22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.7 Leysið línulegar ójöfnur

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Sýnt ójöfnur á talnalínu
Leyst ójöfnur með reglum um frádrátt og samlagningu í ójöfnum
Leyst ójöfnur með reglum um deilingu og margföldun í ójöfnum
Leyst ójöfnur sem þarf að einfalda
Þýtt yfir á ójöfnu og leyst hana

Sýnið ójöfnur á talnalínu

Munið þið hvað felst í því að tala sé lausn jöfnu? Lausn jöfnu er gildi breytu sem myndar sanna fullyrðingu þegar því er stungið inn í jöfnuna.

Hvað með lausn ójöfnu? Hvaða tala gerir ójöfnuna $x > 3$ sanna? Hugsið þið: „x gæti verið 4“? Það er rétt, en x gæti líka verið 5, 20 eða jafnvel 3.001. Sérhver tala sem er stærri en 3 er lausn ójöfnunnar $x > 3$ .

Við sýnum lausnir ójöfnunnar $x > 3$ á talnalínunni með því að lita allar tölur hægra megin við 3 til að sýna að allar tölur stærri en 3 eru lausnir. Talan 3 sjálf er ekki lausn og því setjum við opinn hringsviga við 3. Graf ójöfnunnar $x > 3$ er sýnt á mynd 2.7. Takið eftir þessari venju: þykkar örvar vísa í jákvæða stefnu og þunnar örvar í neikvæða stefnu.

Myndin sýnir talnalínu frá mínus 5 að 5 með striki við hverja heiltölu. Ójafnan x er stærra en 3 er sýnd á talnalínunni með opnum hringsviga við x = 3 og rauðri línu sem liggur til hægri frá sviganum. — **Mynd 2.7.** Ójafnan $x > 3$ er sýnd á þessari talnalínu.

Graf ójöfnunnar $x \geq 3$ er mjög líkt grafi $x > 3$ , en nú þarf einnig að sýna að 3 sé lausn. Það gerum við með því að setja hornklofa við $x = 3$ , eins og sýnt er á mynd 2.8.

Myndin sýnir talnalínu frá mínus 5 að 5 með striki við hverja heiltölu. Ójafnan x er stærra en eða jafnt og 3 er sýnd á talnalínunni með hornklofa við x = 3 og rauðri línu sem liggur til hægri frá hornklofanum. — **Mynd 2.8.** Ójafnan $x \geq 3$ er sýnd á þessari talnalínu.

Takið eftir að opni hringsviginn, (, sýnir að endapunktur ójöfnunnar er ekki meðtalinn. Opni hornklofinn, [, sýnir að endapunkturinn er meðtalinn.

Dæmi 2.66

Sýnið á talnalínu:

ⓐ $x \leq 1$ ⓑ $x < 5$ ⓒ $x > - 1$

Lausn

ⓐ $x \leq 1$
Þetta merkir allar tölur sem eru minni en eða jafnar 1. Við litum allar tölur vinstra megin við 1 á talnalínunni og setjum hornklofa við $x = 1$ til að sýna að talan sé meðtalin.
ⓑ $x < 5$
Þetta merkir allar tölur minni en 5, en 5 er ekki meðtalin. Við litum allar tölur vinstra megin við 5 á talnalínunni og setjum hringsviga við $x = 5$ til að sýna að talan sé ekki meðtalin.
ⓒ $x > - 1$
Þetta merkir allar tölur stærri en $−1$ , en talan er ekki meðtalin $−1$ . Við litum allar tölur hægra megin við $−1$ á talnalínunni og setjum síðan hringsviga við $x = −1$ til að sýna að talan sé ekki meðtalin.

Einnig má tákna ójöfnur með biltáknum. Eins og við sáum hér að framan merkir ójafnan $x > 3$ allar tölur stærri en 3. Lausnamengi ójöfnunnar á sér engin efri mörk. Með biltáknum ritum við $x > 3$ sem $(3, \infty) .$ . Táknið $\infty$ er lesið „óendanleiki“. Það er ekki raunveruleg tala. Mynd 2.9 sýnir bæði talnalínuna og biltáknunina.

