77 Þáttun

7.2 Þáttið þríliði af gerðinni x2 +bx + c

7.2 Þáttið þríliði af gerðinni x2+bx+c

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

þáttað þríliði af gerðinni x 2 + b x + c
þáttað þríliði af gerðinni x 2 + b x y + c y 2

Þáttið þríliði af gerðinni x2 + bx + c

Þið hafið þegar lært að margfalda tvíliði með FOIL-aðferðinni. Nú þurfið þið að snúa margfölduninni við: byrja á margfeldinu og finna þættina. Skoðum dæmi um margföldun tvíliða til upprifjunar.

Myndin sýnir skrefin við að margfalda þættina (x + 2) og (x + 3). FOIL-aðferðin er notuð. Fremsti liðurinn er x í öðru veldi undir F. Annar liðurinn er 3x undir O, þriðji liðurinn 2x undir I og fjórði liðurinn 6 undir L. Einfaldaða margfeldið er síðan gefið sem x2 plús 5x + 6.

Að þátta þríliðinn merkir að byrja á margfeldinu, $x^{2} + 5 x + 6$ , og enda á þáttunum, $(x + 2) (x + 3)$ . Hugið að því hvaðan hver liður þríliðarins kemur.

fremsti liðurinn fékkst með því að margfalda fremsta lið hvors tvíliðar. Til að fá $x^{2}$ í margfeldinu verður hvor tvíliður að byrja á x.

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 \\ (x) (x) \end{matrix}

síðasti liðurinn í þríliðnum fékkst með því að margfalda síðasta lið hvors tvíliðar. Margfeldi síðustu liðanna verður því að vera 6.

Hvaða tvær tölur hafa margfeldið 6?

Þættir 6 gætu verið 1 og 6 eða 2 og 3. Hvernig vitið þið hvaða par á að nota?

Skoðið miðliðinn. Hann fékkst með því að leggja saman ytri og innri liðina.

Tölurnar sem þurfa að hafa margfeldið 6 verða að hafa summuna 5. Við prófum báða möguleikana og tökum niðurstöðurnar saman í töflu 7.1. Taflan verður gagnleg þegar unnið er með tölur sem má þátta á marga vegu.

Þættir 6	Summa þáttanna
1 , 6	1 + 6 = 7
2 , 3	2 + 3 = 5

Við sjáum að tölurnar 2 og 3 hafa margfeldið 6 og summuna 5. Við höfum því fundið þætti $x^{2} + 5 x + 6$ : $(x + 2) (x + 3)$ .

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & margfeldi \\ (x + 2) (x + 3) & þættir \end{matrix}

Sannreynið þetta með margföldun.

Við byrjuðum á $x^{2} + 5 x + 6$ , sem er af gerðinni $x^{2} + b x + c$ , þar sem $b = 5$ og $c = 6$ . Við þáttuðum þríliðinn í tvo tvíliði af gerðinni $(x + m) og (x + n)$ .

\begin{matrix} x^{2} + 5 x + 6 & x^{2} + b x + c \\ (x + 2) (x + 3) & (x + m) (x + n) \end{matrix}

Til að fá rétta þætti fundum við tvær tölur, m og n þannig að margfeldi þeirra er c og summa þeirra er b.

Dæmi 7.17

Hvernig þátta á þríliði af gerðinni x 2 + b x + c

Þáttið: $x^{2} + 7 x + 12$ .

Lausn

Taflan sýnir skrefin við að þátta xsquared + 7 x + 12. Í fyrstu röð stendur fyrsta skrefið: „Ritið þættina sem tvo tvíliði með x sem fremsta lið.“ Í öðrum dálki stendur: „Ritið tvenna sviga og setjið x sem fremsta lið.“ Í þriðja dálki er stæðan xsquared + 7 x +12. Fyrir neðan eru tvennir svigar með x sem fremsta lið.

