Við margar raunverulegar aðstæður þurfum við að leysa ójöfnur. Dæmi með ójöfnum eru raunar svo algeng að við gerum okkur oft ekki grein fyrir því að við séum að nota algebru. Hve mörg gallon af bensíni er til dæmis hægt að setja á bílinn fyrir $20? Ráðum við við leiguna á íbúðinni? Er nægur tími fyrir kennslustund til að sækja hádegismat, borða hann og koma aftur? Hve mikið má jólagjöf hvers fjölskyldumeðlims kosta án þess að fara fram úr fjárhagsáætlun?
Aðferðin sem við notum til að leysa hagnýt verkefni með línulegum ójöfnum er mjög lík aðferðinni sem við notuðum við verkefni með jöfnum. Við lesum verkefnið og göngum úr skugga um að öll orð skiljist. Næst finnum við að hverju er leitað og veljum breytu sem táknar það. Við endursegjum verkefnið í einni setningu svo auðvelt sé að setja hana fram sem ójöfnu. Síðan leysum við ójöfnuna.
Dæmi 3.53
Emma fékk nýja vinnu og þarf að flytja. Mánaðartekjur hennar verða $5.625. Til að uppfylla skilyrði fyrir leigu íbúðar þurfa mánaðartekjur Emmu að vera að minnsta kosti þrefaldar á við leiguna. Hver er hæsta leigan sem Emma uppfyllir skilyrði fyrir?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
hæsta leigan sem Emma uppfyllir skilyrði fyrir
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum r = leiguna.
Skref 4. Þýðið yfir á ójöfnu. Skrifið fyrst setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.
Mánaðartekjur Emmu þurfa að vera að minnsta kosti þrefaldar á við leiguna.
Skref 5. Leysið ójöfnuna. Munið að a > x merkir það sama og x < a.
5,625 ≥ 3 r 1,875 ≥ r r ≤ 1,875
Skref 6. Athugið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Hámarksleiga upp á $1.875 virðist sanngjörn miðað við $5.625 í tekjur.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Hámarksleigan er $1.875.
Stundum þarf lausn dæmis að vera heil tala þótt algebrulausn ójöfnunnar sé ekki heil tala. Þá verðum við að námunda algebrulausnina að heilli tölu. Samhengi dæmisins ræður því hvort námundað er upp eða niður. Til að sannreyna slík dæmi námundum við svarið að tölu sem auðvelt er að reikna með og göngum úr skugga um að hún geri ójöfnuna sanna.
Dæmi 3.54
Dawn fékk $4.000 styrk til að kaupa spjaldtölvur fyrir kennslustofuna sína. Spjaldtölvurnar sem hún vill kaupa kosta $254,12 hver með skatti og sendingu. Hve margar spjaldtölvur getur Dawn keypt í mesta lagi?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
mesti fjöldi spjaldtölva sem Dawn getur keypt
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum n = fjölda spjaldtölva.
Skref 4. Þýðið. Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið. Þýðið yfir á ójöfnu.
$254,12 sinnum fjöldi spjaldtölva er í mesta lagi $4.000. 254.12 n ≤ 4,000
Skref 5. Leysið ójöfnuna. Þar sem n þarf að vera heill fjöldi spjaldtölva er námundað að 15.
n ≤ 15.74 n ≤ 15
Skref 6. Athugið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Ef verðið er námundað niður í $250 kosta 15 spjaldtölvur $3.750, en 16 spjaldtölvur kosta $4.000. Því virðist sanngjarnt að hægt sé að kaupa í mesta lagi 15 spjaldtölvur á $254,12 hverja.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Dawn getur keypt í mesta lagi 15 spjaldtölvur.
Dæmi 3.55
Pete vinnur í tölvuverslun. Vikulaun hans verða annaðhvort föst upphæð, $925, eða $500 að viðbættum 12% af heildarsölu hans. Hve mikil þarf heildarsalan að vera til þess að breytilegu launin verði hærri en fasta upphæðin $925?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
heildarsöluna sem þarf til þess að breytilegu launin verði hærri en fasta upphæðin $925
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum s = heildarsöluna.
