77 Þáttun

7.3 Þáttið þríliði af gerðinni ax2 +bx + c

7.3 Þáttið þríliði af gerðinni ax2+bx+c

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta getið þið:

þekkt grunnferli við fullþáttun margliða
þáttað þríliði af gerðinni a x 2 + b x + c með SSÞ
þáttað þríliði með prófun
þáttað þríliði með ac-aðferðinni

Þekkið grunnferli við þáttun

Tökum saman stöðuna í þáttun margliða. Í fyrstu tveimur hlutum kaflans notuðum við þrjár aðferðir: tókum SSÞ út fyrir sviga, þáttuðum með flokkun og þáttuðum þrílið með því að snúa FOIL-aðferðinni við. Fleiri aðferðir bætast við síðar í kaflanum og í áframhaldandi algebrunámi.

Hvernig vitið þið hvaða þáttunaraðferð á að nota? Eftir því sem aðferðunum fjölgar þarf að greina hvenær hver þeirra á við. Gagnlegt er að skipuleggja þær í aðferðarröð sem leiðir að réttri aðferð.

Þegar byrjað er að þátta margliðu skal alltaf spyrja fyrst: „Er til stærsti sameiginlegi þáttur?“ Ef svo er skal taka hann út fyrir sviga fyrst.

Næst þarf að skoða gerð margliðunnar. Hve marga liði hefur hún? Er hún tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði?

Ef hún er þríliður með forystustuðulinn einn, $x^{2} + b x + c$ , skal snúa FOIL-aðferðinni við.

Ef margliðan hefur fleiri en þrjá liði skal prófa þáttun með flokkun. Það er eina aðferðin sem við höfum fyrir margliður með fleiri en þrjá liði.

Sumar margliður eru óþáttanlegar.

Hér fyrir neðan tökum við saman aðferðirnar sem við höfum lært. Þeim er lýst nánar í Veljið aðferð til að fullþátta margliður.

Myndin sýnir aðferðir við þáttun margliða. Efst er SSÞ, þar sem þáttun hefst alltaf. Þaðan liggja þrjár greinar: tvíliður; þríliður af gerðinni x ^ 2 + bx +c; og „fleiri en þrír liðir“, sem er merkt þáttun með flokkun.

Fylgið grunnferlinu til að fullþátta margliðu. Margliða er fullþáttuð ef allir þættir hennar aðrir en einliðir eru óþáttanlegir.

Dæmi 7.29

Veljið bestu aðferðina til að þátta hverja margliðu.

ⓐ $6 y^{2} - 72$
ⓑ $r^{2} - 10 r - 24$
ⓒ $p^{2} + 5 p + p q + 5 q$

Lausn

ⓐ

	6 y² − 72
Er til stærsti sameiginlegi þáttur?	Já, 6.
Takið 6 út fyrir sviga.	6 ( y² − 12 )
Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur húnfleiri en 3 liði?	Hún er tvíliður og við höfum enn enga aðferð til að þátta tvíliði.

ⓑ

	r² − 10 r − 24
Er til stærsti sameiginlegi þáttur?	Nei, enginn sameiginlegur þáttur er til.
Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur húnfleiri en þrjá liði?	Hún er þríliður með forystustuðulinn 1, svo snúið er við FOIL-aðferðinni.

ⓒ

	p² + 5 p + p q + 5 q
Er til stærsti sameiginlegi þáttur?	Nei, enginn sameiginlegur þáttur er til.
Er margliðan tvíliður, þríliður eða hefur húnfleiri en þrjá liði?	Hún hefur fleiri en þrjá liði og því er þáttað með flokkun.

Þáttið þríliði af gerðinni ax2 + bx + c með SSÞ

Nú þegar við höfum skipulagt efnið sem komið er að getum við þáttað þríliði með forystustuðul sem er ekki 1, það er þríliði af gerðinni $a x^{2} + b x + c$ .

Munið að leita alltaf fyrst að SSÞ. Þegar SSÞ hefur verið tekinn út fyrir sviga verður forystustuðull þríliðarins stundum 1 og þá má nota aðferðir síðasta hluta. Skoðum nokkur dæmi.

Gætið að formerkjunum í næstu tveimur dæmum.

Dæmi 7.30

Fullþáttið: $2 n^{2} - 8 n - 42$ .

Lausn

Fylgið grunnferlinu.

