22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.2 Leysið jöfnur með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Leyst jöfnur með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu
Leyst jöfnur sem þarf að einfalda
Sett orðalag fram sem jöfnu og leyst hana
Sett hagnýt verkefni fram með jöfnum og leyst þau

Leysið jöfnur með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu

Þið hafið ef til vill tekið eftir því að allar jöfnurnar sem við höfum leyst hingað til hafa verið af gerðinni $x + a = b$ eða $x - a = b$ . Við gátum einangrað breytuna með því að leggja fastaliðinn við eða draga hann frá þeirri hlið jöfnunnar sem innihélt breytuna. Nú skoðum við jöfnur þar sem breyta er margfölduð með fasta og því þarf að deila til að einangra breytuna.

Skoðum aftur gátuna með umslögunum og talningarskífunum á mynd 2.5.

Myndin sýnir vinnusvæði sem skiptist í tvær hliðar. Innihald vinstri hliðarinnar er jafnt innihaldi þeirrar hægri. Vinstra megin eru tvö umslög sem hvort um sig inniheldur óþekktan en jafn stóran fjölda talningarskífa. Hægra megin eru sex talningarskífur. — **Mynd 2.5.** Myndin sýnir líkan af jöfnu þar sem ein breyta er margfölduð með fasta. Vinstra megin á vinnusvæðinu eru tvö eintök af óþekktu stærðinni, táknuð með umslögum, en hægra megin eru sex talningarskífur.

Á myndinni eru tvö eins umslög sem innihalda sama fjölda talningarskífa. Munið að vinstri hlið vinnusvæðisins verður að vera jöfn þeirri hægri en skífurnar vinstra megin eru „faldar“ í umslögunum. Hve margar talningarskífur eru þá í hvoru umslagi?

Hvernig finnum við fjöldann? Við þurfum að skipta skífunum hægra megin í tvo jafnstóra hópa sem samsvara umslögunum tveimur vinstra megin. Þegar 6 talningarskífum er skipt í 2 jafna hópa verða 3 skífur í hvorum hópi, þar sem $6 \div 2 = 3$ .

Hvaða jafna lýsir aðstæðunum á mynd 2.6? Þar eru tvö umslög og í hvoru þeirra eru $x$ talningarskífur. Saman verða umslögin tvö að innihalda alls 6 skífur.


Ef við deilum báðum hliðum jöfnunnar með 2, eins og við gerðum með umslögin og talningarskífurnar,
fáum við:

Við fundum að í hvoru umslagi eru 3 talningarskífur. Stenst það? Við vitum að $2 \cdot 3 = 6$ , svo svarið stenst. Þrjár skífur í hvoru umslagi eru samtals sex.

Þetta dæmi leiðir okkur að reglunni um að deila báðum hliðum jöfnu með sömu tölu.

Markmiðið við lausn jöfnu er að snúa við reikniaðgerðinni sem beitt er á breytuna. Í næsta dæmi er breytan margfölduð með 5 og því deilum við báðum hliðum með 5 til að snúa margfölduninni við.

Dæmi 2.13

Leysið: $5 x = −27 .$

Lausn

Til að einangra xsnúum við margföldun með 5 við.
Deilið til að snúa margfölduninni við.
Einfaldið.
Sannprófun:
Setjið − $\frac{27}{5}$ inn fyrir x .

		Þar sem þetta er sönn fullyrðing er x = − 27/5lausn jöfnunnar 5 x = −27.

Skoðum jöfnuna $\frac{x}{4} = 3$ . Við viljum finna hvaða tala deild með 4 gefur 3. Til að snúa deilingunni við þurfum við því að margfalda með 4. Reglan um að margfalda báðar hliðar jöfnu með sömu tölu gerir okkur þetta kleift. Hún segir að ef byrjað er með tvær jafnar stærðir og báðar eru margfaldaðar með sömu tölu verði niðurstöðurnar jafnar.

Dæmi 2.14

Leysið: $\frac{y}{−7} = −14 .$

Lausn

Hér er $y$ deilt með $−7$ . Við verðum að margfalda með $−7$ til að einangra $y$ .