Skref 4. Þýðið. Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið. Þýðið yfir á ójöfnu. Munið að breyta prósentunni í tugabrot.
500 + 0.12 s > 925
Skref 5. Leysið ójöfnuna.
0.12 s > 425 s > 3,541. 66 —
Skref 6. Athugið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Ef heildarsalan er námunduð upp í $4.000 sést að 500 + 0.12 ( 4,000 ) = 980, sem er meira en $925.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.
Heildarsalan þarf að vera meiri en $3.541,67.
Dæmi 3.56
Sergio og Lizeth hafa mjög þrönga fjárhagsáætlun fyrir fríið. Þau ætla að leigja bíl hjá fyrirtæki sem tekur $75 á viku og $0,25 á hverja mílu. Hve margar mílur geta þau ekið án þess að fara fram úr $200 fjárhagsáætluninni?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
fjölda mílna sem Sergio og Lizeth geta ekið
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum m = fjölda mílna.
Skref 4. Þýðið. Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið. Þýðið yfir á ójöfnu.
$75 að viðbættu 0,25 sinnum fjölda mílna er minna en eða jafnt og $200. 75 + 0.25 m ≤ 200
Skref 5. Leysið ójöfnuna.
0.25 m ≤ 125 m ≤ 500 mílur
Skref 6. Athugið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Já, 75 + 0.25 ( 500 ) = 200.
Skref 7. Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Sergio og Lizeth geta ekið 500 mílur án þess að fara fram úr fjárhagsáætlun.
Algengt markmið fyrirtækja er að skila hagnaði. Hagnaður er það fé sem verður eftir þegar útgjöld hafa verið dregin frá tekjum. Í næsta dæmi finnum við hve mörg verk smáfyrirtækiseigandi þarf að vinna í hverjum mánuði til að ná tilteknum hagnaði.
Dæmi 3.57
Elliot rekur fyrirtæki sem sinnir viðhaldi lóða. Mánaðarleg útgjöld hans eru $1.100. Ef hann tekur $60 fyrir hvert verk, hve mörg verk þarf hann að vinna til að fá að minnsta kosti $4.000 í hagnað á mánuði?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
fjölda verka sem Elliot þarf
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar það.
Látum j = fjölda verka.
Skref 4. Þýðið. Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið.
$60 sinnum fjöldi verka að frádregnum $1.100 er að minnsta kosti $4.000.
Þýðið yfir á ójöfnu.
Skref 5. Leysið ójöfnuna.
Skref 6. Athugið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Ef Elliot ynni 90 verk væri hagnaður hans 60 ( 90 ) − 1,100, eða $4.300. Það er meira en $4.000.
Skref 7. Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Elliot þarf að vinna að minnsta kosti 85 verk.
Stundum verður lífið flókið! Í mörgum aðstæðum mynda nokkrar stærðir saman heildarútgjöldin. Þegar við leysum slík dæmi verðum við að gæta þess að taka tillit til allra útgjaldaliðanna.
Dæmi 3.58
Brúðkaup bestu vinkonu Brendu verður haldið fjarri heimabyggð og Brenda þarf að gista 3 nætur á hóteli vegna þess. Brenda á $500 í sparifé og getur unnið sér inn $15 á klukkustund með barnapössun. Hún gerir ráð fyrir að greiða $350 fyrir flug, $375 fyrir mat og afþreyingu og $60 á nótt fyrir sinn hluta af hótelherbergi. Hve margar klukkustundir þarf hún að passa börn til að eiga nóg fyrir ferðinni?
Lausn
Skref 1. Lesið dæmið.
