66 Margliður

6.3 Margfaldið margliður

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

margfaldað margliðu með einlið
margfaldað tvílið með tvílið
margfaldað þrílið með tvílið

Margfaldið margliðu með einlið

Við höfum notað dreifiregluna til að einfalda stæður eins og $2 (x - 3)$ . Þið margfölduðuð báða liðina innan svigans, $x og 3$ , með 2 og fenguð $2 x - 6$ . Með nýjum orðaforða kaflans getið þið sagt að þið hafið margfaldað tvíliðinn $x - 3$ , með einliðnum 2.

Þið kunnið þegar að margfalda tvílið með einlið! Hér er dæmi:

Dæmi 6.28

Margfaldið: $4 (x + 3) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Dæmi 6.29

Margfaldið: $y (y - 2) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Dæmi 6.30

Margfaldið: $7 x (2 x + y) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Dæmi 6.31

Margfaldið: $−2 y (4 y^{2} + 3 y - 5) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Dæmi 6.32

Margfaldið: $2 x^{3} (x^{2} - 8 x + 1) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Dæmi 6.33

Margfaldið: $(x + 3) p .$

Lausn

Einliðurinn er seinni þátturinn.
Margfaldið inn í svigann.
Einfaldið.

Margfaldið tvílið með tvílið

Rétt eins og hægt er að tákna margföldun talna á mismunandi vegu eru til nokkrar aðferðir til að margfalda tvílið með tvílið. Við byrjum á að nota dreifiregluna.

Margfaldið tvílið með tvílið með dreifireglunni

Skoðið dæmi 6.33, þar sem við margfölduðum tvílið með einlið.


Við margfölduðum p inn í svigann og fengum:
Hvað ef við höfum (x + 7) í stað p?
Margfaldið (x + 7) inn í svigann.
Margfaldið aftur inn í svigann.
Sameinið samkynja liði.

Athugið að áður en samkynja liðir voru sameinaðir voru liðirnir fjórir. Þið margfölduðuð báða liði fyrri tvíliðarins með báðum liðum seinni tvíliðarins—fjórar margfaldanir.

Dæmi 6.34

Margfaldið: $(y + 5) (y + 8) .$

Lausn


Margfaldið (y + 8) inn í svigann.
Margfaldið aftur inn í svigann
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 6.35

Margfaldið: $(2 y + 5) (3 y + 4) .$

Lausn


Margfaldið (3y + 4) inn í svigann.
Margfaldið aftur inn í svigann
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 6.36

Margfaldið: $(4 y + 3) (2 y - 5) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Margfaldið aftur inn í svigann.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 6.37

Margfaldið: $(x - 2) (x - y) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Margfaldið aftur inn í svigann.
Enga samkynja liði er hægt að sameina.

Margfaldið tvílið með tvílið með FOIL-aðferðinni

Munið að þegar tvíliður er margfaldaður með tvílið fást fjórir liðir. Stundum má sameina samkynja liði og fá þrílið, en stundum, eins og í dæmi 6.37, er enga samkynja liði hægt að sameina.

Skoðum síðasta dæmið aftur og athugum sérstaklega hvernig liðirnir fjórir fengust.

\begin{matrix} (x - 2) (x - y) \\ x^{2} - x y - 2 x + 2 y \end{matrix}

Hvaðan kom fyrsti liðurinn, $x^{2}$ ,?