Er til stærsti sameiginlegi þáttur?	2 n² − 8 n − 42
Já, SSÞ = 2. Takið hann út fyrir sviga.	2 ( n² − 4 n − 21 )

Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliður eða hefur hún fleiri en þrjá liði?

Hún er þríliður með forystustuðulinn 1, svo snúið FOIL-aðferðinni við.	2 ( n ) ( n )
Notið 3 og −7 sem síðari liði tvíliðanna.	2 ( n + 3 ) ( n − 7 )

Þættir −21	Summa þáttanna
1 , −21	1 + ( −21 ) = −20
3 , −7	3 + ( −7 ) = −4 *

Athugið.

$2 (n + 3) (n - 7)$

$2 (n^{2} - 7 n + 3 n - 21)$

$2 (n^{2} - 4 n - 21)$

$2 n^{2} - 8 n - 42 ✓$

Dæmi 7.31

Fullþáttið: $4 y^{2} - 36 y + 56$ .

Lausn

Fylgið grunnferlinu.

Er til stærsti sameiginlegi þáttur?	4 y² − 36 y + 56
Já, SSÞ = 4. Takið hann út fyrir sviga.	4 ( y² − 9 y + 14 )
Er stæðan innan sviganna tvíliður, þríliður eða hefur húnfleiri en þrjá liði?
Hún er þríliður með forystustuðulinn 1. Snúið því FOIL-aðferðinni við.	4 ( y ) ( y )
Notið töflu eins og hér fyrir neðan til að finna tvær tölur sem hafa margfeldið14 og summuna −9.
Báðir þættir 14 verða að vera neikvæðir.	4 ( y − 2 ) ( y − 7 )

Þættir 14	Summa þáttanna
−1 , −14	−1 + ( −14 ) = −15
−2 , −7	−2 + ( −7 ) = −9 *

Athugið.

$4 (y - 2) (y - 7)$

$4 (y^{2} - 7 y - 2 y + 14)$

$4 (y^{2} - 9 y + 14)$

$4 y^{2} - 36 y + 56 ✓$

Í næsta dæmi inniheldur SSÞ breytu.

Dæmi 7.32

Fullþáttið: $4 u^{3} + 16 u^{2} - 20 u$ .

Lausn

Fylgið grunnferlinu.

Er til stærsti sameiginlegi þáttur?	4 u³ + 16 u² − 20 u
Já, SSÞ = 4u. Takið hann út fyrir sviga.	4 u ( u² + 4 u − 5 )
Tvíliður, þríliður eða fleiri en þrír liðir?
Þetta er þríliður. Snúið því FOIL-aðferðinni við.	4 u ( u ) ( u )
Notið töflu eins og hér fyrir neðan til að finna tvær tölur semhafa margfeldið −5 og summuna 4.	4 u ( u − 1 ) ( u + 5 )

Þættir −5	Summa þáttanna
−1 , 5	−1 + 5 = 4 *
1 , −5	1 + ( −5 ) = −4

Athugið.

$4 u (u - 1) (u + 5)$

$4 u (u^{2} + 5 u - u - 5)$

$4 u (u^{2} + 4 u - 5)$

$4 u^{3} + 16 u^{2} - 20 u ✓$

Þáttið þríliði með prófun

Hvað gerist þegar forystustuðullinn er ekki 1 og enginn SSÞ er til? Nota má nokkrar aðferðir til að þátta slíka þríliði. Fyrst notum við prófunaraðferðina.

Þáttum þríliðinn $3 x^{2} + 5 x + 2$ .

Af fyrri reynslu væntum við þess að hann þáttist í tvo tvíliði.

\begin{matrix} 3 x^{2} + 5 x + 2 \\ () () \end{matrix}

Við vitum að fyrri liðir tvíliðaþáttanna margfaldast og gefa $3 x^{2}$ . Einu þættir $3 x^{2}$ eru $1 x, 3 x$ . Við getum sett þá í tvíliðina.

Myndin sýnir margliðuna 3 x^ 2 +5 x +2. Fyrir neðan eru liðirnir tveir, 1 x og 3 x. Þar fyrir neðan eru þættirnir tveir x og (3 x) sýndir margfaldaðir saman.

Athugið. Gildir $1 x \cdot 3 x = 3 x^{2}$ ?

Við vitum að síðari liðir tvíliðanna margfaldast í 2. Þar sem allir liðir þríliðarins eru jákvæðir þurfum við aðeins að skoða jákvæða þætti. Einu þættir 2 eru 1 og 2. Nú þarf þó að skoða tvö tilvik, því röðin skiptir máli: 1, 2 eða 2, 1.

