22 Lausnir línulegra jafna og ójafna

2.5 Leysið jöfnur með brotum eða tugabrotum

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta eigið þið að geta:

Leyst jöfnur með brotastuðlum
Leyst jöfnur með tugabrotastuðlum

Leysið jöfnur með brotastuðlum

Notum almennu aðferðina við lausn línulegra jafna sem kynnt var fyrr til að leysa jöfnuna $\frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .


Til að einangra x-liðinn drögum við 1/2 frá báðum hliðum.
Einfaldið vinstri hliðina.
Ritið föstu liðina sem jafngild brot með minnsta samnefnaranum.
Dragið frá.
Margfaldið báðar hliðar með margföldunarandhverfu 1/8.
Einfaldið.

Þessi aðferð virkaði vel en margir nemendur eru ekki fyllilega öruggir þegar þeir sjá öll þessi brot. Því sýnum við aðra aðferð til að leysa jöfnur með brotum. Með henni eru brotin fjarlægð úr jöfnunni.

Við beitum reglunni um að margfalda báðar hliðar jöfnu með sömu tölu og margföldum báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnara allra brotanna í henni. Þá fæst ný jafna sem er jafngild þeirri fyrri en inniheldur engin brot. Þetta ferli kallast að losa jöfnu við brot.

Leysum svipaða jöfnu en notum nú aðferðina sem losar jöfnuna við brot.

Dæmi 2.48

Aðferð til að leysa jöfnur með brotastuðlum

Leysið: $\frac{1}{6} y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ .

Lausn

Myndin sýnir töflu með þremur dálkum og þremur línum. Fyrsti dálkurinn er fyrirsagnardálkur með heitum og númerum skrefanna. Í öðrum dálki eru nánari skriflegar leiðbeiningar og í þeim þriðja er stærðfræði. Í efstu línunni stendur í fyrsta reitnum: „Skref 1. Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.“ Í öðrum reitnum stendur: „Hver er minnsti samnefnari 1/6, 1/3 og 5/6?“ Í þriðja reitnum er jafnan einn sjötti af y mínus 1/3 er jafnt 5/6, og við hliðina stendur að minnsti samnefnarinn sé 6.

Í annarri línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 2. Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með þessum minnsta samnefnara. Þá hverfa brotin.“ Í öðrum reitnum stendur: „Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnaranum 6. Beitið dreifireglunni. Einfaldið og takið eftir að brotin eru horfin!“ Í þriðja reitnum er jafnan 6 sinnum einn sjötti y mínus 1/3, þar sem einn sjötti y mínus 1/3 er innan hornklofa, jafnt 6 sinnum 5/6. „6 sinnum“ er rauðlitað báðum megin. Fyrir neðan er sama jafna eftir að 6 hefur verið dreift báðum megin: 6 sinnum einn sjötti y mínus 6 sinnum 1/3 er jafnt 6 sinnum 5/6. Neðst er jafnan y mínus 2 er jafnt og 5.

Í þriðju línu töflunnar stendur í fyrsta reitnum: „Skref 3. Leysið með almennu aðferðinni fyrir línulegar jöfnur.“ Í öðrum reitnum stendur: „Einangrið x-liðinn með því að leggja 2 við. Einfaldið.“ Í þriðja reitnum er jafnan þar sem 2 hefur verið lagt við báðar hliðar: y mínus 2 plús 2 er jafnt og 5 plús 2. „Plús 2“ er rauðlitað báðum megin. Neðst er jafnan y er jafnt og 7.

Takið eftir að í dæmi 2.48var jafnan losuð við brot og varð þá eins og jöfnurnar sem við leystum fyrr í kaflanum. Við breyttum verkefninu í verkefni sem við kunnum þegar að leysa. Síðan beittum við almennu aðferðinni til að leysa línulegar jöfnur.

Dæmi 2.49

Leysið: $6 = \frac{1}{2} v + \frac{2}{5} v - \frac{3}{4} v$ .

Lausn

Við viljum losa jöfnuna við brot með því að margfalda báðar hliðar hennar með minnsta samnefnara allra brotanna í henni.

Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.
Minnsti samnefnarinn er 20.
Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með 20.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið og takið eftir að brotin eru horfin!
Sameinið samkynja liði.
Deilið með 3.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum v = 40.

Í næsta dæmi eru breytuliðir aftur á báðum hliðum jöfnunnar.

Dæmi 2.50

Leysið: $a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8} a - \frac{1}{2}$ .

Lausn


Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.Minnsti samnefnarinn er 8.
Margfaldið báðar hliðar með minnsta samnefnaranum.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið — brotin eru horfin.
Dragið 3 a frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Dragið 6 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið með 5.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum a = −2.

Í næsta dæmi byrjum við á að beita dreifireglunni. Með því skrefi hverfa brotin strax.

Dæmi 2.51

Leysið: $−5 = \frac{1}{4} (8 x + 4)$ .

