33 Stærðfræðilíkön

3.4 Leysið rúmfræðiverkefni: þríhyrningar, rétthyrningar og setning Pýþagórasar

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Leyst verkefni með eiginleikum þríhyrninga
Notað setningu Pýþagórasar
Leyst verkefni með eiginleikum rétthyrninga

Leysið verkefni með eiginleikum þríhyrninga

Í þessum hluta notum við nokkrar algengar rúmfræðiformúlur. Við aðlögum verkefnalausnaraðferðina þannig að hún nýtist við rúmfræðiverkefni. Rúmfræðiformúlan skilgreinir breyturnar og gefur okkur jöfnuna sem leysa þarf. Þar sem öll verkefnin fjalla jafnframt um einhvers konar flatarmyndir finnst flestum gagnlegt að teikna mynd og merkja inn á hana gefnar upplýsingar. Við bætum því við fyrsta skref verkefnalausnaraðferðarinnar fyrir rúmfræðiverkefni.

Við byrjum rúmfræðiverkefnin á því að skoða eiginleika þríhyrninga. Rifjum upp nokkrar grundvallarstaðreyndir um þríhyrninga. Þríhyrningar hafa þrjár hliðar og þrjú innri horn. Hver hlið er yfirleitt merkt með lágstaf sem samsvarar hástaf andstæðs hornpunkts.

Fleirtala orðsins hornpunktur er hornpunktar. Allir þríhyrningar hafa þrjá hornpunkta. Þríhyrningar eru nefndir eftir hornpunktum sínum: Þríhyrningurinn á mynd 3.4 nefnist $△ A B C .$

Þríhyrningur með hornpunktana A, B og C. Hliðarnar á móti þessum hornpunktum eru merktar a, b og c í sömu röð. — **Mynd 3.4.** Þríhyrningurinn ABC hefur hornpunktana A, B og C. Lengdir hliðanna eru a, b og c.

Hornin þrjú í þríhyrningi tengjast á sérstakan hátt. Summa stærða þeirra er $180 ° .$ Takið eftir að $m ∠ A$ er lesið „stærð horns A“. Fyrir $△ A B C$ á mynd 3.4gildir því

m A + m B + m C = 180

Þar sem ummál forms er lengd jaðars þess er ummál $△ A B C$ summa lengda hliðanna þriggja.

P = a + b + c

Til að finna flatarmál þríhyrnings þurfum við að þekkja grunnlínu hans og hæð. Hæðin er lína sem tengir grunnlínuna við gagnstæðan hornpunkt og myndar $90 °$ horn við grunnlínuna. Við teiknum $△ A B C$ aftur og sýnum nú einnig hæðina, h. Sjá mynd 3.5.

Þríhyrningur með hornpunktana A, B og C. Hliðarnar á móti þessum hornpunktum eru merktar a, b og c í sömu röð. Hlið b er samsíða neðri brún síðunnar og strikalína liggur frá hornpunkti B að hliðinni. Línan er merkt h og myndar rétt horn við hlið b. — **Mynd 3.5.** Formúlan fyrir flatarmál $△ A B C$ er $A = \frac{1}{2} b h,$ þar sem b er grunnlínan og h er hæðin.

Dæmi 3.34

Stærðir tveggja horna í þríhyrningi eru 55 og 82 gráður. Finnið stærð þriðja hornsins.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	stærð þriðja hornsins í þríhyrningi
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum x = stærð hornsins.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gefnu gildin inn.	m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Skref 5. Leysið jöfnuna.	55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43
Skref 6. Sannreynið. 55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Þriðja hornið er 43 gráður.

Dæmi 3.35

Ummál þríhyrningslaga garðs er 24 fet. Tvær hliðanna eru fjögur fet og níu fet á lengd. Hve löng er þriðja hliðin?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	lengd þriðju hliðar þríhyrnings
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum c = þriðju hliðina.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gefnu gildin inn.
Setjið gefnu gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið. P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Þriðja hliðin er 11 fet að lengd.