Myndin sýnir mögulega þætti margliðunnar 3x^2 + 5x + 2. Fyrir liðinn 3x^2 eru þættirnir 1x og 3x og fyrir fasta liðinn 2 eru þættirnir 1 og 2. Neðst eru mögulegu þáttanirnar (x + 1)(3x + 2) og (x + 2)(3x + 1).

Hvorir þættirnir eru réttir? Til að skera úr um það margföldum við innri og ytri liðina.

Myndin sýnir mögulega þætti margliðunnar 3 x^ 2 + 5 x +2. Margliðan er rituð tvisvar. Undir báðum eintökum eru liðirnir 1 x og 3 x undir 3 x ^ 2. Einnig eru þættirnir 1 og 2 undir 2 liðnum. Neðst eru tvær mögulegar þáttanir. Sú fyrri er (x + 1)(3 x + 2). Undir henni eru margfeldin 3 x úr innri liðunum 1 og 3 x og 2 x úr ytri liðunum x og 2. Margfeldin 3 x og 2 x leggjast saman í 5 x. Undir síðari þáttuninni eru margfeldin 6 x úr innri liðunum 2 og 3 x og 1 x úr ytri liðunum x og 1. Margfeldin 6 x og 1 x leggjast saman í 7 x.

Þar sem miðliður þríliðarins er 5x, virka þættirnir í fyrra tilvikinu. Sannreynum með FOIL-aðferðinni.

\begin{matrix} (x + 1) (3 x + 2) \\ 3 x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \\ 3 x^{2} + 5 x + 2 ✓ \end{matrix}

Niðurstaða þáttunarinnar er:

\begin{matrix} 3 x^{2} + 5 x + 2 \\ (x + 1) (3 x + 2) \end{matrix}

Dæmi 7.33

Hvernig á að þátta þríliði af gerðinni a x 2 + b x + c með prófun

Fullþáttið: $3 y^{2} + 22 y + 7$ .

Lausn

Taflan tekur saman skrefin við að þátta 3 y ^ 2 + 22 y + 7. Í fyrstu röð stendur að rita eigi þríliðinn eftir lækkandi veldum. Margliðan er rituð 3 y ^ 2 +22 y + 7.

Í annarri röð stendur að finna öll þáttapör fyrsta liðarins. Eina parið er 1 y, 3 y. Þar sem aðeins eitt par er til er það ritað í svigana (1 y) og (3 y).

Í þriðju röð stendur: „Finnið öll þáttapör þriðja liðarins.“ Þar stendur einnig að einu þættir 7 séu 1 og 7.

Í fjórðu röð stendur að prófa eigi allar mögulegar samsetningar þáttanna þar til rétta margfeldið finnst. Mögulegu þættirnir eru (y + 1)(3 y + 7) og (y + 7)(3y + 1). Undir hvorri þáttun eru margfeldi ytri og innri liðanna. Fyrir þá fyrri eru þau 7y og 3y. Fyrir þá síðari eru þau 21 y og y. Samsetningin (y + 7)(3 y + 1) er rétta þáttunin.

Í síðustu röð stendur að sannreyna eigi með margföldun. Margfeldið (y + 7)(3 y + 1) er sýnt sem 3 y ^ 2 + 22 y + 7.

Þegar miðliðurinn er neikvæður og síðasti liðurinn jákvæður verða formerkin í báðum tvíliðum að vera neikvæð.

Dæmi 7.34

Fullþáttið: $6 b^{2} - 13 b + 5$ .

Lausn

Þríliðurinn er þegar ritaður eftir lækkandi veldum.
Finnið þætti fyrsta liðarins.
Finnið þætti síðasta liðarins og gætið að formerkjunum. Þar sem síðasti liðurinn, 5, er jákvæður verða þættir hans annaðhvort báðir jákvæðir eða báðir neikvæðir. Stuðull miðliðarins er neikvæður og því notum við neikvæðu þættina.

Skoðið allar samsetningar þáttanna.

