Margföldun er stytting fyrir endurtekna samlagningu og því má auðveldlega nota líkanið okkar til að sýna margföldun heiltalna. Skoðum þetta áþreifanlega líkan til að sjá hvaða mynstur koma í ljós. Við notum sömu dæmi og áður við samlagningu og frádrátt. Hér notum við líkanið aðeins til að hjálpa okkur að greina mynstrið.
Við munum að merkir að leggja a saman b sinnum.
Næstu tvö dæmi eru áhugaverðari.
Hvað merkir að margfalda 5 með Það merkir að draga 5 frá, 3 sinnum. Ef frádráttur er túlkaður sem „að taka burt“ merkir það að taka 5 burt, 3 sinnum. En þar sem ekkert er til að taka burt byrjum við á því að bæta núllpörum á vinnusvæðið. Síðan tökum við 5 burt þrisvar.
Í stuttu máli:
Takið eftir að þegar tvær tölur með formerki eru margfaldaðar:
ef formerkin eru eins er margfeldið jákvætt.
ef formerkin eru ólík er margfeldið neikvætt.
Við drögum þetta allt saman í töflunni hér fyrir neðan.
Dæmi 1.46
Margfaldið: ⓐⓑⓒⓓ
Lausn
ⓐ Margfaldið og takið eftir að formerkin eru ólík, svo margfeldið er neikvætt.
−9 · 3 −27
ⓑ Margfaldið og takið eftir að formerkin eru eins, svo margfeldið er jákvætt.
−2 ( −5 ) 10
ⓒ Margfaldið; formerkin eru ólík.
4 ( −8 ) −32
ⓓ Margfaldið; formerkin eru eins.
7 · 6 42
Þegar við margföldum tölu með 1 fæst sama tala. Hvað gerist þegar við margföldum tölu með Margföldum fyrst jákvæða tölu og síðan neikvæða tölu með til að sjá hvað fæst.
Í hvert sinn sem við margföldum tölu með fáum við samlagningarandhverfu hennar!
Dæmi 1.47
Margfaldið: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Margfaldið og takið eftir að formerkin eru ólík, svo margfeldið er neikvætt.
−1 · 7 −7 −7 er samlagningarandhverfa 7 .
ⓑ Margfaldið og takið eftir að formerkin eru eins, svo margfeldið er jákvætt.
−1 ( −11 ) 11 11 er samlagningarandhverfa −11 .
Deiling heiltalna
Hvað með deilingu? Deiling er andhverf reikniaðgerð margföldunar. Því er vegna þess að Með orðum segir þessi stæða að skipta megi 15 í þrjá hópa með fimm í hverjum, því þegar fimm er lagt saman þrisvar fæst 15. Skoðið nokkur dæmi um margföldun heiltalna til að finna reglurnar um deilingu heiltalna.
Um deilingu gilda sömu reglur og um margföldun!
Þegar tveimur tölum með formerki er deilt:
ef formerkin eru eins er kvótinn jákvæður.
ef formerkin eru ólík er kvótinn neikvæður.
Munið einnig að alltaf má sannreyna svar við deilingardæmi með margföldun.
Dæmi 1.48
Deilið: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Deilið. Formerkin eru ólík, svo kvótinn er neikvæður.
− 27 ÷ 3 −9
ⓑ Deilið. Formerkin eru eins, svo kvótinn er jákvæður.
− 100 ÷ ( −4 ) 25
Einföldun stæðna með heiltölum
Hvað gerist þegar fleiri en tvær tölur eru í stæðu? Forgangsröð reikniaðgerða gildir áfram þegar neikvæðar tölur koma fyrir. Munið þið röðina: svigar, veldi, margföldun og deiling, síðan samlagning og frádráttur?
Prófum nokkur dæmi. Við einföldum stæður sem nota allar fjórar reikniaðgerðirnar með heiltölum: samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu. Munið að fylgja forgangsröð reikniaðgerða.
Dæmi 1.49
Einfaldið:
Lausn
7 ( −2 ) + 4 ( −7 ) − 6
Margfaldið fyrst.
−14 + ( −28 ) − 6
Leggið saman.
−42 − 6
Dragið frá.
−48
Dæmi 1.50
Einfaldið: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Skrifið með útvíkkaðri ritun. Margfaldið. Margfaldið. Margfaldið.
Takið eftir muninum á liðum ⓐ og ⓑ. Í lið ⓐ merkir veldisvísirinn að það sem er innan svigans, , sé hafið í veldið . Í lið ⓑ merkir veldisvísirinn að aðeins 2 sé hafið í veldið og síðan sé tekin samlagningarandhverfan.
Næsta dæmi minnir okkur á að einfalda fyrst innan sviga.