Margfaldið báðar hliðar með −7.
Margfaldið.
Einfaldið.
Sannprófun: y/−7 = −14
Setjið inn y = 98.
Deilið.

Dæmi 2.15

Leysið: $− n = 9 .$

Lausn


Munið að jafnan − n er jafngild jöfnunni −1 n.
Deilið báðum hliðum með −1.
Deilið.
Takið eftir að leysa má − n = 9á tvo aðra vegu. Einnig má leysa jöfnuna með því að margfalda báðar hliðar með −1 eða með því að finna móttölu beggja hliða.
Sannprófun:
Setjið inn n = −9.
Einfaldið.

Dæmi 2.16

Leysið: $\frac{3}{4} x = 12 .$

Lausn

Þar sem margfeldi tölu og margföldunarandhverfu hennar er 1 ætlum við að einangra $x$ með því að margfalda með margföldunarandhverfu $\frac{3}{4}$ .


Margfaldið með margföldunarandhverfu $\frac{3}{4}$ .
Margfeldi tölu og margföldunarandhverfu hennar er 1.
Margfaldið.
Takið eftir að við hefðum getað deilt báðum hliðum jöfnunnar $\frac{3}{4}$ x = 12 með $\frac{3}{4}$ til að einangra x. Það hefði virkað en flestum þykir auðveldara að margfalda með margföldunarandhverfunni.
Sannprófun:
Setjið inn x = 16.

Í næsta dæmi eru allir breytuliðirnir hægra megin í jöfnunni. Eins og alltaf er markmiðið við lausn jöfnunnar að einangra breytuna.

Dæmi 2.17

Leysið: $\frac{8}{15} = - \frac{4}{5} x .$

Lausn


Margfaldið með margföldunarandhverfu − $\frac{4}{5}$ .
Margfeldi tölu og margföldunarandhverfu hennar er 1.
Margfaldið.
Sannprófun:
Látum x = − $\frac{2}{3}$ .

Leysið jöfnur sem þarf að einfalda

Margar jöfnur eru í upphafi flóknari en þær sem við höfum unnið með.

Þegar jöfnur eru flóknari er fyrsta skrefið að einfalda báðar hliðar þeirra eins mikið og hægt er. Yfirleitt þarf þá að sameina samkynja liði eða beita dreifireglunni.

Dæmi 2.18

Leysið: $14 - 23 = 12 y - 4 y - 5 y .$

Lausn

Byrjið á að einfalda hvora hlið jöfnunnar.


Einfaldið hvora hlið.
Deilið báðum hliðum með 3.
Sannprófun:
Setjið inn y = −3.

Dæmi 2.19

Leysið: $−4 (a - 3) - 7 = 25 .$

Lausn

Hér einföldum við fyrst hvora hlið jöfnunnar með því að beita dreifireglunni.


Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með −4 til að einangra a.
Deilið.
Sannprófun:
Setjið inn a = −5.

Nú höfum við farið yfir allar fjórar reglur jafnaðar: frádráttar-, samlagningar-, deilingar- og margföldunarregluna. Hér eru þær allar á einum stað til hægðarauka.

Setjið orðalag fram sem jöfnu og leysið hana

Í næstu dæmum setjum við setningar fram sem jöfnur og leysum þær síðan. Gagnlegt gæti verið að rifja upp töfluna um framsetningu orðalags með algebrutáknum í fyrri kafla.

Dæmi 2.20

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Talan 143 er margfeldið af $−11$ og y.

Lausn

Byrjið á að setja setninguna fram sem jöfnu.

Setjið setninguna fram sem jöfnu.
Deilið með −11.
Einfaldið.
Sannprófun: 143 = −11 y¹⁴³ = ? −11 ( −13 ) 143 = 143 ✓

Dæmi 2.21

Setjið fram sem jöfnu og leysið: $n$ deilt með 8 er $−32$ .

Lausn

Byrjið á að setja setninguna fram sem jöfnu.Setjið hana fram sem jöfnu.
Margfaldið báðar hliðar með 8.
Einfaldið.
Sannprófun:	Er n deilt með 8 jafnt og −32?
Látum n = −256.	Er −256 deilt með 8 jafnt og −32?
Setjið setninguna fram sem jöfnu.	− $\frac{256}{8}$ = ? −32
Einfaldið.	−32 = −32 ✓

Dæmi 2.22

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Kvótinn af $y$ og $−4$ er $68$ .