6 b² − 13 b + 5
( b − 1 ) ( 6 b − 5 )	6 b² − 11 b + 5
( b − 5 ) ( 6 b − 1 )	6 b² − 31 b + 5
( 2 b − 1 ) ( 3 b − 5 )	6 b² − 13 b + 5 *
( 2 b − 5 ) ( 3 b − 1 )	6 b² − 17 b + 5
( 2 b − 5 ) ( 3 b − 1 )	6 b² − 17 b + 5

Réttu þættirnir eru þeir sem hafaupprunalega þríliðinn sem margfeldi.	( 2 b − 1 ) ( 3 b − 5 )
Sannreynið með margföldun. ( 2 b − 1 ) ( 3 b − 5 ) 6 b² − 10 b − 3 b + 5 6 b² − 13 b + 5 ✓

Þegar við þáttum stæðu leitum við alltaf fyrst að stærsta sameiginlega þætti. Ef stæðan hefur engan stærsta sameiginlegan þátt geta þættir hennar heldur ekki haft slíkan þátt. Þetta getur hjálpað okkur að útiloka sumar mögulegar samsetningar.

Dæmi 7.35

Fullþáttið: $14 x^{2} - 47 x - 7$ .

Lausn

Þríliðurinn er þegar ritaður eftir lækkandi veldum.
Finnið þætti fyrsta liðarins.
Finnið þætti síðasta liðarins og gætið að formerkjunum. Þar sem hann er neikvæður verður annar þátturinn jákvæður og hinn neikvæður.

Skoðið allar samsetningar þáttanna. Notið hvert þáttapar $14 x^{2}$ með hverju þáttapari $−7 .$

Þættir 14 x 2	Parið við	Þættir −7
x , 14 x		1, −7 −7, 1 (öfug röð)
x , 14 x		−1, 7 7, −1 (öfug röð)
2 x , 7 x		1, −7 −7, 1 (öfug röð)
2 x , 7 x		−1, 7 7, −1 (öfug röð)

Þessi pörun gefur eftirfarandi átta samsetningar.

Tafla fyrir 14x^2 − 47x − 7 með dálkunum „mögulegir þættir“ og „margfeldi“. Hún sýnir allar samsetningar þátta og margfeldi þeirra. Samsetningin (2x − 7)(7x + 1) gefur 14x^2 − 47x − 7 og er merkt með stjörnu. Aðrar samsetningar eru útilokaðar þegar þær gefa rangt margfeldi eða sameiginlegan þátt sem þríliðurinn hefur ekki.

Réttu þættirnir eru þeir sem hafaupprunalega þríliðinn sem margfeldi.	( 2 x − 7 ) ( 7 x + 1 )
Sannreynið með margföldun. ( 2 x − 7 ) ( 7 x + 1 ) 14 x² + 2 x − 49 x − 7 14 x² − 47 x − 7 ✓

Dæmi 7.36

Fullþáttið: $18 n^{2} - 37 n + 15$ .

Lausn

Þríliðurinn er þegar ritaður eftir lækkandi veldum.	18 n² − 37 n + 15
Finnið þætti fyrsta liðarins.
Finnið þætti síðasta liðarins og gætið að formerkjunum. Þar sem 15 er jákvætt og stuðull miðliðarins neikvæður notum við neikvæðu þættina.

Skoðið allar samsetningar þáttanna.

Tafla fyrir 18n^2 − 37n + 15 með dálkunum „mögulegir þættir“ og „margfeldi“. Átta samsetningar koma ekki til greina. Skýringin er að ef þríliðurinn hefur engan sameiginlegan þátt getur hvorugur þátturinn innihaldið sameiginlegan þátt. Röðin með (2n − 3)(9n − 5), sem gefur 18n^2 − 37n + 15, er merkt með stjörnu.

Réttu þættirnir eru þeir sem hafaupprunalega þríliðinn sem margfeldi.	( 2 n − 3 ) ( 9 n − 5 )
Sannreynið með margföldun. ( 2 n − 3 ) ( 9 n − 5 ) 18 n² − 10 n − 27 n + 15 18 n² − 37 n + 15 ✓

Gleymið ekki að leita fyrst að SSÞ.

Dæmi 7.37

Fullþáttið: $10 y^{4} + 55 y^{3} + 60 y^{2}$ .

Lausn

	10 y⁴ + 55 y³ + 60 y²
Takið eftir stærsta sameiginlega þættinum og takið hann fyrst út fyrir sviga.	15 y 2 ( 2 y² + 11 y + 12 )
Þáttið þríliðinn.

Skoðið allar samsetningar.

