77 Þáttun

7.4 Þáttið sérstök margfeldi

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

þáttað fullkomna ferningsþríliði
þáttað mismun ferninga
þáttað summu og mismun teninga
valið aðferð til að fullþátta margliðu

Þáttunaraðferðin sem við mótuðum í síðasta hluta leiðir ykkur við þáttun flestra tvíliða, þríliða og margliða með fleiri en þrjá liði. Við höfum séð að sumir tvíliðir og þríliðir verða til sem sérstök margfeldi þegar tvíliður er hafinn í annað veldi eða samokar margfaldaðir saman. Ef þið lærið að þekkja þessar gerðir margliða getið þið notað reglur sérstakra margfelda til að þátta þær mun hraðar.

Þáttið fullkomna ferningsþríliði

Sumir þríliðir eru fullkomnir ferningar. Þeir myndast þegar tvíliður er margfaldaður með sjálfum sér. Hægt er að hefja tvílið í annað veldi með FOIL-aðferðinni, en reglan um annað veldi tvíliðar, sem þið sáuð í fyrri kafla, sparar eitt skref. Rifjum regluna upp með því að hefja tvílið í annað veldi með FOIL-aðferðinni.

Myndin sýnir FOIL-aðferðina við margföldun (3x + 4) í öðru veldi. Margliðan er rituð sem þættirnir tveir (3x + 4)(3x + 4). Síðan eru liðirnir 9 x squared + 12 x + 12 x + 16, sem sýna röð fremstu, ytri, innri og öftustu liða. Að lokum er margfeldið ritað 9 x squared + 24 x + 16.

Fyrsti liðurinn er annað veldi fyrri liðar tvíliðarins og síðasti liðurinn annað veldi síðari liðarins. Miðliðurinn er tvöfalt margfeldi liðanna tveggja í tvíliðnum.

\begin{matrix} {(3 x)}^{2} + 2 (3 x \cdot 4) + 4^{2} \\ 9 x^{2} + 24 x + 16 \end{matrix}

Þríliðurinn 9x² + 24 + 16 kallast fullkominn ferningsþríliður. Hann er annað veldi tvíliðarins 3x+ 4.

Við endurtökum regluna um annað veldi tvíliðar hér svo hægt sé að vísa í hana við þáttun.

Þegar tvíliður er hafinn í annað veldi er margfeldið fullkominn ferningsþríliður. Í þessum kafla lærið þið þáttun. Nú byrjið þið með fullkominn ferningsþrílið og þáttið hann í óþáttanlega þætti.

Hægt væri að þátta þennan þrílið með aðferðunum úr síðasta hluta, þar sem hann er af gerðinni ax² + bx + c. En ef þið sjáið að fyrsti og síðasti liðurinn eru ferningar og þríliðurinn fylgir reglunni um fullkomna ferningsþríliði, sparið þið ykkur mikla vinnu.

Hér er reglan — öfug við regluna um annað veldi tvíliðar.

Til að nota regluna þurfið þið að sjá að tiltekinn þríliður fylgi henni. Athugið fyrst hvort forystustuðullinn sé fullkominn ferningur, $a^{2}$ . Athugið síðan hvort síðasti liðurinn sé fullkominn ferningur, $b^{2}$ . Athugið loks miðliðinn: er hann tvöfalt margfeldið, 2ab? Ef allt stenst er auðvelt að rita þættina.

Dæmi 7.42

Hvernig á að þátta fullkomna ferningsþríliði

Þáttið: $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við þáttun 9 x squared +12 x +4. Fyrsta skrefið er að þekkja regluna um fullkominn ferning, „a“ squared + 2 a b + b í öðru veldi. Þar er athugað hvort fyrsti og síðasti liðurinn séu fullkomnir ferningar. Fyrsta liðinn má rita sem (3 x) í öðru veldi og síðasta liðinn sem 2 í öðru veldi. Einnig þarf miðliðurinn að vera tvöfalt a sinnum b. Það er sannreynt með því að 2 sinnum 3 x sinnum 2 er 12 x.