Lausn

Byrjið á að setja setninguna fram sem jöfnu.

Setjið setninguna fram sem jöfnu.
Margfaldið báðar hliðar með −4.
Einfaldið.
Sannprófun:	Er kvótinn af y og −4 jafn 68?
Látum y = −272.	Er kvótinn af −272 og −4 jafn 68?
Setjið setninguna fram sem jöfnu.	−272/−4 = ? 68
Einfaldið.	68 = 68 ✓

Dæmi 2.23

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Þrír fjórðu hlutar af $p$ eru 18.

Lausn

Byrjið á að setja setninguna fram sem jöfnu. Munið að orðið „af“ táknar margföldun.

Setjið setninguna fram sem jöfnu.
Margfaldið báðar hliðar með $\frac{4}{3}$ .
Einfaldið.
Sannprófun:	Eru þrír fjórðu hlutar af p jafnir og 18?
Látum p = 24 .	Eru þrír fjórðu hlutar af 24 jafnir og 18?
Setjið setninguna fram sem jöfnu.	$\frac{3}{4}$ · 24 = ? 18
Einfaldið.	18 = 18 ✓

Dæmi 2.24

Setjið fram sem jöfnu og leysið: Summan af þremur áttundu hlutum og $x$ er einn helmingur.

Lausn

Byrjið á að setja setninguna fram sem jöfnu.

Setjið setninguna fram sem jöfnu.
Dragið $\frac{3}{8}$ frá báðum hliðum.
Einfaldið og skrifið brotin með samnefnara.
Einfaldið.
Sannprófun:		Er summan af þremur áttundu hlutum og x jöfn einum helmingi?
Let x = $\frac{1}{8}$ .		Er summan af þremur áttundu hlutum og einum áttunda hluta jöfn einum helmingi?
Setjið setninguna fram sem jöfnu.		$\frac{3}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = ? $\frac{1}{2}$
Einfaldið.		$\frac{4}{8}$ = ? $\frac{1}{2}$
Einfaldið.		$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ✓

Setjið hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysið þau

Við leysum hagnýt verkefni með reglunum um að deila báðum hliðum jöfnu með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu og fylgjum sömu skrefum og í síðasta hluta. Við endursegjum verkefnið í einni setningu, skilgreinum breytu og setjum síðan setninguna fram sem jöfnu sem við leysum.

Dæmi 2.25

Denae keypti 6 pund af vínberjum fyrir $10,74. Hvað kostaði hvert pund af vínberjum?

Lausn

Hvað eigið þið að finna?	Verð á 1 pundi af vínberjum
Skilgreinið breytu.	Látum c = verð á einu pundi.
Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.	Verðið á 6 pundum er $10,74.
Setjið setninguna fram sem jöfnu.	6 c = 10.74
Leysið.	6 c/6 = 10. $\frac{74}{6}$ c = 1.79
	Vínberin kosta $1,79 á pundið.
Sannprófun: Ef eitt pund kostar $1,79, kosta þá 6 pund #10,74? 6 ( 1.79 ) = ? 10.74 10.74 = 10.74 ✓

Dæmi 2.26

Andreas keypti notaðan bíl fyrir $12.000. Þar sem bíllinn var 4 ára var verðið $\frac{3}{4}$ af upphaflegu verði hans þegar hann var nýr. Hvert var upphaflegt verð bílsins?

Lausn

Hvað eigið þið að finna?	Upphaflegt verð bílsins
Skilgreinið breytu.	Látum p = upphaflegt verð.
Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.	$12.000 eru $\frac{3}{4}$ hlutar af upphaflega verðinu.
Setjið setninguna fram sem jöfnu.	12,000 = $\frac{3}{4}$ p
Leysið.	$\frac{4}{3}$ ( 12,000 ) = $\frac{4}{3}$ · $\frac{3}{4}$ p 16,000 = p
	Upphaflegt verð bílsins var $16.000.
Sannprófun: Eru $\frac{3}{4}$ hlutar af $16.000 jafnir og $12.000? $\frac{3}{4}$ · 16,000 = ? 12,000 12,000 = 12,000 ✓

Verkefni úr hluta 2.2

Æfingin skapar meistarann

Leysið jöfnur með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu

Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum með reglunum um að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu og sannreynið lausnina.