Myndin útskýrir hvernig tvíliðir eru margfaldaðir með FOIL-aðferðinni. Hún hefur tvo dálka, skriflegar leiðbeiningar vinstra megin og stærðfræði hægra megin. Efst í vinstri dálkinum stendur: „Hann er margfeldi x og x, fremstu liðanna í x mínus 2 og x mínus y.“ Í hægri dálkinum er margfeldi x mínus 2 og x mínus y. Ör liggur frá x í x mínus 2 að x í x mínus y. Fyrir neðan stendur „Fremstu“. Í næstu röð stendur vinstra megin: „Næsti liður, mínus xy, er margfeldi x og mínus y, ytri liðanna tveggja.“ Hægra megin er margfeldi x mínus 2 og x mínus y og önnur ör liggur frá x í x mínus 2 að y í x mínus y. Fyrir neðan stendur „Ytri“. Í næstu röð stendur vinstra megin: „Þriðji liðurinn, mínus 2 x, er margfeldi mínus 2 og x, innri liðanna tveggja.“ Hægra megin er margfeldi x mínus 2 og x mínus y og þriðja örin liggur frá mínus 2 í x mínus 2 að x í x mínus y. Fyrir neðan stendur „Innri“. Í síðustu röð stendur vinstra megin: „Síðasti liðurinn, plús 2y, fékkst með því að margfalda öftustu liðina tvo, mínus 2 og mínus y.“ Hægra megin er margfeldi x mínus 2 og x mínus y og fjórða örin liggur frá mínus 2 í x mínus 2 að mínus y í x mínus y. Fyrir neðan stendur „Öftustu“.

Við skammstöfum ensku orðin „First, Outer, Inner, Last“ sem FOIL. Stafirnir standa fyrir „First (fremstu), Outer (ytri), Inner (innri), Last (öftustu)“. Auðvelt er að muna orðið FOIL og það tryggir að við finnum öll fjögur margfeldin.

\begin{matrix} (x - 2) (x - y) \\ \underset{F O I L}{x^{2} - x y - 2 x + 2 y} \end{matrix}

Skoðum $(x + 3) (x + 7)$ .

Dreifiregla	$F O I L$

Athugið hvernig liðirnir í þriðju línu fylgja FOIL-mynstrinu.

Nú leysum við dæmi þar sem FOIL-mynstrið er notað til að margfalda tvo tvíliði.

Dæmi 6.38

Hvernig á að margfalda tvílið með tvílið með FOIL-aðferðinni

Margfaldið með FOIL-aðferðinni: $(x + 5) (x + 9) .$

Lausn

Myndin er tafla með þremur dálkum og fimm röðum. Fyrsti dálkurinn er hausdálkur og inniheldur heiti og númer hvers skrefs. Í öðrum og þriðja dálki er stærðfræði. Í efstu röðinni stendur í fyrsta reitnum vinstra megin: „Skref 1. Margfaldið fremstu liðina.“ Annar dálkurinn sýnir margfeldi tvíliðanna x plús 5 og x plús 9. Fyrir neðan sést margfeldi x plús 5 og x plús 9 aftur og ör liggur frá x í fyrri tvíliðnum að x í seinni tvíliðnum. Þriðji dálkurinn sýnir x í öðru veldi plús auður reitur plús auður reitur plús auður reitur. Undir x í öðru veldi er bókstafurinn F og undir auðu reitunum þremur eru bókstafirnir O, I og L í sömu röð.

Í annarri röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Margfaldið ytri liðina.“ Í öðrum reitnum er aftur margfeldi x plús 5 og x plús 9 og ör liggur frá x í fyrri tvíliðnum að 9 í seinni tvíliðnum. Þriðji reiturinn sýnir x í öðru veldi plús 9x plús auður reitur plús auður reitur, með F undir x í öðru veldi, O undir 9x og I og L undir auðu reitunum tveimur.

Í þriðju röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Margfaldið innri liðina.“ Annar reiturinn sýnir aftur margfeldi x plús 5 og x plús 9 og ör liggur frá 5 í fyrri tvíliðnum að x í seinni tvíliðnum. Þriðji reiturinn sýnir x í öðru veldi plús 9x plús 5x plús auður reitur, með F undir x í öðru veldi, O undir 9x, I undir 5x og L undir auða reitnum.