Dæmi 1.51
Einfaldið:
Lausn
12 − 3 ( 9 − 12 )
Dragið fyrst frá innan svigans.
12 − 3 ( −3 )
Margfaldið.
12 − ( −9 )
Dragið frá.
21
Dæmi 1.52
Einfaldið:
Lausn
8 ( −9 ) ÷ ( −2 ) 3
Reiknið veldin fyrst.
8 ( −9 ) ÷ ( −8 )
Margfaldið.
−72 ÷ ( −8 )
Deilið.
9
Dæmi 1.53
Einfaldið:
Lausn
−30 ÷ 2 + ( −3 ) ( −7 )
Margfaldið og deilið frá vinstri til hægri; deilið því fyrst.
−15 + ( −3 ) ( −7 )
Margfaldið.
−15 + 21
Leggið saman.
6
Gildi breytustæða með heiltölum
Munið að til að finna gildi stæðu er tala sett í stað breytunnar í stæðunni. Nú getum við notað bæði neikvæðar og jákvæðar tölur.
Dæmi 1.54
Þegar finnið gildið: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ
Einfaldið.
−4
ⓑ
Einfaldið.
Leggið saman.
6
Dæmi 1.55
Finnið gildi þegar og
Lausn
Leggið saman innan svigans.
(6) 2
Einfaldið.
36
Dæmi 1.56
Finnið gildi þegar ⓐ og ⓑ
Lausn
ⓐ
Dragið frá.
8
ⓑ
Dragið frá.
32
Dæmi 1.57
Finnið gildi: þegar
Lausn
Setjið inn. Notið sviga til að sýna margföldun.
Setjið inn.
Reiknið veldin.
Margfaldið.
Leggið saman.
52
Þýðing orðalags yfir á stæður með heiltölum
Aðferðin sem við notuðum áður til að þýða orðalag yfir á algebru gildir einnig um orðalag sem inniheldur bæði jákvæðar og neikvæðar tölur.
Dæmi 1.58
Þýðið og einföldið: summa 8 og , aukin um 3.
Lausn
summa 8 og −12 , , aukin um 3.
Þýðið.
[ 8 + ( −12 ) ] + 3
Einfaldið. Gætið þess að rugla hornklofunum ekki saman við tölugildisstrik.
( −4 ) + 3
Leggið saman.
−1
Þegar við kynntum reikniaðgerðartáknin fyrst sáum við að lesa má stæðuna á nokkra vegu. Mismunandi leshættir eru sýndir í töflunni hér fyrir neðan.
a a mínus bb mismunur a og b ab bbdregið frá a b abminna en a a
Gætið þess að hafa a og b í réttri röð!
Dæmi 1.59
Þýðið og einföldið síðan ⓐ mismun 13 og ⓑ dragið 24 frá
ⓑ Þýðið. Munið að „draga b frá a “ merkir a − b. Einfaldið.
dragið 24 frá − 19 − 19 − 24 − 43
Aftur má nota fyrri aðferð okkar við að þýða orðalag yfir á algebru þegar orðalagið felur í sér bæði margföldun og deilingu heiltalna. Munið að lykilorðið fyrir margföldun er „margfeldi“ og fyrir deilingu „kvóti“.
Dæmi 1.60
Þýðið yfir á algebrustæðu og einföldið ef hægt er: margfeldi og 14.
Lausn
margfeldi talnanna −2 og 14
Þýðið.
( −2 ) ( 14 )
Einfaldið.
−28
Dæmi 1.61
Þýðið yfir á algebrustæðu og einföldið ef hægt er: kvóti og
Lausn
kvóti talnanna −56 og −7
Þýðið.
−56 ÷ ( −7 )
Einfaldið.
8
Notkun heiltalna í hagnýtum dæmum
Við setjum fram áætlun til að leysa hagnýt dæmi. Erfitt er að finna eitthvað ef við vitum ekki að hverju við leitum eða hvað við eigum að kalla það. Þegar við leysum hagnýtt dæmi þurfum við því fyrst að ákvarða hvað spurt er um. Síðan skrifum við orðasamband sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið. Við þýðum orðasambandið yfir á stæðu og einföldum stæðuna til að fá svarið. Að lokum tökum við svarið saman í setningu til að ganga úr skugga um að það sé rökrétt.
Dæmi 1.62
Að beita aðferð til að leysa hagnýt dæmi með heiltölum
Um morguninn var hitinn í Urbana í Illinois 11 gráður. Um miðjan síðdegi hafði hitinn fallið í gráður. Hver var munurinn á morgunhitanum og síðdegishitanum?
Lausn
Dæmi 1.63
Mustangs-fótboltaliðið fékk þrjár refsingar í þriðja leikhluta. Við hverja refsingu missti liðið fimmtán jarda. Hversu marga jarda missti liðið?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið. Gætið þess að öll orð og hugmyndir séu skiljanleg.
