22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.3 Leysið jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Leyst jöfnu með föstum á báðum hliðum
Leyst jöfnu með breytum á báðum hliðum
Leyst jöfnu með breytum og föstum á báðum hliðum

Leysið jöfnur með föstum á báðum hliðum

Í öllum jöfnunum sem við höfum leyst hingað til hafa allir breytuliðirnir verið öðrum megin en föstu liðirnir hinum megin. Svo er þó ekki alltaf. Nú lærum við að leysa jöfnur þar sem breytuliðir, fastir liðir eða hvorir tveggja eru á báðum hliðum jöfnunnar.

Aðferðin felst í að velja aðra hlið jöfnunnar sem „breytuhlið“ og hina sem „fastahlið“. Síðan notum við frádráttar- og samlagningarreglur jafnaðar til að færa alla breytuliði öðrum megin og alla fasta liði hinum megin.

Þannig umbreytum við jöfnu sem hefur breytuliði og fasta liði á báðum hliðum í jöfnu á forminu $a x = b .$ Við kunnum þegar að leysa jöfnur af þessu formi með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu.

Dæmi 2.27

Leysið: $7 x + 8 = −13 .$

Lausn

Í þessari jöfnu er breytan aðeins vinstra megin. Því er eðlilegt að kalla vinstri hliðina „breytuhlið“. Hægri hliðin verður þá „fastahlið“. Við skrifum heitin fyrir ofan jöfnuna til að minna okkur á hvað á að vera hvorum megin.

Þar sem vinstri hliðin er „ $x$ “, eða breytuhliðin, er 8 á röngum stað. Við þurfum að snúa samlagningunni við með því að draga 8 frá. Til að hliðar jöfnunnar verði áfram jafnar verðum við að draga 8 frá báðum hliðum.


Beitið frádráttarreglu jafnaðar.
Einfaldið.
Nú eru allar breyturnar vinstra megin og fasti liðurinn hægra megin. Jafnan er nú eins og jöfnurnar sem þið lærðuð áður að leysa.
Deilið báðum hliðum með sömu tölu.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum x = −3.

Dæmi 2.28

Leysið: $8 y - 9 = 31 .$

Lausn

Takið eftir að breytan er aðeins vinstra megin í jöfnunni. Við köllum því þá hlið „breytuhlið“ og þá hægri „fastahlið“. Þar sem vinstri hliðin er breytuhlið er 9 á röngum stað. Það er dregið frá $8 y$ , svo til að snúa frádrættinum við leggjum við 9 við báðar hliðar. Munið að allt sem gert er vinstra megin verður einnig að gera hægra megin.


Leggið 9 við báðar hliðar.
Einfaldið.
	Breyturnar eru nú öðrum megin og föstu liðirnir hinum megin.Héðan höldum við áfram eins og áður.
Deilið báðum hliðum með 8.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum y = 5.

Leysið jöfnur með breytum á báðum hliðum

Hvað gerum við ef breytur eru á báðum hliðum jöfnunnar? Byrjið eins og hér að framan: veljið „breytuhlið“ og „fastahlið“ og beitið síðan frádráttar- og samlagningarreglum jafnaðar til að færa alla breytuliði öðrum megin og alla fasta liði hinum megin.

Dæmi 2.29

Leysið: $9 x = 8 x - 6 .$

Lausn

Hér er breytan báðum megin en föstu liðirnir aðeins hægra megin. Við veljum því hægri hliðina sem „fastahlið“. Vinstri hliðin verður þá „breytuhlið“.


Við viljum enga x-liði hægra megin, svo við drögum 8 x frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Okkur tókst að færa breyturnar öðrum megin og föstu liðina hinum megin og höfum fundið lausnina.
Sannprófun:
Látum x = −6.

Dæmi 2.30

Leysið: $5 y - 9 = 8 y .$

Lausn

Eini fasti liðurinn er vinstra megin en $y$ -liðirnir eru báðum megin. Látum fasta liðinn vera áfram vinstra megin og færum breyturnar til hægri.


Dragið 5 y frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Nú eru y-liðirnir hægra megin ogföstu liðirnir vinstra megin. Deilið báðum hliðum með 3.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum y = −3 .