Í fjórðu röð stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Margfaldið öftustu liðina.“ Í öðrum reitnum er aftur margfeldi x plús 5 og x plús 9 og ör liggur frá 5 í fyrri tvíliðnum að 9 í seinni tvíliðnum. Þriðji reiturinn sýnir x í öðru veldi plús 9x plús 6x plús 45, með F undir x í öðru veldi, O undir 9x, I undir 6x og L undir 45.

Skref FOIL-aðferðarinnar eru tekin saman hér fyrir neðan. FOIL-aðferðin gildir aðeins um margföldun tvíliða en ekki annarra margliða!

Þegar þið margfaldið með FOIL-aðferðinni hjálpar það að draga línurnar; þannig er auðveldara að einbeita sér að mynstrinu og beita því.

Dæmi 6.39

Margfaldið: $(y - 7) (y + 4) .$

Lausn

Myndin hefur þrjá dálka, skriflegar leiðbeiningar í fyrsta dálki og stærðfræði í öðrum og þriðja dálki. Efst stendur í fyrsta dálki: „Margfaldið fremstu liðina.“ Annar dálkurinn sýnir margfeldi tvíliðanna y mínus 7 og y plús 4 og ör liggur frá y í fyrri tvíliðnum að y í seinni tvíliðnum. Þriðji dálkurinn sýnir y í öðru veldi plús auður reitur plús auður reitur plús auður reitur. Undir y í öðru veldi er F og undir auðu reitunum eru O, I og L. Í næstu röð stendur: „Margfaldið ytri liðina.“ Annar dálkurinn sýnir aftur margfeldi y mínus 7 og y plús 4 og önnur ör liggur frá y í fyrri tvíliðnum að 4 í seinni tvíliðnum. Þriðji dálkurinn sýnir y í öðru veldi plús 4y plús auður reitur plús auður reitur. Undir y í öðru veldi er F, undir 4y er O og undir auðu reitunum I og L. Í næstu röð stendur: „Margfaldið innri liðina.“ Miðdálkurinn sýnir aftur margfeldi y mínus 7 og y plús 4 og þriðja örin liggur frá mínus 7 í fyrri tvíliðnum að y í seinni tvíliðnum. Þriðji dálkurinn sýnir y í öðru veldi plús 4y mínus 7y plús auður reitur. Í næstu röð stendur: „Margfaldið öftustu liðina.“ Annar dálkurinn sýnir aftur margfeldi y mínus 7 og y plús 4 og fjórða örin liggur frá mínus 7 í fyrri tvíliðnum að 4 í seinni tvíliðnum. Þriðji dálkurinn sýnir stæðuna í heild, y í öðru veldi plús 4y mínus 7y mínus 28, með hvern staf FOIL undir samsvarandi lið. Neðst stendur í fyrsta dálki: „Sameinið samkynja liði.“ Hægra megin er y í öðru veldi mínus 3y mínus 28.

Dæmi 6.40

Margfaldið: $(4 x + 3) (2 x - 5) .$

Lausn

Myndin hefur þrjá dálka. Efst í öðrum dálki er margfeldi tvíliðanna 4x plús 3 og 2x mínus 5. Í næstu röð stendur í fyrsta dálki: „Margfaldið fremstu liðina. 4x sinnum 2x.“ Annar dálkurinn sýnir 8x í öðru veldi plús auður reitur plús auður reitur plús auður reitur. Undir 8x í öðru veldi er F og undir auðu reitunum eru O, I og L. Í næstu röð stendur: „Margfaldið ytri liðina. 4x sinnum mínus 5.“ Annar dálkurinn sýnir 8x í öðru veldi mínus 20x plús auður reitur plús auður reitur. Undir 8x í öðru veldi er F, undir 20x er O og undir auðu reitunum I og L. Í næstu röð stendur: „Margfaldið innri liðina. 3 sinnum 2x.“ Annar dálkurinn sýnir 8x í öðru veldi mínus 20x plús 6x plús auður reitur. Í næstu röð stendur: „Margfaldið öftustu liðina. 3 sinnum mínus 5.“ Annar dálkurinn sýnir stæðuna í heild, 8x í öðru veldi mínus 20x plús 6x mínus 15, með hvern staf FOIL undir samsvarandi lið. Neðst stendur í fyrsta dálki: „Sameinið samkynja liði.“ Hægra megin er 8x í öðru veldi mínus 14x mínus 15. Í þriðja dálki er aftur margfeldi tvíliðanna 4x plús 3 og 2x mínus 5. Ör liggur frá 4x í fyrri tvíliðnum að 2x í seinni tvíliðnum. Önnur ör liggur frá 4x í fyrri tvíliðnum að mínus 5 í seinni tvíliðnum. Þriðja örin liggur frá 3 í fyrri tvíliðnum að 2x í seinni tvíliðnum. Fjórða örin liggur frá 3 í fyrri tvíliðnum að mínus 5 í seinni tvíliðnum.