Ójafnan $x \leq 1$ merkir allar tölur minni en eða jafnar 1. Lausnamengið hefur engin neðri mörk. Með biltáknum ritum við $x \leq 1$ sem $(− \infty, 1]$ . Táknið $− \infty$ er lesið „mínus óendanlegt“. Mynd 2.10 sýnir bæði talnalínuna og biltáknunina.

Myndin sýnir talnalínu frá mínus 5 að 5 með striki við hverja heiltölu. Ójafnan x er minna en eða jafnt og 1 er sýnd á talnalínunni með hornklofa við x = 1 og rauðri línu sem liggur til vinstri frá hornklofanum. Ójafnan er einnig rituð með biltáknum sem hringsvigi, neikvæður óendanleiki, komma, 1, hornklofi. — **Mynd 2.10.** Ójafnan $x \leq 1$ er sýnd á þessari talnalínu og rituð með biltáknum.

Tókuð þið eftir því hvernig hringsviginn eða hornklofinn í biltáknuninni samsvarar tákninu við endapunkt örvarinnar? Þessi tengsl eru sýnd á mynd 2.11.

Myndin sýnir sömu fjórar talnalínur og hér að framan með sömu biltáknum. Undir biltáknunum við hverja talnalínu er texti sem sýnir hvernig táknin á talnalínunni samsvara biltáknunum. Fyrsta talnalínan sýnir x er stærra en a og biltáknin eru hringsvigi, a, komma, óendanleiki, hringsvigi. Undir stendur: „Báðar framsetningar hafa vinstri hringsviga.“ Önnur talnalínan sýnir x er stærra en eða jafnt og a og biltáknin eru hornklofi, a, komma, óendanleiki, hringsvigi. Undir stendur: „Báðar framsetningar hafa vinstri hornklofa.“ Þriðja talnalínan sýnir x er minna en a og biltáknin eru hringsvigi, neikvæður óendanleiki, komma, a, hringsvigi. Undir stendur: „Báðar framsetningar hafa hægri hringsviga.“ Síðasta talnalínan sýnir x er minna en eða jafnt og a og biltáknin eru hringsvigi, neikvæður óendanleiki, komma, a, hornklofi. Undir stendur: „Báðar framsetningar hafa hægri hornklofa.“ — **Mynd 2.11.** Við framsetningu ójafna á talnalínu og með biltáknum eru notuð svipuð tákn til að sýna endapunkta bila.

Dæmi 2.67

Sýnið á talnalínu og ritið með biltáknum.

ⓐ $x \geq −3$ ⓑ $x < 2.5$ ⓒ $x \leq - \frac{3}{5}$

Lausn

ⓐ

Litið til hægri frá $−3$ , og setjið hornklofa við $−3$ .

Ritið með biltáknum.
ⓑ

Litið til vinstri frá $2.5$ , og setjið hringsviga við $2.5$ .

Ritið með biltáknum.
ⓒ

Litið til vinstri frá $- \frac{3}{5}$ , og setjið hornklofa við $- \frac{3}{5}$ .

Ritið með biltáknum.

Leysið ójöfnur með reglum um frádrátt og samlagningu í ójöfnum

Frádráttar- og samlagningarreglur jafna segja að ef tvær stærðir eru jafnar verði niðurstöðurnar einnig jafnar þegar sama tala er lögð við báðar stærðir eða dregin frá þeim.

Samsvarandi reglur gilda um ójöfnur.

Til dæmis vitum við að −4 er minna en 2.
Ef við drögum 5 frá báðum stærðum, ervinstri hliðin þá enn minni en sú hægri?
Við fáum −9 vinstra megin og −3 hægra megin.
Við vitum að −9 er minna en −3.
	Ójöfnumerkið breyttist ekki.

Á sama hátt mætti sýna að ójöfnumerkið breytist ekki við samlagningu.

Þetta leiðir til frádráttar- og samlagningarreglna ójafna.

Við notum þessar reglur til að leysa ójöfnur og fylgjum sömu skrefum og við lausn jafna. Við lausn ójöfnunnar $x + 5 > 9$ , líta skrefin svona út:

	x + 5 > 9
Dragið 5 frá báðum hliðum til að einangra x.	x + 5 − 5 > 9 − 5
Einfaldið.	x > 4

Sérhver tala stærri en 4 er lausn ójöfnunnar.

