Þegar við margföldum ræðar stæður gerum við það sama og við gerðum með tölubrot. Við margföldum saman teljarana og margföldum saman nefnarana. Ef einhverjir sameiginlegir þættir eru til staðar fellum við þá síðan út til að einfalda niðurstöðuna.
Við leysum fyrsta sýnidæmið með tölubrotum til að rifja upp hvernig brot án breyta eru margfölduð.
Dæmi 8.17
Margfaldið:
Lausn
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.
Leitið að sameiginlegum þáttum og fellið þá síðan út.
Einfaldið.
Munið að í öllum þessum kafla gerum við ráð fyrir að öll tölugildi sem gera nefnarann jafnan núlli séu útilokuð. Við ritum ekki takmarkanirnar fyrir hverja ræða stæðu, en hafið í huga að nefnarinn má aldrei vera núll. Í næsta sýnidæmi gilda því og .
Dæmi 8.18
Margfaldið:
Lausn
Margfaldið.
Fullþáttið teljarann og nefnarann og fellið síðan út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Dæmi 8.19
Hvernig margfalda á ræðar stæður
Margfaldið:
Lausn
Dæmi 8.20
Margfaldið:
Lausn
n2 − 7 n/n 2 + 2 n + 1 · n + 1/2 n
Þáttið hvern teljara og nefnara.
n ( n − 7 )/( n + 1 ) ( n + 1 ) · n + n
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.
n ( n − 7 ) ( n + 1 )/( n + 1 ) ( n + 1 ) 2 n
Fellið út sameiginlega þætti.
n ( n − 7 ) ( n + 1 )/( n + 1 ) ( n + 1 ) 2 n
Einfaldið.
n − ( n + 1 )
Dæmi 8.21
Margfaldið:
Lausn
16 − 4 x/2 x − 12 · x2 − 5 x − 6/x2 − 16
Þáttið hvern teljara og nefnara.
4 ( 4 − x )/2 ( x − 6 ) · ( x − 6 ) ( x + 1 )/( x − 4 ) ( x + 4 )
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.
4 ( 4 − x ) ( x − 6 ) ( x + 1 )/2 ( x − 6 ) ( x − 4 ) ( x + 4 )
Fellið út sameiginlega þætti.
( −1 ) 2 · 2 ( 4 − x ) ( x − 6 ) ( x + 1 )/2 ( x − 6 ) ( x − 4 ) ( x + 4 )
Einfaldið.
− 2 ( x + 1 )/( x + 4 )
Dæmi 8.22
Margfaldið:
Lausn
Þáttið hvern teljara og nefnara.
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Deilið ræðum stæðum
Til að deila ræðum stæðum margföldum við fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara, rétt eins og við gerðum með tölubrot.
Munið að margföldunarandhverfa er . Til að finna margföldunarandhverfuna víxlum við einfaldlega á teljara og nefnara. Við „snúum við“ brotinu.
Dæmi 8.23
Hvernig deila á ræðum stæðum
Deilið:
Lausn
Dæmi 8.24
Deilið:
Lausn
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri ræðu stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
Munið að fyrst skal rita deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari. Þáttið síðan allt og leitið að sameiginlegum þáttum.
Dæmi 8.25
Deilið:
Lausn
2 x2 + 5 x − 12/x2 − 16 ÷ 2 x2 − 13 x + 15/x2 − 8 x + 16
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
2 x2 + 5 x − 12/x2 − 16 · x2 − 8 x + 16/2 x2 − 13 x + 15
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
( 2 x − 3 ) ( x + 4 ) ( x − 4 ) ( x − 4 )/( x − 4 ) ( x + 4 ) ( 2 x − 3 ) ( x − 5 )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
( 2 x − 3 ) ( x + 4 ) ( x − 4 ) ( x − 4 )/( x − 4 ) ( x + 4 ) ( 2 x − 3 ) ( x − 5 )
Einfaldið.
x − 4/x − 5
Dæmi 8.26
Deilið:
Lausn
p3 + q 3/2 p2 + 2 p q + 2 q2 ÷ p2 − q 2/6
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
p3 + q 3/2 p2 + 2 p q + 2 q2 · 6/p2 − q2
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
( p + q ) ( p2 − p q + q2 ) 6/2 ( p2 + p q + q2 ) ( p − q ) ( p + q )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
( p + q ) ( p2 − p q + q2 ) 6 3/2 ( p2 + p q + q2 ) ( p − q ) ( p + q )
Einfaldið.
