Þekkt heiltölur, ræðar tölur, óræðar tölur og rauntölur
Staðsett almenn brot á talnalínu
Staðsett tugabrot á talnalínu
Einfaldið stæður með ferningsrótum
Munið að þegar tala n er margfölduð með sjálfri sér ritum við og lesum það „n í öðru veldi“. Niðurstaðan kallast ferningur tölunnar n. Til dæmis,
Á sama hátt er 121 ferningur 11 þar sem er 121.
Ljúkið við eftirfarandi töflu til að sýna ferninga talningartalnanna frá 1 til 15.
Tölurnar í annarri röðinni kallast ferningstölur. Gagnlegt er að læra að þekkja ferningstölurnar.
Ferningar talningartalnanna eru jákvæðar tölur. En hvað um ferninga neikvæðra talna? Við vitum að þegar formerki tveggja talna eru eins er margfeldi þeirra jákvætt. Ferningur sérhverrar neikvæðrar tölu er því einnig jákvæður.
Tókuð þið eftir að þessir ferningar eru þeir sömu og ferningar jákvæðu talnanna?
Stundum þurfum við að skoða samband talna og ferninga þeirra í öfuga átt. Þar sem segju við að 100 sé ferningur 10. Við segjum einnig að 10 sé ferningsrót af 100. Tala sem hefur ferninginn m kallast ferningsrót af m.
Takið einnig eftir , svo er einnig ferningsrót af 100. Því eru bæði 10 og ferningsrætur af 100.
Sérhver jákvæð tala hefur því tvær ferningsrætur, aðra jákvæða og hina neikvæða. En hvað ef við viljum aðeins jákvæðu ferningsrótina af jákvæðri tölu? Rótarmerkið, , táknar jákvæðu ferningsrótina. Hún kallast jákvæða ferningsrótin. Þegar við notum rótarmerkið er alltaf átt við jákvæðu ferningsrótina.
Við notum rótarmerkið einnig fyrir ferningsrót núlls. Þar sem . Takið eftir að núll hefur aðeins eina ferningsrót.
Þar sem 10 er jákvæða ferningsrótin af 100 ritum við . Þið gætuð viljað ljúka við eftirfarandi töflu til að auðvelda ykkur að þekkja ferningsrætur.
Dæmi 1.108
Einfaldið: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Þar sem 5 2 = 25
25 5
ⓑ Þar sem 11 2 = 121
121 11
Við vitum að sérhver jákvæð tala hefur tvær ferningsrætur og að rótarmerkið táknar þá jákvæðu. Við ritum . Ef við viljum finna neikvæða ferningsrót tölu setjum við mínusmerki fyrir framan rótarmerkið. Til dæmis . Við lesum sem „samlagningarandhverfu ferningsrótarinnar af 100“.
Dæmi 1.109
Einfaldið: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.
− 9 − 3
ⓑ Mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið.
− 144 − 12
Þekkið heiltölur, ræðar tölur, óræðar tölur og rauntölur
Við höfum þegar flokkað tölur sem talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur og allar heiltölur. Hver er munurinn á þessum talnaflokkum?
Hvaða tölur fengjum við ef við byrjuðum með allar heiltölurnar og bættum síðan öllum almennum brotum við? Tölurnar sem við fengjum mynda mengi ræðra talna. Ræð tala er tala sem má rita sem hlutfall tveggja heiltalna.
Öll brot með formerki, svo sem , eru ræðar tölur. Sérhver teljari og nefnari er heiltala.
Eru heiltölur ræðar tölur? Til að ákveða hvort heiltala sé ræð tala reynum við að rita hana sem hlutfall tveggja heiltalna. Sérhverja heiltölu má rita sem hlutfall heiltalna á marga vegu. Til dæmis er 3 jafngilt 3/1 , 6/2 , 9/3 , 12/4 , 15/5 ….