Dæmi 2.68

Leysið ójöfnuna $n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Leggið $\frac{1}{2}$ við báðar hliðar ójöfnunnar.
Einfaldið.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.	( - ∞ , $\frac{9}{8}$ ]

Leysið ójöfnur með reglum um deilingu og margföldun í ójöfnum

Deilingar- og margföldunarreglur jafna segja að ef tvær stærðir eru jafnar verði niðurstöðurnar einnig jafnar þegar báðum stærðum er deilt eða þær margfaldaðar með sömu tölu, að því gefnu að ekki sé deilt með 0.

Gilda samsvarandi reglur um ójöfnur? Hvað gerist við ójöfnu þegar báðum hliðum hennar er deilt eða þær margfaldaðar með fasta?

Skoðið nokkur talnadæmi.


Deilið báðum hliðum með 5.		Margfaldið báðar hliðar með 5.
Einfaldið.
Fyllið inn ójöfnumerkin.

Ójöfnumerkin héldust óbreytt.

Helst ójöfnumerkið óbreytt þegar við deilum eða margföldum með neikvæðri tölu?


Deilið báðum hliðum með −5.		Margfaldið báðar hliðar með −5.
Einfaldið.
Fyllið inn ójöfnumerkin.

Ójöfnumerkin snerust við.

Þegar báðar hliðar ójöfnu eru margfaldaðar með eða þeim deilt með jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið óbreytt. Þegar báðar hliðar ójöfnu eru margfaldaðar með eða þeim deilt með neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.

Hér eru deilingar- og margföldunarreglur ójafna til viðmiðunar.

Þegar við deilum ójöfnu eða margföldum hana með:

jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið óbreytt.
neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.

Dæmi 2.69

Leysið ójöfnuna $7 y < 42$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Deilið báðum hliðum ójöfnunnar með 7.Þar sem 7 > 0, helst ójöfnumerkið óbreytt.
Einfaldið.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.

Dæmi 2.70

Leysið ójöfnuna $−10 a \geq 50$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Deilið báðum hliðum ójöfnunnar með −10.Þar sem −10 < 0, snýst ójöfnumerkið við.
Einfaldið.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.

Dæmi 2.71

Leysið ójöfnuna $−20 < \frac{4}{5} u$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Margfaldið báðar hliðar ójöfnunnar með $\frac{5}{4}$ .Þar sem $\frac{5}{4}$ > 0, helst ójöfnumerkið óbreytt.
Einfaldið.
Ritið ójöfnuna þannig að breytan standi vinstra megin.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.

Dæmi 2.72

Leysið ójöfnuna $\frac{t}{−2} \geq 8$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Margfaldið báðar hliðar ójöfnunnar með −2.Þar sem −2 < 0, snýst ójöfnumerkið við.
Einfaldið.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.

Leysið ójöfnur sem þarf að einfalda

Flestar ójöfnur þarf að leysa í fleiri en einu skrefi. Við fylgjum sömu skrefum og í almennu aðferðinni við lausn línulegra jafna en gætum sérstaklega að margföldun og deilingu.

Dæmi 2.73

Leysið ójöfnuna $4 m \leq 9 m + 17$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Dragið 9 m frá báðum hliðum til að færa breytuliðina til vinstri.
Einfaldið.
Deilið báðum hliðum ójöfnunnar með −5 og snúið ójöfnumerkinu við.
Einfaldið.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.