Dæmi 2.31

Leysið: $12 x = − x + 26 .$

Lausn

Eini fasti liðurinn er hægra megin, svo við veljum vinstri hliðina sem „breytuhlið“.


Fjarlægið − x frá hægri hliðinni með því að leggja x við báðar hliðar.
Einfaldið.
Allir x-liðirnir eru vinstra megin og föstu liðirnir hægra megin. Deilið báðum hliðum með 13.
Einfaldið.

Leysið jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum

Næsta dæmi er það fyrsta þar sem bæði breytuliðir og fastir liðir eru á báðum hliðum jöfnunnar. Það getur þurft nokkur skref til að leysa hana og því þurfum við skýra og skipulega aðferð.

Dæmi 2.32

Aðferð til að leysa jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum

Leysið: $7 x + 5 = 6 x + 2 .$

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og fjórum línum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur og þar eru heiti og númer skrefanna. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja er stærðfræði. Í efstu línunni stendur í fyrsta reitnum vinstra megin: „Skref 1. Veljið hvor hliðin verður breytuhlið; hin verður fastahlið.“ Í öðrum reitnum stendur: „Breytuliðirnir eru 7x og 6x. Þar sem 7 er stærra en 6 veljum við vinstri hliðina sem x-hlið og þá verður sú hægri fastahlið.“ Í þriðja reitnum er jafnan 7x plús 5 er jafnt og 6x plús 2. Vinstri hliðin er merkt með rauðu sem „breytuhlið“ og sú hægri með rauðu sem „fastahlið“.

Í annarri línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Færið breytuliðina á breytuhlið jöfnunnar með samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar.“ Í öðrum reitnum stendur: „Þar sem hægri hliðin er fastahlið er 6x á röngum stað, svo dragið 6x frá báðum hliðum. Sameinið samkynja liði. Nú er breytan aðeins vinstra megin!“ Í þriðja reitnum er upphaflega jafnan þar sem 6x er dregið frá báðum hliðum: 7x mínus 6x plús 5 er jafnt og 6x mínus 6x plús 2. „Mínus 6x“ er rauðlitað á báðum hliðum. Fyrir neðan er sama jafna eftir að samkynja liðir hafa verið sameinaðir: x plús 5 er jafnt og 2.

Í þriðju línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Færið alla fasta liði á hina hlið jöfnunnar með samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar.“ Í öðrum reitnum stendur: „Hægri hliðin er fastahlið og því er 5 á röngum stað. Dragið 5 frá báðum hliðum. Einfaldið.“ Í þriðja reitnum er jafnan x plús 5 mínus 5 er jafnt og 2 mínus 5. „Mínus 5“ er rauðlitað á báðum hliðum. Fyrir neðan er lausnin: x er jafnt og mínus 3.

Í fjórðu línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 4. Gerið stuðul breytunnar jafnan 1 með því að margfalda báðar hliðar með sömu tölu eða deila þeim með sömu tölu sem er ekki núll.“ Í öðrum reitnum stendur: „Stuðull x er einn. Jafnan er leyst.“ Þriðji reiturinn er auður.

Í fimmtu línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 5. Sannprófið.“ Í öðrum reitnum stendur: „Sannprófun. Látum x vera mínus 3. Einfaldið. Leggið saman.“ Í þriðja reitnum er upphaflega jafnan aftur: 7x plús 5 er jafnt og 6x plús 2. Fyrir neðan er sama jafna þar sem mínus 3 er sett inn fyrir x: 7 sinnum mínus 3 innan sviga plús 5 er jafnt og 6 sinnum mínus 3 innan sviga plús 2? „Sinnum mínus 3“ er rauðlitað á báðum hliðum jöfnunnar. Fyrir neðan er jafnan mínus 21 plús 5 er jafnt og mínus 18 plús 2? Í síðustu línunni er jafnan mínus 16 er jafnt og mínus 16 með gátmerki.

Við skráum skrefin hér á eftir svo auðvelt sé að vísa í þau. Við köllum þetta þó „upphafsaðferðina“ því síðar í kaflanum bætum við við fleiri skrefum.