Skref 2. Finnið hverju er leitað að.
fjölda klukkustunda sem Brenda þarf að passa börn
Skref 3. Nefnið það sem leitað er að. Veljið breytu sem táknar stærðina.
Látum h = fjölda klukkustunda.
Skref 4. Þýðið. Skrifið setningu sem gefur upplýsingarnar sem þarf til að finna svarið. Þýðið yfir á ójöfnu.
Útgjöldin mega ekki vera meiri en tekjurnar. Kostnaður við flug, mat og afþreyingu ásamt hótelreikningnum má ekki vera meiri en spariféð ásamt tekjunum af barnapössun. $ 350 + $ 375 + $ 60 ( 3 ) ≤ $ 500 + $ 15 h
Skref 5. Leysið ójöfnuna.
905 ≤ 500 + 15 h 405 ≤ 15 h 27 ≤ h h ≥ 27
Skref 6. Athugið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé skynsamlegt. Við setjum 27 inn í ójöfnuna. 905 ≤ 500 + 15 h 905 ≤ 500 + 15 ( 27 ) 905 ≤ 905
Skref 7. Skrifið setningu sem svarar spurningunni.
Brenda þarf að passa börn í að minnsta kosti 27 klukkustundir.
Æfingar úr kafla 3.6
Æfingin skapar meistarann
Leysið hagnýt verkefni með línulegum ójöfnum
Leysið eftirfarandi verkefni.
309.
Mona er að skipuleggja afmælisveislu sonar síns og hefur $285 til ráðstöfunar. Fun Zone tekur $19 fyrir hvert barn. Hve mörg börn geta komið í veisluna án þess að kostnaðurinn fari fram úr fjárhagsáætluninni?
310.
Carlos skoðar íbúðir með þremur vinum sínum. Þau vilja að mánaðarleigan verði ekki hærri en $2.360. Ef leigjendurnir fjórir skipta leigunni jafnt sín á milli, hve háa leigu greiðir hvert þeirra í mesta lagi?
311.
Farþegabátur ber í mesta lagi 1.800 pund. Ef meðalþyngd manns er 150 pund, hve margir geta farið örugglega saman í bátnum?
312.
Marcela er að skrá sig í háskólanámskeið sem kosta $105 á einingu. Í hve margar einingar getur hún skráð sig ef kostnaðurinn má vera í mesta lagi $1.365?
313.
Arleen fékk $20 gjafakort á kaffihús. Uppáhaldsísdrykkurinn hennar kostar $3,79. Hve marga drykki getur hún keypt í mesta lagi fyrir gjafakortið?
314.
Teegan finnst gaman að spila golf. Hann hefur áætlað $60 fyrir æfingasvæðið í næsta mánuði. Í hvert sinn sem hann fer þangað kostar fata af golfkúlum $10,55. Hve oft getur hann farið á æfingasvæðið í mesta lagi í næsta mánuði?
315.
Joni selur eldhússvuntur á netinu á $32,50 stykkið. Hve margar svuntur þarf hún að selja í næsta mánuði ef hún vill afla sér að minnsta kosti $1.000?
316.
Ryan tekur $17,50 fyrir að þvo bíl nágranna. Hve marga bíla þarf hann að þvo næsta sumar ef markmið hans er að afla sér að minnsta kosti $1.500?
317.
Keshad fær $2.400 á mánuði auk 6% af sölu sinni. Bróðir hans fær $3.300 á mánuði. Hve mikil þarf heildarsala Keshads að vera til þess að mánaðarlaun hans verði hærri en mánaðarlaun bróður hans?
318.
Kimuyen þarf að fá $4.150 á mánuði til að greiða öll útgjöld sín. Í starfi sínu fær hún $3.475 á mánuði auk 4% af heildarsölunni. Hve mikil þarf heildarsala Kimuyen að vera að lágmarki svo hún geti greitt öll útgjöld sín?
319.
