22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.6 Einangrið tiltekna breytu í formúlu

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Notað formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma
Einangrað tiltekna breytu í formúlu

Notið formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma

Ein formúla sem þið notið oft í algebru og daglegu lífi er formúlan fyrir vegalengd hlutar sem hreyfist með jöfnum hraða. Hraði segir til um hversu hratt hluturinn fer. Grunnhugmyndin um hraða er ykkur ef til vill þegar kunn. Vitið þið hvaða vegalengd þið farið ef þið akið með jöfnum hraða, 60 mílur á klukkustund, í 2 klukkustundir? (Þetta gæti gerst ef hraðastillir bílsins er notaður á þjóðvegi.) Ef svarið var 120 mílur, kunnið þið þegar að nota formúluna!

Við notum aðferðina til að leysa orðadæmi sem við notuðum fyrr í þessum kafla. Þegar verkefnið krefst formúlu breytum við skrefi 4. Í stað þess að rita setningu ritum við viðeigandi formúlu. Breyttu skrefin eru sýnd hér til viðmiðunar.

Gott getur verið að gera litla töflu til að draga saman upplýsingarnar í verkefninu. Skoðið töfluna í fyrsta dæminu.

Dæmi 2.58

Jamal hjólar á jöfnum hraða, 12 mílur á klukkustund, í $3 \frac{1}{2}$ klukkustundir. Hvaða vegalengd hefur hann farið?

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákveðið hvaða stærðar er leitað.	farin vegalengd
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum d = vegalengd.
Skref 4. Setjið fram: Ritið viðeigandi formúlu.	d = r t

Setjið gefnar upplýsingar inn í formúluna.	d = 12 · 3 $\frac{1}{2}$
Skref 5. Leysið jöfnuna.	d = 42 mílur
Skref 6. Sannprófið
Er 42 mílna vegalengd raunhæf?
Jamal hjólar:

Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.	Jamal hjólaði 42 mílur.

Dæmi 2.59

Rey ætlar að aka frá heimili sínu í San Diego til að heimsækja ömmu sína í Sacramento. Vegalengdin er 520 mílur. Ef hann getur ekið með jöfnum hraða, 65 mílur á klukkustund, hversu margar klukkustundir tekur ferðin?

Lausn

Skref 1. Lesið verkefnið.
Skref 2. Ákveðið hvaða stærðar er leitað.	Fjöldi klukkustunda (tími)
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum t = tími.

Skref 4. Setjið fram. Ritið viðeigandi formúlu.	d = r t
Setjið gefnar upplýsingar inn í formúluna.	520 = 65 t
Skref 5. Leysið jöfnuna.	t = 8
Skref 6. Sannprófið. Setjið tölurnar inn í formúluna og gangið úr skugga um að niðurstaðan sé sönn fullyrðing.
	d = r t⁵²⁰ = ? 65 · 8 520 = 520 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu. Ferð Reys tekur 8 klukkustundir.

Einangrið tiltekna breytu í formúlu

Þið kannist líklega við nokkrar formúlur úr rúmfræði. Formúla er stærðfræðileg lýsing á sambandi breyta. Formúlur eru einnig notaðar í vísindum, svo sem efnafræði, eðlisfræði og líffræði. Í læknisfræði eru þær notaðar til að reikna lyfjaskammta eða líkamsþyngdarstuðul. Töflureiknar byggja útreikninga á formúlum. Mikilvægt er að þekkja formúlur og geta umritað þær auðveldlega.

Í dæmi 2.58 og dæmi 2.59 notuðum við formúluna $d = r t$ . Hún gefur $d$ , vegalengdina, út frá $r og t$ , hraða og tíma. Í dæmi 2.59 þurftum við hins vegar að finna $t$ . Fyrst settum við inn $d og r$ ; síðan einangruðum við $t$ með algebru. Ef þetta væri gert oft væri hentugt að hafa formúlu sem gæfi $t$ beint út frá $d og r$ . Slíka formúlu fáum við með því að umrita $d = r t$ þannig að $t$ sé einangrað.