Í skrefi 1 er gagnlegt að velja sem breytuhlið þá hlið sem hefur breytuliðinn með stærri stuðlinum. Það auðveldar yfirleitt reikningana.

Dæmi 2.33

Leysið: $8 n - 4 = −2 n + 6 .$

Lausn

Veljið breytuhlið í fyrsta skrefinu með því að bera saman stuðla breytuliðanna á báðum hliðum.

Þar sem 8 > −2veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið.
Við viljum enga breytuliði hægra megin. Leggið 2 n við báðar hliðar svo aðeins fastir liðir verði eftir hægra megin.
Sameinið samkynja liði.
Við viljum enga fasta liði vinstra megin, svo leggið 4 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Breytuliðurinn er vinstra megin og fasti liðurinn hægra megin. Til að gera stuðul n jafnan einum deilum við báðum hliðum með 10.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum n = 1.

Dæmi 2.34

Leysið: $7 a - 3 = 13 a + 7 .$

Lausn

Veljið breytuhlið í fyrsta skrefinu með því að bera saman stuðla breytanna báðum megin.

Þar sem $13 > 7$ veljum við hægri hliðina sem breytuhlið og þá vinstri sem fastahlið.


Dragið 7 a frá báðum hliðum til að fjarlægja breytuliðinn vinstra megin.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 7 frá báðum hliðum til að fjarlægja fasta liðinn hægra megin.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með 6 til að gera 1 að stuðli a.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum a = − $\frac{5}{3}$ .

Í síðasta dæmi hefðum við getað valið vinstri hliðina sem breytuhlið en þá hefði breytuliðurinn fengið neikvæðan stuðul. Prófið það! Við getum unnið með neikvæða stuðulinn en minni hætta er á villum þegar unnið er með jákvæða stuðla. Aðferðin hér að framan hjálpar okkur að forðast neikvæða stuðla.

Til að leysa jöfnu með brotum fylgjum við einfaldlega skrefum aðferðarinnar þar til lausnin fæst.

Dæmi 2.35

Leysið: $\frac{5}{4} x + 6 = \frac{1}{4} x - 2 .$

Lausn

Þar sem $\frac{5}{4} > \frac{1}{4}$ veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið og þá hægri sem fastahlið.


Dragið $\frac{1}{4}$ x frá báðum hliðum.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 6 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Sannprófun: $\frac{5}{4}$ x + 6 = $\frac{1}{4}$ x − 2 Látum x = −8 . $\frac{5}{4}$ ( −8 ) + 6 = ? $\frac{1}{4}$ ( −8 ) − 2 −10 + 6 = ? −2 − 2 −4 = −4 ✓

Við notum sömu aðferð til að finna lausn jöfnu með tugabrotum.

Dæmi 2.36

Leysið: $7.8 x + 4 = 5.4 x - 8 .$

Lausn

Þar sem $7.8 > 5.4$ veljum við vinstri hliðina sem breytuhlið og þá hægri sem fastahlið.


Dragið 5.4 x frá báðum hliðum.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 4 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum með sömu tölu.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum x = −5.

Verkefni úr hluta 2.3

Æfingin skapar meistarann

Leysið jöfnur með föstum á báðum hliðum

Leysið eftirfarandi jöfnur með föstum á báðum hliðum.

174.

$9 x - 3 = 60$

175.

$12 x - 8 = 64$

176.

$14 w + 5 = 117$

177.

$15 y + 7 = 97$

178.

$2 a + 8 = −28$

179.

$3 m + 9 = −15$

180.

$−62 = 8 n - 6$

181.

$−77 = 9 b - 5$

182.

$35 = −13 y + 9$

183.

$60 = −21 x - 24$

184.

$−12 p - 9 = 9$

185.

$−14 q - 2 = 16$

Leysið jöfnur með breytum á báðum hliðum

Leysið eftirfarandi jöfnur með breytum á báðum hliðum.

186.

$19 z = 18 z - 7$

187.

$21 k = 20 k - 11$

188.

$9 x + 36 = 15 x$

189.

$8 x + 27 = 11 x$

190.

$c = −3 c - 20$

191.

$b = −4 b - 15$

192.

$9 q = 44 - 2 q$

193.