Annað skrefið er að rita annað veldi tvíliðarins. Margliðan er rituð sem (3 x) squared + 2 sinnum 3 x sinnum 2 + 2 í öðru veldi. Hún þáttast sem (3 x + 2) í öðru veldi.

Síðasta skrefið er að sannreyna með margföldun.

Formerki miðliðarins ákvarðar hvor reglan er notuð. Þegar miðliðurinn er neikvæður notum við regluna $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , sem þáttast í ${(a - b)}^{2}$ .

Skrefin eru tekin saman hér.

Nú leysum við dæmi þar sem miðliðurinn er neikvæður.

Dæmi 7.43

Þáttið: $81 y^{2} - 72 y + 16$ .

Lausn

Fyrsti og síðasti liðurinn eru ferningar. Athugið hvort miðliðurinn fylgi reglunni um fullkominn ferningsþrílið. Miðliðurinn er neikvæður og því væri annað veldi tvíliðarins ${(a - b)}^{2}$ .


Eru fyrsti og síðasti liðurinn fullkomnir ferningar?
Athugið miðliðinn.
Samsvarar hann ( a − b ) 2? Já.
Ritið annað veldi tvíliðar.
Sannreynið með margföldun.
( 9 y − 4 ) 2
( 9 y ) 2 − 2 ⋅ 9 y ⋅ 4 + 4 2
81 y² − 72 y + 16 ✓

Næsta dæmi er fullkominn ferningsþríliður með tveimur breytum.

Dæmi 7.44

Þáttið: $36 x^{2} + 84 x y + 49 y^{2}$ .

Lausn


Prófið hvern lið til að sannreyna regluna.
Þáttið.
Sannreynið með margföldun.
( 6 x + 7 y ) 2
( 6 x ) 2 + 2 ⋅ 6 x ⋅ 7 y + ( 7 y ) 2
36 x² + 84 x y + 49 y 2 ✓

Dæmi 7.45

Þáttið: $9 x^{2} + 50 x + 25$ .

Lausn

	9 x² + 50 x + 25
Eru fyrsti og síðasti liðurinn fullkomnir ferningar?	( 3 x ) 2 ( 5 ) 2
Athugið miðliðinn — er hann 2 a b ?	( 3 x ) 2 ↘ 2 ( 3 x ) ( 5 ) 30 x ↙ ( 5 ) 2
Nei! 30 x ≠ 50 x	Þetta fylgir ekki reglunni.
Þáttið með ac-aðferðinni.	9 x² + 50 x + 25
Takið eftir: a c⁹ · 25 225 og 5 · 45 = 225 5 + 45 = 50
Split the middle term.Factor by grouping.	9 x² + 5 x + 45 x + 25 x ( 9 x + 5 ) + 5 ( 9 x + 5 ) ( 9 x + 5 ) ( x + 5 )
Athugið.( 9 x + 5 ) ( x + 5 ) 9 x² + 45 x + 5 x + 25 9 x² + 50 x + 25 ✓

Munið fyrsta skrefið í aðferð okkar við þáttun margliða. Það er að spyrja: „Er til stærsti sameiginlegi þáttur?“ Ef svo er skal taka SSÞ út fyrir sviga áður en lengra er haldið. Fullkomnir ferningsþríliðir geta haft SSÞ í öllum þremur liðum og þá skal taka hann út fyrir sviga fyrst. Stundum þekkið þið fullkominn ferningsþrílið þegar SSÞ hefur verið tekinn út fyrir sviga.

Dæmi 7.46

Þáttið: $36 x^{2} y - 48 x y + 16 y$ .