Andre hefur fengið atvinnutilboð í byrjendastarf. Fyrirtækið bauð honum $48.000 á ári auk 3,5% af heildarsölu hans. Andre veit að meðallaun í starfinu eru $62.000. Hve mikil þarf heildarsala Andres að vera til þess að laun hans verði að minnsta kosti jafnhá og meðallaunin í starfinu?
320.
Nataly íhugar tvö atvinnutilboð. Fyrra starfið myndi gefa henni $83.000 á ári. Síðara starfið myndi gefa henni $66.500 auk 15% af heildarsölunni. Hve mikil þyrfti heildarsala hennar að vera til þess að launin samkvæmt síðara tilboðinu yrðu hærri en samkvæmt því fyrra?
321.
Vatnsreikningur Jakes er $24,80 á mánuði auk $2,20 fyrir hverja ccf-einingu (hundrað rúmfet) af vatni. Hve margar ccf-einingar getur Jake notað í mesta lagi ef reikningurinn má ekki vera hærri en $60?
322.
Símaáskrift Kiyoshis kostar $17,50 á mánuði auk $0,15 fyrir hvert textaskilaboð. Hve mörg textaskilaboð getur Kiyoshi sent í mesta lagi svo símareikningurinn verði ekki hærri en $56,50?
323.
Sjónvarpsáskrift Marlons kostar $49,99 á mánuði auk $5,49 fyrir hverja nýja kvikmynd. Hve margar nýjar kvikmyndir getur hann horft á ef mánaðarreikningurinn má vera í mesta lagi $100?
324.
Kellen vill leigja veislusal á veitingastað fyrir veislu í tilefni væntanlegs barns frænku sinnar. Veitingastaðurinn tekur $350 fyrir salinn auk $32,50 á mann fyrir hádegisverð. Hve margir geta komið í veisluna ef Kellen vill að kostnaðurinn verði í mesta lagi $1.500?
325.
Moshde rekur hárgreiðsluþjónustu heima hjá sér. Hún tekur $45 fyrir klippingu og hárgreiðslu. Mánaðarleg útgjöld hennar eru $960. Hún vill leggja að minnsta kosti $1.200 á mánuði inn á sparnaðarreikning til að geta opnað eigin hárgreiðslustofu. Hve margar klippingar og hárgreiðslur þarf hún að vinna til að spara að minnsta kosti $1.200 á mánuði?
326.
Noe setur upp og stillir hugbúnað í heimilistölvum. Hann tekur $125 fyrir hvert verk. Mánaðarleg útgjöld hans eru $1.600. Hve mörg verk þarf hann að vinna til að fá að minnsta kosti $2.400 í hagnað?
327.
Katherine er einkakokkur. Hún tekur $115 fyrir máltíð handa fjórum. Mánaðarleg útgjöld hennar eru $3.150. Hve margar máltíðir fyrir fjóra þarf hún að selja til að fá að minnsta kosti $1.900 í hagnað?
328.
Melissa býr til hálsmen og selur þau á netinu. Hún tekur $88 fyrir hvert hálsmen. Mánaðarleg útgjöld hennar eru $3.745. Hve mörg hálsmen þarf hún að selja ef hún vill fá að minnsta kosti $1.650 í hagnað?
329.
Fimm fulltrúar nemendafélags vilja fara á fylkisþing. Skráningin kostar þá $110, samgöngur og matur $375 og hótelið $42 á mann. Á sparnaðarreikningi nemendafélagsins eru $450 eyrnamerkt ferðinni. Þeir geta aflað þess sem upp á vantar með bílaþvotti. Ef þeir taka $5 fyrir hvern bíl, hve marga bíla þurfa þeir að þvo til að eiga nóg fyrir ferðinni?
330.
Cesar er að skipuleggja 4 daga ferð til að heimsækja vin sinn í háskóla í öðru fylki. Flugið kostar hann $198, ferðir á staðnum $56 og matur $45 á dag. Hann á $189 í sparifé og getur unnið sér inn $35 fyrir hverja grasflöt sem hann slær. Hve margar grasflatir þarf hann að slá til að eiga nóg fyrir ferðinni?