Í annarri röð stendur annað skrefið: „Finnið tvær tölur m og n þannig að margfeldi þeirra sé c, m · n = c, og summa þeirra sé b, m + n = b.“ Í öðrum dálki eru þættir 12 og summur þeirra: 1,12 með summuna 1 + 12 = 13; 2, 6 með summuna 2 + 6 = 8; og 3, 4 með summuna 3 + 4 = 7.

Í fjórðu röð stendur: „Sannreynið með því að margfalda þættina.“ Sýnt er að margfeldið (x + 3)(x +4) er x2 + 7 x + 12.

Tökum saman skrefin sem við notuðum til að finna þættina.

Dæmi 7.18

Þáttið: $u^{2} + 11 u + 24$ .

Lausn

Takið eftir að breytan er u, og því verður fremsti liður hvors þáttar u.

$\begin{matrix} u^{2} + 11 u + 24 \\ Ritið þættina sem tvo tvíliði þar sem fremstu liðirnir eru u . & (u) (u) \end{matrix}$

Finnið tvær tölur sem hafa margfeldið 24 og summuna 11.

Þættir 24	Summa þáttanna
1 , 24	1 + 24 = 25
2 , 12	2 + 12 = 14
3 , 8	3 + 8 = 11 *
4 , 6	4 + 6 = 10

$\begin{matrix} Notið 3 og 8 sem síðustu liði tvíliðanna. & (u + 3) (u + 8) \\ Sannreynið. \\ (u + 3) (u + 8) \\ u^{2} + 3 u + 8 u + 24 \\ u^{2} + 11 u + 24 ✓ \end{matrix}$

Dæmi 7.19

Þáttið: $y^{2} + 17 y + 60$ .

Lausn

$\begin{matrix} y^{2} + 17 y + 60 \\ Ritið þættina sem tvo tvíliði þar sem fremstu liðirnir eru y . & (y) (y) \end{matrix}$

Finnið tvær tölur sem hafa margfeldið 60 og summuna 17.

Þættir 60	Summa þáttanna
1 , 60	1 + 60 = 61
2 , 30	2 + 30 = 32
3 , 20	3 + 20 = 23
4 , 15	4 + 15 = 19
5 , 12	5 + 12 = 17 *
6 , 10	6 + 10 = 16

$\begin{matrix} Notið 5 og 12 sem síðustu liði. & (y + 5) (y + 12) \\ Sannreynið. \\ (y + 5) (y + 12) \\ (y^{2} + 12 y + 5 y + 60) \\ (y^{2} + 17 y + 60) ✓ \end{matrix}$

Þáttið þríliði af gerðinni x2 + bx + c þar sem b er neikvætt og c er jákvætt

Í dæmunum hingað til hafa allir liðir þríliðanna verið jákvæðir. Hvað gerist þegar einhverjir liðir eru neikvæðir? Það fer eftir því hvaða liður er neikvæður. Skoðum fyrst þríliði þar sem aðeins miðliðurinn er neikvæður.

Munið: Til að fá neikvæða summu og jákvætt margfeldi verða báðar tölurnar að vera neikvæðar.

Hugið aftur að FOIL-aðferðinni og því hvaðan hver liður þríliðarins kemur. Eins og áður:

fremsti liðurinn, $x^{2}$ , fæst sem margfeldi fremstu liðanna í hvorum tvíliðaþætti, x og y;
jákvæði síðasti liðurinn er margfeldi síðustu liðanna tveggja
neikvæði miðliðurinn er summa ytri og innri liðanna.

Hvernig fást jákvætt margfeldi og neikvæð summa? Með tveimur neikvæðum tölum.

Dæmi 7.20

Þáttið: $t^{2} - 11 t + 28$ .

Lausn

Þar sem síðasti liðurinn, 28, er jákvæður og miðliðurinn $−11 t$ , neikvæður þurfum við tvo neikvæða þætti. Finnið tvær tölur sem hafa margfeldið 28 og summuna $−11$ .