Lokamargfeldin í síðustu fjórum dæmunum voru þríliðir vegna þess að leggja mátti saman miðliðina tvo. Þetta á ekki alltaf við.

Dæmi 6.41

Margfaldið: $(3 x - y) (2 x - 5) .$

Lausn



Margfaldið fremstu liðina.
Margfaldið ytri liðina.
Margfaldið innri liðina.
Margfaldið öftustu liðina.
Enga samkynja liði er hægt að sameina.

Gætið sérstaklega að veldisvísunum í næsta dæmi.

Dæmi 6.42

Margfaldið: $(n^{2} + 4) (n - 1) .$

Lausn



Margfaldið fremstu liðina.
Margfaldið ytri liðina.
Margfaldið innri liðina.
Margfaldið öftustu liðina.
Enga samkynja liði er hægt að sameina.

Dæmi 6.43

Margfaldið: $(3 p q + 5) (6 p q - 11) .$

Lausn


Margfaldið fremstu liðina.
Margfaldið ytri liðina.
Margfaldið innri liðina.
Margfaldið öftustu liðina.
Enga samkynja liði er hægt að sameina.

Margfaldið tvílið með tvílið með lóðréttu aðferðinni

FOIL-aðferðin er yfirleitt fljótlegasta leiðin til að margfalda tvo tvíliði en hún virkar aðeins fyrir tvíliði. Nota má dreifiregluna til að finna margfeldi hvaða tveggja margliða sem er. Önnur aðferð sem virkar fyrir allar margliður er lóðrétta aðferðin. Hún líkist mjög aðferðinni sem þið notið til að margfalda núll og jákvæðar heiltölur. Skoðið vel þetta dæmi um margföldun tveggja tveggja stafa talna.

Myndin sýnir lóðrétta margföldun 23 og 46. Talan 23 stendur yfir tölunni 46. Fyrir neðan eru hlutamargfeldið 138 og þar undir hlutamargfeldið 92. Lokamargfeldið, 1058, er neðst. Hægra megin stendur: „Byrjið á að margfalda 23 með 6 og fá 138. Margfaldið síðan 23 með 4 og raðið hlutamargfeldinu í rétta dálka. Að lokum leggið þið hlutamargfeldin saman.“

Nú notum við sömu aðferð til að margfalda tvo tvíliði.

Dæmi 6.44

Margfaldið með lóðréttu aðferðinni: $(3 y - 1) (2 y - 6) .$

Lausn

Það skiptir ekki máli hvor tvíliðurinn er efst.

$\begin{matrix} \begin{matrix} Margfaldið 3 y - 1 með −6 . \\ Margfaldið 3 y - 1 með 2y. \\ Sameinið samkynja liði. \end{matrix} & \begin{matrix} 3 y - 1 \\ \underset{________}{\times 2 y - 6} \\ −18 y + 6 \\ \underset{_____________}{6 y^{2} - 2 y} \\ 6 y^{2} - 20 y + 6 \end{matrix} & \begin{matrix} hlutmargfeldi \\ hlutmargfeldi \\ margfeldi \end{matrix} \end{matrix}$

Athugið að hlutamargfeldin eru sömu liðir og fást með FOIL-aðferðinni.