331.
Alonzo vinnur við bílahreinsun og tekur $175 fyrir hvern bíl. Hann hyggst flytja úr foreldrahúsum og leigja sína fyrstu íbúð. Hann þarf að greiða $120 í umsóknargjald, $950 í tryggingu og bæði fyrsta og síðasta mánaðar leigu, sem er $1.140 á mánuði. Hann á $1.810 í sparifé. Hve marga bíla þarf hann að þrífa vandlega til að eiga nóg fyrir íbúðarleigunni?
332.
Eun-Kyung kennir einkatíma og fær $60 á klukkustund. Hún á $792 í sparifé og er að skipuleggja brúðkaupsafmælisveislu fyrir foreldra sína. Hún vill bjóða 40 gestum. Matur og drykkir kosta $1.520 og ljósmyndari $150. Hún ætlar einnig að gefa hverjum gesti smágjöf sem kostar $7,50. Hve margar klukkustundir þarf hún að kenna til að eiga nóg fyrir veislunni?
Stærðfræði daglegs lífs
333.
Hámarksálag á svið Árið 2014 hrundi svið í framhaldsskóla í Fullerton í Kaliforníu þegar 250 nemendur fóru upp á sviðið í lokaatriði söngleiks. Tuttugu og fjórir nemendur slösuðust. Sviðið þoldi að hámarki 12.750 pund. Ef gert er ráð fyrir að meðalþyngd nemanda sé 140 pund, hver var mesti fjöldi nemenda sem gat verið örugglega á sviðinu?
334.
Hámarksþyngd í bát Árið 2004 sökk farþegabátur í höfninni í Baltimore og fimm manns drukknuðu. Báturinn bar að hámarki 3.500 pund (25 manns sem vógu að meðaltali 140 pund). Þeir 25 sem voru í bátnum þegar hann sökk vógu að meðaltali 168 pund hver. Hve margir af þessari þyngd hefðu að hámarki átt að vera í bátnum?
335.
Fjárhagsáætlun brúðkaups Adele og Walter fundu fullkominn stað fyrir brúðkaupsveisluna. Leiga hans kostar $9.850 fyrir allt að 100 gesti og að auki $38 fyrir hvern viðbótargest. Hve margir gestir geta komið ef Adele og Walter vilja að heildarkostnaðurinn verði ekki meiri en $12.500?
336.
Fjárhagsáætlun veislu Penny er að skipuleggja veislu í tilefni væntanlegs barns tengdadóttur sinnar. Veitingastaðurinn tekur $950 fyrir allt að 25 gesti og að auki $31,95 fyrir hvern viðbótargest. Hve margir gestir geta komið ef Penny vill að heildarkostnaðurinn verði ekki meiri en $1.500?
Ritunarverkefni
337.
Finnið símareikning síðasta mánaðar og tímakaupið sem þið fáið í vinnunni. (Ef þið eruð ekki í vinnu skuluð þið nota raunhæft tímakaup sem þið gætuð fengið.) Reiknið hve margar vinnustundir þyrfti til að afla að minnsta kosti nægilegs fjár til að greiða símareikninginn með því að setja fram viðeigandi ójöfnu og leysa hana.
338.
Finnið hve margar námseiningar þið eigið eftir að þessari önn lokinni til að ná markmiði ykkar í háskólanámi og áætlið hve margar einingar þið getið tekið á hverri önn. Reiknið hve margar annir þurfa til að ná markmiðinu með því að setja fram viðeigandi ójöfnu og leysa hana.
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið við æfingarnar skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hve vel þið hafið náð markmiðum kaflans.
ⓑ Hvað segir gátlistinn ykkur um það hve vel þið hafið náð tökum á efni kaflans? Hvað ætlið þið að gera til að bæta ykkur?