Dæmi 3.36

Flatarmál þríhyrningslaga kirkjuglugga er 90 fermetrar. Grunnlína gluggans er 15 metrar. Hver er hæð gluggans?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.	Flatarmál = 90 m²
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	hæð þríhyrnings
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum h = hæðina.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.
Setjið gefnu gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið. A = $\frac{1}{2}$ b h 90 ≟ $\frac{1}{2}$ ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Hæð þríhyrningsins er 12 metrar.

Eiginleikar þríhyrninga sem við höfum notað hingað til gilda um alla þríhyrninga. Nú skoðum við ákveðna gerð þríhyrnings — rétthyrndan þríhyrning. Rétthyrndur þríhyrningur hefur eitt $90 °$ horn sem við merkjum yfirleitt með litlum ferningi í horninu.

Rétthyrndur þríhyrningur þar sem stærsta hornið er merkt 90 gráður.

Dæmi 3.37

Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er $28 ° .$ Hver er stærð þriðja hornsins?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	stærð horns
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum x = stærð horns.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.	m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gefnu gildin inn.	x + 90 + 28 = 180
Skref 5. Leysið jöfnuna.	x + 118 = 180 x = 62
Skref 6. Sannreynið. 180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Þriðja hornið er 62°.

Í dæmunum hingað til höfum við getað teiknað mynd og merkt inn á hana strax eftir að dæmið var lesið. Í næsta dæmi þurfum við að skilgreina eitt horn út frá öðru. Við bíðum því með að teikna myndina þar til við höfum skrifað stæður fyrir öll hornin sem leitað er að.

Dæmi 3.38

Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 20 gráðum stærra en minnsta hornið. Finnið stærðir allra hornanna þriggja.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	stærðir hornanna þriggja
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum a = fyrsta hornið. a + 20 = annað hornið 90 = þriðja hornið (rétta hornið)
Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið gefnu gildin inn í formúluna.
Skref 5. Leysið jöfnuna.	55 90 þriðja hornið
Skref 6. Sannreynið. 35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Hornin þrjú eru 35°, 55° og 90°.

Notið setningu Pýþagórasar

Við höfum lært hvernig stærðir horna í þríhyrningi tengjast. Nú lærum við hvernig lengdir hliðanna tengjast. Mikilvægur eiginleiki sem lýsir sambandinu milli lengda hliðanna þriggja í rétthyrndum þríhyrningi kallast setning Pýþagórasar. Setningin hefur verið notuð víða um heim frá fornu fari. Hún er kennd við gríska heimspekinginn og stærðfræðinginn Pýþagóras sem var uppi um 500 f.Kr.

Áður en við setjum fram setningu Pýþagórasar þurfum við að kynna nokkur hugtök um hliðar þríhyrnings. Munið að rétthyrndur þríhyrningur hefur eitt $90 °$ horn sem er merkt með litlum ferningi í horninu. Hliðin á móti $90 °$ horninu nefnist langhlið en hinar tvær nefnast skammhliðar.

Þrír rétthyrndir þríhyrningar sem snúa á ólíkan hátt. Réttu hornin eru merkt með tveimur stuttum strikum sem mynda lítinn ferning við hornið. Á móti hornunum stendur „langhlið“. Hinar hliðarnar eru merktar „skammhlið“.

Setning Pýþagórasar lýsir tengslunum milli lengda hliðanna þriggja í rétthyrndum þríhyrningi. Hún segir að í sérhverjum rétthyrndum þríhyrningi sé summa ferninga lengda skammhliðanna jöfn ferningi lengdar langhliðarinnar. Með táknum segjum við: Í sérhverjum rétthyrndum þríhyrningi gildir $a^{2} + b^{2} = c^{2},$ þar sem $a og b$ eru lengdir skammhliðanna og $c$ er lengd langhliðarinnar.

Það getur hjálpað ykkur að muna setningu Pýþagórasar að skrifa formúluna í hverju dæmi og segja hana upphátt um leið.

Til að leysa dæmi með setningu Pýþagórasar þurfum við að finna ferningsrætur. Við höfum notað ritháttinn $\sqrt{m}$ og skilgreininguna:

Ef $m = n^{2},$ þá $\sqrt{m} = n,$ fyrir $n \geq 0 .$

Til dæmis fundum við að $\sqrt{25}$ er 5 vegna þess að $25 = 5^{2} .$

Þar sem setning Pýþagórasar inniheldur breytur í öðru veldi þurfum við að nota ferningsrætur til að finna lengd hliðar í rétthyrndum þríhyrningi.