Einföld leið til að rita heiltölu sem hlutfall heiltalna er að rita hana sem brot þar sem nefnarinn er einn.
Þar sem sérhverja heiltölu má rita sem hlutfall tveggja heiltalna eru allar heiltölur ræðar tölur! Munið að talningartölurnar og núll og jákvæðar heiltölur eru einnig heiltölur og þar með ræðar tölur.
Hvað um tugabrot? Eru þau ræð? Skoðum nokkur og athugum hvort við getum ritað hvert þeirra sem hlutfall tveggja heiltalna.
Við höfum þegar séð að heiltölur eru ræðar tölur. Heiltöluna mætti rita sem tugabrotið . Sum tugabrot eru því greinilega ræð.
Hugsið um tugabrotið 7.3. Getum við ritað það sem hlutfall tveggja heiltalna? Þar sem 7.3 merkir getum við ritað það sem óeiginlega brotið . Því er 7.3 hlutfall heiltalnanna 73 og 10. Það er ræð tala.
Almennt gildir að sérhvert tugabrot sem endar eftir ákveðinn fjölda tölustafa, svo sem 7.3 eða , er ræð tala. Ritið tugabrotið einfaldlega sem blandna tölu.
Dæmi 1.110
Ritið sem hlutfall tveggja heiltalna: ⓐⓑ 7.31.
Lausn
ⓐ Ritið hana sem brot þar sem nefnarinn er 1.
−27 −
ⓑ Ritið hana sem blandna tölu. Munið að 7 er heiltöluhlutinn og tugabrotshlutinn, 0.31, táknar hundraðshluta. Breytið í óeiginlegt brot.
7.31 7
Við sjáum því að og 7.31 eru báðar ræðar tölur þar sem unnt er að rita þær sem hlutfall tveggja heiltalna.
Skoðum tugabrotsrithátt talnanna sem við vitum að eru ræðar.
Við höfum séð að sérhver heiltala er ræð tala, enda gildir fyrir sérhverja heiltölu a. Einnig má breyta sérhverri heiltölu í tugabrot með því að bæta við tugabrotskommu og núlli.
Við höfum einnig séð að sérhvert almennt brot er ræð tala. Skoðið tugabrotsrithátt brotanna sem við skoðuðum hér að framan.
Hvað segja þessi dæmi okkur?
Sérhverja ræða tölu má bæði rita sem hlutfall heiltalna, , þar sem p og q eru heiltölur og , og sem tugabrot sem annaðhvort endar eða er lotubundið.
Hér eru tölurnar sem við skoðuðum hér að framan ritaðar sem hlutfall heiltalna og sem tugabrot:
Almenn brot
Heiltölur
Tala
4/5
− 7/8
13/4
− 20/3
−2
−1
0
1
2
3
Hlutfall heiltalna
4/5
− 7/8
13/4
− 20/3
− 2/1
− 1/1
0/1
1/1
2/1
3/1
Tugabrotsritháttur
0.8
−0.875
3.25
−6. 6 –
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
Eru til tugabrot sem hvorki enda né eru lotubundin? Já!
Talan , gríski stafurinn pí, sem er mjög mikilvæg við lýsingu hringja, hefur tugabrotsrithátt sem hvorki endar né er lotubundinn.
Við getum jafnvel búið til tugabrotamynstur sem hvorki endar né er lotubundið, til dæmis
Ekki er hægt að rita tölur með tugabrotsrithátt sem hvorki endar né er lotubundinn sem hlutfall heiltalna. Við köllum slíkar tölur óræðar.
Tökum saman aðferð til að ákvarða hvort tala sé ræð eða óræð.
Dæmi 1.111
Fyrir tölurnar skráið ⓐ ræðu tölurnar ⓑ óræðu tölurnar.
Lausn
ⓐ Leitið að tugabrotum sem eru lotubundin eða enda.