Lausn

	36 x² y − 48 x y + 16 y
Er til SSÞ? Já, 4y, svo takið hann út fyrir sviga.	4 y ( 9 x² − 12 x + 4 )
Er þetta fullkominn ferningsþríliður?
Sannreynið regluna.
Þáttið.	4 y ( 3 x − 2 ) 2
Munið að halda þættinum 4y í lokamargfeldinu.
Athugið.
4 y ( 3 x − 2 ) 2
4 y [ ( 3 x ) 2 − 2 · 3 x · 2 + 2 2 ]
4 y ( 9 x ) 2 − 12 x + 4
36 x² y − 48 x y + 16 y ✓

Þáttið mismun ferninga

Hitt sérstaka margfeldið sem þið sáuð í fyrri kafla var reglan um margfeldi samoka. Þið notuðuð hana til að margfalda tvo samoka tvíliði. Hér er dæmi:

\begin{matrix} (3 x - 4) (3 x + 4) \\ 9 x^{2} - 16 \end{matrix}

Munið að þegar samokar tvíliðir eru margfaldaðir leggjast miðliðir margfeldisins saman í 0. Eftir stendur tvíliður, mismunur ferninga.

Margföldun samoka er eina leiðin til að fá tvílið sem margfeldi tveggja tvíliða.

Við þáttun notum við margfeldisregluna „afturábak“ til að þátta mismun ferninga. Mismunur ferninga þáttast í margfeldi samoka.

Munið að „mismunur“ vísar til frádráttar. Til að nota regluna þurfið þið því að ganga úr skugga um að um sé að ræða tvílið þar sem annar ferningurinn er dreginn frá hinum.

Dæmi 7.47

Hvernig á að þátta mismun ferninga

Þáttið: $x^{2} - 4$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við þáttun x í öðru veldi mínus 4. Fyrsta skrefið er að þekkja regluna í tvíliðnum: um mismun er að ræða og fyrsti og síðasti liðurinn eru sannreyndir sem ferningar.

Annað skrefið er að rita liðina tvo sem ferninga, x í öðru veldi og 2 í öðru veldi.

Annað skrefið er að rita liðina tvo sem ferninga, x í öðru veldi og 2 í öðru veldi. Þriðja skrefið er að rita þáttunina sem margfeldi samokanna (x – 2)(x + 2).

Mikilvægt er að muna að summa ferninga þáttast ekki í margfeldi tvíliða. Engir tvíliðaþættir margfaldast saman og gefa summu ferninga. Þegar hugsanlegur SSÞ hefur verið tekinn út fyrir sviga er stæðan $a^{2} + b^{2}$ óþáttanleg.

Gleymið ekki að 1 er fullkominn ferningur. Við þurfum að nota það í næsta dæmi.

Dæmi 7.48

Þáttið: $64 y^{2} - 1$ .

Lausn


Er þetta mismunur? Já.
Eru fyrsti og síðasti liðurinn fullkomnir ferningar?
Já — ritið þá sem ferninga.
Þáttið sem margfeldi samoka.
Sannreynið með margföldun.
( 8 y − 1 ) ( 8 y + 1 )
64 y² − 1 ✓

Dæmi 7.49

Þáttið: $121 x^{2} - 49 y^{2}$ .

Lausn

$\begin{matrix} 121 x^{2} - 49 y^{2} \\ Er þetta mismunur ferninga? Já. & {(11 x)}^{2} - {(7 y)}^{2} \\ Þáttið sem margfeldi samoka. & (11 x - 7 y) (11 x + 7 y) \\ Sannreynið með margföldun. \\ (11 x - 7 y) (11 x + 7 y) \\ 121 x^{2} - 49 y^{2} ✓ \end{matrix}$

Tvíliðurinn í næsta dæmi kann að virðast „öfugur“, en hann er samt mismunur ferninga.

Dæmi 7.50

Þáttið: $100 - h^{2}$ .

Lausn

	100 − h²
Er þetta mismunur ferninga? Já.	( 10 ) 2 − ( h ) 2
Þáttið sem margfeldi samoka.	( 10 − h ) ( 10 + h )
Sannreynið með margföldun. ( 10 − h ) ( 10 + h ) 100 − h 2 ✓
Gætið þess að umrita upprunalegu stæðuna ekki sem h² − 100.