Myndin hefur tvo dálka. Í vinstri dálkinum er margfeldi tvíliðanna 3y mínus 1 og 2y mínus 6. Fyrir neðan stendur 6y í öðru veldi mínus 2y mínus 18y plús 6. Þar fyrir neðan stendur 6y í öðru veldi mínus 20y plús 6. Í hægri dálkinum er lóðrétt margföldun 3y mínus 1 og 2y mínus 6. Fyrir neðan er hlutamargfeldið mínus 18y plús 6. Þar fyrir neðan er hlutamargfeldið 6y í öðru veldi mínus 2y. Neðst stendur 6y í öðru veldi mínus 20y plús 6.

Við höfum nú notað þrjár aðferðir til að margfalda tvíliði. Æfið allar aðferðirnar og reynið að ákveða hver þeirra hentar ykkur best. Þær eru teknar saman hér til að auðvelda ykkur að muna þær.

Margfaldið þrílið með tvílið

Við höfum margfaldað einliði með einliðum, einliði með margliðum og tvíliði með tvíliðum. Nú erum við tilbúin að margfalda þrílið með tvílið. Munið að FOIL virkar ekki í þessu tilviki en nota má annaðhvort dreifiregluna eða lóðréttu aðferðina. Fyrst skoðum við dæmi þar sem dreifireglan er notuð.

Dæmi 6.45

Margfaldið með dreifireglunni: $(b + 3) (2 b^{2} - 5 b + 8) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigann.
Margfaldið.
Sameinið samkynja liði.

Nú framkvæmum við sömu margföldun með lóðréttu aðferðinni.

Dæmi 6.46

Margfaldið með lóðréttu aðferðinni: $(b + 3) (2 b^{2} - 5 b + 8) .$

Lausn

Auðveldara er að setja margliðuna með færri liðum neðst, því þannig fást færri hlutamargfeldi.

Margfaldið (2b2 − 5b + 8) með 3.
Margfaldið (2b2 − 5b + 8) með b.
Leggið saman samkynja liði.

Við höfum nú séð tvær aðferðir til að margfalda þrílið með tvílið. Eftir að þið hafið æft báðar aðferðirnar finnið þið líklega að önnur hentar ykkur betur. Báðar eru teknar saman hér til hægðarauka.

Verkefni úr hluta 6.3

Æfingin skapar meistarann

Margfaldið margliðu með einlið

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda.

173.

$4 (w + 10)$

174.

$6 (b + 8)$

175.

$−3 (a + 7)$

176.

$−5 (p + 9)$

177.

$2 (x - 7)$

178.

$7 (y - 4)$

179.

$−3 (k - 4)$

180.

$−8 (j - 5)$

181.

$q (q + 5)$

182.

$k (k + 7)$

183.

$− b (b + 9)$

184.

$− y (y + 3)$

185.

$− x (x - 10)$

186.

$− p (p - 15)$

187.

$6 r (4 r + s)$

188.

$5 c (9 c + d)$

189.

$12 x (x - 10)$

190.

$9 m (m - 11)$

191.

$−9 a (3 a + 5)$

192.

$−4 p (2 p + 7)$

193.

$3 (p^{2} + 10 p + 25)$

194.

$6 (y^{2} + 8 y + 16)$

195.

$−8 x (x^{2} + 2 x - 15)$

196.

$−5 t (t^{2} + 3 t - 18)$

197.

$5 q^{3} (q^{3} - 2 q + 6)$

198.

$4 x^{3} (x^{4} - 3 x + 7)$

199.

$−8 y (y^{2} + 2 y - 15)$

200.

$−5 m (m^{2} + 3 m - 18)$

201.

$5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)$

202.

$9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)$

203.

$−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)$

204.

$−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)$

205.

$(2 m - 9) m$

206.

$(8 j - 1) j$

207.

$(w - 6) \cdot 8$

208.