Tölustafurinn 3 endurtekur sig í 0.58 3 –. Tugabrotið 0.47 endar við tölustafinn 7. Því eru 0.58 3 – og 0.47 ræðar tölur.
ⓑ Leitið að tugabrotum sem hvorki enda né eru lotubundin.
3.605551275 … hefur enga endurtekna tölustafarunu og endar ekki. Því er 3.605551275 … óræð tala.
Dæmi 1.112
Ákvarðið fyrir hverja gefna tölu hvort hún sé ræð eða óræð: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Takið eftir að 36 er ferningstala þar sem . Því gildir og er þar af leiðandi ræð tala.
ⓑ Munið að og og því er ekki ferningstala. Tugabrotsritháttur verður því hvorki lotubundinn né endanlegur og 44 er því óræð tala.
Við höfum séð að allar talningartölur eru núll eða jákvæðar heiltölur, allar slíkar tölur eru heiltölur og allar heiltölur eru ræðar tölur. Óræðar tölur eru tölur sem hafa tugabrotsrithátt sem hvorki endar né er lotubundinn. Þegar við sameinum ræðu og óræðu tölurnar fáum við mengi rauntalna.
Allar tölur sem við notum í grunnalgebru eru rauntölur. Mynd 1.15 sýnir hvernig talnamengin sem fjallað hefur verið um í þessum hluta tengjast.
Mynd 1.15. Þessi mynd sýnir talnamengin sem mynda mengi rauntalna. Finnst ykkur heitið „rauntölur“ undarlegt? Eru til tölur sem eru ekki „raunverulegar“ og ef svo er, hvaða tölur gætu það verið?
Getum við einfaldað −25 ?? Er til tala sem hefur ferninginn −25 ??
Engin þeirra talna sem við höfum fengist við hingað til hefur ferninginn −25 .. Hvers vegna? Ferningur sérhverrar jákvæðrar tölu er jákvæður. Ferningur sérhverrar neikvæðrar tölu er einnig jákvæður. Því segjum við að engin rauntala sé jöfn −25 ..
Ferningsrót neikvæðrar tölu er ekki rauntala.
Dæmi 1.113
Ákvarðið fyrir hverja gefna tölu hvort hún sé rauntala eða ekki: ⓐⓑ
Lausn
ⓐ Engin rauntala hefur ferninginn . Því er ekki rauntala.
ⓑ Þar sem mínusmerkið er fyrir framan rótarmerkið er jafnt og . Þar sem er rauntala er rauntala.
Dæmi 1.114
Fyrir tölurnar skráið ⓐ núll og jákvæðu heiltölurnar ⓑ heiltölurnar ⓒ ræðu tölurnar ⓓ óræðu tölurnar ⓔ rauntölurnar.
Lausn
ⓐ Munið að núll og jákvæðu heiltölurnar eru 0, 1, 2, 3, … og 8 er eina gefna talan úr þeim hópi.
ⓑ Heiltölurnar eru núll (0), jákvæðu heiltölurnar og samlagningarandhverfur þeirra. Talan 8 er því heiltala og −7 er samlagningarandhverfa jákvæðrar heiltölu og því einnig heiltala. Takið einnig eftir að 64 er ferningur 8 og því − 64 = −8 .. Heiltölurnar eru því −7 , 8 , − 64 ..
ⓒ Þar sem allar heiltölur eru ræðar eru −7 , 8 , − 64 ræðar. Til ræðra talna teljast einnig almenn brot og tugabrot sem enda eða eru lotubundin og því eru 14/5 og 5.9 ræðar. Listinn yfir ræðu tölurnar er því −7 , 14/5 , 8 , 5.9 , − 64 ..
ⓓ Munið að er ekki ferningstala og því er 5 óræð tala.
ⓔ Allar tölurnar á listanum eru rauntölur.