Þáttið $h^{2} - 100$ sjálf og takið síðan eftir hvernig niðurstaðan er frábrugðin $(10 - h) (10 + h)$ .

Til að fullþátta tvíliðinn í næsta dæmi þáttum við mismun ferninga tvisvar.

Dæmi 7.51

Þáttið: $x^{4} - y^{4}$ .

Lausn

	x⁴ − y⁴
Er þetta mismunur ferninga? Já.	( x² ) 2 − ( y² ) 2
Þáttið hann sem margfeldi samoka.	( x² − y² ) ( x² + y² )
Takið eftir að fyrri tvíliðurinn er einnig mismunur ferninga.	( ( x ) 2 − ( y ) 2 ) ( x² + y² )
Þáttið hann sem margfeldi samoka. Síðastaþáttinn, summu ferninga, er ekki hægt að þátta.	( x − y ) ( x + y ) ( x² + y² )
Sannreynið með margföldun. ( x − y ) ( x + y ) ( x² + y² ) [ ( x − y ) ( x + y ) ] ( x² + y² ) ( x² − y² ) ( x² + y² ) x⁴ − y 4 ✓

Eins og alltaf skuluð þið fyrst leita að sameiginlegum þætti þegar þátta á stæðu. Stundum getur sameiginlegur þáttur „falið“ mismun ferninga þannig að þið sjáið ekki fullkomnu ferningana fyrr en SSÞ hefur verið tekinn út fyrir sviga.

Dæmi 7.52

Þáttið: $8 x^{2} y - 98 y$ .

Lausn

	8 x² y − 98 y
Er til SSÞ? Já, 2y—factor it out!	2 y ( 4 x² − 49 )
Er tvíliðurinn mismunur ferninga? Já.	2 y ( ( 2 x ) 2 − ( 7 ) 2 )
Þáttið sem margfeldi samoka.	2 y ( 2 x − 7 ) ( 2 x + 7 )
Sannreynið með margföldun. 2 y ( 2 x − 7 ) ( 2 x + 7 ) 2 y [ ( 2 x − 7 ) ( 2 x + 7 ) ] 2 y ( 4 x² − 49 ) 8 x² y − 98 y ✓

Dæmi 7.53

Þáttið: $6 x^{2} + 96$ .

Lausn

	6 x² + 96
Er til SSÞ? Já, 6 — takið hann út fyrir sviga.	6 ( x² + 16 )
Er tvíliðurinn mismunur ferninga? Nei, hanner summa ferninga. Summu ferninga er ekki hægt að þátta.
Sannreynið með margföldun. 6 ( x² + 16 ) 6 x² + 96 ✓

Þáttið summu og mismun teninga

Til er önnur sérstök þáttunarregla sem við notuðum ekki þegar við margfölduðum margliður. Það er reglan um summu og mismun teninga. Fyrst ritum við reglurnar og sannreynum þær síðan með margföldun.

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \end{matrix}

Við sannreynum fyrri regluna en látum ykkur eftir þá síðari.


Margfaldið inn í svigann.
Margfaldið.	a 3 − a 2 b + a b 2 + a 2 b − a b 2 + b 3
Leggið saman líka liði.	a 3 + b 3

Reglurnar tvær eru mjög líkar, ekki satt? Gætið þó að formerkjunum í þáttunum. Formerki tvíliðaþáttarins er hið sama og í upprunalega tvíliðnum. Formerki miðliðar þríliðaþáttarins er andstætt formerkinu í upprunalega tvíliðnum. Ef þið þekkið formerkjamynstrið getur það auðveldað ykkur að muna reglurnar.

Myndin sýnir formerkjamynstur summu og mismunar tveggja teninga. Fyrir summu tveggja teninga eru fyrstu tvö formerkin plús og fyrsta og þriðja formerkið gagnstæð, plús og mínus. Fyrir mismun tveggja teninga eru fyrstu tvö formerkin eins, mínus. Fyrsta og þriðja formerkið eru mínus og plús.