Dæmi 3.39

Notið setningu Pýþagórasar til að finna lengd langhliðarinnar sem sýnd er hér fyrir neðan.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 3 og 4.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	lengd langhliðar þríhyrningsins
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina. Merkið hliðina c á myndina.	Látum c = lengd langhliðarinnar.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.	a² + b² = c²
Setjið gefnu gildin inn.	3 2 + 4 2 = c²
Skref 5. Leysið jöfnuna.	9 + 16 = c²
Einfaldið.	25 = c²
Notið skilgreiningu ferningsrótar.	25 = c
Einfaldið.	5 = c
Skref 6. Sannreynið svarið.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Langhliðin er 5 að lengd.

Dæmi 3.40

Notið setningu Pýþagórasar til að finna lengd skammhliðarinnar sem sýnd er hér fyrir neðan.

Rétt horn með aðra skammhliðina merkta 5. Langhliðin er merkt 13.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.		lengd skammhliðar þríhyrningsins
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.		Látum b = skammhlið þríhyrningsins.
Merkið hliðina b.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.		a² + b² = c²
Setjið gefnu gildin inn.		5 2 + b² = 13 2
Skref 5. Leysið jöfnuna.		25 + b² = 169
Einangrið liðinn sem inniheldur breytuna.		b² = 144
Notið skilgreiningu ferningsrótar.		b² = 144
Einfaldið.		b = 12
Skref 6. Sannreynið svarið.
Skref 7. Svarið spurningunni.		Skammhliðin er 12 að lengd.

Dæmi 3.41

Garðskáli er sýndur. Í einu horni hans myndar timburstífa þríhyrning. Langhliðin er merkt 10 tommur og önnur skammhliðin x.

Kelvin er að byggja garðskála og vill styrkja hvert horn með því að setja $10 ″$ timburstífu á ská eins og sýnt er hér fyrir ofan.

Ef hann festir timbrið þannig að endar stífunnar séu jafnlangt frá horninu, hver er þá lengd skammhliða rétthyrnda þríhyrningsins sem myndast? Námundið að næsta tíunda hluta úr tommu.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	fjarlægðina frá horninu þar sem festa á stífuna
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum x = fjarlægðina frá horninu.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu og setjið gefnu gildin inn.	a² + b² = c² x² + x² = 10 2
Skref 5. Leysið jöfnuna. Einangrið breytuna. Notið skilgreiningu ferningsrótar. Einfaldið. Námundið að næsta tíunda hluta.	2 x² = 100 x² = 50 x = 50 x ≈ 7.1
Skref 6. Sannreynið. a² + b² = c 2 ( 7,1 ) 2 + ( 7,1 ) 2 ≈ 10 2 Já.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Kelvin á að festa hvora timburstífu um það bil 7,1 tommu frá horninu.

Leysið dæmi með eiginleikum rétthyrninga

Þið þekkið ef til vill nú þegar eiginleika rétthyrninga. Rétthyrningar hafa fjórar hliðar og fjögur $(90 °)$ horn. Gagnstæðar hliðar rétthyrnings eru jafnlangar. Við köllum aðra hlið rétthyrningsins lengdina, L, og aðlægu hliðina breiddina, W.

Rétthyrningur með hliðar merktar W og L.

Vegalengdin umhverfis rétthyrninginn er $L + W + L + W,$ eða $2 L + 2 W .$ Þetta er ummálrétthyrningsins, P.

P = 2 L + 2 W

Hvað með flatarmál rétthyrnings? Ímyndið ykkur rétthyrnda gólfmottu sem er 2 fet á lengd og 3 fet á breidd. Flatarmál hennar er 6 ferfet. Sex ferningar eru á myndinni.

Rétthyrningur úr 6 ferningum, þrír ferningar á hæð og tveir á breidd. Hæðin er merkt 3 og breiddin 2.

\begin{matrix} A = 6 \\ A = 2 \cdot 3 \\ A = L \cdot W \end{matrix}

Flatarmálið er margfeldi lengdar og breiddar.