Að einangra tiltekna breytu í formúlu merkir að breytan stendur ein öðrum megin við jafnaðarmerkið með stuðulinn 1. Allar aðrar breytur og fastar tölur eru hinum megin við jafnaðarmerkið. Við byrjum á formúlunni fyrir vegalengd, hraða og tíma til að sjá hvernig tiltekin breyta er einangruð í formúlu.

Dæmi 2.60

Umritið formúluna $d = r t$ og einangrið $t$ :

ⓐ þegar $d = 520$ og $r = 65$
ⓑ almennt

Lausn

Við ritum lausnirnar hlið við hlið til að sýna að sömu skref eru notuð við að einangra breytu almennt í formúlu og þegar tölugildi eru sett inn.

ⓐ þegar d = 520 og r = 65		ⓑ almennt
Ritið formúluna.	d = r t		Ritið formúluna.	d = r t
Setjið inn.	520 = 65 t
Deilið til að einangra t.	$\frac{520}{65}$ = 65 t/65		Deilið til að einangra t.	d/r = r t/r
Einfaldið.	8 = t		Einfaldið.	d/r = t

Við segjum að formúlan $t = \frac{d}{r}$ hafi verið umrituð þannig að $t$ sé einangrað.

Dæmi 2.61

Umritið formúluna $A = \frac{1}{2} b h$ og einangrið $h$ :

ⓐ þegar $A = 90$ og $b = 15$ ⓑ almennt

Lausn

ⓐ þegar A = 90 og b = 15	ⓑ almennt
Ritið formúluna.		Ritið formúluna.
Setjið inn.
Losið jöfnuna við brotin.		Losið jöfnuna við brotin.
Einfaldið.		Einfaldið.
Einangrið h.		Einangrið h.

Nú getum við fundið hæð þríhyrnings út frá flatarmáli hans og grunnlínu með formúlunni $h = \frac{2 A}{b}$ .

Formúlan $I = P r t$ er notuð til að reikna einfalda vexti, I, af höfuðstól, P, sem ber vexti á vaxtaprósentunni rí t ár.

Dæmi 2.62

Umritið formúluna $I = P r t$ til að finna höfuðstólinn, $P$ :

ⓐ þegar $I = $ 5,600, r = 4 %, t = 7 ár$ ⓑ almennt

Lausn

ⓐ I = $5,600 , r = 4% , t = 7 ár	ⓑ almennt
Ritið formúluna.		Ritið formúluna.
Setjið inn.
Einfaldið.		Einfaldið.
Deilið til að einangra P.		Deilið til að einangra P.
Einfaldið.		Einfaldið.
Höfuðstóllinn er

Síðar í þessu námskeiði og í frekara algebrunámi munuð þið kynnast jöfnum sem tengja tvær breytur, yfirleitt x og y. Gefin kann að vera jafna þar sem y er einangrað og þá þarf að einangra x, eða öfugt. Í næsta dæmi er gefin jafna þar sem bæði x og y eru sömu megin, og við einangrum y.

Dæmi 2.63

Umritið formúluna $3 x + 2 y = 18$ og einangrið y:

ⓐ þegar $x = 4$ ⓑ almennt

Lausn

ⓐ þegar x = 4	ⓑ almennt

Setjið inn.
Dragið frá til að einangra y-liðinn.		Dragið frá til að einangra y-liðinn.
Deilið.		Deilið.
Einfaldið.		Einfaldið.

Í dæmum 1.60 til 1.64 notuðum við tölurnar í a-lið sem leiðbeiningu við almenna lausn í b-lið. Nú umritum við formúlu almennt án þess að styðjast við tölur.

Dæmi 2.64

Umritið formúluna $P = a + b + c$ og einangrið $a$ .

Lausn

Við einangrum a á annarri hlið jöfnunnar.
Bæði b og c eru lögð við a, svo við drögum þau frá báðum hliðum jöfnunnar.
Einfaldið.

Dæmi 2.65

Umritið formúluna $6 x + 5 y = 13$ og einangrið y.

Lausn


Dragið 6 x frá báðum hliðum til að einangra liðinn með y.
Einfaldið.
Deilið með 5 svo stuðullinn verði 1.
Einfaldið.