Staðsetjið almenn brot á talnalínunni
Síðast þegar við skoðuðum talnalínuna voru aðeins jákvæðar og neikvæðar heiltölur á henni. Nú viljum við einnig merkja almenn brot og tugabrot á hana.
Byrjum á almennum brotum og staðsetjum á talnalínunni.
Við byrjum á tölunum og , sem eru núll eða jákvæðar heiltölur, þar sem auðveldast er að merkja þær. Sjá mynd 1.16.
Eiginlegu brotin á listanum eru . Við vitum að eiginlega brotið hefur gildi minna en einn og er því staðsett milli . Nefnarinn er 5 og því skiptum við einingunni frá 0 til 1 í 5 jafna hluta . Við merkjum . Sjá mynd 1.16.
Á sama hátt er milli 0 og . Eftir að einingunni hefur verið skipt í 5 jafna hluta merkjum við . Sjá mynd 1.16.
Að lokum skulum við skoða óeiginlegu brotin . Þetta eru brot þar sem teljarinn er stærri en nefnarinn. Auðveldara getur verið að staðsetja punktana ef hverju broti er breytt í blandna tölu. Sjá mynd 1.16.
Mynd 1.16 sýnir talnalínuna með öllum punktunum merktum.
Dæmi 1.115
Staðsetjið og merkið eftirfarandi á talnalínu:
Lausn
Staðsetjið og merkið heiltölurnar
Staðsetjið fyrst eiginlega brotið 3/4. Brotið 3/4 er milli 0 og 1. Skiptið bilinu milli 0 og 1 í fjóra jafna hluta og merkið síðan 3/4 .. Merkið − 1/4 . á sama hátt.
Staðsetjið nú óeiginlegu brotin . Auðveldara er að merkja þau ef þeim er breytt í blandnar tölur og þau síðan merkt eins og lýst var hér að framan:
Í dæmi 1.116 notum við ójöfnumerki til að raða almennum brotum. Í fyrri köflum notuðum við talnalínuna til að raða tölum.
a < b „a er minna en b“ þegar a er vinstra megin við b á talnalínunni
a > b „a er stærra en b“ þegar a er hægra megin við b á talnalínunni
Gildin hækka þegar við færum okkur frá vinstri til hægri eftir talnalínu.
Dæmi 1.116
Raðið hverju eftirfarandi talnapari með < eða >. Gagnlegt getur verið að skoða mynd 1.17.
ⓐⓑⓒⓓ
Mynd 1.17. Mynd 1.17
Lausn
ⓐ − er hægra megin við −1 á talnalínunni.
− ___ −1 − > −1
ⓑ −3 er hægra megin við −3 á talnalínunni.
−3 ___ −3 −3 < −3
ⓒ − er hægra megin við − á talnalínunni.
− ___ − − < −
ⓓ −2 er hægra megin við − á talnalínunni.
−2 ___ − −2 > −
Staðsetjið tugabrot á talnalínunni
Þar sem tugabrot eru ein gerð almennra brota er staðsetning tugabrota á talnalínunni svipuð staðsetningu almennra brota.
Dæmi 1.117
Staðsetjið 0.4 á talnalínunni.
Lausn
Eiginlegt brot hefur gildi minna en einn. Tugabrotið 0.4 jafngildir , sem er eiginlegt brot, og því er 0.4 milli 0 og 1. Skiptið bilinu milli 0 og 1 á talnalínu í 10 jafna hluta. Merkið nú hlutana 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0. Við ritum 0 sem 0.0 og 1 sem 1.0 svo að tölurnar séu allar ritaðar í tíundu hlutum. Merkið að lokum 0.4 á talnalínuna. Sjá mynd 1.18.
Mynd 1.18. Mynd 1.18
Dæmi 1.118
Staðsetjið á talnalínunni.
Lausn
Tugabrotið jafngildir og er því milli 0 og . Merkið hundraðshlutana á bilinu milli 0 og á talnalínu. Sjá mynd 1.19.