Formúlan fyrir flatarmál rétthyrnings er $A = L W .$

Dæmi 3.42

Lengd rétthyrnings er 32 metrar og breiddin 20 metrar. Hvert er ummálið?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	ummál rétthyrnings
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum P = ummálið.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.
Setjið gefnu gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið. P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Ummál rétthyrningsins er 104 metrar.

Dæmi 3.43

Flatarmál rétthyrnds herbergis er 168 ferfet. Lengdin er 14 fet. Hver er breiddin?

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	breidd rétthyrnds herbergis
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum W = breiddina.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.	A = L W
Setjið gefnu gildin inn.	168 = 14 W
Skref 5. Leysið jöfnuna.	168/14 = 14 W/14¹² = W
Skref 6. Sannreynið. A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Breidd herbergisins er 12 fet.

Dæmi 3.44

Finnið lengd rétthyrnings með ummálið 50 tommur og breiddina 10 tommur.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	lengd rétthyrningsins
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina.	Látum L = lengdina.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.
Setjið gefnu gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið. P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 15 tommur.

Við höfum leyst dæmi þar sem annaðhvort lengdin eða breiddin var gefin ásamt ummáli eða flatarmáli. Nú lærum við að leysa dæmi þar sem breiddin er skilgreind út frá lengdinni. Við bíðum með að teikna myndina þar til við höfum skrifað stæðu fyrir breiddina svo að við getum merkt aðra hliðina með þeirri stæðu.

Dæmi 3.45

Breidd rétthyrnings er tveimur fetum minni en lengdin. Ummálið er 52 fet. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	lengd og breidd rétthyrnings
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar stærðina. Þar sem breiddin er gefin út frá lengdinni látum við L = lengd. Breiddin er tveimur fetum minni en lengdin og því látum við L − 2 = breidd.	P = 52 fet
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu. Formúlan fyrir ummál rétthyrnings tengir allar upplýsingarnar saman.	P = 2 L + 2 W
Setjið gefnu gildin inn.	52 = 2 L + 2 ( L − 2 )
Skref 5. Leysið jöfnuna.	52 = 2 L + 2 L − 4
Leggið saman líka liði.	52 = 4 L − 4
Leggið 4 við báðar hliðar.	56 = 4 L
Deilið með 4.	56/4 = 4 L/4¹⁴ = L Lengdin er 14 fet.
Nú þarf að finna breiddina.	Breiddin er L − 2. Breiddin er 12 fet.
Skref 6. Sannreynið. Þar sem 14 + 12 + 14 + 12 = 52 stenst svarið.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 14 fet og breiddin 12 fet.

Dæmi 3.46

Lengd rétthyrnings er fjórum sentímetrum meiri en tvöföld breiddin. Ummálið er 32 sentímetrar. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	lengdina og breiddina
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar breiddina.
Lengdin er fjórum meiri en tvöföld breiddin.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.
Setjið gefnu gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.	12 Lengdin er 12 cm.
Skref 6. Sannreynið. P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Lengdin er 12 cm og breiddin 4 cm.

Dæmi 3.47

Ummál rétthyrndrar sundlaugar er 150 fet. Lengdin er 15 fetum meiri en breiddin. Finnið lengdina og breiddina.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið myndina og merkið inn á hana upplýsingarnar sem gefnar eru.	P = 150 fet
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.	lengd og breidd sundlaugarinnar
Skref 3. Nefnið. Veljið breytu sem táknar breiddina. Lengdin er 15 fetum meiri en breiddin.
Skref 4. Setjið verkefnið fram sem jöfnu.
Skrifið viðeigandi formúlu.
Setjið gefnu gildin inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna.
Skref 6. Sannreynið. P = 2 L + 2 W 150 ≟ 2 ( 45 ) + 2 ( 30 ) 150 = 150 ✓
Skref 7. Svarið spurningunni.	Sundlaugin er 45 fet á lengd og 30 fet á breidd.

Verkefni úr hluta 3.4

Æfingin skapar meistarann

Leysið dæmi með eiginleikum þríhyrninga

Leysið eftirfarandi verkefni með eiginleikum þríhyrninga.

211.

Stærðir tveggja horna í þríhyrningi eru 26 og 98 gráður. Finnið stærð þriðja hornsins.

212.