$(k - 4) \cdot 5$

209.

$4 (x + 10)$

210.

$6 (y + 8)$

211.

$15 (r - 24)$

212.

$12 (v - 30)$

213.

$−3 (m + 11)$

214.

$−4 (p + 15)$

215.

$−8 (z - 5)$

216.

$−3 (x - 9)$

217.

$u (u + 5)$

218.

$q (q + 7)$

219.

$n (n^{2} - 3 n)$

220.

$s (s^{2} - 6 s)$

221.

$6 x (4 x + y)$

222.

$5 a (9 a + b)$

223.

$5 p (11 p - 5 q)$

224.

$12 u (3 u - 4 v)$

225.

$3 (v^{2} + 10 v + 25)$

226.

$6 (x^{2} + 8 x + 16)$

227.

$2 n (4 n^{2} - 4 n + 1)$

228.

$3 r (2 r^{2} - 6 r + 2)$

229.

$−8 y (y^{2} + 2 y - 15)$

230.

$−5 m (m^{2} + 3 m - 18)$

231.

$5 q^{3} (q^{2} - 2 q + 6)$

232.

$9 r^{3} (r^{2} - 3 r + 5)$

233.

$−4 z^{2} (3 z^{2} + 12 z - 1)$

234.

$−3 x^{2} (7 x^{2} + 10 x - 1)$

235.

$(2 y - 9) y$

236.

$(8 b - 1) b$

Margfaldið tvílið með tvílið

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda tvíliðina með: ⓐ dreifireglunni ⓑ FOIL-aðferðinni ⓒ lóðréttu aðferðinni.

237.

$(w + 5) (w + 7)$

238.

$(y + 9) (y + 3)$

239.

$(p + 11) (p - 4)$

240.

$(q + 4) (q - 8)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda tvíliðina. Notið hvaða aðferð sem er.

241.

$(x + 8) (x + 3)$

242.

$(y + 7) (y + 4)$

243.

$(y - 6) (y - 2)$

244.

$(x - 7) (x - 2)$

245.

$(w - 4) (w + 7)$

246.

$(q - 5) (q + 8)$

247.

$(p + 12) (p - 5)$

248.

$(m + 11) (m - 4)$

249.

$(6 p + 5) (p + 1)$

250.

$(7 m + 1) (m + 3)$

251.

$(2 t - 9) (10 t + 1)$

252.

$(3 r - 8) (11 r + 1)$

253.

$(5 x - y) (3 x - 6)$

254.

$(10 a - b) (3 a - 4)$

255.

$(a + b) (2 a + 3 b)$

256.

$(r + s) (3 r + 2 s)$

257.

$(4 z - y) (z - 6)$

258.

$(5 x - y) (x - 4)$

259.

$(x^{2} + 3) (x + 2)$

260.

$(y^{2} - 4) (y + 3)$

261.

$(x^{2} + 8) (x^{2} - 5)$

262.

$(y^{2} - 7) (y^{2} - 4)$

263.

$(5 a b - 1) (2 a b + 3)$

264.

$(2 x y + 3) (3 x y + 2)$

265.

$(6 p q - 3) (4 p q - 5)$

266.

$(3 r s - 7) (3 r s - 4)$

Margfaldið þrílið með tvílið

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda með ⓐ dreifireglunni ⓑ lóðréttu aðferðinni.

267.

$(x + 5) (x^{2} + 4 x + 3)$

268.

$(u + 4) (u^{2} + 3 u + 2)$

269.

$(y + 8) (4 y^{2} + y - 7)$

270.

$(a + 10) (3 a^{2} + a - 5)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið margfalda. Notið aðra hvora aðferðina.

271.

$(w - 7) (w^{2} - 9 w + 10)$

272.

$(p - 4) (p^{2} - 6 p + 9)$

273.

$(3 q + 1) (q^{2} - 4 q - 5)$

274.

$(6 r + 1) (r^{2} - 7 r - 9)$

Blönduð verkefni

275.