$\begin{matrix} t^{2} - 11 t + 28 \\ Ritið þættina sem tvo tvíliði þar sem fremstu liðirnir eru t . & (t) (t) \end{matrix}$

Finnið tvær tölur sem hafa margfeldið 28 og summuna $−11$ .

Þættir 28	Summa þáttanna
−1 , −28	−1 + ( −28 ) = −29
−2 , −14	−2 + ( −14 ) = −16
−4 , −7	−4 + ( −7 ) = −11 *

$\begin{matrix} Notið −4, −7 sem síðustu liði tvíliðanna. & (t - 4) (t - 7) \\ Sannreynið. \\ (t - 4) (t - 7) \\ t^{2} - 7 t - 4 t + 28 \\ t^{2} - 11 t + 28 ✓ \end{matrix}$

Þáttið þríliði af gerðinni x 2 + b x + c þar sem c er neikvætt

Hvað gerist ef síðasti liður þríliðarins er neikvæður? Hugið að FOIL-aðferðinni. Síðasti liðurinn er margfeldi síðustu liða tvíliðanna. Neikvætt margfeldi fæst þegar tvær tölur með gagnstæð formerki eru margfaldaðar. Velja þarf þættina vandlega svo miðliðurinn fái einnig rétt formerki.

Munið: Til að fá neikvætt margfeldi verða tölurnar að hafa gagnstæð formerki.

Dæmi 7.21

Þáttið: $z^{2} + 4 z - 5$ .

Lausn

Til að fá neikvæðan síðasta lið skal margfalda saman jákvæða og neikvæða tölu. Við þurfum þætti $−5$ sem hafa jákvæðu summuna 4.

Þættir −5	Summa þáttanna
1 , −5	1 + ( −5 ) = −4
−1 , 5	−1 + 5 = 4 *

Takið eftir: Við skráðum báða möguleikana $1, −5 og - 1, 5$ til að tryggja rétt formerki miðliðarins.

	z² + 4 z − 5
Þættirnir verða tveir tvíliðir með eftirfarandi fremsta lið: z.	( z ) ( z )
Notið −1 og 5 sem síðustu liði tvíliðanna.	( z − 1 ) ( z + 5 )
Athugið.( z − 1 ) ( z + 5 ) z² + 5 z − 1 z − 5 z² + 4 z − 5 ✓

Breytum síðasta þríliðnum lítillega og skoðum áhrifin á þættina.

Dæmi 7.22

Þáttið: $z^{2} - 4 z - 5$ .

Lausn

Að þessu sinni þurfum við þætti $−5$ sem hafa summuna $−4$ .

Þættir −5	Summa þáttanna
1 , −5	1 + ( −5 ) = −4 *
−1 , 5	−1 + 5 = 4

	z² − 4 z − 5
Þættirnir verða tveir tvíliðir með eftirfarandi fremsta lið: z.	( z ) ( z )
Notið 1 og −5 sem síðustu liði tvíliðanna.	( z + 1 ) ( z − 5 )
Athugið.( z + 1 ) ( z − 5 ) z² − 5 z + 1 z − 5 z² − 4 z − 5 ✓

Takið eftir að þættir $z^{2} - 4 z - 5$ eru mjög líkir þáttum $z^{2} + 4 z - 5$ . Mikilvægt er að velja þáttaparið sem gefur miðliðnum rétt formerki.

Dæmi 7.23

Þáttið: $q^{2} - 2 q - 15$ .

Lausn

$\begin{matrix} q^{2} - 2 q - 15 \\ Þættirnir verða tveir tvíliðir þar sem fremstu liðirnir eru q . & (q) (q) \\ Nota má 3, −5 sem síðustu liði í & (q + 3) (q - 5) \\ . \end{matrix}$

Þættir −15	Summa þáttanna
1 , −15	1 + ( −15 ) = −14
−1 , 15	−1 + 15 = 14
3 , −5	3 + ( −5 ) = −2 *
−3 , 5	−3 + 5 = 2

Athugið.