Taflan ber fyrirsögnina 2 y squared + 11 y + 12 og hefur tvo dálka. Fyrri dálkurinn nefnist „mögulegir þættir“ og sá síðari „margfeldi“. Í fyrri dálkinum eru allar samsetningar mögulegra þátta og í þeim síðari margfeldin. Í fjórum röðum stendur að margfeldið komi ekki til greina. Textareitur skýrir ástæðuna: „Ef liðir þríliðarins hafa engan sameiginlegan þátt geta liðir tvíliðaþáttanna ekki heldur haft sameiginlegan þátt.“ Stjarna er við röðina með þáttunum (y + 4)(2y + 3) og margfeldinu 2 y squared + 11 y + 12.

Réttu þættirnir eru þeir sem hafaupprunalega þríliðinn sem margfeldi. Munið að hafaþáttinn 5y2með.	5 y 2 ( y + 4 ) ( 2 y + 3 )
Sannreynið með margföldun. 5 y 2 ( y + 4 ) ( 2 y + 3 ) 5 y 2 ( 2 y² + 8 y + 3 y + 12 ) 10 y⁴ + 55 y³ + 60 y 2 ✓

Þáttið þríliði með ac-aðferðinni

Önnur leið til að þátta þríliði af gerðinni $a x^{2} + b x + c$ er ac-aðferðin. (Hún er stundum kölluð flokkunaraðferð.) Ac-aðferðin er í raun útvíkkun á aðferðunum sem þið notuðuð í síðasta hluta til að þátta þríliði með forystustuðulinn einn. Aðferðin er mjög skipuleg, það er skref fyrir skref, og hún virkar alltaf.

Dæmi 7.38

Hvernig á að þátta þríliði með ac-aðferðinni

Þáttið: $6 x^{2} + 7 x + 2$ .

Lausn

Í annarri röð stendur að finna margfeldið ac. Þar er ac ritað sem 6 sinnum 2 = 12.

Þriðja skrefið er að finna tvær tölur m og n þannig að m sinnum n = a c og m + n = b. Í miðdálkinum stendur: „Finnið tvær tölur sem leggjast saman í 7. Báðir þættir verða að vera jákvæðir.“ Tölurnar eru 3 og 4. 3 sinnum 4 er 12 og 3 + 4 er 7.

Næsta skref er að kljúfa miðliðinn með m og n, það er að rita 7 x sem 3 x + 4 x. Því er 6 x ^ 2 + 7 x + 2 umritað sem 6 x ^ 2 +3 x + 4 x + 2.

Næsta skref er að þátta með flokkun: 3 x(2 x + 1) + 2(2 x + 1) og þátta síðan aftur í (2 x + 1)(3 x + 2).

Síðasta skrefið er að sannreyna með margföldun. Margfaldið þættina (2 x + 1)(3 x + 2) og fáið 6 x ^ 2 + 7 x + 2.

Þegar þriðji liður þríliðarins er neikvæður hafa þættir hans gagnstæð formerki.

Dæmi 7.39

Þáttið: $8 u^{2} - 17 u - 21$ .

Lausn

Er til stærsti sameiginlegi þáttur? Nei.
Finnið a ⋅ c.	a ⋅ c
	8 ( −21 )
	−168

Finnið tvær tölur sem hafa margfeldið $−168$ og summuna $−17$ . Stærri þátturinn að algildi verður að vera neikvæður.

Þættir −168	Summa þáttanna
1 , −168	1 + ( −168 ) = −167
2 , −84	2 + ( −84 ) = −82
3 , −56	3 + ( −56 ) = −53
4 , −42	4 + ( −42 ) = −38
6 , −28	6 + ( −28 ) = −22
7 , −24	7 + ( −24 ) = −17 *
8 , −21	8 + ( −21 ) = −13

Kljúfið miðliðinn með 7u and −24u.	8 u² − 17 ↙ u ↘ − 21 8 u² + 7 u ⎵ −24 u − 21 ⎵
Þáttið með flokkun.	u ( 8 u + 7 ) − 3 ( 8 u + 7 ) ( 8 u + 7 ) ( u − 3 )
Sannreynið með margföldun. ( 8 u + 7 ) ( u − 3 ) 8 u² − 24 u + 7 u − 21 8 u² − 17 u − 21 ✓

Dæmi 7.40

Þáttið: $2 x^{2} + 6 x + 5$ .

Lausn

Er til stærsti sameiginlegi þáttur? Nei.
Finnið a ⋅ c.	a ⋅ c
	2 ( 5 )
	10

Finnið tvær tölur sem hafa margfeldið 10 og summuna 6.

