Þegar ferðalag er skipulagt er oft gagnlegt að vita hve langan tíma tekur að komast á áfangastað eða hve langt á að aka á hverjum degi. Þá notum við formúluna fyrir vegalengd, hraða og tíma, sem við höfum þegar séð.
Í þessum kafla notum við formúluna við aðstæður sem krefjast örlítið meiri algebru en fyrri dæmi. Yfirleitt berum við saman tvær aðstæður, svo sem tvö farartæki á ólíkum hraða eða í gagnstæðar áttir. Þegar hraði hvors farartækis er fastur köllum við slík verkefni dæmi um hreyfingu með jöfnum hraða.
Við leysum hreyfiverkefni með sömu verkefnalausnaraðferð og áður. Taflan hér á eftir dregur saman skrefin og hjálpar ykkur að skipuleggja vinnuna. Myndræn framsetning hjálpar okkur einnig að setja viðeigandi samband fram sem jöfnu.
Hér er verkefnalausnaraðferðin til hliðsjónar.
Dæmi 3.48
Hraðlest og lest sem stoppar á öllum stöðvum leggja af stað frá Pittsburgh til Washington, D.C. Hraðlestin fer leiðina á 4 klukkustundum en hin lestin er 5 klukkustundir á leiðinni. Hraðlestin fer 12 mílum hraðar á klukkustund en hin lestin. Finnið hraða beggja lestanna.
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Gætið þess að skilja öll orð og hugmyndir.
Teiknið mynd sem sýnir hvað gerist. Hér fyrir neðan er skissa af aðstæðunum í dæminu.
Búið til töflu til að skipuleggja upplýsingarnar.
Merkið dálkana „Hraði“, „Tími“ og „Vegalengd“.
Skráið aðstæðurnar tvær.
Færið inn upplýsingarnar sem þið þekkið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
Við eigum að finna hraða beggja lestanna.
Takið eftir að í formúlunni fyrir vegalengd er enska orðið „vaxtaprósenta“ notað, en í daglegu máli er algengara að tala um „speed“ þegar fjallað er um farartæki. Bæði orðin eru hér þýdd sem hraði.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Fyllið út töfluna
Notið stæður með breytum til að tákna stærðina í hverri röð.
Við leitum að hraða lestanna. Látum r tákna hraða staðarlestarinnar. Þar sem hraðlestin fer 12 mílum hraðar á klukkustund táknum við hraða hennar með
Færið hraðana inn í töfluna.
Margfaldið hraðann með tímanum til að fá vegalengdina.
Skref 4. Þýðið yfir í jöfnu.
Endursegið verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægu upplýsingunum.
Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Endursegið verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægum upplýsingum.
Jafnan sem lýsir aðstæðunum byggist á sambandi vegalengdanna. Skoðið myndina sem við teiknuðum hér að ofan. Hvernig tengist vegalengdin sem hraðlestin fer vegalengdinni sem staðarlestin fer?
Þar sem báðar lestirnar leggja af stað frá Pittsburgh og fara til Washington, D.C., fara þær sömu vegalengd. Við skrifum því:
Skref 5. Leysið jöfnuna með góðum algebruaðferðum.
Leysið nú jöfnuna.
Hraði staðarlestarinnar er því 48 mílur á klukkustund.
Finnið hraða hraðlestarinnar.
Hraði hraðlestarinnar er 60 mílur á klukkustund.
Skref 6. Athugið svarið í verkefninu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
hraðlest
60 mílur á klukkustund (4 klukkustundir) = 240 mílur
staðarlest
48 mílur á klukkustund (5 klukkustundir) = 240 mílur ✓
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Hraði staðarlestarinnar er 48 mílur á klukkustund og hraði hraðlestarinnar 60 mílur á klukkustund.
Í dæmi 3.48, dæminu hér á undan, fóru tvær lestir sömu vegalengd. Myndin og taflan hjálpuðu okkur að setja upp jöfnuna sem við leystum. Skoðum hvernig þetta virkar við aðrar aðstæður.
Dæmi 3.49
Christopher og foreldrar hans búa í 115 mílna fjarlægð hvert frá öðru. Þau hittust á veitingastað milli heimila sinna til að halda upp á afmæli móður hans. Christopher ók í 1,5 klukkustundir en foreldrar hans í 1 klukkustund að veitingastaðnum. Meðalhraði Christophers var 10 mílum meiri á klukkustund en meðalhraði foreldra hans. Hver var meðalhraði Christophers og foreldra hans á leiðinni að veitingastaðnum?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Gætið þess að skilja öll orð og hugmyndir.
