88 Ræðar stæður og jöfnur

8.2 Margfaldið og deilið ræðum stæðum

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Margfaldað ræðar stæður
Deilt ræðum stæðum

Margfaldið ræðar stæður

Þegar við margföldum ræðar stæður gerum við það sama og við gerðum með tölubrot. Við margföldum saman teljarana og margföldum saman nefnarana. Ef einhverjir sameiginlegir þættir eru til staðar fellum við þá síðan út til að einfalda niðurstöðuna.

Við leysum fyrsta sýnidæmið með tölubrotum til að rifja upp hvernig brot án breyta eru margfölduð.

Dæmi 8.17

Margfaldið: $\frac{10}{28} \cdot \frac{8}{15} .$

Lausn


Margfaldið saman teljarana og nefnarana.
Leitið að sameiginlegum þáttum og fellið þá síðan út.
Einfaldið.

Munið að í öllum þessum kafla gerum við ráð fyrir að öll tölugildi sem gera nefnarann jafnan núlli séu útilokuð. Við ritum ekki takmarkanirnar fyrir hverja ræða stæðu, en hafið í huga að nefnarinn má aldrei vera núll. Í næsta sýnidæmi gilda því $x \neq 0$ og $y \neq 0$ .

Dæmi 8.18

Margfaldið: $\frac{2 x}{3 y^{2}} \cdot \frac{6 x y^{3}}{x^{2} y} .$

Lausn


Margfaldið.
Fullþáttið teljarann og nefnarann og fellið síðan út sameiginlega þætti.
Einfaldið.

Dæmi 8.19

Hvernig margfalda á ræðar stæður

Margfaldið: $\frac{2 x}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 9}{6 x^{2}} .$

Lausn

Myndin hér að ofan hefur þrjá dálka og þrjár línur og sýnir hvernig ræðar stæður eru margfaldaðar. Í fyrsta skrefi eru allir teljarar og nefnarar fullþáttaðir. Þáttið x í öðru veldi mínus 9 og x í öðru veldi mínus 7 x plús 12. Ræða stæðan er 2x deilt með x í öðru veldi plús x plús 12, sinnum x í öðru veldi mínus 9 deilt með 6x í öðru veldi, og verður síðan 2x deilt með x mínus 3, sinnum x mínus 4, sinnum x mínus 3, sinnum x plús 3, deilt með 6x í öðru veldi.

Skref 2 er að margfalda saman teljarana og nefnarana. Gagnlegt er að margfalda einliðurnar fyrst. Margfaldið 2x sinnum x mínus 3 sinnum x plús 3, deilt með 6x í öðru veldi sinnum x mínus 3 sinnum x mínus 4.

Skref 3 er að fella út sameiginlegu þættina: 2, x og x mínus 3 í teljaranum á móti 2, x og x mínus 3 í nefnaranum. Látið nefnarann standa á þáttuðu formi og fáið x plús 3 deilt með 3x sinnum x mínus 4.

Dæmi 8.20

Margfaldið: $\frac{n^{2} - 7 n}{n^{2} + 2 n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2 n} .$

Lausn

	n² − 7 n/n 2 + 2 n + 1 · n + 1/2 n
Þáttið hvern teljara og nefnara.	n ( n − 7 )/( n + 1 ) ( n + 1 ) · n + $\frac{1}{2}$ n
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.	n ( n − 7 ) ( n + 1 )/( n + 1 ) ( n + 1 ) 2 n
Fellið út sameiginlega þætti.	n ( n − 7 ) ( n + 1 )/( n + 1 ) ( n + 1 ) 2 n
Einfaldið.	n − $\frac{7}{2}$ ( n + 1 )

Dæmi 8.21

Margfaldið: $\frac{16 - 4 x}{2 x - 12} \cdot \frac{x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} - 16} .$

Lausn

	16 − 4 x/2 x − 12 · x² − 5 x − 6/x² − 16
Þáttið hvern teljara og nefnara.	4 ( 4 − x )/2 ( x − 6 ) · ( x − 6 ) ( x + 1 )/( x − 4 ) ( x + 4 )
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.	4 ( 4 − x ) ( x − 6 ) ( x + 1 )/2 ( x − 6 ) ( x − 4 ) ( x + 4 )
Fellið út sameiginlega þætti.	( −1 ) 2 · 2 ( 4 − x ) ( x − 6 ) ( x + 1 )/2 ( x − 6 ) ( x − 4 ) ( x + 4 )
Einfaldið.	− 2 ( x + 1 )/( x + 4 )

Dæmi 8.22

Margfaldið: $\frac{2 x - 6}{x^{2} - 8 x + 15} \cdot \frac{x^{2} - 25}{2 x + 10} .$

Lausn


Þáttið hvern teljara og nefnara.
Margfaldið saman teljarana og nefnarana.
Fellið út sameiginlega þætti.
Einfaldið.