Þættir 10	Summa þáttanna
1 , 10	1 + 10 = 11
2, 5	2 + 5 = 7

Engir þættir hafa margfeldið 10 og summuna 6. Margliðan er óþáttanleg.

Gleymið ekki að leita að sameiginlegum þætti.

Dæmi 7.41

Þáttið: $10 y^{2} - 55 y + 70$ .

Lausn

Er til stærsti sameiginlegi þáttur? Já. SSÞ er 5.
Takið hann út fyrir sviga. Gætið þess að halda þættinum 5 með alla leið í gegnum lausnina.
Þríliðurinn innan sviganna hefur forystustuðul sem er ekki 1.
Þáttið þríliðinn.
Sannreynið með því að margfalda alla þrjá þættina.
5 ( 2 y² − 2 y − 4 y + 14 )
5 ( 2 y² − 11 y + 14 )
10 y² − 55 y + 70 ✓

Nú getum við uppfært grunnferlið við þáttun, eins og sýnt er á mynd 7.2 og lýst nánar í Veljið aðferð til að fullþátta margliður (uppfært), svo það taki einnig til þríliða af gerðinni $a x^{2} + b x + c$ . Munið að sumar margliður eru óþáttanlegar og því ekki hægt að þátta þær.

Myndin sýnir aðferð við þáttun margliða. Efst er SSÞ. Fyrir neðan eru þrír kostir. Fyrsti kosturinn er tvíliður. Annar er þríliður. Undir þrílið eru x squared + b x + c og a x squared + b x +c. Aðferðirnar tvær þar eru prófun og ac-aðferðin. Þriðji kosturinn er fleiri en þrír liðir; þar er þáttað með flokkun.

Verkefni úr hluta 7.3

Æfingin skapar meistarann

Þekkið grunnferli við fullþáttun margliða

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið velja bestu aðferðina til að þátta hverja margliðu.

135.

ⓐ $10 q^{2} + 50$
ⓑ $a^{2} - 5 a - 14$
ⓒ $u v + 2 u + 3 v + 6$

136.

ⓐ $n^{2} + 10 n + 24$
ⓑ $8 u^{2} + 16$
ⓒ $p q + 5 p + 2 q + 10$

137.

ⓐ $x^{2} + 4 x - 21$
ⓑ $a b + 10 b + 4 a + 40$
ⓒ $6 c^{2} + 24$

138.

ⓐ $20 x^{2} + 100$
ⓑ $u v + 6 u + 4 v + 24$
ⓒ $y^{2} - 8 y + 15$

Þáttið þríliði af gerðinni $a x^{2} + b x + c$ með SSÞ

Fullþáttið í eftirfarandi verkefnum.

139.

$5 x^{2} + 35 x + 30$

140.

$12 s^{2} + 24 s + 12$

141.

$2 z^{2} - 2 z - 24$

142.

$3 u^{2} - 12 u - 36$

143.

$7 v^{2} - 63 v + 56$

144.

$5 w^{2} - 30 w + 45$

145.

$p^{3} - 8 p^{2} - 20 p$

146.

$q^{3} - 5 q^{2} - 24 q$

147.

$3 m^{3} - 21 m^{2} + 30 m$

148.

$11 n^{3} - 55 n^{2} + 44 n$

149.

$5 x^{4} + 10 x^{3} - 75 x^{2}$

150.

$6 y^{4} + 12 y^{3} - 48 y^{2}$

Þáttið þríliði með prófun

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

151.

$2 t^{2} + 7 t + 5$

152.

$5 y^{2} + 16 y + 11$

153.

$11 x^{2} + 34 x + 3$

154.

$7 b^{2} + 50 b + 7$

155.

$4 w^{2} - 5 w + 1$

156.

$5 x^{2} - 17 x + 6$

157.

$6 p^{2} - 19 p + 10$

158.

$21 m^{2} - 29 m + 10$

159.

$4 q^{2} - 7 q - 2$

160.

$10 y^{2} - 53 y - 11$

161.

$4 p^{2} + 17 p - 15$

162.

$6 u^{2} + 5 u - 14$

163.

$16 x^{2} - 32 x + 16$

164.

$81 a^{2} + 153 a - 18$

165.

$30 q^{3} + 140 q^{2} + 80 q$

166.

$5 y^{3} + 30 y^{2} - 35 y$

Þáttið þríliði með ac-aðferðinni

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

167.

