66 Margliður

6.1 Leggið saman og dragið frá margliður

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

borið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði
ákvarðað stig margliða
lagt saman og dregið frá einliði
lagt saman og dregið frá margliður
reiknað gildi margliðu fyrir gefið gildi

Berið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði

Þið hafið lært að liður er fasti eða margfeldi fasta og einnar eða fleiri breyta. Fastinn kallast stuðull. Liður af gerðinni $a x^{m}$ , þar sem $a$ er fasti og $m$ heil tala sem er ekki neikvæð, kallast einliður. Dæmi um einliði eru $8, −2 x^{2}, 4 y^{3}, og 11 z^{7}$ .

Einliður, eða tveir eða fleiri einliðir tengdir með samlagningu eða frádrætti, mynda margliðu. Sumar margliður bera sérstök heiti eftir fjölda liða. Einliður hefur nákvæmlega einn lið, tvíliður tvo liði og þríliður þrjá liði. Margliður með fleiri en þrjá liði bera engin sérstök heiti.

Hér eru nokkur dæmi um margliður.

$\begin{matrix} Margliða & b + 1 & 4 y^{2} - 7 y + 2 & 4 x^{4} + x^{3} + 8 x^{2} - 9 x + 1 \\ Einliða & 14 & 8 y^{2} & −9 x^{3} y^{5} & −13 \\ Tvíliða & a + 7 & 4 b - 5 & y^{2} - 16 & 3 x^{3} - 9 x^{2} \\ Þríliða & x^{2} - 7 x + 12 & 9 y^{2} + 2 y - 8 & 6 m^{4} - m^{3} + 8 m & z^{4} + 3 z^{2} - 1 \end{matrix}$

Athugið að sérhver einliður, tvíliður og þríliður er einnig margliða. Þetta eru sérstakir meðlimir í „fjölskyldu“ margliða og bera því sérstök heiti. Við notum orðin einliður, tvíliður, og þríliður um þessar sérstöku margliður en köllum allar hinar einfaldlega margliður.

Dæmi 6.1

Ákvarðið hvort hver margliða sé einliður, tvíliður, þríliður eða annars konar margliða.

ⓐ $4 y^{2} - 8 y - 6$
ⓑ $−5 a^{4} b^{2}$
ⓒ $2 x^{5} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x + 4$
ⓓ $13 - 5 m^{3}$
ⓔ $q$

Lausn

	Margliða	Fjöldi liða	Gerð
ⓐ	4 y² − 8 y − 6	3	Þríliður
ⓑ	−5 a⁴ b²	1	Einliður
ⓒ	2 x⁵ − 5 x³ − 9 x² + 3 x + 4	5	Margliða
ⓓ	13 − 5 m³	2	Tvíliður
ⓔ	q	1	Einliður

Ákvarðið stig margliða

Veldisvísar breytunnar ákvarða stig margliðu og stig liða hennar.

Sá einliður sem hefur enga breytu heldur aðeins fasta er sértilvik. Stig fasta er 0—hann hefur enga breytu.

Skoðum nokkrar margliður til að sjá hvernig þetta virkar. Við förum skref fyrir skref, byrjum á einliðum og höldum síðan áfram að margliðum með fleiri liðum.