Ekki er hægt að þátta þríliðaþáttinn í reglunni um summu og mismun teninga.

Mjög gagnlegt er að læra að þekkja teninga heiltalnanna frá 1 til 10, rétt eins og þið hafið lært að þekkja ferninga. Teningar heiltalnanna frá 1 til 10 eru skráðir í töflu 7.2.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n 3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

Dæmi 7.54

Hvernig á að þátta summu eða mismun teninga

Þáttið: $x^{3} + 64$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við þáttun x cubed + 64. Fyrsta skrefið er að sannreyna að tvíliðurinn fylgi reglunni og athuga hvort um summu eða mismun sé að ræða. Tvíliðurinn er summa sem fylgir reglunni.

Síðasta skrefið er að sannreyna svarið með margföldun.

Dæmi 7.55

Þáttið: $x^{3} - 1000$ .

Lausn


Tvíliðurinn er mismunur. Fyrsti og síðasti liðurinn eru fullkomnir teningar.
Ritið liðina sem teninga.
Notið regluna um mismun teninga.
Einfaldið.
Sannreynið með margföldun.

Gætið þess að nota rétt formerki í þáttum summu og mismunar teninga.

Dæmi 7.56

Þáttið: $512 - 125 p^{3}$ .

Lausn


Tvíliðurinn er mismunur. Fyrsti og síðasti liðurinn eru fullkomnir teningar.
Ritið liðina sem teninga.
Notið regluna um mismun teninga.
Einfaldið.
Sannreynið með margföldun.	Þið sannreynið þetta sjálf.

Dæmi 7.57

Þáttið: $27 u^{3} - 125 v^{3}$ .

Lausn


Tvíliðurinn er mismunur. Fyrsti og síðasti liðurinn eru fullkomnir teningar.
Ritið liðina sem teninga.
Notið regluna um mismun teninga.
Einfaldið.
Sannreynið með margföldun.	Þið sannreynið þetta sjálf.

Í næsta dæmi tökum við SSÞ fyrst út fyrir sviga. Þá getum við borið kennsl á summu teninga.

Dæmi 7.58

Þáttið: $5 m^{3} + 40 n^{3}$ .

Lausn


Takið sameiginlega þáttinn út fyrir sviga.
Tvíliðurinn er summa. Fyrsti og síðasti liðurinn eru fullkomnir teningar.
Ritið liðina sem teninga.
Notið regluna um summu teninga.
Einfaldið.

Sannreynið. Við sannprófun getur verið auðveldara að margfalda fyrst þættina sem koma úr summu teninga og margfalda síðan margfeldið með 5. Við látum ykkur eftir að framkvæma margföldunina.

$5 (\overset{}{m + 2 n}) (\overset{}{m^{2} - 2 m n + 4 n^{2}})$

Verkefni úr hluta 7.4

Æfingin skapar meistarann

Þáttið fullkomna ferningsþríliði

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

215.

$16 y^{2} + 24 y + 9$

216.

$25 v^{2} + 20 v + 4$

217.

$36 s^{2} + 84 s + 49$

218.

$49 s^{2} + 154 s + 121$

219.

$100 x^{2} - 20 x + 1$

220.

$64 z^{2} - 16 z + 1$

221.

$25 n^{2} - 120 n + 144$

222.

$4 p^{2} - 52 p + 169$

223.

$49 x^{2} - 28 x y + 4 y^{2}$

224.

$25 r^{2} - 60 r s + 36 s^{2}$

225.

$25 n^{2} + 25 n + 4$

226.

$100 y^{2} - 20 y + 1$

227.

$64 m^{2} - 16 m + 1$

228.

$100 x^{2} - 25 x + 1$

229.

$10 k^{2} + 80 k + 160$

230.

$64 x^{2} - 96 x + 36$

231.