Lausn


Beitið dreifireglu.
Einfaldið.Nú eru engin brot eftir.
Dragið 1 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið með 2.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum x = −3.

Í næsta dæmi eru enn brot sem þarf að fjarlægja eftir að dreifireglunni hefur verið beitt.

Dæmi 2.52

Leysið: $\frac{1}{2} (y - 5) = \frac{1}{4} (y - 1)$ .

Lausn


Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Margfaldið með minnsta samnefnaranum, 4.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Færið breytuliðina til vinstri.
Einfaldið.
Færið föstu liðina til hægri.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum y = 9.
Ljúkið sannprófuninni sjálf.

Dæmi 2.53

Leysið: $\frac{5 x - 3}{4} = \frac{x}{2}$ .

Lausn


Margfaldið með minnsta samnefnaranum, 4.
Einfaldið.
Færið breytuliðina til hægri.
Einfaldið.
Deilið.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum x = 1.

Dæmi 2.54

Leysið: $\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3$ .

Lausn


Margfaldið með minnsta samnefnaranum, 12.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Færið breytuliðina til hægri.
Einfaldið.
Færið föstu liðina til vinstri.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum a = −12.

Dæmi 2.55

Leysið: $\frac{4 q + 3}{2} + 6 = \frac{3 q + 5}{4}$ .

Lausn


Margfaldið með minnsta samnefnaranum, 4.
Beitið dreifireglu.
Einfaldið.
Færið breytuliðina til vinstri.
Einfaldið.
Færið föstu liðina til hægri.
Einfaldið.
Deilið með 5.
Einfaldið.
Sannprófun:
Látum q = −5.
Ljúkið sannprófuninni sjálf.

Leysið jöfnur með tugabrotastuðlum

Sumar jöfnur innihalda tugabrot. Slíkar jöfnur koma fyrir þegar leyst eru verkefni um peninga eða prósentur. Tugabrot má þó einnig rita sem almenn brot, til dæmis $0.3 = \frac{3}{10}$ og $0.17 = \frac{17}{100}$ . Því getum við notað sömu aðferð fyrir jöfnur með tugabrotum og við notuðum til að losa jöfnur við almenn brot: að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnaranum.

Dæmi 2.56

Leysið: $0.06 x + 0.02 = 0.25 x - 1.5$ .

Lausn

Skoðið tugabrotin og hugsið um jafngild almenn brot.

0.06 = \frac{6}{100} 0.02 = \frac{2}{100} 0.25 = \frac{25}{100} 1.5 = 1 \frac{5}{10}

Takið eftir að minnsti samnefnarinn er 100.

Með því að margfalda með minnsta samnefnaranum fjarlægjum við tugabrotin úr jöfnunni.


Margfaldið báðar hliðar með 100.
Beitið dreifireglu.
Margfaldið; nú eru engin tugabrot eftir.
Færið breytuliðina til hægri.
Einfaldið.
Færið föstu liðina til vinstri.
Einfaldið.
Deilið með 19.
Einfaldið.
Sannprófun:	Látum x = 8.

Í næsta dæmi er notuð jafna sem er dæmigerð fyrir verkefni um peninga í næsta kafla. Takið eftir að við beitum dreifireglunni á tugabrotið áður en við fjarlægjum öll tugabrotin.

Dæmi 2.57

Leysið: $0.25 x + 0.05 (x + 3) = 2.85$ .

Lausn


Beitið dreifireglunni fyrst.
Sameinið samkynja liði.
Margfaldið með 100 til að fjarlægja tugabrotin.
Beitið dreifireglu.
Dragið 15 frá báðum hliðum.
Einfaldið.
Deilið með 30.
Einfaldið.
Sannprófið sjálf með því að setja x = 9 inn í upphaflegu jöfnuna.

Æfingar úr kafla 2.5

Æfingin skapar meistarann

Leysið jöfnur með brotastuðlum

Leysið hverja jöfnu með brotastuðlum í eftirfarandi æfingum.

318.

$\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}$

319.

$\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

320.

$\frac{5}{6} y - \frac{2}{3} = - \frac{3}{2}$

321.

$\frac{5}{6} y - \frac{1}{3} = - \frac{7}{6}$

322.

$\frac{1}{2} a + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$

323.

$\frac{5}{8} b + \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}$

324.

$2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} x$

325.

$2 = \frac{3}{5} x - \frac{1}{3} x + \frac{2}{5} x$

326.

$\frac{1}{4} m - \frac{4}{5} m + \frac{1}{2} m = −1$

327.

$\frac{5}{6} n - \frac{1}{4} n - \frac{1}{2} n = −2$

328.

$x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

329.

$x + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} x - \frac{5}{4}$

330.

$\frac{1}{3} w + \frac{5}{4} = w - \frac{1}{4}$

331.