Stærðir tveggja horna í þríhyrningi eru 61 og 84 gráður. Finnið stærð þriðja hornsins.

213.

Stærðir tveggja horna í þríhyrningi eru 105 og 31 gráður. Finnið stærð þriðja hornsins.

214.

Stærðir tveggja horna í þríhyrningi eru 47 og 72 gráður. Finnið stærð þriðja hornsins.

215.

Ummál þríhyrningslaga laugar er 36 jardar. Tvær hliðanna eru 10 jardar og 15 jardar á lengd. Hve löng er þriðja hliðin?

216.

Þríhyrningslaga húsagarður hefur ummálið 120 metra. Tvær hliðanna eru 30 metrar og 50 metrar á lengd. Hve löng er þriðja hliðin?

217.

Ef tvær hliðar þríhyrnings eru 6 fet og 9 fet og ummálið 23 fet, hve löng er þá þriðja hliðin?

218.

Ef tvær hliðar þríhyrnings eru 14 sentímetrar og 18 sentímetrar og ummálið 49 sentímetrar, hve löng er þá þriðja hliðin?

219.

Þríhyrningslaga fáni hefur grunnlínuna eitt fet og hæðina 1,5 fet. Hvert er flatarmál hans?

220.

Þríhyrningslaga gluggi hefur átta feta grunnlínu og sex feta hæð. Hvert er flatarmál hans?

221.

Hver er lengd grunnlínu þríhyrnings með flatarmálið 207 fertommur og hæðina 18 tommur?

222.

Hver er hæð þríhyrnings með flatarmálið 893 fertommur og grunnlínuna 38 tommur?

223.

Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 33 gráður. Hver er stærð hins hvassa hornsins?

224.

Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 51 gráða. Hver er stærð hins hvassa hornsins?

225.

Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 22,5 gráður. Hver er stærð hins hvassa hornsins?

226.

Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er 36,5 gráður. Hver er stærð hins hvassa hornsins?

227.

Ummál þríhyrnings er 39 fet. Ein hlið þríhyrningsins er einu feti lengri en önnur hliðin. Þriðja hliðin er tveimur fetum lengri en önnur hliðin. Finnið lengd hverrar hliðar.

228.

Ummál þríhyrnings er 35 fet. Ein hlið þríhyrningsins er fimm fetum lengri en önnur hliðin. Þriðja hliðin er þremur fetum lengri en önnur hliðin. Finnið lengd hverrar hliðar.

229.

Ein hlið þríhyrnings er tvöfalt lengri en stysta hliðin. Þriðja hliðin er fimm fetum lengri en stysta hliðin. Ummálið er 17 fet. Finnið lengdir hliðanna þriggja.

230.

Ein hlið þríhyrnings er þrefalt lengri en stysta hliðin. Þriðja hliðin er þremur fetum lengri en stysta hliðin. Ummálið er 13 fet. Finnið lengdir hliðanna þriggja.

231.

Hvössu hornin tvö í rétthyrndum þríhyrningi eru jafnstór. Finnið stærðir hornanna þriggja.

232.

Minnsta hornið í rétthyrndum þríhyrningi er 20° minna en næststærsta hornið. Finnið stærðir hornanna þriggja.

233.

Horn þríhyrnings eru þannig að eitt hornið er tvöfalt stærra en minnsta hornið og þriðja hornið þrefalt stærra en minnsta hornið. Finnið stærðir hornanna þriggja.

234.

Horn þríhyrnings eru þannig að eitt hornið er 20° stærra en minnsta hornið og þriðja hornið þrefalt stærra en minnsta hornið. Finnið stærðir hornanna þriggja.

Notið setningu Pýþagórasar

Notið setningu Pýþagórasar í eftirfarandi verkefnum til að finna lengd langhliðarinnar.

235.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 9 og 12.

236.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 16 og 12.

237.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 15 og 20.

238.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 5 og 12.

Notið setningu Pýþagórasar í eftirfarandi verkefnum til að finna lengd skammhliðarinnar. Námundið að næsta tíunda hluta ef þörf krefur.

239.

240.

Rétthyrndur þríhyrningur með aðra skammhliðina merkta 8 og langhliðina merkta 17.

241.

242.

Rétthyrndur þríhyrningur með aðra skammhliðina merkta 16 og langhliðina merkta 20.