$(q + 3) (q - 5)$

$q^{2} - 5 q + 3 q - 15$

$q^{2} - 2 q - 15 ✓$

Sumir þríliðir eru óþáttanlegir. Til að ganga úr skugga um að þríliður sé óþáttanlegur þarf að skrá alla möguleika og sýna að enginn þeirra gengur upp.

Dæmi 7.24

Þáttið: $y^{2} - 6 y + 15$ .

Lausn

	y² − 6 y + 15
Þættirnir verða tveir tvíliðir með eftirfarandi fremsta lið: y.	( y ) ( y )

Þættir 15	Summa þáttanna
−1 , −15	−1 + ( −15 ) = −16
−3 , −5	−3 + ( −5 ) = −8

Eins og taflan sýnir hefur ekkert þáttapar summuna $−6$ . Stæðan er því óþáttanleg.

Dæmi 7.25

Þáttið: $2 x + x^{2} - 48$ .

Lausn

	2 x + x² − 48
Fyrst röðum við liðunum eftir lækkandi stigi.	x² + 2 x − 48
Þættirnir verða tveir tvíliðir með eftirfarandi fremsta lið: x.	( x ) ( x )

Eins og taflan sýnir má nota $−6, 8$ sem síðustu liði tvíliðanna.

(x - 6) (x + 8)

Þættir −48	Summa þáttanna
−1 , 48	−1 + 48 = 47
−2 , 24 −3 , 16 −4 , 12 −6 , 8	−2 + 24 = 22 −3 + 16 = 13 −4 + 12 = 8 −6 + 8 = 2

Athugið.

$(x - 6) (x + 8)$

$x^{2} - 6 x + 8 x - 48$

$x^{2} + 2 x - 48 ✓$

Tökum saman aðferðina sem við þróuðum til að þátta þríliði af gerðinni $x^{2} + b x + c$ .

Þáttið þríliði af gerðinni x2 + bxy + cy2

Stundum þarf að þátta þríliði af gerðinni $x^{2} + b x y + c y^{2}$ með tveimur breytum, til dæmis $x^{2} + 12 x y + 36 y^{2} .$ Fremsti liðurinn, $x^{2}$ , er margfeldi fremstu liða tvíliðaþáttanna, $x \cdot x$ . $y^{2}$ í síðasta liðnum merkir að síðari liður hvors tvíliðaþáttar verður að innihalda y. Stuðlarnir b og ceru fundnir með sömu aðferð og var tekin saman hér á undan.

Dæmi 7.26

Þáttið: $x^{2} + 12 x y + 36 y^{2}$ .

Lausn

	x² + 12 x y + 36 y²
Takið eftir að fremstu liðirnir eru xog síðustu liðirnir innihalda y.	( x _ y ) ( x _ y )

Finnið tölurnar sem hafa margfeldið 36 og summuna 12.

Þættir 36	Summa þáttanna
1, 36	1 + 36 = 37
2, 18	2 + 18 = 20
3, 12	3 + 12 = 15
4, 9	4 + 9 = 13
6, 6	6 + 6 = 12 *

Notið 6 og 6 sem stuðla síðustu liðanna.	( x + 6 y )
Sannreynið svarið.( x + 6 y ) ( x + 6 y ) x² + 6 x y + 6 x y + 36 y² x² + 12 x y + 36 y 2 ✓

Dæmi 7.27

Þáttið: $r^{2} - 8 r s - 9 s^{2}$ .

Lausn

Við þurfum $r$ í fremsta lið hvors tvíliðar og $s$ í síðari liðnum. Síðasti liður þríliðarins er neikvæður og því verða þættirnir að hafa gagnstæð formerki.

$\begin{matrix} r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} \\ Takið eftir: fremstu liðirnir eru r, en síðustu liðirnir innihalda s . & (r_s) (r_s) \end{matrix}$

Finnið tölurnar sem hafa margfeldið $−9$ og summuna $−8$ .