Teiknið mynd sem sýnir hvað gerist. Hér fyrir neðan er skissa af aðstæðunum í dæminu.
Búið til töflu til að skipuleggja upplýsingarnar.
Merkið dálkana hraði, tími og vegalengd.
Skráið aðstæðurnar tvær.
Færið inn upplýsingarnar sem þið þekkið.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
Við eigum að finna meðalhraða Christophers og foreldra hans.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Fyllið út töfluna.
Notið stæður með breytum til að tákna stærðina í hverri röð.
Við leitum að meðalhraða þeirra. Látum r tákna meðalhraða foreldranna. Þar sem Christopher fer 10 mílum hraðar á klukkustund táknum við hraða hans með
Færið hraðana inn í töfluna.
Margfaldið hraðann með tímanum til að fá vegalengdina.
Skref 4. Þýðið yfir í jöfnu.
Endursegið verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægu upplýsingunum.
Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Endursegið verkefnið í einni setningu með öllum mikilvægum upplýsingum.
Aftur þurfum við að finna samband milli vegalengdanna til að geta sett upp jöfnu. Skoðið myndina hér að ofan og takið eftir sambandinu milli vegalengdarinnar sem Christopher fór og vegalengdarinnar sem foreldrar hans fóru.
Vegalengdin sem Christopher fór að viðbættri vegalengdinni sem foreldrar hans fóru verður samtals 115 mílur. Við skrifum því:
Skref 5. Leysið jöfnuna með góðum algebruaðferðum.
Leysið nú jöfnuna.
1.5 ( r + 10 ) + r = 115 1.5 r + 15 + r = 115 2.5 r + 15 = 115 2.5 r = 100 r = 40
Hraði foreldranna var því 40 mílur á klukkustund.
Hraði Christophers er r + 10.
r + 10 40 + 10 50
Hraði Christophers var 50 mílur á klukkustund.
Skref 6. Athugið svarið í verkefninu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
Christopher ók
50 mílur á klukkustund (1,5 klukkustundir) = 75 mílur
Hraði Christophers var 50 mílur á klukkustund. Hraði foreldra hans var 40 mílur á klukkustund.
Þegar þið lesið næsta dæmi skuluð þið íhuga sambandið milli vegalengdanna. Hvoru dæmanna tveggja hér á undan svipar meira til þessara aðstæðna?
Dæmi 3.50
Tveir vörubílstjórar leggja samtímis af stað frá áningarstað við þjóðveg. Annar vörubíllinn ekur í austur en hinn í vestur. Vörubíllinn á vesturleið ekur á 70 mílna hraða á klukkustund og meðalhraði vörubílsins á austurleið er 60 mílur á klukkustund. Hve lengi aka þeir áður en 325 mílur eru á milli þeirra?
Lausn
Skref 1. Lesið verkefnið. Gætið þess að skilja öll orð og hugmyndir.
Teiknið mynd sem sýnir hvað gerist.
Búið til töflu til að skipuleggja upplýsingarnar.
Skref 2. Finnið hvað leitað er að.
Við eigum að finna hve lengi vörubílarnir aka þar til 325 mílur eru á milli þeirra.
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Við leitum að ferðatímanum. Báðir vörubílarnir aka jafn lengi. Köllum tímann t. Þar sem hraði þeirra er ólíkur fara þeir ólíkar vegalengdir.
Fyllið út töfluna.
Skref 4. Þýðið yfir í jöfnu.
Við þurfum að finna samband milli vegalengdanna til að geta sett upp jöfnu. Skoðið myndina. Hvernig tengjast vegalengdirnar sem vörubílarnir fara?
Vegalengdin sem vörubíllinn á vesturleið fer að viðbættri vegalengdinni sem vörubíllinn á austurleið fer verður samtals 325 mílur. Við skrifum því:
Skref 5. Leysið jöfnuna með góðum algebruaðferðum.
Leysið nú jöfnuna.
70 t + 60 t = 325 130 t = 325 t = 2.5
Það tekur vörubílana því 2,5 klukkustundir að verða 325 mílur hvor frá öðrum.
Skref 6. Athugið svarið í verkefninu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt.
Vörubíll á vesturleið
70 mílur á klukkustund (2,5 klukkustundir) = 175 mílur
Það tekur vörubílana 2,5 klukkustundir að verða 325 mílur hvor frá öðrum.
Dæmi 3.51
Þegar Katie Mae gengur í skólann tekur það hana 30 mínútur. Þegar hún hjólar tekur það hana 15 mínútur. Á hjólinu fer hún þremur mílum hraðar á klukkustund en þegar hún gengur. Hver er gönguhraði hennar og hjólahraði?