$(10 y - 6) + (4 y - 7)$

276.

$(15 p - 4) + (3 p - 5)$

277.

$(x^{2} - 4 x - 34) - (x^{2} + 7 x - 6)$

278.

$(j^{2} - 8 j - 27) - (j^{2} + 2 j - 12)$

279.

$5 q (3 q^{2} - 6 q + 11)$

280.

$8 t (2 t^{2} - 5 t + 6)$

281.

$(s - 7) (s + 9)$

282.

$(x - 5) (x + 13)$

283.

$(y^{2} - 2 y) (y + 1)$

284.

$(a^{2} - 3 a) (4 a + 5)$

285.

$(3 n - 4) (n^{2} + n - 7)$

286.

$(6 k - 1) (k^{2} + 2 k - 4)$

287.

$(7 p + 10) (7 p - 10)$

288.

$(3 y + 8) (3 y - 8)$

289.

$(4 m^{2} - 3 m - 7) m^{2}$

290.

$(15 c^{2} - 4 c + 5) c^{4}$

291.

$(5 a + 7 b) (5 a + 7 b)$

292.

$(3 x - 11 y) (3 x - 11 y)$

293.

$(4 y + 12 z) (4 y - 12 z)$

Stærðfræði daglegs lífs

294.

Hugarreikningur Nota má margföldun tvíliða til að margfalda tölur án reiknivélar. Segjum að þið þurfið að margfalda 13 með 15. Lítið á 13 sem $10 + 3$ og 15 sem $10 + 5$ .

ⓐ Margfaldið $(10 + 3) (10 + 5)$ með FOIL-aðferðinni.
ⓑ Margfaldið $13 \cdot 15$ án þess að nota reiknivél.

295.

Hugarreikningur Nota má margföldun tvíliða til að margfalda tölur án reiknivélar. Segjum að þið þurfið að margfalda 18 með 17. Lítið á 18 sem $20 - 2$ og 17 sem $20 - 3$ .

ⓐ Margfaldið $(20 - 2) (20 - 3)$ með FOIL-aðferðinni.
ⓑ Margfaldið $18 \cdot 17$ án þess að nota reiknivél.

Ritunarverkefni

296.

Hvaða aðferð kjósið þið við margföldun tveggja tvíliða: dreifiregluna, FOIL-aðferðina eða lóðréttu aðferðina? Hvers vegna?

297.

Hvaða aðferð kjósið þið við margföldun þríliðar með tvílið: dreifiregluna eða lóðréttu aðferðina? Hvers vegna?

298.

Margfaldið eftirfarandi:

$\begin{matrix} (x + 2) (x - 2) \\ (y + 7) (y - 7) \\ (w + 5) (w - 5) \end{matrix}$

Útskýrið mynstrið sem þið sjáið í svörunum.

299.

Margfaldið eftirfarandi:

$\begin{matrix} (m - 3) (m + 3) \\ (n - 10) (n + 10) \\ (p - 8) (p + 8) \end{matrix}$

Útskýrið mynstrið sem þið sjáið í svörunum.

300.

Margfaldið eftirfarandi:

$\begin{matrix} (p + 3) (p + 3) \\ (q + 6) (q + 6) \\ (r + 1) (r + 1) \end{matrix}$

Útskýrið mynstrið sem þið sjáið í svörunum.

301.

Margfaldið eftirfarandi:

$\begin{matrix} (x - 4) (x - 4) \\ (y - 1) (y - 1) \\ (z - 7) (z - 7) \end{matrix}$

Útskýrið mynstrið sem þið sjáið í svörunum.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Taflan hefur fjórar raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er hausaröð og í reitunum stendur frá vinstri til hægri: „Ég get…“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei—ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur: „margfaldað margliðu með einlið“, „margfaldað tvílið með tvílið“ og „margfaldað þrílið með tvílið“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um tök ykkar á efni þessa hluta? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?