Taflan hefur 11 raðir og 5 dálka. Fyrsti dálkurinn er hausdálkur sem gefur hverri röð heiti. Fyrsta röðin heitir „Einliður“ og hver reitur í henni inniheldur annan einlið. Önnur röðin heitir „Stig“ og hver reitur í henni sýnir stig einliðarins fyrir ofan. Stig 14 er 0, stig 8y í öðru veldi er 2, stig mínus 9x í þriðja veldi sinnum y í fimmta veldi er 8 og stig mínus 13a er 1. Þriðja röðin heitir „Tvíliður“ og hver reitur í henni inniheldur annan tvílið. Fjórða röðin heitir „Stig hvers liðar“ og hver reitur sýnir stig liðanna tveggja í tvíliðnum fyrir ofan. Fimmta röðin heitir „Stig margliðu“ og hver reitur sýnir stig tvíliðarins í heild. Stig liðanna í a plús 7 eru 0 og 1 og stig tvíliðarins í heild er 1. Stig liðanna í 4b í öðru veldi mínus 5b eru 2 og 1 og stig tvíliðarins í heild er 2. Stig liðanna í x í öðru veldi sinnum y í öðru veldi mínus 16 eru 4 og 0 og stig tvíliðarins í heild er 4. Stig liðanna í 3n í þriðja veldi mínus 9n í öðru veldi eru 3 og 2 og stig tvíliðarins í heild er 3. Sjötta röðin heitir „Þríliður“ og hver reitur í henni inniheldur annan þrílið. Sjöunda röðin heitir „Stig hvers liðar“ og hver reitur sýnir stig liðanna þriggja í þríliðnum fyrir ofan. Áttunda röðin heitir „Stig margliðu“ og hver reitur sýnir stig þríliðarins í heild. Stig liðanna í x í öðru veldi mínus 7x plús 12 eru 2, 1 og 0 og stig þríliðarins í heild er 2. Stig liðanna í 9a í öðru veldi plús 6ab plús b í öðru veldi eru 2, 2 og 2 og stig þríliðarins í heild er 2. Stig liðanna í 6m í fjórða veldi mínus m í þriðja veldi sinnum n í öðru veldi plús 8mn í fimmta veldi eru 4, 5 og 6 og stig þríliðarins í heild er 6. Stig liðanna í z í fjórða veldi plús 3z í öðru veldi mínus 1 eru 4, 2 og 0 og stig þríliðarins í heild er 4. Níunda röðin heitir „Margliða“ og hver reitur inniheldur aðra margliðu. Tíunda röðin heitir „Stig hvers liðar“ og ellefta röðin „Stig margliðu“. Stig liðanna í b plús 1 eru 1 og 0 og stig margliðunnar í heild er 1. Stig liðanna í 4y í öðru veldi mínus 7y plús 2 eru 2, 1 og 0 og stig margliðunnar í heild er 2. Stig liðanna í 4x í fjórða veldi plús x í þriðja veldi plús 8x í öðru veldi mínus 9x plús 1 eru 4, 3, 2, 1 og 0 og stig margliðunnar í heild er 4.

Margliða er á staðalformi þegar liðir hennar eru ritaðir í lækkandi röð eftir stigi. Venjið ykkur á að rita liðinn með hæsta stigið fyrst.

Dæmi 6.2

Finnið stig eftirfarandi margliða.

ⓐ $10 y$
ⓑ $4 x^{3} - 7 x + 5$
ⓒ $−15$
ⓓ $−8 b^{2} + 9 b - 2$
ⓔ $8 x y^{2} + 2 y$

Lausn

ⓐ Veldisvísir y er einn. y = y¹	10 y Stigið er 1.
ⓑ Hæsta stig allra liðanna er 3.	4 x³ − 7 x + 5 Stigið er 3.
ⓒ Stig fasta er 0.	−15 Stigið er 0.
ⓓ Hæsta stig allra liðanna er 2.	−8 b² + 9 b − 2 Stigið er 2.
ⓔ Hæsta stig allra liðanna er 3.	8 x y² + 2 y Stigið er 3.

Leggið saman og dragið frá einliði

Þið hafið lært að einfalda stæður með því að sameina samkynja liði. Munið að samkynja liðir verða að hafa sömu breytur með sömu veldisvísum. Þar sem einliðir eru liðir jafngildir samlagning og frádráttur einliða því að sameina samkynja liði. Ef einliðirnir eru samkynja sameinum við þá með því að leggja stuðlana saman eða draga þá frá.

Dæmi 6.3

Leggið saman: $25 y^{2} + 15 y^{2}$ .

Lausn

	25 y² + 15 y²
Sameinið samkynja liði.	40 y 2

Dæmi 6.4

Dragið frá: $16 p - (−7 p)$ .

Lausn

	16 p − ( −7 p )
Sameinið samkynja liði.	23 p

Munið að samkynja liðir verða að hafa sömu breytur með sömu veldisvísum.

Dæmi 6.5

Einfaldið: $c^{2} + 7 d^{2} - 6 c^{2}$ .

Lausn

	c² + 7 d² − 6 c²
Sameinið samkynja liði.	−5 c² + 7 d²

Dæmi 6.6

Einfaldið: $u^{2} v + 5 u^{2} - 3 v^{2}$ .

