Meginatriði

Meginatriði

2.1 Leysið jöfnur með því að draga sömu tölu frá eða leggja sömu tölu við báðar hliðar

• Til að ákvarða hvort tala sé lausn jöfnu
  Skref 1. Setjið töluna í stað breytunnar í jöfnunni. Skref 2. Einfaldið stæðurnar báðum megin við jafnaðarmerkið. Skref 3.
  Ákvarðið hvort fullyrðingin sem fæst sé sönn.
  Ef hún er sönn er talan lausn. Ef hún er ekki sönn er talan ekki lausn.
  1. Skref 1. Setjið töluna í stað breytunnar í jöfnunni.
  2. Skref 2. Einfaldið stæðurnar báðum megin við jafnaðarmerkið.
  3. Skref 3.
     Ákvarðið hvort fullyrðingin sem fæst sé sönn.

     Ef hún er sönn er talan lausn. Ef hún er ekki sönn er talan ekki lausn.
     • Ef hún er sönn er talan lausn.
     • Ef hún er ekki sönn er talan ekki lausn.
• Samlagningarregla jafnaðar
  Fyrir hvaða tölur sem er a, b, og c, ef $a=b$, þá $a+c=b+c$.
  • Fyrir hvaða tölur sem er a, b, og c, ef a = b, þá a + c = b + c.
• Frádráttarregla jafnaðar
  Fyrir hvaða tölur sem er a, b, og c, ef $a=b$, þá $a-c=b-c$.
  • Fyrir hvaða tölur sem er a, b, og c, ef a = b, þá a − c = b − c.
• Setjið setningu fram sem jöfnu
  Skref 1. Finnið orðalagið sem táknar jafnaðartengsl. Setjið jafnaðarmerki (=). Skref 2. Setjið orðin vinstra megin við orðalagið um jafnaðartengsl fram sem algebrustæðu. Skref 3. Setjið orðin hægra megin við orðalagið um jafnaðartengsl fram sem algebrustæðu.
  1. Skref 1. Finnið orðalagið sem táknar jafnaðartengsl. Setjið jafnaðarmerki (=).
  2. Skref 2. Setjið orðin vinstra megin við orðalagið um jafnaðartengsl fram sem algebrustæðu.
  3. Skref 3. Setjið orðin hægra megin við orðalagið um jafnaðartengsl fram sem algebrustæðu.
• Til að leysa hagnýtt verkefni
  Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og allar hugmyndir séu skiljanleg. Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað. Skref 3. Gefið stærðinni sem leitað er að heiti. Veljið breytu sem táknar hana. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið í einni setningu með mikilvægustu upplýsingunum. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi verkefnisins og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
  1. Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og allar hugmyndir séu skiljanleg.
  2. Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað.
  3. Skref 3. Gefið stærðinni sem leitað er að heiti. Veljið breytu sem táknar hana.
  4. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Gagnlegt getur verið að endursegja verkefnið í einni setningu með mikilvægustu upplýsingunum.
  5. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.
  6. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi verkefnisins og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
  7. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.

2.2 Leysið jöfnur með því að deila báðum hliðum með sömu tölu eða margfalda þær með sömu tölu

• Regla um að deila báðum hliðum jöfnu með sömu tölu—Fyrir hvaða tölur sem er a, b, og c, og $c\ne 0$, ef $a=b$, þá $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.
  Þegar báðum hliðum jöfnu er deilt með sömu tölu, annarri en núlli, helst jafnan sönn.
• Regla um að margfalda báðar hliðar jöfnu með sömu tölu—Fyrir hvaða tölur sem er a, b, og c, ef $a=b$, þá $ac=bc$.
  Þegar báðar hliðar jöfnu eru margfaldaðar með sömu tölu helst jafnan sönn.

2.3 Leysið jöfnur með breytum og föstum á báðum hliðum

• Upphafsaðferð til að leysa jöfnu með breytum og föstum á báðum hliðum jöfnunnar Skref 1. Veljið hvor hliðin verður breytuhliðin; hin verður fastahliðin. Skref 2. Færið breytuliðina á breytuhlið jöfnunnar með samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar. Skref 3. Færið alla föstu liðina hinum megin við jöfnuna með samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar. Skref 4. Gerið stuðul breytunnar jafnan 1 með því að margfalda eða deila báðum hliðum með sömu tölu. Skref 5. Sannreynið lausnina með því að setja hana í stað breytunnar í upphaflegu jöfnunni.
  1. Skref 1. Veljið hvor hliðin verður breytuhlið; hin verður fastahlið.
  2. Skref 2. Færið breytuliðina á breytuhlið jöfnunnar með samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar.
  3. Skref 3. Færið alla föstu liðina hinum megin við jöfnuna með samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar.
  4. Skref 4. Gerið stuðul breytunnar jafnan 1 með því að margfalda eða deila báðum hliðum með sömu tölu.
  5. Skref 5. Sannreynið lausnina með því að setja hana í stað breytunnar í upphaflegu jöfnunni.