Dæmi 2.74

Leysið ójöfnuna $8 p + 3 (p - 12) > 7 p - 28$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn

Einfaldið hvora hlið eins mikið og unnt er.	8 p + 3 ( p − 12 ) > 7 p − 28
Beitið dreifireglu.	8 p + 3 p − 36 > 7 p − 28
Sameinið samkynja liði.	11 p − 36 > 7 p − 28
Dragið 7 p frá báðum hliðum til að færa breytuliðina til vinstri.	11 p − 36 − 7 p > 7 p − 28 − 7 p
Einfaldið.	4 p − 36 > −28
Leggið 36 við báðar hliðar til að færa föstu liðina til hægri.	4 p − 36 + 36 > −28 + 36
Einfaldið.	4 p > 8
Deilið báðum hliðum ójöfnunnar með 4; ójöfnumerkið helst óbreytt.	4 p/4 > $\frac{8}{4}$
Einfaldið.	p > 2
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.	( 2 , ∞ )

Rétt eins og sumar jöfnur eru samsemdir og aðrar mótsagnir geta ójöfnur einnig verið samsemdir eða mótsagnir. Við þekkjum þessi form þegar aðeins fastar standa eftir við lausn ójöfnunnar. Ef niðurstaðan er sönn fullyrðing er ójafnan samsemd. Ef niðurstaðan er ósönn fullyrðing er ójafnan mótsögn.

Dæmi 2.75

Leysið ójöfnuna $8 x - 2 (5 - x) < 4 (x + 9) + 6 x$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn

Einfaldið hvora hlið eins mikið og unnt er.	8 x − 2 ( 5 − x ) < 4 ( x + 9 ) + 6 x
Beitið dreifireglu.	8 x − 10 + 2 x < 4 x + 36 + 6 x
Sameinið samkynja liði.	10 x − 10 < 10 x + 36
Dragið 10 x frá báðum hliðum til að færa breytuliðina til vinstri.	10 x − 10 − 10 x < 10 x + 36 − 10 x
Einfaldið.	−10 < 36
Liðir með x eru horfnir og eftir stendur sönn fullyrðing.	Ójafnan er samsemd.Lausnamengið er allar rauntölur.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.	( −∞ , ∞ )

Dæmi 2.76

Leysið ójöfnuna $\frac{1}{3} a - \frac{1}{8} a > \frac{5}{24} a + \frac{3}{4}$ , sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum.

Lausn


Margfaldið báðar hliðar með minnsta samnefnaranum, 24, til að eyða brotunum.
Einfaldið.
Sameinið samkynja liði.
Dragið 5 a frá báðum hliðum til að færa breytuliðina til vinstri.
Einfaldið.
Fullyrðingin er ósönn!	Ójafnan er mótsögn.
	Engin lausn er til.
Sýnið lausnina á talnalínu.
Ritið lausnina með biltáknum.	Engin lausn er til.

Þýðið yfir á ójöfnu og leysið hana

Til að þýða íslenskar setningar yfir á ójöfnur þurfum við að þekkja orðasamböndin sem gefa ójöfnu til kynna. Sum þeirra eru auðskilin, svo sem „stærra en“ og „minna en“, en önnur eru ekki eins augljós.

Hugsið um orðasambandið „að minnsta kosti“. Hvað merkir að vera „að minnsta kosti 21 árs“? Það merkir 21 árs eða eldri. „Að minnsta kosti“ merkir það sama og „stærra en eða jafnt“.

Tafla 2.7 sýnir nokkur algeng orðasambönd sem gefa ójöfnur til kynna.

$>$	$\geq$		$\leq$
er stærra en	er stærra en eða jafnt	er minna en	er minna en eða jafnt
er meira en	er að minnsta kosti	er minna en	er í mesta lagi
er stærra en	er ekki minna en	hefur færri en	er ekki meira en
er meira en	er lágmarkið	er minna en	er hámarkið

Dæmi 2.77

Setjið fram sem ójöfnu og leysið. Ritið síðan lausnina með biltáknum og sýnið hana á talnalínu.

Tólf sinnum c er ekki meira en 96.

Lausn

Setjið fram sem ójöfnu.
Leysið — deilið báðum hliðum með 12.
Einfaldið.
Ritið með biltáknum.
Sýnið á talnalínu.

Dæmi 2.78

Setjið fram sem ójöfnu og leysið. Ritið síðan lausnina með biltáknum og sýnið hana á talnalínu.

Þrjátíu minna en x er að minnsta kosti 45.

Lausn

Setjið fram sem ójöfnu.
Leysið — leggið 30 við báðar hliðar.
Einfaldið.
Ritið með biltáknum.
Sýnið á talnalínu.