Lausn

	u² v + 5 u² − 3 v²
Enga samkynja liði er hægt að sameina.	u² v + 5 u² − 3 v²

Leggið saman og dragið frá margliður

Líta má á samlagningu og frádrátt margliða sem samlagningu og frádrátt runu einliða. Leitið að samkynja liðum, það er liðum með sömu breytur og sömu veldisvísa. Víxlreglan gerir okkur kleift að endurraða liðunum svo að samkynja liðir standi saman.

Dæmi 6.7

Finnið summuna: $(5 y^{2} - 3 y + 15) + (3 y^{2} - 4 y - 11) .$

Lausn

Berið kennsl á samkynja liði.
Endurraðið svo að samkynja liðir standi saman.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 6.8

Finnið mismuninn: $(9 w^{2} - 7 w + 5) - (2 w^{2} - 4) .$

Lausn


Margfaldið inn í svigana og berið kennsl á samkynja liði.
Endurraðið liðunum.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 6.9

Dragið $(c^{2} - 4 c + 7)$ frá $(7 c^{2} - 5 c + 3)$ .

Lausn



Margfaldið inn í svigana og berið kennsl á samkynja liði.
Endurraðið liðunum.
Sameinið samkynja liði.

Dæmi 6.10

Finnið summuna: $(u^{2} - 6 u v + 5 v^{2}) + (3 u^{2} + 2 u v)$ .

Lausn

	( u² − 6 u v + 5 v² ) + ( 3 u² + 2 u v )
Margfaldið inn í svigann.	u² − 6 u v + 5 v² + 3 u² + 2 u v
Endurraðið liðunum svo að samkynja liðir standi saman.	u² + 3 u² − 6 u v + 2 u v + 5 v²
Sameinið samkynja liði.	4 u² − 4 u v + 5 v²

Dæmi 6.11

Finnið mismuninn: $(p^{2} + q^{2}) - (p^{2} + 10 p q - 2 q^{2})$ .

Lausn

	( p² + q² ) − ( p² + 10 p q − 2 q² )
Margfaldið inn í svigann.	p² + q² − p² − 10 p q + 2 q²
Endurraðið liðunum svo að samkynja liðir standi saman.	p² − p² − 10 p q + q² + 2 q²
Sameinið samkynja liði.	−10 p q + 3 q²

Dæmi 6.12

Einfaldið: $(a^{3} - a^{2} b) - (a b^{2} + b^{3}) + (a^{2} b + a b^{2})$ .

Lausn

	( a³ − a² b ) − ( a b² + b³ ) + ( a² b + a b² )
Margfaldið inn í svigann.	a³ − a² b − a b² − b³ + a² b + a b²
Endurraðið liðunum svo að samkynja liðir standi saman.	a³ − a² b + a² b − a b² + a b² − b³
Sameinið samkynja liði.	a³ − b³

Reiknið gildi margliðu fyrir gefið gildi

Við höfum þegar lært að reikna gildi stæða. Þar sem margliður eru stæður notum við sömu aðferð til að reikna gildi margliðu. Við setjum gefna gildið inn fyrir breytuna og einföldum síðan samkvæmt forgangsröð reikniaðgerða.

Dæmi 6.13

Reiknið gildi $5 x^{2} - 8 x + 4$ þegar

ⓐ $x = 4$
ⓑ $x = −2$
ⓒ $x = 0$

Lausn

ⓐ x = 4


Reiknið veldin.
Margfaldið.
Einfaldið.

ⓑ x = −2


Reiknið veldin.
Margfaldið.
Einfaldið.

ⓒ x = 0


Reiknið veldin.
Margfaldið.
Einfaldið.

Dæmi 6.14

Margliðan $−16 t^{2} + 250$ gefur hæð bolta $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt af 250 feta hárri byggingu. Finnið hæðina eftir $t = 2$ sekúndur.

Lausn

	−16 t² + 250
Setjið inn t = 2.	−16 ( 2 ) 2 + 250
Einfaldið.	−16 · 4 + 250
Einfaldið.	−64 + 250
Einfaldið.	186
	Eftir 2 sekúndur er boltinn í 186 feta hæð.