2.4 Notið almenna aðferð til að leysa línulegar jöfnur

• Almenn aðferð til að leysa línulegar jöfnur Skref 1. Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og unnt er.
  Beitið dreifireglu til að fjarlægja sviga.
  Sameinið samkynja liði. Skref 2. Færið alla breytuliði öðrum megin við jöfnuna.
  Beitið samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar. Skref 3. Færið alla fasta liði hinum megin við jöfnuna.
  Beitið samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar. Skref 4. Gerið stuðul breytuliðarins jafnan 1.
  Margfaldið eða deilið báðum hliðum með sömu tölu.
  Tilgreinið lausn jöfnunnar. Skref 5. Sannreynið lausnina.
  Setjið lausnina í stað breytunnar í upphaflegu jöfnunni.
  1. Skref 1. Einfaldið hvora hlið jöfnunnar eins mikið og unnt er.
     Beitið dreifireglu til að fjarlægja sviga.
     Sameinið samkynja liði.
  2. Skref 2. Færið alla breytuliði öðrum megin við jöfnuna.
     Beitið samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar.
  3. Skref 3. Færið alla fasta liði hinum megin við jöfnuna.
     Beitið samlagningar- eða frádráttarreglu jafnaðar.
  4. Skref 4. Gerið stuðul breytuliðarins jafnan 1.
     Margfaldið eða deilið báðum hliðum með sömu tölu.
     Tilgreinið lausn jöfnunnar.
  5. Skref 5. Sannreynið lausnina.
     Setjið lausnina í stað breytunnar í upphaflegu jöfnunni.

2.5 Leysið jöfnur með brotum eða tugabrotum

• Aðferð til að leysa jöfnu með brotastuðlum Skref 1. Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni. Skref 2. Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með minnsta samnefnaranum. Þannig losnar jafnan við brotin. Skref 3. Leysið með almennu aðferðinni til að leysa línulegar jöfnur.
  1. Skref 1. Finnið minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.
  2. Skref 2. Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með þessum minnsta samnefnara. Þannig losnar jafnan við brotin.
  3. Skref 3. Leysið með almennu aðferðinni fyrir línulegar jöfnur.

2.6 Einangrið tiltekna breytu í formúlu

• Til að leysa hagnýtt verkefni með formúlu
  Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og allar hugmyndir séu skiljanleg. Skref 2. Ákvarðið að hverju er leitað. Skref 3. Gefið heiti stærðinni sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar hana. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Ritið formúluna sem á við um aðstæðurnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn í formúluna. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi verkefnisins og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
  1. Skref 1. Lesið verkefnið. Gangið úr skugga um að öll orð og allar hugmyndir séu skiljanleg.
  2. Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
  3. Skref 3. Nefnið stærðina sem leitað er að. Veljið breytu til að tákna hana.
  4. Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Ritið viðeigandi formúlu fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnu upplýsingarnar inn í formúluna.
  5. Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.
  6. Skref 6. Sannreynið svarið í samhengi verkefnisins og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
  7. Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
• Vegalengd, hraði og tími
  Fyrir hlut sem hreyfist með jöfnum hraða tengjast farin vegalengd, liðinn tími og hraði með formúlunni: $d=rt$ þar sem d = vegalengd, r = hraði, t = tími.
• Að einangra tiltekna breytu í formúlu merkir að láta breytuna standa eina öðrum megin við jöfnuna með stuðulinn 1 en allar aðrar breytur og fastar tölur hinum megin.

2.7 Leysið línulegar ójöfnur

• Regla um frádrátt í ójöfnum
  Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er,
  ef $a<b$ þá $a-c<b-c$ og
  ef $a>b$ þá $a-c>b-c.$
• Regla um samlagningu í ójöfnum
  Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er,
  ef $a<b$ þá $a+c<b+c$ og
  ef $a>b$ þá $a+c>b+c.$
• Reglur um deilingu og margföldun í ójöfnum
  Fyrir hvaða tölur a, b og c sem er,
  ef $a<b$ og $c>0$, þá $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ og $ac>bc$.
  ef $a>b$ og $c>0$, þá $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ og $ac>bc$.
  ef $a<b$ og $c<0$, þá $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$ og $ac>bc$.
  ef $a>b$ og $c<0$, þá $\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$ og $ac<bc$.
  
• Þegar við deilum eða margföldum ójöfnu með:
  jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið óbreytt. neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.
  • jákvæðri tölu helst ójöfnumerkið óbreytt.
  • neikvæðri tölu snýst ójöfnumerkið við.