$5 n^{2} + 21 n + 4$

168.

$8 w^{2} + 25 w + 3$

169.

$9 z^{2} + 15 z + 4$

170.

$3 m^{2} + 26 m + 48$

171.

$4 k^{2} - 16 k + 15$

172.

$4 q^{2} - 9 q + 5$

173.

$5 s^{2} - 9 s + 4$

174.

$4 r^{2} - 20 r + 25$

175.

$6 y^{2} + y - 15$

176.

$6 p^{2} + p - 22$

177.

$2 n^{2} - 27 n - 45$

178.

$12 z^{2} - 41 z - 11$

179.

$3 x^{2} + 5 x + 4$

180.

$4 y^{2} + 15 y + 6$

181.

$60 y^{2} + 290 y - 50$

182.

$6 u^{2} - 46 u - 16$

183.

$48 z^{3} - 102 z^{2} - 45 z$

184.

$90 n^{3} + 42 n^{2} - 216 n$

185.

$16 s^{2} + 40 s + 24$

186.

$24 p^{2} + 160 p + 96$

187.

$48 y^{2} + 12 y - 36$

188.

$30 x^{2} + 105 x - 60$

Blönduð verkefni

Þáttið í eftirfarandi verkefnum.

189.

$12 y^{2} - 29 y + 14$

190.

$12 x^{2} + 36 y - 24 z$

191.

$a^{2} - a - 20$

192.

$m^{2} - m - 12$

193.

$6 n^{2} + 5 n - 4$

194.

$12 y^{2} - 37 y + 21$

195.

$2 p^{2} + 4 p + 3$

196.

$3 q^{2} + 6 q + 2$

197.

$13 z^{2} + 39 z - 26$

198.

$5 r^{2} + 25 r + 30$

199.

$x^{2} + 3 x - 28$

200.

$6 u^{2} + 7 u - 5$

201.

$3 p^{2} + 21 p$

202.

$7 x^{2} - 21 x$

203.

$6 r^{2} + 30 r + 36$

204.

$18 m^{2} + 15 m + 3$

205.

$24 n^{2} + 20 n + 4$

206.

$4 a^{2} + 5 a + 2$

207.

$x^{2} + 2 x - 24$

208.

$2 b^{2} - 7 b + 4$

Stærðfræði daglegs lífs

209.

Hæð leikfangaeldflaugar Hæð leikfangaeldflaugar sem skotið er af svölum fjölbýlishúss með upphafshraðann 80 fet á sekúndu tengist fjölda sekúndna, t, frá því henni er skotið á loft með þríliðnum $−16 t^{2} + 80 t + 96$ . Fullþáttið þríliðinn.

210.

Hæð strandbolta Hæð strandbolta sem kastað er upp með upphafshraðann 12 fet á sekúndu úr 4 feta hæð tengist fjölda sekúndna, t, frá kastinu með þríliðnum $−16 t^{2} + 12 t + 4$ . Fullþáttið þríliðinn.

Ritunarverkefni

211.

Teljið í réttri röð upp öll skrefin sem þið takið þegar ac-aðferðin er notuð til að þátta þrílið af gerðinni $a x^{2} + b x + c .$

212.

Að hvaða leyti líkist ac-aðferðin því að snúa FOIL-aðferðinni við? Að hvaða leyti er hún ólík?

213.

Hvaða spurninga spyrjið þið ykkur, í réttri röð, þegar þið byrjið að þátta margliðu? Hvað þurfið þið að gera eftir því hvert svarið við hverri spurningu er?

214.

Teiknið á blað töfluna sem tekur saman þáttunaraðferðina. Reynið að gera það án þess að líta í bókina. Að því loknu skuluð þið nota bókina til að ljúka við töfluna eða sannreyna hana.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Í töflunni eru eftirfarandi fullyrðingar og á undan hverri þeirra kemur „Ég get…“. Fyrsta röðin er „þekkt grunnferli við fullþáttun margliða“. Önnur röðin er „þáttað þríliði af gerðinni a x ^ 2 + b x + c með SSÞ“. Þriðja röðin er „þáttað þríliði með prófun“ og sú fjórða „þáttað þríliði með ac-aðferðinni“. Dálkarnir við hlið fullyrðinganna bera fyrirsagnirnar „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei – ég skil þetta ekki!“.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um það hversu vel þið hafið náð tökum á efni hlutans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?