Dæmi 6.15

Margliðan $6 x^{2} + 15 x y$ gefur kostnað í dollurum við að framleiða rétthyrndan kassa. Botn og lok hans eru ferningar með hliðarlengdina x fet og hliðarveggirnir eru y fet á hæð. Finnið kostnaðinn við að framleiða kassa þar sem $x = 4$ fet og $y = 6$ fet.

Lausn



Einfaldið.
Einfaldið.
Einfaldið.
	Það kostar $456 að framleiða kassann.

Verkefni úr hluta 6.1

Æfingin skapar meistarann

Berið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða hvort hver margliða sé einliður, tvíliður, þríliður eða annars konar margliða.

ⓐ $81 b^{5} - 24 b^{3} + 1$ ⓑ $5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8$ ⓒ $\frac{14}{15} y + \frac{1}{7}$
ⓓ 5
ⓔ $4 y + 17$

ⓐ $x^{2} - y^{2}$ ⓑ $−13 c^{4}$ ⓒ $x^{2} + 5 x - 7$ ⓓ $x^{2} y^{2} - 2 x y + 8$ ⓔ 19

ⓐ $8 - 3 x$ ⓑ $z^{2} - 5 z - 6$ ⓒ $y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16$ ⓓ $81 b^{5} - 24 b^{3} + 1$ ⓔ $−18$

ⓐ $11 y^{2}$ ⓑ $−73$ ⓒ $6 x^{2} - 3 x y + 4 x - 2 y + y^{2}$ ⓓ $4 y + 17$ ⓔ $5 c^{3} + 11 c^{2} - c - 8$

Ákvarðið stig margliða

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið ákvarða stig hverrar margliðu.

ⓐ $6 a^{2} + 12 a + 14$ ⓑ $18 x y^{2} z$ ⓒ $5 x + 2$ ⓓ $y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16$ ⓔ $−24$

ⓐ $9 y^{3} - 10 y^{2} + 2 y - 6$ ⓑ $−12 p^{4}$ ⓒ $a^{2} + 9 a + 18$ ⓓ $20 x^{2} y^{2} - 10 a^{2} b^{2} + 30$ ⓔ 17

ⓐ $14 - 29 x$ ⓑ $z^{2} - 5 z - 6$ ⓒ $y^{3} - 8 y^{2} + 2 y - 16$ ⓓ $23 a b^{2} - 14$ ⓔ $−3$

ⓐ $62 y^{2}$ ⓑ 15 ⓒ $6 x^{2} - 3 x y + 4 x - 2 y + y^{2}$ ⓓ $10 - 9 x$ ⓔ $m^{4} + 4 m^{3} + 6 m^{2} + 4 m + 1$

Leggið saman og dragið frá einliði

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leggja einliðina saman eða draga þá frá.

${7x}^{2} + 5 x^{2}$

10.

${4y}^{3} + 6 y^{3}$

11.

$−12 w + 18 w$

12.

$−3 m + 9 m$

13.

$4a - 9 a$

14.

$− y - 5 y$

15.

$28 x - (−12 x)$

16.

$13 z - (−4 z)$

17.

$−5 b - 17 b$

18.

$−10 x - 35 x$

19.

$12 a + 5 b - 22 a$

20.

$14x - 3 y - 13 x$

21.

$2 a^{2} + b^{2} - 6 a^{2}$

22.

$5 u^{2} + 4 v^{2} - 6 u^{2}$

23.

$x y^{2} - 5 x - 5 y^{2}$

24.

$p q^{2} - 4 p - 3 q^{2}$

25.

$a^{2} b - 4 a - 5 a b^{2}$

26.

$x^{2} y - 3 x + 7 x y^{2}$

27.

$12a + 8 b$

28.

$19y + 5 z$

29.

Leggið saman: $4 a, −3 b, −8 a$

30.

Leggið saman: $4x, 3 y, −3 x$

31.

Dragið frá $5 x^{6} frá - 12 x^{6}$ .

32.

Dragið frá $2 p^{4} frá - 7 p^{4}$ .

Leggið saman og dragið frá margliður

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið leggja margliðurnar saman eða draga þær frá.

33.

$(5 y^{2} + 12 y + 4) + (6 y^{2} - 8 y + 7)$

34.

$(4 y^{2} + 10 y + 3) + (8 y^{2} - 6 y + 5)$

35.

$(x^{2} + 6 x + 8) + (−4 x^{2} + 11 x - 9)$

36.

