er $3 x$ .


Endurritið hvern lið með SSÞ, 3x.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Athugið.
3 x ( 7 x² − 3 x + 5 )
3 x ⋅ 7 x² − 3 x ⋅ 3 x + 3 x ⋅ 5
21 x³ − 9 x² + 15 x ✓

Dæmi 7.11

Þáttið: $8 m^{3} - 12 m^{2} n + 20 m n^{2}$ .

Lausn

Finnið SSÞ 8 m 3, 12 m 2 n, 20 m n 2.

Endurritið hvern lið.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Athugið.
4 m ( 2 m² − 3 m n + 5 n² )
4 m ⋅ 2 m² − 4 m ⋅ 3 m n + 4 m ⋅ 5 n²
8 m³ − 12 m² n + 20 m n 2 ✓

Þegar forystustuðullinn er neikvæður tökum við mínusmerkið út fyrir sviga sem hluta af SSÞ.

Dæmi 7.12

Þáttið: $−8 y - 24$ .

Lausn

Þegar forystustuðullinn er neikvæður verður SSÞ neikvæður.

Ef formerki liðanna eru hunsuð finnum við fyrst að SSÞ 8y og 24 er 8. Þar sem stæðan −8y − 24 hefur neikvæðan forystustuðul notum við −8 sem SSÞ.
Endurritið hvern lið með SSÞ.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Athugið.
−8 ( y + 3 )
−8 ⋅ y + ( −8 ) ⋅ 3
−8 y − 24 ✓

Dæmi 7.13

Þáttið: $−6 a^{2} + 36 a$ .

Lausn

Forystustuðullinn er neikvæður, þannig að SSÞ verður neikvæður.

Þar sem forystustuðullinn er neikvæður er SSÞ neikvæður, −6a.
Endurritið hvern lið með SSÞ.
Takið SSÞ út fyrir sviga.
Athugið.
−6 a ( a − 6 )
−6 a ⋅ a + ( −6 a ) ( −6 )
−6 a² + 36 a ✓

Dæmi 7.14

Þáttið: $5 q (q + 7) - 6 (q + 7)$ .

Lausn

SSÞ er tvíliðurinn $q + 7$ .


Takið SSÞ, (q + 7), út fyrir sviga.
Sannreynið sjálf með margföldun.

Þáttun með flokkun

Þegar enginn þáttur er sameiginlegur öllum liðum margliðu skal leita að sameiginlegum þætti nokkurra liðanna. Ef liðirnir eru fjórir er gott að byrja á að skipta margliðunni í tvo hluta með tveimur liðum í hvorum. Leitið síðan að SSÞ í hvorum hluta. Ef hægt er að þátta margliðuna kemur sami þáttur fram í báðum hlutum.

(Ekki er hægt að þátta allar margliður. Rétt eins og sumar tölur eru frumtölur eru sumar margliður óþáttanlegar.)

Dæmi 7.15

Hvernig þátta á með flokkun

Þáttið: $x y + 3 y + 2 x + 6$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við að þátta xy + 3 y + 2 x + 6. Í fyrstu röð stendur: „Flokkið saman liði með sameiginlega þætti.“ Í næsta dálki kemur fram að enginn þáttur sé sameiginlegur öllum 4 liðunum. Í síðasta dálki eru fyrstu tveir liðirnir flokkaðir saman og síðustu tveir liðirnir saman.

Í annarri röð stendur: „Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í hverjum hópi.“ Í öðrum dálki kemur fram að taka eigi SSÞ út fyrir sviga í hópunum tveimur. Í þriðja dálki er stæðan y(x + 3) + 2(x + 3).

Í þriðju röð stendur: „Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í stæðunni.“ Í öðrum dálki er bent á sameiginlega þáttinn (x + 3). Í þriðja dálki er þátturinn (x + 3) tekinn út fyrir sviga í hópunum tveimur og fæst (x + 3) sinnum (y + 2).

Í síðustu röð stendur: „Sannreynið.“ Í öðrum dálki stendur að margfalda eigi (x + 3)(y + 2). Í síðasta dálki sést margfeldið, sem er upphaflega margliðan xy + 3 y + 2 x + 6.

Dæmi 7.16

Þáttið: $x^{2} + 3 x - 2 x - 6$ .

Lausn

$\begin{matrix} Enginn þáttur er sameiginlegur öllum fjórum liðunum. & x^{2} + 3 x −2 x - 6 \\ Skiptið í tvo hluta. & \underset{⎵}{x^{2} + 3 x} \underset{⎵}{−2 x - 6} \\ \begin{matrix} Takið SSÞ út fyrir sviga í báðum hlutum. Gætið \\ að formerkjunum þegar SSÞ er tekinn út fyrir sviga í \\ síðustu tveimur liðunum. \end{matrix} & \begin{matrix} x (x + 3) - 2 (x + 3) \\ (x + 3) (x - 2) \end{matrix} \\ Sannreynið sjálf með margföldun. \end{matrix}$

Verkefni úr hluta 7.1

Æfingin skapar meistarann

Finnið stærsta sameiginlega þátt tveggja eða fleiri stæða

Finnið stærsta sameiginlega þáttinn í eftirfarandi verkefnum.