Lausn
Fyrst teiknum við mynd af aðstæðunum til að auðvelda okkur að sjá hvað gerist.
Við eigum að finna gönguhraða hennar og hjólahraða. Köllum gönguhraðann r. Þar sem hjólahraðinn er þremur mílum meiri á klukkustund köllum við hann Færum hraðana inn í töfluna.
Hraðinn er gefinn í mílum á klukkustund og því þurfum við einnig að gefa tímann í klukkustundum svo að mælieiningarnar séu samræmdar. Munið að ein klukkustund er 60 mínútur. Því fæst:
Næst margföldum við hraðann með tímanum og fyllum út dálkinn fyrir vegalengd.
Jafnan byggist á því að vegalengdin frá heimili Katie Mae í skólann er sú sama hvort sem hún gengur eða hjólar.
Við segjum því:
Setjið upp jöfnu.
Leysið jöfnuna.
Eyðið brotunum með því að margfalda með minnsta samnefnara allra brotanna í jöfnunni.
Einfaldið.
6 mílur á klukkustund (hjólahraði Katie Mae)
Athugum hvort þetta stenst. Ganga 3 mílur á klukkustund (0,5 klukkustund) = 1,5 mílur Hjóla 6 mílur á klukkustund (0,25 klukkustund) = 1,5 mílur
Já, Katie Mae fer 1,5 mílur í skólann hvort sem hún gengur eða hjólar.
Gönguhraði Katie Mae er 3 mílur á klukkustund. Hjólahraði hennar er 6 mílur á klukkustund.
Í formúlunni fyrir vegalengd, hraða og tíma táknar tími raunverulegan liðinn tíma (í klukkustundum, mínútum o.s.frv.). Ef upphafs- og lokatími eru gefnir sem klukkutímar í dæmi verðum við að finna liðna tímann áður en formúlan er notuð.
Dæmi 3.52
Hamilton hefur gaman af að ferðast til Las Vegas, sem er 255 mílur frá heimili hans í Orange County. Í síðustu ferð lagði hann af stað að heiman klukkan 2:00 síðdegis. Fyrri hluta leiðarinnar ók hann á þéttum hraðbrautum borgarinnar. Klukkan 4:00 síðdegis létti umferðinni og hraði hans um eyðimörkina varð 1,75 sinnum hraðinn í umferðarþunganum. Hann kom til Las Vegas klukkan 6:30 síðdegis. Hve hratt ók hann á hvorum hluta leiðarinnar?
Lausn
Mynd hjálpar okkur að setja ferðina fram stærðfræðilega.
Næst búum við til töflu til að skipuleggja upplýsingarnar.
Við vitum að heildarvegalengdin er 255 mílur. Við leitum að hraðanum á hvorum hluta ferðarinnar. Hraðinn í eyðimörkinni er 1,75 sinnum hraðinn í borginni. Ef við látum hraðann í borginni er hraðinn í eyðimörkinni
Tímarnir eru hér gefnir sem klukkutímar. Hamilton lagði af stað að heiman klukkan 2:00 síðdegis og kom inn í eyðimörkina klukkan 4:30 síðdegis. Hann ók því í tvær klukkustundir á umferðarþungum hraðbrautum borgarinnar. Síðan ók hann hraðar um eyðimörkina frá 4:00 síðdegis til 6:30 síðdegis. Hann ók því í 2,5 klukkustundir í eyðimörkinni.
Nú margföldum við hraðana með tímunum.
Af myndinni hér fyrir neðan sést að samanlögð vegalengd í borginni og eyðimörkinni er 255 mílur.
Setjið upp jöfnu.
Leysið jöfnuna.
Athugið.
Hamilton ók á 40 mílna hraða á klukkustund í borginni og 70 mílna hraða á klukkustund í eyðimörkinni.
Æfingar í kafla 3.5
Æfingin skapar meistarann
Leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða
Leysið eftirfarandi verkefni.
283.
Lilah er að flytja frá Portland til Seattle. Lestarferðin tekur hana þrjár klukkustundir. Mason ekur frá lestarstöðinni í Portland til lestarstöðvarinnar í Seattle með alla kassa Lilah í bílnum. Hann er 2,4 klukkustundir til Seattle og ekur 15 mílum hraðar á klukkustund en lestin. Finnið hraða Masons og lestarinnar.
284.
Kathy og Cheryl ganga í fjáröflun. Kathy lýkur leiðinni á 4,8 klukkustundum en Cheryl á 8 klukkustundum. Kathy gengur tveimur mílum hraðar á klukkustund en Cheryl. Finnið gönguhraða þeirra beggja.
285.