Þættir −9	Summa þáttanna
1 , −9	1 + ( −9 ) = −8 *
−1 , 9	−1 + 9 = 8
3 , −3	3 + ( −3 ) = 0

$\begin{matrix} Notið 1, −9 sem stuðla síðustu liðanna. & (r + s) (r - 9 s) \\ Sannreynið svarið. \\ (r - 9 s) (r + s) \\ r^{2} + r s - 9 r s - 9 s^{2} \\ r^{2} - 8 r s - 9 s^{2} ✓ \end{matrix}$

Dæmi 7.28

Þáttið: $u^{2} - 9 u v - 12 v^{2}$ .

Lausn

Við þurfum u í fremsta lið hvors tvíliðar og $v$ í síðari liðnum. Síðasti liður þríliðarins er neikvæður og því verða þættirnir að hafa gagnstæð formerki.

	u² − 9 u v − 12 v²
Takið eftir að fremstu liðirnir eru uog síðustu liðirnir innihalda v.	( u _ v ) ( u _ v )

Finnið tölurnar sem hafa margfeldið $−12$ og summuna $−9$ .

Þættir −12	Summa þáttanna
1 , −12	1 + ( −12 ) = −11
−1 , 12	−1 + 12 = 11
2 , −6	2 + ( −6 ) = −4
−2 , 6	−2 + 6 = 4
3 , −4	3 + ( −4 ) = −1
−3 , 4	−3 + 4 = 1

Takið eftir að ekkert þáttapar hefur summuna $−9$ . Þríliðurinn er óþáttanlegur.

Æfingar úr hluta 7.2

Æfingin skapar meistarann

Þáttið þríliði af gerðinni $x^{2} + b x + c$

Þáttið hvern þrílið af gerðinni $x^{2} + b x + c$ .

63.

$x^{2} + 4 x + 3$

64.

$y^{2} + 8 y + 7$

65.

$m^{2} + 12 m + 11$

66.

$b^{2} + 14 b + 13$

67.

$a^{2} + 9 a + 20$

68.

$m^{2} + 7 m + 12$

69.

$p^{2} + 11 p + 30$

70.

$w^{2} + 10 w + 21$

71.

$n^{2} + 19 n + 48$

72.

$b^{2} + 14 b + 48$

73.

$a^{2} + 25 a + 100$

74.

$u^{2} + 101 u + 100$

75.

$x^{2} - 8 x + 12$

76.

$q^{2} - 13 q + 36$

77.

$y^{2} - 18 y + 45$

78.

$m^{2} - 13 m + 30$

79.

$x^{2} - 8 x + 7$

80.

$y^{2} - 5 y + 6$

81.

$p^{2} + 5 p - 6$

82.

$n^{2} + 6 n - 7$

83.

$y^{2} - 6 y - 7$

84.

$v^{2} - 2 v - 3$

85.

$x^{2} - x - 12$

86.

$r^{2} - 2 r - 8$

87.

$a^{2} - 3 a - 28$

88.

$b^{2} - 13 b - 30$

89.

$w^{2} - 5 w - 36$

90.

$t^{2} - 3 t - 54$

91.

$x^{2} + x + 5$

92.

$x^{2} - 3 x - 9$

93.

$8 - 6 x + x^{2}$

94.

$7 x + x^{2} + 6$

95.

$x^{2} - 12 - 11 x$

96.

$−11 - 10 x + x^{2}$

Þáttið þríliði af gerðinni $x^{2} + b x y + c y^{2}$

Þáttið hvern þrílið af gerðinni $x^{2} + b x y + c y^{2}$ . Ef ekki er hægt að þátta þríliðinn skuluð þið svara „óþáttanlegur“.

97.

$p^{2} + 3 p q + 2 q^{2}$

98.

$m^{2} + 6 m n + 5 n^{2}$

99.

$r^{2} + 15 r s + 36 s^{2}$

100.

$u^{2} + 10 u v + 24 v^{2}$

101.