Brotið er fullstytt. Ekki er hægt að deila $13 - 6 x$ með 5.

Æfingar úr kafla 2.6

Æfingin skapar meistarann

Notið formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma

Leysið eftirfarandi verkefni.

376.

Steve ók í $8 \frac{1}{2}$ klukkustundir á 72 mílna hraða. Hvaða vegalengd fór hann?

377.

Socorro ók í $4 \frac{5}{6}$ klukkustundir á 60 mílna hraða. Hvaða vegalengd fór hún?

378.

Yuki gekk í $1 \frac{3}{4}$ klukkustundir á 4 mílna hraða. Hversu langt gekk hún?

379.

Francie hjólaði í $2 \frac{1}{2}$ klukkustundir á 12 mílna hraða. Hversu langt hjólaði hún?

380.

Connor ætlar að aka frá Tucson að Miklagljúfri, sem er 338 mílna vegalengd. Ef hann ekur með jöfnum hraða, 52 mílur á klukkustund, hversu margar klukkustundir tekur ferðin?

381.

Megan tekur rútu frá New York-borg til Montreal. Vegalengdin er 380 mílur og rútan ekur með jöfnum hraða, 76 mílur á klukkustund. Hversu lengi tekur rútuferðin?

382.

Aurelia ekur frá Miami til Orlando á 65 mílna hraða á klukkustund. Vegalengdin er 235 mílur. Hversu lengi tekur ferðin, námundað að næsta tíunda hluta klukkustundar?

383.

Kareem ætlar að hjóla frá St. Louis til Champaign í Illinois. Vegalengdin er 180 mílur. Ef hann hjólar með jöfnum hraða, 16 mílur á klukkustund, hversu margar klukkustundir tekur ferðin?

384.

Javier ekur til Bangor, sem er í 240 mílna fjarlægð. Ef hann þarf að vera kominn til Bangor eftir 4 klukkustundir, á hvaða hraða þarf hann að aka?

385.

Alejandra ekur til Cincinnati, sem er í 450 mílna fjarlægð. Ef hún vill vera komin þangað eftir 6 klukkustundir, á hvaða hraða þarf hún að aka?

386.

Aisha tók lest frá Spokane til Seattle. Vegalengdin er 280 mílur og ferðin tók 3.5 klukkustundir. Hver var hraði lestarinnar?

387.

Philip fékk far með vini sínum frá Denver til Las Vegas, sem er 750 mílna vegalengd. Hversu hratt ók vinurinn ef ferðin tók 10 klukkustundir?

Einangrið tiltekna breytu í formúlu

Notið formúluna $d = r t$ í eftirfarandi verkefnum.

388.

Einangrið $t$ ⓐ þegar $d = 350$ og $r = 70$ ⓑ almennt

389.

Einangrið $t$ ⓐ þegar $d = 240 og r = 60$ ⓑ almennt

390.

Einangrið $t$ ⓐ þegar $d = 510 og r = 60$ ⓑ almennt

391.

Einangrið $t$
ⓐ þegar $d = 175 og r = 50$
ⓑ almennt

392.

Einangrið $r$
ⓐ þegar $d = 204 og t = 3$ ⓑ almennt

393.

Einangrið $r$ ⓐ þegar $d = 420 og t = 6$ ⓑ almennt

394.

Einangrið $r$ ⓐ þegar $d = 160 og t = 2.5$ ⓑ almennt

395.

Einangrið $r$ ⓐ þegar $d = 180 og t = 4.5$ ⓑ almennt

Notið formúluna $A = \frac{1}{2} b h$ í eftirfarandi verkefnum.

396.

Einangrið $b$ ⓐ þegar $A = 126 og h = 18$ ⓑ almennt

397.

Einangrið $h$
ⓐ þegar $A = 176 og b = 22$ ⓑ almennt

398.

Einangrið $h$ ⓐ þegar $A = 375 og b = 25$ ⓑ almennt

399.

Einangrið $b$ ⓐ þegar $A = 65 og h = 13$ ⓑ almennt

Notið formúluna I = Prt.

400.