$5 z = 39 - 8 z$

194.

$6 y + \frac{1}{2} = 5 y$

195.

$4 x + \frac{3}{4} = 3 x$

196.

$−18 a - 8 = −22 a$

197.

$−11 r - 8 = −7 r$

Leysið jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum

Leysið eftirfarandi jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum.

198.

$8 x - 15 = 7 x + 3$

199.

$6 x - 17 = 5 x + 2$

200.

$26 + 13 d = 14 d + 11$

201.

$21 + 18 f = 19 f + 14$

202.

$2 p - 1 = 4 p - 33$

203.

$12 q - 5 = 9 q - 20$

204.

$4 a + 5 = − a - 40$

205.

$8 c + 7 = −3 c - 37$

206.

$5 y - 30 = −5 y + 30$

207.

$7 x - 17 = −8 x + 13$

208.

$7 s + 12 = 5 + 4 s$

209.

$9 p + 14 = 6 + 4 p$

210.

$2 z - 6 = 23 - z$

211.

$3 y - 4 = 12 - y$

212.

$\frac{5}{3} c - 3 = \frac{2}{3} c - 16$

213.

$\frac{7}{4} m - 7 = \frac{3}{4} m - 13$

214.

$8 - \frac{2}{5} q = \frac{3}{5} q + 6$

215.

$11 - \frac{1}{5} a = \frac{4}{5} a + 4$

216.

$\frac{4}{3} n + 9 = \frac{1}{3} n - 9$

217.

$\frac{5}{4} a + 15 = \frac{3}{4} a - 5$

218.

$\frac{1}{4} y + 7 = \frac{3}{4} y - 3$

219.

$\frac{3}{5} p + 2 = \frac{4}{5} p - 1$

220.

$14 n + 8.25 = 9 n + 19.60$

221.

$13 z + 6.45 = 8 z + 23.75$

222.

$2.4 w - 100 = 0.8 w + 28$

223.

$2.7 w - 80 = 1.2 w + 10$

224.

$5.6 r + 13.1 = 3.5 r + 57.2$

225.

$6.6 x - 18.9 = 3.4 x + 54.7$

Stærðfræði daglegs lífs

226.

Tónleikamiðar Á skólahljómleikum var heildarsöluverð miðanna $1.506. Nemendamiðar kostuðu $6 og fullorðinsmiðar $9. Fjöldi seldra fullorðinsmiða var 5 minni en 3 sinnum fjöldi nemendamiða. Finnið fjölda seldra nemendamiða, s, með því að leysa jöfnuna $6 s + 27 s - 45 = 1506$ .

227.

Girðing Jovani hefur 150 fet af girðingarefni til að girða af rétthyrndan garð í bakgarðinum sínum. Hann vill að lengdin sé 15 fetum meiri en breiddin. Finnið breiddina, w, með því að leysa jöfnuna $150 = 2 w + 30 + 2 w$ .

Ritunarverkefni

228.

Leysið jöfnuna $\frac{6}{5} y - 8 = \frac{1}{5} y + 7$ og útskýrið öll skref lausnarinnar eins og gert er í dæmunum í þessum hluta.

229.

Leysið jöfnuna $10 x + 14 = −2 x + 38$ og útskýrið öll skref lausnarinnar eins og gert er í dæmunum í þessum hluta.

230.

Hvers vegna er yfirleitt betra, þegar leysa á jöfnu með breytum á báðum hliðum, að velja þá hlið sem breytuhlið þar sem stuðull $x$ er stærri?

231.

Er $x = −2$ lausn jöfnunnar $5 - 2 x = −4 x + 1$ ? Hvernig vitið þið það?

Sjálfsmat

ⓐ Að verkefnunum loknum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve góðum tökum þið hafið náð á markmiðum hlutans.

Þetta er tafla með fjórum línum og fjórum dálkum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og í reitunum stendur frá vinstri til hægri: „Ég get ...“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei — ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get ...“ stendur: „leyst jöfnu með föstum á báðum hliðum“, „leyst jöfnu með breytum á báðum hliðum“ og „leyst jöfnu með breytum og föstum á báðum hliðum“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve góðum tökum þið hafið náð á efni hlutans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?