243.

Rétthyrndur þríhyrningur með aðra skammhliðina merkta 8 og langhliðina merkta 13.

244.

Rétthyrndur þríhyrningur þar sem báðar skammhliðar eru merktar 6.

245.

Rétthyrndur þríhyrningur með lárétta grunnlínu að lengd 5 og langhlið að lengd 11. Ferningstáknið sýnir rétta hornið milli grunnlínunnar og lóðréttu hliðarinnar.

246.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 5 og 7.

Leysið eftirfarandi verkefni með setningu Pýþagórasar. Námundið að næsta tíunda hluta ef þörf krefur.

247.

13 feta ljósasería verður fest efst á 12 feta staur sem hluti af hátíðarskreytingu eins og sýnt er hér fyrir neðan. Hve langt frá neðri enda staursins á að festa hinn enda ljósaseríunnar?

Rétthyrndur þríhyrningur með aðra skammhliðina merkta 12 og langhliðina merkta 13.

248.

Pam vill hengja borða á ská yfir bílskúrshurðina sína, eins og sýnt er hér fyrir neðan, til að óska syni sínum til hamingju með háskólaútskriftina. Bílskúrshurðin er 12 fet á hæð og 16 fet á breidd. Hve langur þarf borðinn að vera til að ná yfir hurðina?

Hús með borða yfir bílskúrshurðinni. Bílskúrshurðin er merkt 16 fet á breidd og 12 fet á hæð.

249.

Chi ætlar að leggja stíg úr hellusteinum þvert yfir blómagarðinn sinn eins og sýnt er hér fyrir neðan. Blómagarðurinn er ferningur með 10 feta hlið. Hve langur verður stígurinn?

Ferningslaga garður með hlið merkta 10 fet. Stígur úr hellusteinum liggur eftir hornalínu ferningsins.

250.

Brian fékk lánaðan 20 feta útdraganlegan stiga til að nota þegar hann málar húsið sitt. Ef hann stillir neðri enda stigans 6 fet frá húsinu eins og sýnt er hér fyrir neðan, hve hátt upp nær efri endi stigans?

Hús með stiga sem hallar upp að því. Stiginn er merktur 20 fet og fjarlægðin frá húsinu að neðri enda stigans 6 fet.

Leysið verkefni með eiginleikum rétthyrninga

Leysið eftirfarandi verkefni með eiginleikum rétthyrninga.

251.

Lengd rétthyrnings er 85 fet og breiddin 45 fet. Hvert er ummálið?

252.

Lengd rétthyrnings er 26 tommur og breiddin 58 tommur. Hvert er ummálið?

253.

Rétthyrnt herbergi er 15 fet á breidd og 14 fet á lengd. Hvert er ummálið?

254.

Innkeyrsla er rétthyrningur sem er 20 fet á breidd og 35 fet á lengd. Hvert er ummálið?

255.

Flatarmál rétthyrnings er 414 fermetrar. Lengdin er 18 metrar. Hver er breiddin?

256.

Flatarmál rétthyrnings er 782 fersentímetrar. Breiddin er 17 sentímetrar. Hver er lengdin?

257.

Breidd rétthyrnds glugga er 24 tommur. Flatarmálið er 624 fertommur. Hver er lengdin?

258.

Lengd rétthyrnds veggspjalds er 28 tommur. Flatarmálið er 1.316 fertommur. Hver er breiddin?

259.

Finnið lengd rétthyrnings með ummálið 124 og breiddina 38.

260.

Finnið breidd rétthyrnings með ummálið 92 og lengdina 19.

261.

Finnið breidd rétthyrnings með ummálið 16,2 og lengdina 3,2.

262.

Finnið lengd rétthyrnings með ummálið 20,2 og breiddina 7,8.

263.

Lengd rétthyrnings er níu tommum meiri en breiddin. Ummálið er 46 tommur. Finnið lengdina og breiddina.

264.

Breidd rétthyrnings er átta tommum meiri en lengdin. Ummálið er 52 tommur. Finnið lengdina og breiddina.

265.

Ummál rétthyrnings er 58 metrar. Breidd rétthyrningsins er fimm metrum minni en lengdin. Finnið lengd og breidd rétthyrningsins.