Æfingar úr kafla 2.7

Æfingin skapar meistarann

Sýnið ójöfnur á talnalínu

Sýnið hverja ójöfnu á talnalínu í eftirfarandi verkefnum.

430.

ⓐ $x \leq - 2$
ⓑ $x > - 1$ ⓒ $x < 0$

431.

ⓐ $x > 1$ ⓑ $x < - 2$
ⓒ $x \geq −3$

432.

ⓐ $x \geq −3$ ⓑ $x < 4$ ⓒ $x \leq - 2$

433.

ⓐ $x \leq 0$ ⓑ $x > - 4$ ⓒ $x \geq −1$

Sýnið hverja ójöfnu á talnalínu og ritið hana með biltáknum í eftirfarandi verkefnum.

434.

ⓐ $x < - 2$ ⓑ $x \geq −3.5$ ⓒ $x \leq \frac{2}{3}$

435.

ⓐ $x > 3$ ⓑ $x \leq - 0.5$ ⓒ $x \geq \frac{1}{3}$

436.

ⓐ $x \geq −4$ ⓑ $x < 2.5$ ⓒ $x > - \frac{3}{2}$

437.

ⓐ $x \leq 5$ ⓑ $x \geq −1.5$ ⓒ $x < - \frac{7}{3}$

Leysið ójöfnur með reglum um frádrátt og samlagningu í ójöfnum

Leysið hverja ójöfnu, sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum í eftirfarandi verkefnum.

438.

$n - 11 < 33$

439.

$m - 45 \leq 62$

440.

$u + 25 > 21$

441.

$v + 12 > 3$

442.

$a + \frac{3}{4} \geq \frac{7}{10}$

443.

$b + \frac{7}{8} \geq \frac{1}{6}$

444.

$f - \frac{13}{20} < - \frac{5}{12}$

445.

$g - \frac{11}{12} < - \frac{5}{18}$

Leysið ójöfnur með reglum um deilingu og margföldun í ójöfnum

Leysið hverja ójöfnu, sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum í eftirfarandi verkefnum.

446.

$8 x > 72$

447.

$6 y < 48$

448.

$7 r \leq 56$

449.

$9 s \geq 81$

450.

$−5 u \geq 65$

451.

$−8 v \leq 96$

452.

$−9 c < 126$

453.

$−7 d > 105$

454.

$20 > \frac{2}{5} h$

455.

$40 < \frac{5}{8} k$

456.

$\frac{7}{6} j \geq 42$

457.

$\frac{9}{4} g \leq 36$

458.

$\frac{a}{−3} \leq 9$

459.

$\frac{b}{−10} \geq 30$

460.

$−25 < \frac{p}{−5}$

461.

$−18 > \frac{q}{−6}$

462.

$9 t \geq −27$

463.

$7 s < - 28$

464.

$\frac{2}{3} y > - 36$

465.

$\frac{3}{5} x \leq - 45$

Leysið ójöfnur sem þarf að einfalda

Leysið hverja ójöfnu, sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum í eftirfarandi verkefnum.

466.

$4 v \geq 9 v - 40$

467.

$5 u \leq 8 u - 21$

468.

$13 q < 7 q - 29$

469.

$9 p > 14 p - 18$

470.

$12 x + 3 (x + 7) > 10 x - 24$

471.

$9 y + 5 (y + 3) < 4 y - 35$

472.

$6 h - 4 (h - 1) \leq 7 h - 11$

473.

$4 k - (k - 2) \geq 7 k - 26$

474.

$8 m - 2 (14 - m) \geq 7 (m - 4) + 3 m$

475.

$6 n - 12 (3 - n) \leq 9 (n - 4) + 9 n$

476.

$\frac{3}{4} b - \frac{1}{3} b < \frac{5}{12} b - \frac{1}{2}$

477.

$9 u + 5 (2 u - 5) \geq 12 (u - 1) + 7 u$

478.

$\frac{2}{3} g - \frac{1}{2} (g - 14) \leq \frac{1}{6} (g + 42)$

479.

$\frac{5}{6} a - \frac{1}{4} a > \frac{7}{12} a + \frac{2}{3}$

480.