Deilið ræðum stæðum

Til að deila ræðum stæðum margföldum við fyrra brotið með margföldunarandhverfu þess síðara, rétt eins og við gerðum með tölubrot.

Munið að margföldunarandhverfa $\frac{a}{b}$ er $\frac{b}{a}$ . Til að finna margföldunarandhverfuna víxlum við einfaldlega á teljara og nefnara. Við „snúum við“ brotinu.

Dæmi 8.23

Hvernig deila á ræðum stæðum

Deilið: $\frac{x + 9}{6 - x} \div \frac{x^{2} - 81}{x - 6} .$

Lausn

Myndin hér að ofan hefur þrjá dálka og sýnir skrefin við deilingu ræðra stæðna. Í fyrsta skrefi er deilingin rituð sem margfeldi fyrri ræðu stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari fyrir x plús 9 deilt með 6 mínus x, deilt með x í öðru veldi mínus 81, deilt með x mínus 6. „Snúið við“ síðara brotinu og breytið deilingarmerkinu í margföldunarmerki. Þá fæst x plús 9 deilt með 6 mínus x, sinnum x mínus 6 deilt með x í öðru veldi mínus 81.

Í öðru skrefi eru teljararnir og nefnararnir fullþáttaðir. Þáttið x í öðru veldi mínus 81. Þá fæst x plús 9 deilt með 6 mínus x, sinnum x mínus 6 deilt með x mínus 9 sinnum x plús 9.

Í þriðja skrefi eru teljararnir og nefnararnir margfaldaðir saman. Þá fæst x plús 9 sinnum x mínus 6, deilt með 6 mínus x sinnum x mínus 9 sinnum x plús 9.

Í fjórða skrefi er einfaldað með því að fella út sameiginlega þætti. Fellið út sameiginlegu þættina x plús 9 og x mínus 6 í teljaranum á móti 6 mínus x og x plús 9 í nefnaranum. Munið að deiling gagnstæðra stæðna gefur mínus 1. Stæðan einfaldast í mínus 1 deilt með x mínus 9.

Dæmi 8.24

Deilið: $\frac{3 n^{2}}{n^{2} - 4 n} \div \frac{9 n^{2} - 45 n}{n^{2} - 7 n + 10} .$

Lausn


Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri ræðu stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.

Munið að fyrst skal rita deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari. Þáttið síðan allt og leitið að sameiginlegum þáttum.

Dæmi 8.25

Deilið: $\frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 16} \div \frac{2 x^{2} - 13 x + 15}{x^{2} - 8 x + 16} .$

Lausn

	2 x² + 5 x − 12/x² − 16 ÷ 2 x² − 13 x + 15/x² − 8 x + 16
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.	2 x² + 5 x − 12/x² − 16 · x² − 8 x + 16/2 x² − 13 x + 15
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.	( 2 x − 3 ) ( x + 4 ) ( x − 4 ) ( x − 4 )/( x − 4 ) ( x + 4 ) ( 2 x − 3 ) ( x − 5 )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( 2 x − 3 ) ( x + 4 ) ( x − 4 ) ( x − 4 )/( x − 4 ) ( x + 4 ) ( 2 x − 3 ) ( x − 5 )
Einfaldið.	x − 4/x − 5

Dæmi 8.26

Deilið: $\frac{p^{3} + q^{3}}{2 p^{2} + 2 p q + 2 q^{2}} \div \frac{p^{2} - q^{2}}{6} .$

Lausn

	p³ + q 3/2 p² + 2 p q + 2 q² ÷ p² − q 2/6
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.	p³ + q 3/2 p² + 2 p q + 2 q² · 6/p² − q²
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.	( p + q ) ( p² − p q + q² ) 6/2 ( p² + p q + q² ) ( p − q ) ( p + q )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( p + q ) ( p² − p q + q² ) 6 3/2 ( p² + p q + q² ) ( p − q ) ( p + q )
Einfaldið.	3 ( p² − p q + q 2 )/( p − q ) ( p² + p q + q² )

Áður en við leysum næsta sýnidæmi skulum við skoða hvernig broti er deilt með heilli tölu. Þegar við deilum $\frac{3}{5} \div 4$ ritum við fyrst 4 sem brot svo við getum fundið margföldunarandhverfu þess.

\begin{matrix} \frac{3}{5} \div 4 \\ \frac{3}{5} \div \frac{4}{1} \\ \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} \end{matrix}

Við gerum það sama þegar við deilum ræðum stæðum.

Dæmi 8.27

Deilið: $\frac{a^{2} - b^{2}}{3 a b} \div (a^{2} + 2 a b + b^{2}) .$

Lausn

	a² − b 2/3 a b ÷ ( a² + 2 a b + b² )
Ritið síðari stæðuna sem brot.	a² − b 2/3 a b ÷ a² + 2 a b + b 2/1
Ritið deilinguna sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.	a² − b 2/3 a b · 1/a² + 2 a b + b²
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.	( a − b ) ( a + b ) · $\frac{1}{3}$ a b · ( a + b ) ( a + b )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( a − b ) ( a + b )/3 a b · ( a + b ) ( a + b )
Einfaldið.	( a − b )/3 a b ( a + b )

Munið að brotastrik táknar deilingu. Flókið brot er önnur leið til að rita deilingu tveggja brota.