77.

$8 x = 56$

78.

$7 p = 63$

79.

$−5 c = 55$

80.

$−9 x = −27$

81.

$−809 = 15 y$

82.

$−731 = 19 y$

83.

$−37 p = −541$

84.

$−19 m = −586$

85.

$0.25 z = 3.25$

86.

$0.75 a = 11.25$

87.

$−13 x = 0$

88.

$24 x = 0$

89.

$\frac{x}{4} = 35$

90.

$\frac{z}{2} = 54$

91.

$−20 = \frac{q}{−5}$

92.

$\frac{c}{−3} = −12$

93.

$\frac{y}{9} = −16$

94.

$\frac{q}{6} = −38$

95.

$\frac{m}{−12} = 45$

96.

$−24 = \frac{p}{−20}$

97.

$− y = 6$

98.

$− u = 15$

99.

$− v = −72$

100.

$− x = −39$

101.

$\frac{2}{3} y = 48$

102.

$\frac{3}{5} r = 75$

103.

$- \frac{5}{8} w = 40$

104.

$24 = - \frac{3}{4} x$

105.

$- \frac{2}{5} = \frac{1}{10} a$

106.

$- \frac{1}{3} q = - \frac{5}{6}$

107.

$- \frac{7}{10} x = - \frac{14}{3}$

108.

$\frac{3}{8} y = - \frac{1}{4}$

109.

$\frac{7}{12} = - \frac{3}{4} p$

110.

$\frac{11}{18} = - \frac{5}{6} q$

111.

$- \frac{5}{18} = - \frac{10}{9} u$

112.

$- \frac{7}{20} = - \frac{7}{4} v$

Leysið jöfnur sem þarf að einfalda

Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum. Einfalda þarf jöfnurnar fyrst.

113.

$100 - 16 = 4 p - 10 p - p$

114.

$−18 - 7 = 5 t - 9 t - 6 t$

115.

$\frac{7}{8} n - \frac{3}{4} n = 9 + 2$

116.

$\frac{5}{12} q + \frac{1}{2} q = 25 - 3$

117.

$0.25 d + 0.10 d = 6 - 0.75$

118.

$0.05 p - 0.01 p = 2 + 0.24$

119.

$−10 (q - 4) - 57 = 93$

120.

$−12 (d - 5) - 29 = 43$

121.

$−10 (x + 4) - 19 = 85$

122.

$−15 (z + 9) - 11 = 75$

Blandaðar æfingar

Leysið hverja jöfnu í eftirfarandi verkefnum.

123.

$\frac{9}{10} x = 90$

124.

$\frac{5}{12} y = 60$

125.

$y + 46 = 55$

126.

$x + 33 = 41$

127.

$\frac{w}{−2} = 99$

128.

$\frac{s}{−3} = −60$

129.

$27 = 6 a$

130.

$− a = 7$

131.

$− x = 2$

132.

$z - 16 = −59$

133.

$m - 41 = −14$

134.

$0.04 r = 52.60$

135.

$63.90 = 0.03 p$

136.

$−15 x = −120$

137.

$84 = −12 z$

138.

$19.36 = x - 0.2 x$

139.

$c - 0.3 c = 35.70$

140.

$− y = −9$

141.

$− x = −8$

Setjið orðalag fram sem jöfnu og leysið hana

Setjið orðalagið í eftirfarandi verkefnum fram sem jöfnu og leysið hana síðan.

142.

187 er margfeldið af $−17$ og m.

143.

133 er margfeldið af $−19$ og n.

144.

$−184$ er margfeldið af 23 og p.

145.

$−152$ er margfeldið af 8 og q.

146.

u deilt með 7 er jafnt og $−49$ .

147.

r deilt með 12 er jafnt og $−48$ .

148.

h deilt með $−13$ er jafnt og $−65$ .

149.

j deilt með $−20$ er jafnt og $−80$ .

150.