$m^{2} - 12 m n + 20 n^{2}$

102.

$p^{2} - 16 p q + 63 q^{2}$

103.

$x^{2} - 2 x y - 80 y^{2}$

104.

$p^{2} - 8 p q - 65 q^{2}$

105.

$m^{2} - 64 m n - 65 n^{2}$

106.

$p^{2} - 2 p q - 35 q^{2}$

107.

$a^{2} + 5 a b - 24 b^{2}$

108.

$r^{2} + 3 r s - 28 s^{2}$

109.

$x^{2} - 3 x y - 14 y^{2}$

110.

$u^{2} - 8 u v - 24 v^{2}$

111.

$m^{2} - 5 m n + 30 n^{2}$

112.

$c^{2} - 7 c d + 18 d^{2}$

Blandaðar æfingar

Þáttið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.

113.

$u^{2} - 12 u + 36$

114.

$w^{2} + 4 w - 32$

115.

$x^{2} - 14 x - 32$

116.

$y^{2} + 41 y + 40$

117.

$r^{2} - 20 r s + 64 s^{2}$

118.

$x^{2} - 16 x y + 64 y^{2}$

119.

$k^{2} + 34 k + 120$

120.

$m^{2} + 29 m + 120$

121.

$y^{2} + 10 y + 15$

122.

$z^{2} - 3 z + 28$

123.

$m^{2} + m n - 56 n^{2}$

124.

$q^{2} - 29 q r - 96 r^{2}$

125.

$u^{2} - 17 u v + 30 v^{2}$

126.

$m^{2} - 31 m n + 30 n^{2}$

127.

$c^{2} - 8 c d + 26 d^{2}$

128.

$r^{2} + 11 r s + 36 s^{2}$

Stærðfræði daglegs lífs

129.

Samliggjandi heiltölur Deirdre hugsar sér tvær samliggjandi heiltölur sem hafa margfeldið 56. Þríliðurinn $x^{2} + x - 56$ lýsir tengslum talnanna. Þáttið þríliðinn.

130.

Samliggjandi heiltölur Deshawn hugsar sér tvær samliggjandi heiltölur sem hafa margfeldið 182. Þríliðurinn $x^{2} + x - 182$ lýsir tengslum talnanna. Þáttið þríliðinn.

Ritunarverkefni

131.

Marga þríliði af gerðinni $x^{2} + b x + c$ má þátta sem margfeldi tveggja tvíliða $(x + m) (x + n)$ . Útskýrið hvernig gildi m og n.

132.

Hvernig ákvarðið þið hvort nota eigi plús- eða mínusmerki í tvíliðaþáttum þríliðar af gerðinni $x^{2} + b x + c$ þar sem $b$ og $c$ geta verið jákvæðar eða neikvæðar tölur?

133.

Will þáttaði $x^{2} - x - 20$ sem $(x + 5) (x - 4)$ . Bill þáttaði stæðuna sem $(x + 4) (x - 5)$ . Phil þáttaði hana sem $(x - 5) (x - 4)$ . Hver hefur rétt fyrir sér? Útskýrið hvers vegna hin svörin tvö eru röng.

134.

Skoðið dæmi 7.19, þar sem við þáttuðum $y^{2} + 17 y + 60$ . Við gerðum töflu yfir öll þáttapör 60 og summur þeirra. Finnst ykkur slík tafla gagnleg? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?

Sjálfsmat

ⓐ Að loknum verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Á undan öllum fullyrðingunum í töflunni stendur „Ég get…“. Fyrsta fullyrðingin er „þáttað þríliði af gerðinni x ^ 2 + bx + c“ og sú síðari „þáttað þríliði af gerðinni x^2 + bxy + c y ^ 2“. Dálkarnir við hlið fullyrðinganna bera fyrirsagnirnar „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“.

ⓑ Þegar þið hafið farið yfir gátlistann skuluð þið ákveða hvað þið gerið til að ná öllum markmiðunum af öryggi.