Mynd 1.19. Mynd 1.19
Hvor talan er stærri, 0.04 eða 0.40? Ef þið hugsið um þetta sem peninga vitið þið að $0.40 (fjörutíu sent) er meira en $0.04 (fjögur sent). Því gildir
Við getum aftur notað talnalínuna til að raða tölum.
a < b „a er minna en b“ þegar a er vinstra megin við b á talnalínunni
a > b „a er stærra en b“ þegar a er hægra megin við b á talnalínunni
Hvar eru 0.04 og 0.40 á talnalínunni? Sjá mynd 1.20.
Við sjáum að 0.40 er hægra megin við 0.04 á talnalínunni. Þetta er önnur leið til að sýna að 0.40 > 0.04.
Hvernig ber 0.31 saman við 0.308? Ekki er hægt að túlka þetta sem peningaupphæðir til að auðvelda samanburðinn. En ef við breytum 0.31 og 0.308 í almenn brot getum við séð hvor talan er stærri.
0.31
0.308
Breytið í almenn brot.
31/100
308/1000
Við þurfum samnefnara til að bera þau saman.
310/1000
308/1000
Þar sem 310 > 308 vitum við að . Því er 0.31 > 0.308.
Takið eftir hvað við gerðum þegar við breyttum 0.31 í almennt brot: Við byrjuðum með brotið og enduðum með jafngilda brotið . Þegar er breytt aftur í tugabrot fæst 0.310. Því jafngildir 0.31 tölunni 0.310. Gildi tugabrots breytist ekki þótt núllum sé bætt aftan við það!
Við segjum að 0.31 og 0.310 séu jafngild tugabrot.
Við notum jafngild tugabrot þegar við röðum tugabrotum.
Skrefin sem við fylgjum þegar við röðum tugabrotum eru tekin saman hér.
Dæmi 1.119
Raðið 0.64 ___ 0.6 með < eða > ..
Lausn
Ritið tölurnar hverja undir annarri þannig að tugabrotskommurnar standist á.
0.64 0.6
Bætið núlli aftan við 0.6 svo að tugabrotið hafi 2 tugabrotasæti. Nú eru báðar tölurnar ritaðar í hundraðshlutum.
0.64 0.60
64 er stærra en 60.
64 > 60
64 hundraðshlutar eru fleiri en 60 hundraðshlutar.
0.64 > 0.60
0.64 > 0.6
Dæmi 1.120
Raðið 0.83 ___ 0.803 með < eða > ..
Lausn
0.83 ___ 0.803
Ritið tölurnar hverja undir annarri þannig að tugabrotskommurnar standist á.
0.83 0.803
Tölurnar hafa ekki jafnmarga tölustafi. Bætið einu núlli aftan við 0.83.
0.830 0.803
Þar sem 830 > 803 eru 830 þúsundustu hlutar fleiri en 803 þúsundustu hlutar.
0.830 > 0.803
0.83 > 0.803
Þegar við röðum neikvæðum tugabrotum er mikilvægt að muna hvernig neikvæðum heiltölum er raðað. Munið að stærri tölur eru hægra megin á talnalínunni. Þar sem er til dæmis hægra megin við á talnalínunni vitum við að . Á sama hátt eru minni tölur vinstra megin á talnalínunni. Þar sem er til dæmis vinstra megin við á talnalínunni vitum við að . Sjá mynd 1.21.
Ef við stækkuðum bilið milli 0 og −1 ,, eins og sýnt er í dæmi 1.121, sæjum við á sama hátt að −0.2 > −0.3 og − 0.9 < −0.6 ..
Dæmi 1.121
Notið < eða > til að raða −0.1 ___ −0.8 ..
Lausn
−0.1 ___ −0.8
Ritið tölurnar hverja undir annarri þannig að tugabrotskommurnar standist á. Þær hafa jafnmarga tölustafi.