Skref 2. Finnið hvað beðið er um.
fjölda jardanna sem liðið missti
Skref 3. Skrifið orðasamband sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.
þrisvar sinnum 15 jarda tap
Skref 4. Þýðið orðasambandið yfir á stæðu.
3 ( −15 )
Skref 5. Einfaldið stæðuna.
−45
Skref 6. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Liðið missti 45 jarda.
Verkefni úr hluta 1.4
Æfingin skapar meistarann
Margföldun heiltalna
Margfaldið í eftirfarandi verkefnum.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
Deiling heiltalna
Deilið í eftirfarandi verkefnum.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
Einföldun stæðna með heiltölum
Einfaldið hverja stæðu í eftirfarandi verkefnum.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
Gildi breytustæða með heiltölum
Finnið gildi hverrar stæðu í eftirfarandi verkefnum.
297.
þegar ⓐⓑ
298.
þegar ⓐⓑ
299.
ⓐ þegar
ⓑ þegar
300.
ⓐ þegar
ⓑ þegar
301.
þegar
302.
þegar
303.
þegar
304.
þegar
305.
þegar
306.
þegar
307.
þegar
ⓐ
ⓑ
308.
þegar ⓐ ⓑ
309.
þegar ⓐ ⓑ
310.
þegar ⓐ ⓑ
311.
þegar
312.
þegar
313.
þegar
314.
þegar
Þýðing orðalags yfir á algebrustæður
Þýðið yfir á algebrustæðu í eftirfarandi verkefnum og einföldið ef hægt er.
315.
summa 3 og , aukin um 7
316.
summa og , aukin um 23
317.
mismunur 10 og
318.
dragið 11 frá
319.
mismunur og
320.
dragið frá
321.
margfeldi
322.
margfeldi
323.
kvóti og
324.
kvóti og
325.
kvóti og summu a og b
326.
kvóti og summu m og n
327.
margfeldi og mismunar
328.
margfeldi og mismunar
Notkun heiltalna í hagnýtum dæmum
Leysið eftirfarandi dæmi.
329.
Hitastig Þann janúar var hæsti hiti í Anaheim í Kaliforníu Sama dag var hæsti hiti í Embarrass í Minnesota Hver var munurinn á hitastiginu í Anaheim og Embarrass?
330.
Hitastig Þann janúar var hæsti hiti í Palm Springs í Kaliforníu og hæsti hiti í Whitefield í New Hampshire var Hver var munurinn á hitastiginu í Palm Springs og Whitefield?
331.
Amerískur fótbolti Í fyrstu tilraun var Chargers-liðið með boltann á eigin 25 jarda línu. Liðið tapaði 6 jarda í fyrstu tilraun, vann 10 jarda í annarri tilraun og tapaði 8 jarda í þriðju tilraun. Á hvaða jardalínu var boltinn í lok þriðju tilraunar?
332.
Amerískur fótbolti Í fyrstu tilraun var Steelers-liðið með boltann á eigin 30 jarda línu. Liðið vann 9 jarda í fyrstu tilraun, tapaði 14 jarda í annarri tilraun og tapaði 2 jarda í þriðju tilraun. Á hvaða jardalínu var boltinn í lok þriðju tilraunar?
333.
Tékkareikningur Mayra á $124 á tékkareikningi sínum. Hún skrifar ávísun að upphæð $152. Hver er ný staða reikningsins?
334.
Tékkareikningur Selina á $165 á tékkareikningi sínum. Hún skrifar ávísun að upphæð $207. Hver er ný staða reikningsins?
335.
Tékkareikningur Staðan á tékkareikningi Diontre er . Hann leggur $225 inn á reikninginn. Hver er ný staða reikningsins?
336.
Tékkareikningur Staðan á tékkareikningi Reymonte er . Hann leggur $281 inn á reikninginn. Hver er ný staða reikningsins?
Stærðfræði daglegs lífs
337.
Hlutabréfamarkaður Javier á 300 hlutabréf í einu fyrirtæki. Á þriðjudegi lækkaði verð hlutabréfanna um $12 á hlut. Hver voru heildaráhrifin á verðbréfasafn Javiers?
338.
Þyngdartap Fyrstu viku megrunaráætlunar misstu átta konur að meðaltali 3 pund hver. Hver var heildarbreytingin á þyngd kvennanna átta?
Ritunarverkefni
339.
Lýsið með eigin orðum reglunum um margföldun heiltalna.
340.
Lýsið með eigin orðum reglunum um deilingu heiltalna.
341.
Hvers vegna er
342.
Hvers vegna er
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.
ⓑ Hvernig mynduð þið meta leikni ykkar í þessum hluta á kvarðanum 1–10 með hliðsjón af svörunum á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt hana?