$\frac{4}{5} h - \frac{2}{3} (h - 9) \geq \frac{1}{15} (2 h + 90)$

481.

$12 v + 3 (4 v - 1) \leq 19 (v - 2) + 5 v$

Blönduð æfing

Leysið hverja ójöfnu, sýnið lausnina á talnalínu og ritið hana með biltáknum í eftirfarandi verkefnum.

482.

$15 k \leq - 40$

483.

$35 k \geq −77$

484.

$23 p - 2 (6 - 5 p) > 3 (11 p - 4)$

485.

$18 q - 4 (10 - 3 q) < 5 (6 q - 8)$

486.

$- \frac{9}{4} x \geq - \frac{5}{12}$

487.

$- \frac{21}{8} y \leq - \frac{15}{28}$

488.

$c + 34 < - 99$

489.

$d + 29 > - 61$

490.

$\frac{m}{18} \geq −4$

491.

$\frac{n}{13} \leq - 6$

Setjið orðalag fram sem ójöfnu og leysið hana

Setjið orðalag fram sem ójöfnu og leysið í eftirfarandi verkefnum. Ritið síðan lausnina með biltáknum og sýnið hana á talnalínu.

492.

Fjórtán sinnum d er meira en 56.

493.

Níutíu sinnum c er minna en 450.

494.

Átta sinnum z er minna en $−40$ .

495.

Tíu sinnum y er í mesta lagi $−110$ .

496.

Þremur meira en h er ekki minna en 25.

497.

Sex meira en k er meira en 25.

498.

Tíu minna en w er að minnsta kosti 39.

499.

Tólf minna en x er ekki minna en 21.

500.

Mínus fimm sinnum r er ekki meira en 95.

501.

Mínus tveir sinnum s er minna en 56.

502.

Nítján minna en b er í mesta lagi $−22$ .

503.

Fimmtán minna en a er að minnsta kosti $−7$ .

Stærðfræði daglegs lífs

504.

Öryggi Hæð barns, h, verður að vera að minnsta kosti 57 tommur til að barnið geti setið örugglega í framsæti bíls. Ritið þetta sem ójöfnu.

505.

Orrustuflugmenn Hámarkshæð orrustuflugmanns, h, er 77 tommur. Ritið þetta sem ójöfnu.

506.

Lyftur Heildarþyngd farþega í lyftu, w, má ekki vera meiri en 1.200 pund. Ritið þetta sem ójöfnu.

507.

Innkaup Fjöldi vara, n, sem viðskiptavinur má hafa við hraðkassa er í mesta lagi 8. Ritið þetta sem ójöfnu.

Ritunarverkefni

508.

Nefnið dæmi úr eigin lífi þar sem orðasambandið „að minnsta kosti“ er notað.

509.

Nefnið dæmi úr eigin lífi þar sem orðasambandið „í mesta lagi“ er notað.

510.

Útskýrið hvers vegna nauðsynlegt er að snúa ójöfnumerkinu við þegar ójafnan $−5 x > 10$ er leyst.

511.

Útskýrið hvers vegna nauðsynlegt er að snúa ójöfnumerkinu við þegar ójafnan $\frac{n}{−3} < 12$ er leyst.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið við verkefnin skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

Þetta er tafla með sex línum og fjórum dálkum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og í reitunum stendur, frá vinstri til hægri: „Ég get…“, „örugglega“, „með nokkurri hjálp“ og „nei – ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur „sýnt ójöfnur á talnalínu“, „leyst ójöfnur með reglum um frádrátt og samlagningu“, „leyst ójöfnur með reglum um deilingu og margföldun“, „leyst ójöfnur sem þarf að einfalda“ og „sett orðalag fram sem ójöfnu og leyst hana“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um hversu vel þið hafið náð tökum á efni kaflans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?


Litið til hægri frá $−3$ , og setjið hornklofa við $−3$ .
Ritið með biltáknum.


Litið til vinstri frá $2.5$ , og setjið hringsviga við $2.5$ .
Ritið með biltáknum.


Litið til vinstri frá $- \frac{3}{5}$ , og setjið hornklofa við $- \frac{3}{5}$ .
Ritið með biltáknum.