3 ( p2 − p q + q 2 )/( p − q ) ( p2 + p q + q2 )
Áður en við leysum næsta sýnidæmi skulum við skoða hvernig broti er deilt með heilli tölu. Þegar við deilum ritum við fyrst 4 sem brot svo við getum fundið margföldunarandhverfu þess.
Við gerum það sama þegar við deilum ræðum stæðum.
Dæmi 8.27
Deilið:
Lausn
a2 − b 2/3 a b ÷ ( a2 + 2 a b + b2 )
Ritið síðari stæðuna sem brot.
a2 − b 2/3 a b ÷ a2 + 2 a b + b 2/1
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
a2 − b 2/3 a b · 1/a2 + 2 a b + b2
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
( a − b ) ( a + b ) · a b · ( a + b ) ( a + b )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
( a − b ) ( a + b )/3 a b · ( a + b ) ( a + b )
Einfaldið.
( a − b )/3 a b ( a + b )
Munið að brotastrik táknar deilingu. Flókið brot er önnur leið til að rita deilingu tveggja brota.
Dæmi 8.28
Deilið:
Lausn
6 x2 − 7 x + 2/4 x − 8/2 x2 − 7 x + 3/x2 − 5 x + 6
Ritið með deilingarmerki.
6 x2 − 7 x + 2/4 x − 8 ÷ 2 x2 − 7 x + 3/x2 − 5 x + 6
Ritið sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
6 x2 − 7 x + 2/4 x − 8 · x2 − 5 x + 6/2 x2 − 7 x + 3
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )/4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )/4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 )
Einfaldið.
3 x −
Ef vinna þarf með fleiri en tvær ræðar stæður fylgjum við samt sömu aðferð. Fyrsta skrefið er að rita allar deilingar sem margföldun með margföldunarandhverfu. Síðan þáttum við og margföldum.
Dæmi 8.29
Deilið:
Lausn
Ritið deilinguna sem margföldun með margföldunarandhverfu.
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
Einfaldið.
Verkefni úr hluta 8.2
Æfingin skapar meistarann
Margfaldið ræðar stæður
Margfaldið í eftirfarandi verkefnum.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
Deilið ræðum stæðum
Deilið í eftirfarandi verkefnum.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
Stærðfræði daglegs lífs
125.
Líkur. Forstjóri stórs fyrirtækis tekur viðtöl við umsækjendur um tvö sams konar störf. Ef w = táknar fjölda kvenkyns umsækjenda og m = fjölda karlkyns umsækjenda, þá eru líkurnar á að tvær konur verði valdar í störfin w/w + m · w − 1/w + m − 1 ..
ⓐ Einfaldið líkurnar með því að margfalda ræðu stæðurnar tvær.
ⓑ Finnið líkurnar á að tvær konur verði valdar þegar og .
126.
Flatarmál þríhyrnings. Flatarmál þríhyrnings með grunnlínu b og hæð h er . Ef þríhyrningurinn er teygður þannig að nýr þríhyrningur hafi þrefalt lengri grunnlínu og þrefalt meiri hæð en sá upphaflegi, er flatarmálið . Reiknið hlutfall flatarmáls nýja þríhyrningsins og flatarmáls þess upphaflega með því að deila með .
Ritunarverkefni
127.
ⓐ Margfaldið og útskýrið öll skrefin.
ⓑ Margfaldið og útskýrið öll skrefin.
ⓒ Reiknið gildi svarsins við b-lið þegar . Fenguð þið sama svar og í a-lið? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
128.
ⓐ Deilið og útskýrið öll skrefin.
ⓑ Deilið og útskýrið öll skrefin.
ⓒ Reiknið gildi svarsins við b-lið þegar . Fenguð þið sama svar og í a-lið? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
Sjálfsmat
ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.
ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir yfirferð þessa gátlista til að ná öruggum tökum á öllum námsmarkmiðunum?