266.

Ummál rétthyrnings er 62 fet. Breiddin er sjö fetum minni en lengdin. Finnið lengdina og breiddina.

267.

Breidd rétthyrningsins er 0,7 metrum minni en lengdin. Ummál rétthyrningsins er 52,6 metrar. Finnið mál rétthyrningsins.

268.

Lengd rétthyrningsins er 1,1 metrum minni en breiddin. Ummál rétthyrningsins er 49,4 metrar. Finnið mál rétthyrningsins.

269.

Ummál rétthyrnings er 150 fet. Lengd rétthyrningsins er tvöföld breiddin. Finnið lengd og breidd rétthyrningsins.

270.

Lengd rétthyrnings er þreföld breiddin. Ummál rétthyrningsins er 72 fet. Finnið lengd og breidd rétthyrningsins.

271.

Lengd rétthyrnings er þremur metrum minni en tvöföld breiddin. Ummál rétthyrningsins er 36 metrar. Finnið mál rétthyrningsins.

272.

Lengd rétthyrnings er fimm tommum meiri en tvöföld breiddin. Ummálið er 34 tommur. Finnið lengdina og breiddina.

273.

Ummál rétthyrnds svæðis er 560 jardar. Lengdin er 40 jördum meiri en breiddin. Finnið lengd og breidd svæðisins.

274.

Ummál rétthyrnds innigarðs er 160 fet. Lengdin er 16 fetum meiri en breiddin. Finnið lengd og breidd innigarðsins.

275.

Rétthyrnt bílastæði hefur ummálið 250 fet. Lengdin er fimm fetum meiri en tvöföld breiddin. Finnið lengd og breidd bílastæðisins.

276.

Rétthyrnd gólfmotta hefur ummálið 240 tommur. Lengdin er 12 tommum meiri en tvöföld breiddin. Finnið lengd og breidd mottunnar.

Stærðfræði daglegs lífs

277.

Christa vill setja girðingu umhverfis þríhyrningslaga blómabeð sitt. Hliðar blómabeðsins eru sex fet, átta fet og 10 fet. Hve mörg fet af girðingarefni þarf hún til að girða beðið af?

278.

Jose fjarlægði nýlega leiktæki barnanna úr bakgarðinum til að rýma fyrir rétthyrndum matjurtagarði. Hann vill girða garðinn af svo að hundurinn komist ekki inn. Í bílskúrnum á hann 50 feta rúllu af girðingarefni sem hann ætlar að nota. Til að garðurinn komist fyrir í bakgarðinum þarf breidd hans að vera 10 fet. Hve langan getur hann haft garðinn?

Ritunaræfingar

279.

Ef þið þurfið að flísaleggja eldhúsgólfið, þurfið þið þá að þekkja ummál eða flatarmál eldhússins? Rökstyðjið svarið.

280.

Ef þið þurfið að girða bakgarðinn af, þurfið þið þá að þekkja ummál eða flatarmál hans? Rökstyðjið svarið.

281.

Skoðið myndirnar tvær hér fyrir neðan.

Vinstra megin er rétthyrningur með hæð 2 og breidd 8. Hægra megin er ferningur með hæð 4 og breidd 4.

ⓐ Hvor myndin virðist hafa stærra flatarmál?
ⓑ Hvor myndin virðist hafa stærra ummál?
ⓓ Hvor myndin hefur stærra flatarmál?
ⓔ Hvor myndin hefur stærra ummál?

282.

Skrifið rúmfræðilegt orðadæmi sem tengist eigin reynslu, leysið það síðan og útskýrið öll skrefin.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Þetta er tafla með fjórum röðum og fjórum dálkum. Í fyrstu röðinni, sem er fyrirsagnarröð, standa frá vinstri til hægri „Ég get…“, „Örugglega“, „Með nokkurri hjálp“ og „Nei — ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálkinum undir „Ég get…“ stendur „leyst verkefni með eiginleikum þríhyrninga“, „notað setningu Pýþagórasar“ og „leyst verkefni með eiginleikum rétthyrninga“. Aðrir reitir eru auðir.

ⓑ Hvað segir gátlistinn um hve vel þið hafið náð tökum á efni kaflans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?