$(y^{2} + 9 y + 4) + (−2 y^{2} - 5 y - 1)$

37.

$(8 x^{2} - 5 x + 2) + (3 x^{2} + 3)$

38.

$(7 x^{2} - 9 x + 2) + (6 x^{2} - 4)$

39.

$(5 a^{2} + 8) + (a^{2} - 4 a - 9)$

40.

$(p^{2} - 6 p - 18) + (2 p^{2} + 11)$

41.

$(4 m^{2} - 6 m - 3) - (2 m^{2} + m - 7)$

42.

$(3 b^{2} - 4 b + 1) - (5 b^{2} - b - 2)$

43.

$(a^{2} + 8 a + 5) - (a^{2} - 3 a + 2)$

44.

$(b^{2} - 7 b + 5) - (b^{2} - 2 b + 9)$

45.

$(12 s^{2} - 15 s) - (s - 9)$

46.

$(10 r^{2} - 20 r) - (r - 8)$

47.

Dragið $(9 x^{2} + 2)$ frá $(12 x^{2} - x + 6)$ .

48.

Dragið $(5 y^{2} - y + 12)$ frá $(10 y^{2} - 8 y - 20)$ .

49.

Dragið $(7 w^{2} - 4 w + 2)$ frá $(8 w^{2} - w + 6)$ .

50.

Dragið $(5 x^{2} - x + 12)$ frá $(9 x^{2} - 6 x - 20)$ .

51.

Finnið summu $(2 p^{3} - 8)$ og $(p^{2} + 9 p + 18)$ .

52.

Finnið summu
$(q^{2} + 4 q + 13)$ og $(7 q^{3} - 3)$ .

53.

Finnið summu $(8 a^{3} - 8 a)$ og $(a^{2} + 6 a + 12)$ .

54.

Finnið summu
$(b^{2} + 5 b + 13)$ og $(4 b^{3} - 6)$ .

55.

Finnið mismun
$(w^{2} + w - 42)$ og
$(w^{2} - 10 w + 24)$ .

56.

Finnið mismun
$(z^{2} - 3 z - 18)$ og
$(z^{2} + 5 z - 20)$ .

57.

Finnið mismun
$(c^{2} + 4 c - 33)$ og
$(c^{2} - 8 c + 12)$ .

58.

Finnið mismun
$(t^{2} - 5 t - 15)$ og
$(t^{2} + 4 t - 17)$ .

59.

$(7 x^{2} - 2 x y + 6 y^{2}) + (3 x^{2} - 5 x y)$

60.

$(−5 x^{2} - 4 x y - 3 y^{2}) + (2 x^{2} - 7 x y)$

61.

$(7 m^{2} + m n - 8 n^{2}) + (3 m^{2} + 2 m n)$

62.

$(2 r^{2} - 3 r s - 2 s^{2}) + (5 r^{2} - 3 r s)$

63.

$(a^{2} - b^{2}) - (a^{2} + 3 a b - 4 b^{2})$

64.

$(m^{2} + 2 n^{2}) - (m^{2} - 8 m n - n^{2})$

65.

$(u^{2} - v^{2}) - (u^{2} - 4 u v - 3 v^{2})$

66.

$(j^{2} - k^{2}) - (j^{2} - 8 j k - 5 k^{2})$

67.

$(p^{3} - 3 p^{2} q) + (2 p q^{2} + 4 q^{3}) - (3 p^{2} q + p q^{2})$

68.

$(a^{3} - 2 a^{2} b) + (a b^{2} + b^{3}) - (3 a^{2} b + 4 a b^{2})$

69.

$(x^{3} - x^{2} y) - (4 x y^{2} - y^{3}) + (3 x^{2} y - x y^{2})$

70.

$(x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2} - 3 y^{3}) - (x^{2} y - 4 x y^{2})$

Reiknið gildi margliðu fyrir gefið gildi

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið reikna gildi hverrar margliðu fyrir gefið gildi.

71.

Reiknið gildi $8 y^{2} - 3 y + 2$ þegar:

72.

Reiknið gildi $5 y^{2} - y - 7$ þegar:

73.

Reiknið gildi $4 - 36 x$ þegar:

74.

Reiknið gildi $16 - 36 x^{2}$ þegar:

75.