$75 u^{3} - 30 u^{2} v + 3 u v^{2}$

232.

$90 p^{3} + 300 p^{2} q + 250 p q^{2}$

Þáttið mismun ferninga

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

233.

$x^{2} - 16$

234.

$n^{2} - 9$

235.

$25 v^{2} - 1$

236.

$169 q^{2} - 1$

237.

$121 x^{2} - 144 y^{2}$

238.

$49 x^{2} - 81 y^{2}$

239.

$169 c^{2} - 36 d^{2}$

240.

$36 p^{2} - 49 q^{2}$

241.

$4 - 49 x^{2}$

242.

$121 - 25 s^{2}$

243.

$16 z^{4} - 1$

244.

$m^{4} - n^{4}$

245.

$5 q^{2} - 45$

246.

$98 r^{3} - 72 r$

247.

$24 p^{2} + 54$

248.

$20 b^{2} + 140$

Þáttið summu og mismun teninga

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

249.

$x^{3} + 125$

250.

$n^{3} + 512$

251.

$z^{3} - 27$

252.

$v^{3} - 216$

253.

$8 - 343 t^{3}$

254.

$125 - 27 w^{3}$

255.

$8 y^{3} - 125 z^{3}$

256.

$27 x^{3} - 64 y^{3}$

257.

$7 k^{3} + 56$

258.

$6 x^{3} - 48 y^{3}$

259.

$2 - 16 y^{3}$

260.

$−2 x^{3} - 16 y^{3}$

Blönduð verkefni

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

261.

$64 a^{2} - 25$

262.

$121 x^{2} - 144$

263.

$27 q^{2} - 3$

264.

$4 p^{2} - 100$

265.

$16 x^{2} - 72 x + 81$

266.

$36 y^{2} + 12 y + 1$

267.

$8 p^{2} + 2$

268.

$81 x^{2} + 169$

269.

$125 - 8 y^{3}$

270.

$27 u^{3} + 1000$

271.

$45 n^{2} + 60 n + 20$

272.

$48 q^{3} - 24 q^{2} + 3 q$

Stærðfræði daglegs lífs

273.

Garðhönnun Sue og Alan ætla að koma fyrir ferningslaga sundlaug með 15 feta hlið í bakgarðinum. Þau ætla að leggja jafn breitt flísalagt svæði umhverfis laugina á alla vegu. Ef breidd þess er w, er heildarflatarmál laugarinnar og flísalagða svæðisins gefið með þríliðnum $4 w^{2} + 60 w + 225$ . Þáttið þríliðinn.

274.

Viðgerð á húsi Hæðin sem tólf feta stigi nær upp eftir húsvegg þegar neðri endi stigans er b fet frá húsinu er ferningsrót tvíliðarins $144 - b^{2}$ . Þáttið tvíliðinn.

Ritunarverkefni

275.

Hvers vegna var mikilvægt að æfa sig í að nota ferningsreglu tvíliða í kaflanum um margföldun margliða?

276.

Hvernig þekkið þið regluna um annað veldi tvíliðar?

277.

Explain why $n^{2} + 25 \neq {(n + 5)}^{2}$ . Notið algebra, words, eða pictures.

278.

Maribel þáttaði $y^{2} - 30 y + 81$ sem ${(y - 9)}^{2}$ . Hafði hún rétt eða rangt fyrir sér? Hvernig vitið þið það?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Í töflunni eru eftirfarandi fullyrðingar og á undan hverri þeirra kemur „Ég get…“. Fyrsta röðin er „þáttað fullkomna ferningsþríliði“. Önnur röðin er „þáttað mismun ferninga“. Þriðja röðin er „þáttað summu og mismun teninga“. Dálkarnir við hlið fullyrðinganna bera fyrirsagnirnar „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“.

ⓑ Á kvarðanum 1–10, hversu góðum tökum teljið þið ykkur hafa náð á efni hlutans í ljósi svaranna á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?