8, 18

24, 40

72, 162

150, 275

10a, 50

5b, 30

$3 x, 10 x^{2}$

$21 b^{2}, 14 b$

$8 w^{2}, 24 w^{3}$

10.

$30 x^{2}, 18 x^{3}$

11.

$10 p^{3} q, 12 p q^{2}$

12.

$8 a^{2} b^{3}, 10 a b^{2}$

13.

$12 m^{2} n^{3}, 30 m^{5} n^{3}$

14.

$28 x^{2} y^{4}, 42 x^{4} y^{4}$

15.

$10 a^{3}, 12 a^{2}, 14 a$

16.

$20 y^{3}, 28 y^{2}, 40 y$

17.

$35 x^{3}, 10 x^{4}, 5 x^{5}$

18.

$27 p^{2}, 45 p^{3}, 9 p^{4}$

Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðu

Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í hverri margliðu í eftirfarandi verkefnum.

19.

$4 x + 20$

20.

$8 y + 16$

21.

$6 m + 9$

22.

$14 p + 35$

23.

$9 q + 9$

24.

$7 r + 7$

25.

$8 m - 8$

26.

$4 n - 4$

27.

$9 n - 63$

28.

$45 b - 18$

29.

$3 x^{2} + 6 x - 9$

30.

$4 y^{2} + 8 y - 4$

31.

$8 p^{2} + 4 p + 2$

32.

$10 q^{2} + 14 q + 20$

33.

$8 y^{3} + 16 y^{2}$

34.

$12 x^{3} - 10 x$

35.

$5 x^{3} - 15 x^{2} + 20 x$

36.

$8 m^{2} - 40 m + 16$

37.

$12 x y^{2} + 18 x^{2} y^{2} - 30 y^{3}$

38.

$21 p q^{2} + 35 p^{2} q^{2} - 28 q^{3}$

39.

$−2 x - 4$

40.

$−3 b + 12$

41.

$5 x (x + 1) + 3 (x + 1)$

42.

$2 x (x - 1) + 9 (x - 1)$

43.

$3 b (b - 2) - 13 (b - 2)$

44.

$6 m (m - 5) - 7 (m - 5)$

Þáttun með flokkun

Þáttið með flokkun í eftirfarandi verkefnum.

45.

$x y + 2 y + 3 x + 6$

46.

$m n + 4 n + 6 m + 24$

47.

$u v - 9 u + 2 v - 18$

48.

$p q - 10 p + 8 q - 80$

49.

$b^{2} + 5 b - 4 b - 20$

50.

$m^{2} + 6 m - 12 m - 72$

51.

$p^{2} + 4 p - 9 p - 36$

52.

$x^{2} + 5 x - 3 x - 15$

Blönduð verkefni

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

53.

$−20 x - 10$

54.

$5 x^{3} - x^{2} + x$

55.

$3 x^{3} - 7 x^{2} + 6 x - 14$

56.

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

57.

$x^{2} + x y + 5 x + 5 y$

58.

$5 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x - 3$

Stærðfræði daglegs lífs

59.

Flatarmál rétthyrnings Flatarmál rétthyrnings þar sem lengdin er 6 minni en breiddin er gefið með stæðunni $w^{2} - 6 w$ , þar sem $w =$ breiddin. Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðunni.

60.

Hæð hafnabolta Hæð hafnabolta t sekúndum eftir að hann er sleginn er gefin með stæðunni $−16 t^{2} + 80 t + 4$ . Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðunni.

Ritunarverkefni

61.

Stærsti sameiginlegi þáttur 36 og 60 er 12. Útskýrið hvað það merkir.

62.

Hver er SSÞ $y^{4}, y^{5}, og y^{10}$ ? Setjið fram almenna reglu um hvernig finna má SSÞ $y^{a}, y^{b}, og y^{c}$ .

Sjálfsmat

ⓐ Að loknum verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Á undan öllum fullyrðingunum í töflunni stendur „Ég get…“. Fyrsta fullyrðingin er „fundið stærsta sameiginlega þátt tveggja eða fleiri stæða“, önnur er „tekið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga í margliðu“ og sú þriðja er „þáttað með flokkun“. Dálkarnir við hlið fullyrðinganna bera fyrirsagnirnar „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“.

ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:

… Örugglega. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo að þið getið beitt þeim áfram. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum atriðum? Verið nákvæm.

… Með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því ef þið hafið ekki náð tökum á efni, því eyður í þekkingunni verða að hindrunum síðar. Stærðfræði byggist upp í röð og hvert viðfangsefni styðst við fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um aðstoð? Samnemendur og kennari eru góðir aðilar til að leita til. Er boðið upp á aðstoð stærðfræðileiðbeinenda í skólanum? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

… nei – ég skil þetta ekki! Þetta er alvarlegt og því má ekki hunsa það. Þið þurfið að fá hjálp strax, annars getur efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið sem fyrst við kennarann um stöðuna. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.