Kvótinn af $c$ og $−19$ er 38.

151.

Kvótinn af $b$ og $−6$ er 18.

152.

Kvótinn af $h$ og 26 er $−52$ .

153.

Kvótinn af $k$ og 22 er $−66$ .

154.

Fimm sjöttu hlutar af y eru 15.

155.

Þrír tíundu hlutar af x eru 15.

156.

Fjórir þriðju hlutar af w eru 36.

157.

Fimm helmingar af v eru 50.

158.

Summan af níu tíundu hlutum og g er tveir þriðju hlutar.

159.

Summan af tveimur fimmtu hlutum og f er einn helmingur.

160.

Mismunurinn á p og eins sjötta hluta er tveir þriðju hlutar.

161.

Mismunurinn á q og eins áttunda hluta er þrír fjórðu hlutar.

Setjið hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leysið þau

Setjið hvert eftirfarandi verkefni fram sem jöfnu og leysið hana.

162.

Leikskóli Í leikskólabekk Connie eru 24 börn. Hún vill skipta þeim í 4 jafnstóra hópa. Hve mörg börn verða í hverjum hópi?

163.

Blöðrur Ramona keypti 18 blöðrur fyrir veislu. Hún vill skipta þeim í 3 jafnstóra knippi. Hve margar blöðrur verða í hverju knippi?

164.

Miðar Mollie greiddi $36,25 fyrir 5 bíómiða. Hvað kostaði hver miði?

165.

Innkaup Serena greiddi $12,96 fyrir pakka með 12 pörum af íþróttasokkum. Hvað kostaði hvert par?

166.

Saumaskapur Nancy notaði 14 jarda af efni til að sauma fána fyrir þriðjung skrúðgönguliðs. Hve mikið efni þyrfti hún í fána fyrir allt liðið?

167.

Eldsneytisnýting Jeppinn hans Johns ekur 18 mílur á hverju galloni (mpg). Það er helmingur þeirrar vegalengdar sem tvinnbíll eiginkonu hans ekur á hverju galloni. Hve margar mílur ekur tvinnbíllinn á hverju galloni?

168.

Hæð Aiden er 27 tommur á hæð. Hæð hans er $\frac{3}{8}$ af hæð föður hans. Hve hár er faðirinn?

169.

Fasteignasala Bea fékk $11.700 í sölulaun fyrir að selja hús, reiknuð sem $\frac{6}{100}$ af söluverðinu. Hvert var söluverð hússins?

Stærðfræði daglegs lífs

170.

Sölulaun Í hverri viku fær Perry $150 auk 12% af heildarsölu sinni umfram $1.250. Leysið jöfnuna $840 = 150 + 0.12 (a - 1250)$ fyrir atil að finna hve miklu Perry þarf að selja fyrir til að fá $840 í laun eina vikuna.

171.

Frímerki Travis keypti 49 senta og 21 senta frímerki fyrir samtals $9,45. Frímerkin sem kostuðu 21 sent voru 5 færri en þau sem kostuðu 49 sent. Leysið jöfnuna $0.49 s + 0.21 (s - 5) = 9.45$ fyrir stil að finna fjölda 49 senta frímerkja sem Travis keypti.

Ritunarverkefni

172.

Frida byrjaði að leysa jöfnuna $−3 x = 36$ með því að leggja 3 við báðar hliðar. Útskýrið hvers vegna aðferð hennar leysir ekki jöfnuna.

173.

Emiliano telur að $x = 40$ sé lausn jöfnunnar $\frac{1}{2} x = 80$ . Útskýrið hvers vegna það er rangt.

Sjálfsmat

ⓐ Að verkefnunum loknum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve góðum tökum þið hafið náð á markmiðum hlutans.

Þetta er tafla með fimm línum og fjórum dálkum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og í reitunum stendur frá vinstri til hægri: „Ég get ...“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei — ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get ...“ stendur: „1) leyst jöfnur með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu“, „2) leyst jöfnur sem þarf að einfalda“, „3) sett orðalag fram sem jöfnu og leyst hana“ og „4) sett hagnýt verkefni fram sem jöfnur og leyst þau“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve góðum tökum þið hafið náð á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?