Einangrið höfuðstólinn, Pⓐ þegar $I = $ 5,480, r = 4 %,$ $t = 7 ár$ ⓑ almennt

401.

Einangrið höfuðstólinn, P
ⓐ þegar $I = $ 3,950, r = 6 %,$ $t = 5 ár$ ⓑ almennt

402.

Einangrið tímann, tⓐ þegar $I = $ 2,376, P = $ 9,000,$ $r = 4.4 %$ ⓑ almennt

403.

Einangrið tímann, t
ⓐ þegar $I = $ 624, P = $ 6,000,$ $r = 5.2 %$ ⓑ almennt

Leysið eftirfarandi verkefni.

404.

Umritið formúluna $2 x + 3 y = 12$ og einangrið yⓐ þegar $x = 3$ ⓑ almennt

405.

Umritið formúluna $5 x + 2 y = 10$ og einangrið yⓐ þegar $x = 4$ ⓑ almennt

406.

Umritið formúluna $3 x - y = 7$ og einangrið yⓐ þegar $x = −2$ ⓑ almennt

407.

Umritið formúluna $4 x + y = 5$ og einangrið yⓐ þegar $x = −3$ ⓑ almennt

408.

Umritið $a + b = 90$ og einangrið $b$ .

409.

Umritið $a + b = 90$ og einangrið $a$ .

410.

Umritið $180 = a + b + c$ og einangrið $a$ .

411.

Umritið $180 = a + b + c$ og einangrið $c$ .

412.

Umritið formúluna $8 x + y = 15$ og einangrið y.

413.

Umritið formúluna $9 x + y = 13$ og einangrið y.

414.

Umritið formúluna $−4 x + y = −6$ og einangrið y.

415.

Umritið formúluna $−5 x + y = −1$ og einangrið y.

416.

Umritið formúluna $4 x + 3 y = 7$ og einangrið y.

417.

Umritið formúluna $3 x + 2 y = 11$ og einangrið y.

418.

Umritið formúluna $x - y = −4$ og einangrið y.

419.

Umritið formúluna $x - y = −3$ og einangrið y.

420.

Umritið formúluna $P = 2 L + 2 W$ og einangrið $L$ .

421.

Umritið formúluna $P = 2 L + 2 W$ og einangrið $W$ .

422.

Umritið formúluna $C = π d$ og einangrið $d$ .

423.

Umritið formúluna $C = π d$ og einangrið $π$ .

424.

Umritið formúluna $V = L W H$ og einangrið $L$ .

425.

Umritið formúluna $V = L W H$ og einangrið $H$ .

Stærðfræði daglegs lífs

426.

Umreikningur hitastigs Á ferðalagi um Grikkland sá Tatyana að hitastigið var 40^° á Celsíus-kvarða. Einangrið F í formúlunni $C = \frac{5}{9} (F - 32)$ til að finna hitastigið á Fahrenheit-kvarða.

427.

Umreikningur hitastigs Yon var í heimsókn í Bandaríkjunum og sá að hitastigið í Seattle einn daginn var 50^° á Fahrenheit-kvarða. Einangrið C í formúlunni $F = \frac{9}{5} C + 32$ til að finna hitastigið á Celsíus-kvarða.

Ritunarverkefni

428.

Umritið jöfnuna $2 x + 3 y = 6$ og einangrið $y$ ⓐ þegar $x = −3$ ⓑ almennt ⓒ Hvor lausnin finnst ykkur auðveldari, ⓐ eða ⓑ? Hvers vegna?

429.

Umritið jöfnuna $5 x - 2 y = 10$ og einangrið $x$ ⓐ þegar $y = 10$ ⓑ almennt
ⓒ Hvor lausnin finnst ykkur auðveldari, ⓐ eða ⓑ? Hvers vegna?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

Þetta er tafla með þremur línum og fjórum dálkum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og reitirnir í henni eru, frá vinstri til hægri: „Ég get…“, „örugglega“, „með nokkurri hjálp“ og „nei – ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur „notað formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma“ og „einangrað tiltekna breytu í formúlu“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um það hversu vel þið hafið náð tökum á efni kaflans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?