Tvær rútur aka frá Sacramento til San Diego. Hraðrútan fer leiðina á 6,8 klukkustundum en rútan sem stoppar á öllum stöðvum er 10,2 klukkustundir á leiðinni. Hraðrútan fer 25 mílum hraðar á klukkustund en hin rútan. Finnið hraða beggja rútanna.
286.
Farþegaþota og einkaflugvél fljúga frá Denver til Phoenix. Flugið tekur farþegaþotuna 1,1 klukkustund en einkaflugvélina 1,8 klukkustundir. Farþegaþotan flýgur 210 mílum hraðar á klukkustund en einkaflugvélin. Finnið hraða beggja flugvélanna.
287.
Saul ók vörubílnum sínum í 3 klukkustundir frá Dallas í átt að Kansas City og stoppaði á vörubílaáningarstað til að borða kvöldmat. Þar hitti hann Erwin, sem hafði ekið í 4 klukkustundir frá Kansas City í átt að Dallas. Vegalengdin milli Dallas og Kansas City er 542 mílur og Erwin ók átta mílum hægar á klukkustund en Saul. Finnið hraða vörubílstjóranna tveggja.
288.
Charlie og Violet hittust í hádegisverði á veitingastað milli Memphis og New Orleans. Charlie lagði af stað frá Memphis og ók í 4,8 klukkustundir í átt að New Orleans. Violet lagði af stað frá New Orleans og ók í 2 klukkustundir í átt að Memphis á 10 mílna meiri hraða á klukkustund en Charlie. Vegalengdin milli Memphis og New Orleans er 394 mílur. Finnið hraða ökumannanna tveggja.
289.
Systurnar Helen og Anne búa 332 mílur hvor frá annarri. Á þakkargjörðarhátíðinni hittust þær heima hjá annarri systur sinni, mitt á milli heimila þeirra. Helen ók í 3,2 klukkustundir og Anne í 2,8 klukkustundir. Meðalhraði Helen var fjórum mílum meiri á klukkustund en meðalhraði Anne. Finnið meðalhraða þeirra beggja.
290.
Ethan og Leo byrja að hjóla hvor á sínum enda 65 mílna hjólastígs. Eftir að Ethan hefur hjólað í 1,5 klukkustundir og Leo í 2 klukkustundir mætast þeir á stígnum. Ethan hjólar sex mílum hraðar á klukkustund en Leo. Finnið hraða hjólreiðamannanna tveggja.
291.
Elvira og Aletheia búa 3,1 mílu hvor frá annarri við sömu götu. Þær eru í námshópi sem hittist á kaffihúsi milli heimila þeirra. Elvira var hálfa klukkustund og Aletheia tvo þriðju úr klukkustund að ganga á kaffihúsið. Aletheia gengur 0,6 mílum hægar á klukkustund en Elvira. Finnið gönguhraða þeirra beggja.
292.
DaMarcus og Fabian búa 23 mílur hvor frá öðrum og spila fótbolta í garði milli heimila sinna. DaMarcus hjólaði í þrjá fjórðu úr klukkustund en Fabian í hálfa klukkustund til að komast í garðinn. Fabian hjólaði sex mílum hraðar á klukkustund en DaMarcus. Finnið hraða beggja fótboltamannanna.
293.
Cindy og Richard leggja samtímis af stað frá heimavist sinni í Charleston. Cindy hjólar norður á 18 mílna hraða á klukkustund. Richard hjólar suður á 14 mílna hraða á klukkustund. Hve langan tíma tekur þar til 96 mílur eru á milli þeirra?
294.
Matt og Chris leggja samtímis af stað frá húsi frænda síns í Phoenix. Matt ekur vestur eftir I-60 á 76 mílna hraða á klukkustund. Chris ekur austur eftir I-60 á 82 mílna hraða á klukkustund. Hve margar klukkustundir tekur þar til 632 mílur eru á milli þeirra?
295.
Tvær rútur leggja samtímis af stað frá Billings. Seattle-rútan ekur vestur eftir I-90 á 73 mílna hraða á klukkustund en Chicago-rútan austur á 79 mílna hraða á klukkustund. Hve margar klukkustundir tekur þar til 532 mílur eru á milli þeirra?
296.
Tveir bátar leggja samtímis af stað frá sömu bryggju í Cairo. Annar siglir norður eftir Mississippi-fljóti en hinn suður. Báturinn á norðurleið fer fjórar mílur á klukkustund en báturinn á suðurleið átta. Hve langan tíma tekur þar til 54 mílur eru á milli þeirra?
297.