−0.1 −0.8
Af −1 > −8 leiðir að −1 tíundi hluti er stærri en −8 tíundu hlutar.
−0.1 > −0.8
Æfingar úr kafla 1.8
Æfingin skapar meistarann
Einfaldið stæður með ferningsrótum
Einfaldið í eftirfarandi æfingum.
659.
660.
661.
662.
663.
664.
665.
666.
667.
668.
669.
670.
Þekkið heiltölur, ræðar tölur, óræðar tölur og rauntölur
Ritið sem hlutfall tveggja heiltalna í eftirfarandi æfingum.
671.
ⓐ 5 ⓑ 3.19
672.
ⓐ 8 ⓑ 1.61
673.
ⓐⓑ 9.279
674.
ⓐⓑ 4.399
Skráið í eftirfarandi æfingum ⓐ ræðu tölurnar, ⓑ óræðu tölurnar
675.
676.
677.
678.
Ákvarðið í eftirfarandi æfingum hvort hver tala sé ræð eða óræð.
679.
ⓐⓑ
680.
ⓐⓑ
681.
ⓐⓑ
682.
ⓐⓑ
Ákvarðið í eftirfarandi æfingum hvort hver tala sé rauntala eða ekki.
683.
ⓐⓑ
684.
ⓐⓑ
685.
ⓐⓑ
686.
ⓐⓑ
Skráið fyrir hvert talnamengi í eftirfarandi æfingum ⓐ núll og jákvæðu heiltölurnar, ⓑ heiltölurnar, ⓒ ræðu tölurnar, ⓓ óræðu tölurnar, ⓔ rauntölurnar.
687.
688.
689.
690.
Staðsetjið almenn brot á talnalínunni
Staðsetjið tölurnar á talnalínu í eftirfarandi æfingum.
691.
692.
693.
694.
695.
696.
697.
698.
Raðið hverju talnapari í eftirfarandi æfingum með < eða >.
699.
700.
701.
702.
703.
704.
705.
706.
Staðsetjið tugabrot á talnalínunni. Staðsetjið töluna á talnalínu í eftirfarandi æfingum.
707.
0.8
708.
709.
710.
3.1
Raðið hverju talnapari í eftirfarandi æfingum með < eða >.
711.
712.
713.
714.
715.
716.
717.
718.
Stærðfræði daglegs lífs
719.
Vettvangsferð. Allir nemendur í 5th. bekk Lincoln-grunnskólans fara í vettvangsferð á vísindasafnið. Þegar öll börnin, kennararnir og fylgdarmennirnir eru taldir verða þátttakendur 147. Hver rúta tekur 44 manns.
ⓐ Hversu margar rútur þarf? ⓑ
Hvers vegna verður svarið að vera heiltala?
ⓒ Hvers vegna ætti ekki að námunda svarið á venjulegan hátt með því að velja heiltöluna sem er næst nákvæma svarinu?
720.
Barnagæsla. Serena vill opna barnagæslustöð með tilskilin leyfi. Í fylki hennar mega vera mest 12 börn á hvern kennara. Hún vill geta tekið á móti 40 börnum á stöðinni.
ⓐ Hversu marga kennara þarf? ⓑ Hvers vegna verður svarið að vera heiltala? ⓒ Hvers vegna ætti ekki að námunda svarið á venjulegan hátt með því að velja heiltöluna sem er næst nákvæma svarinu?
Ritunaræfingar
721.
Útskýrið með eigin orðum muninn á ræðri og óræðri tölu.
722.
Útskýrið hvernig talnamengin (talningartölur, núll og jákvæðar heiltölur, heiltölur, ræðar tölur, óræðar tölur og rauntölur) tengjast hvert öðru.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skulið þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiði kaflans.
ⓑ Hvernig metið þið færni ykkar í efni kaflans á kvarðanum með hliðsjón af svörum ykkar á gátlistanum? Hvernig getið þið bætt ykkur?