$\frac{3}{2} z + \frac{1}{3} = z - \frac{2}{3}$

332.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} x + \frac{1}{6}$

333.

$\frac{1}{2} a - \frac{1}{4} = \frac{1}{6} a + \frac{1}{12}$

334.

$\frac{1}{3} b + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} b - \frac{3}{5}$

335.

$\frac{1}{3} x + \frac{2}{5} = \frac{1}{5} x - \frac{2}{5}$

336.

$1 = \frac{1}{6} (12 x - 6)$

337.

$1 = \frac{1}{5} (15 x - 10)$

338.

$\frac{1}{4} (p - 7) = \frac{1}{3} (p + 5)$

339.

$\frac{1}{5} (q + 3) = \frac{1}{2} (q - 3)$

340.

$\frac{1}{2} (x + 4) = \frac{3}{4}$

341.

$\frac{1}{3} (x + 5) = \frac{5}{6}$

342.

$\frac{5 q - 8}{5} = \frac{2 q}{10}$

343.

$\frac{4 m + 2}{6} = \frac{m}{3}$

344.

$\frac{4 n + 8}{4} = \frac{n}{3}$

345.

$\frac{3 p + 6}{3} = \frac{p}{2}$

346.

$\frac{u}{3} - 4 = \frac{u}{2} - 3$

347.

$\frac{v}{10} + 1 = \frac{v}{4} - 2$

348.

$\frac{c}{15} + 1 = \frac{c}{10} - 1$

349.

$\frac{d}{6} + 3 = \frac{d}{8} + 2$

350.

$\frac{3 x + 4}{2} + 1 = \frac{5 x + 10}{8}$

351.

$\frac{10 y - 2}{3} + 3 = \frac{10 y + 1}{9}$

352.

$\frac{7 u - 1}{4} - 1 = \frac{4 u + 8}{5}$

353.

$\frac{3 v - 6}{2} + 5 = \frac{11 v - 4}{5}$

Leysið jöfnur með tugabrotastuðlum

Leysið hverja jöfnu með tugabrotastuðlum í eftirfarandi æfingum.

354.

$0.6 y + 3 = 9$

355.

$0.4 y - 4 = 2$

356.

$3.6 j - 2 = 5.2$

357.

$2.1 k + 3 = 7.2$

358.

$0.4 x + 0.6 = 0.5 x - 1.2$

359.

$0.7 x + 0.4 = 0.6 x + 2.4$

360.

$0.23 x + 1.47 = 0.37 x - 1.05$

361.

$0.48 x + 1.56 = 0.58 x - 0.64$

362.

$0.9 x - 1.25 = 0.75 x + 1.75$

363.

$1.2 x - 0.91 = 0.8 x + 2.29$

364.

$0.05 n + 0.10 (n + 8) = 2.15$

365.

$0.05 n + 0.10 (n + 7) = 3.55$

366.

$0.10 d + 0.25 (d + 5) = 4.05$

367.

$0.10 d + 0.25 (d + 7) = 5.25$

368.

$0.05 (q - 5) + 0.25 q = 3.05$

369.

$0.05 (q - 8) + 0.25 q = 4.10$

Stærðfræði daglegs lífs

370.

Smámynt Taylor á $2.00 í tíeyringum og einseyringum. Einseyringarnir eru 2 fleiri en tíeyringarnir. Leysið jöfnuna $0.10 d + 0.01 (d + 2) = 2$ fyrir $d$ , sem táknar fjölda tíeyringa.

371.

Frímerki Paula keypti $22.82 dala virði af 49 senta frímerkjum og 21 senta frímerkjum. 21 senta frímerkin voru 8 færri en 49 senta frímerkin. Leysið jöfnuna $0.49 s + 0.21 (s - 8) = 22.82$ fyrir stil að finna fjölda 49 senta frímerkja sem Paula keypti.

Ritunarverkefni

372.

Útskýrið hvernig þið finnið minnsta samnefnara talnanna $\frac{3}{8}$ , $\frac{1}{6}$ og $\frac{2}{3}$ .

373.

Hvernig auðveldar það lausn jöfnu með mörgum brotum að margfalda báðar hliðar hennar með minnsta samnefnaranum?

374.

Ef brot eru aðeins öðrum megin í jöfnu, hvers vegna þarf þá að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnaranum?

375.

Hver er minnsti samnefnarinn í jöfnunni $0.35 x + 2.1 = 3.85$ ? Hvernig vitið þið það?

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum kaflans.

Þetta er tafla með þremur línum og fjórum dálkum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína og reitirnir í henni eru, frá vinstri til hægri: „Ég get…“, „örugglega“, „með nokkurri hjálp“ og „nei – ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur: „leyst jöfnur með brotastuðlum“ og „leyst jöfnur með tugabrotastuðlum“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Þegar á heildina er litið, eftir að hafa skoðað gátlistann, teljið þið ykkur vel undirbúin fyrir næsta kafla? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?