Lorena gengur stíginn umhverfis garðinn á 30 mínútum. Ef hún skokkar tekur það hana 20 mínútur. Skokkhraði hennar er 1,5 mílum meiri á klukkustund en gönguhraðinn. Finnið göngu- og skokkhraða Lorenu.
298.
Julian hjólar upp brekku í 45 mínútur, snýr síðan við og hjólar niður. Hann er 15 mínútur aftur á upphafsstað. Hraði hans upp brekkuna er 3,2 mílum minni á klukkustund en hraðinn niður. Finnið hraða Julians upp og niður brekkuna.
299.
Cassius siglir bátnum á móti straumi í 45 mínútur. Hann er 30 mínútur að snúa aftur með straumi. Hraði hans á móti straumi er þremur mílum minni á klukkustund en hraðinn með straumi. Finnið hraða hans á móti straumi og með straumi.
300.
Darline er 20 mínútur að aka í vinnuna í lítilli umferð. Heimleiðin tekur hana 36 mínútur þegar umferðin er þung. Hraði hennar í lítilli umferð er 24 mílum meiri á klukkustund en í þungri umferð. Finnið hraða hennar við báðar aðstæður.
301.
Klukkan 1:30 lagði Marlon af stað að heiman til strandarinnar, sem er 7,6 mílur í burtu. Hann ók á hjólabretti til klukkan 2:15 og gekk síðan það sem eftir var. Hann kom á ströndina klukkan 3:00. Hraði Marlons á hjólabrettinu er 2,5 sinnum gönguhraði hans. Finnið hraða hans á hjólabrettinu og gangandi.
302.
Aaron lagði af stað klukkan 9:15 og ók að fjallakofanum sínum, sem er 108 mílur í burtu. Hann ók eftir hraðbrautinni til klukkan 10:45 og síðan eftir fjallveginum. Hann kom á áfangastað klukkan 11:05. Hraði hans á hraðbrautinni var þrefaldur hraðinn á fjallveginum. Finnið hraða Aarons á hraðbrautinni og fjallveginum.
303.
Marisol lagði af stað frá Los Angeles klukkan 2:30 og ók til Santa Barbara, sem er 95 mílur í burtu. Umferðin var þung til klukkan 3:20. Hún ók það sem eftir var í mjög lítilli umferð og kom á áfangastað klukkan 4:20. Hraði hennar í þungri umferð var 40 mílum minni á klukkustund en í lítilli umferð. Finnið hraða hennar við báðar aðstæður.
304.
Lizette æfir fyrir maraþon. Klukkan 7:00 lagði hún af stað að heiman og hljóp til klukkan 8:15. Síðan gekk hún til klukkan 11:15. Hún fór samtals 19 mílur. Hlaupahraði hennar var fimm mílum meiri á klukkustund en gönguhraðinn. Finnið hlaupa- og gönguhraða hennar.
Stærðfræði daglegs lífs
305.
John lagði af stað að heiman í Irvine klukkan 8:35 fyrir hádegi til að aka á fund í Los Angeles, 45 mílur í burtu. Hann kom á fundinn klukkan 9:50. Klukkan 3:30 síðdegis lagði hann af stað heim af fundinum. Hann kom heim klukkan 5:18.
ⓐ Hver var meðalhraði hans á leiðinni frá Irvine til Los Angeles?
ⓑ Hver var meðalhraði hans á leiðinni frá Los Angeles til Irvine?
ⓒ Hve lengi var hann samtals að aka til og frá fundinum?
ⓓ John ók samtals 90 mílur fram og til baka. Finnið meðalhraða hans. (Námundið að næsta tíunda hluta.)
306.
Sarah vill koma í brúðkaup vinkonu sinnar klukkan 3:00. Vegalengdin frá heimili Söruh að brúðkaupinu er 95 mílur. Miðað við venjulegt umferðarmynstur áætlar Sarah að hún geti ekið fyrstu 15 mílurnar á 60 mílna hraða á klukkustund, næstu 10 mílurnar á 30 mílna hraða á klukkustund og það sem eftir er á 70 mílna hraða á klukkustund.
ⓐ Hve lengi er Sarah að aka fyrstu 15 mílurnar?
ⓑ Hve lengi er Sarah að aka næstu 10 mílurnar?
ⓒ Hve lengi er Sarah að aka það sem eftir er leiðarinnar?
ⓓ Hvenær þarf Sarah að leggja af stað að heiman?
Ritunaræfingar
307.
Þegar þið leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða, hvernig hjálpar það ykkur að teikna mynd af aðstæðunum?
308.
Þegar þið leysið verkefni um hreyfingu með jöfnum hraða, hvernig hjálpar það ykkur að búa til töflu?
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve vel þið hafið náð tökum á efni kaflans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?