Málari missir pensil af 75 feta háum palli. Margliðan $−16 t^{2} + 75$ gefur hæð pensilsins $t$ sekúndum eftir að hann féll. Finnið hæðina eftir $t = 2$ sekúndur.

76.

Stúlka sleppir bolta fram af kletti niður í sjó. Margliðan $−16 t^{2} + 250$ gefur hæð boltans $t$ sekúndum eftir að honum er sleppt af 250 feta háum kletti. Finnið hæðina eftir $t = 2$ sekúndur.

77.

Framleiðandi hljómtækjahátalara hefur komist að því að tekjur af sölu hátalara á p dollara stykkið fást með margliðunni $−4 p^{2} + 420 p .$ Finnið tekjurnar þegar $p = 60$ .

78.

Framleiðandi nýjustu körfuboltaskónna hefur komist að því að tekjur af sölu skóparanna á p dollara parið fást með margliðunni $−4 p^{2} + 420 p .$ Finnið tekjurnar þegar $p = 90$ .

Stærðfræði daglegs lífs

79.

Eldsneytisnýting Eldsneytisnýting bíls, í mílum á gallon, þegar ekið er á hraðanum $x$ mílur á klukkustund er gefin með margliðunni $- \frac{1}{150} x^{2} + \frac{1}{3} x$ . Finnið eldsneytisnýtinguna þegar $x = 30 mílur/klst.$ .

80.

Stöðvunarvegalengd Fjöldi feta sem þarf til að stöðva bíl sem ekið er á hraðanum $x$ mílur á klukkustund á þurru, sléttu steinsteyptu yfirborði er gefinn með margliðunni $0.06 x^{2} + 1.1 x$ . Finnið stöðvunarvegalengdina þegar $x = 40 mílur/klst.$ .

81.

Leigukostnaður Kostnaður við að leigja teppahreinsivél í $d$ daga er gefinn með margliðunni $5.50 d + 25$ . Finnið kostnaðinn við að leigja vélina í 6 daga.

82.

Hæð skotins hlutar Hæð hlutar sem skotið er upp, mæld í fetum, er gefin með margliðunni $−16 t^{2} + 60 t + 90$ þar sem $t$ táknar tíma í sekúndum. Finnið hæðina eftir $t = 2.5$ sekúndur.

83.

Umreikningur hitastigs Hitastig í Fahrenheit-gráðum er gefið með margliðunni $\frac{9}{5} c + 32$ þar sem $c$ táknar hitastig í Celsíusgráðum. Finnið hitastigið í Fahrenheit-gráðum þegar $c = 65 ° .$

Ritunarverkefni

84.

Útskýrið með eigin orðum muninn á einlið, tvílið og þrílið.

85.

Útskýrið með eigin orðum muninn á margliðu með fimm liðum og margliðu af stigi 5.

86.

Ariana telur að summan $6 y^{2} + 5 y^{4}$ sé $11 y^{6}$ . Hvað er rangt við röksemdafærslu hennar?

87.

Jonathan telur að $\frac{1}{3}$ og $\frac{1}{x}$ séu bæði einliðir. Hvað er rangt við röksemdafærslu hans?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

Taflan hefur sex raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er hausaröð og í reitunum stendur frá vinstri til hægri: „Ég get…“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei—ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur: „borið kennsl á margliður, einliði, tvíliði og þríliði“, „ákvarðað stig margliða“, „lagt saman og dregið frá einliði“, „lagt saman og dregið frá margliður“ og „reiknað gildi margliðu fyrir gefið gildi“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:

… af öryggi. Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Íhugið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum viðfangsefnum? Nefnið tiltekin atriði.

… með nokkurri hjálp. Bregðast þarf fljótt við því viðfangsefni sem þið hafið ekki náð tökum á geta orðið hindranir á leiðinni að árangri. Í stærðfræði byggir hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en haldið er áfram. Hvern getið þið beðið um aðstoð? Samnemendur og kennarinn eru góðir aðilar til að leita til. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru tiltækir? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

…nei—ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Þið skuluð leita hjálpar tafarlaust, annars getur námsefnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið stöðuna við kennarann eins fljótt og auðið er. Saman getið þið gert áætlun um að fá þá aðstoð sem þið þurfið.