Dæmi 8.28

Deilið: $\frac{\frac{6 x^{2} - 7 x + 2}{4 x - 8}}{\frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 5 x + 6}} .$

Lausn

	6 x² − 7 x + 2/4 x − 8/2 x² − 7 x + 3/x² − 5 x + 6
Ritið með deilingarmerki.	6 x² − 7 x + 2/4 x − 8 ÷ 2 x² − 7 x + 3/x² − 5 x + 6
Ritið sem margfeldi fyrri stæðunnar og margföldunarandhverfu þeirrar síðari.	6 x² − 7 x + 2/4 x − 8 · x² − 5 x + 6/2 x² − 7 x + 3
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.	( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )/4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )/4 ( x − 2 ) ( 2 x − 1 ) ( x − 3 )
Einfaldið.	3 x − $\frac{2}{4}$

Ef vinna þarf með fleiri en tvær ræðar stæður fylgjum við samt sömu aðferð. Fyrsta skrefið er að rita allar deilingar sem margföldun með margföldunarandhverfu. Síðan þáttum við og margföldum.

Dæmi 8.29

Deilið: $\frac{3 x - 6}{4 x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 3 x - 10} \div \frac{2 x + 12}{8 x + 16} .$

Lausn


Ritið deilinguna sem margföldun með margföldunarandhverfu.
Þáttið teljarana og nefnarana og margfaldið síðan.
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
Einfaldið.

Verkefni úr hluta 8.2

Æfingin skapar meistarann

Margfaldið ræðar stæður

Margfaldið í eftirfarandi verkefnum.

73.

$\frac{12}{16} \cdot \frac{4}{10}$

74.

$\frac{32}{5} \cdot \frac{16}{24}$

75.

$\frac{18}{10} \cdot \frac{4}{30}$

76.

$\frac{21}{36} \cdot \frac{45}{24}$

77.

$\frac{5 x^{2} y^{4}}{12 x y^{3}} \cdot \frac{6 x^{2}}{20 y^{2}}$

78.

$\frac{8 w^{3} y}{9 y^{2}} \cdot \frac{3 y}{4 w^{4}}$

79.

$\frac{12 a^{3} b}{b^{2}} \cdot \frac{2 a b^{2}}{9 b^{3}}$

80.

$\frac{4 m n^{2}}{5 n^{3}} \cdot \frac{m n^{3}}{8 m^{2} n^{2}}$

81.

$\frac{5 p^{2}}{p^{2} - 5 p - 36} \cdot \frac{p^{2} - 16}{10 p}$

82.

$\frac{3 q^{2}}{q^{2} + q - 6} \cdot \frac{q^{2} - 9}{9 q}$

83.

$\frac{4 r}{r^{2} - 3 r - 10} \cdot \frac{r^{2} - 25}{8 r^{2}}$

84.

$\frac{s}{s^{2} - 9 s + 14} \cdot \frac{s^{2} - 49}{7 s^{2}}$

85.

$\frac{x^{2} - 7 x}{x^{2} + 6 x + 9} \cdot \frac{x + 3}{4 x}$

86.

$\frac{2 y^{2} - 10 y}{y^{2} + 10 y + 25} \cdot \frac{y + 5}{6 y}$

87.

$\frac{z^{2} + 3 z}{z^{2} - 3 z - 4} \cdot \frac{z - 4}{z^{2}}$

88.

$\frac{2 a^{2} + 8 a}{a^{2} - 9 a + 20} \cdot \frac{a - 5}{a^{2}}$

89.

$\frac{28 - 4 b}{3 b - 3} \cdot \frac{b^{2} + 8 b - 9}{b^{2} - 49}$

90.

$\frac{18 c - 2 c^{2}}{6 c + 30} \cdot \frac{c^{2} + 7 c + 10}{c^{2} - 81}$

91.

$\frac{35 d - 7 d^{2}}{d^{2} + 7 d} \cdot \frac{d^{2} + 12 d + 35}{d^{2} - 25}$

92.

$\frac{72 m - 12 m^{2}}{8 m + 32} \cdot \frac{m^{2} + 10 m + 24}{m^{2} - 36}$

93.

$\frac{4 n + 20}{n^{2} + n - 20} \cdot \frac{n^{2} - 16}{4 n + 16}$

94.

$\frac{6 p^{2} - 6 p}{p^{2} + 7 p - 18} \cdot \frac{p^{2} - 81}{3 p^{2} - 27 p}$

95.

$\frac{q^{2} - 2 q}{q^{2} + 6 q - 16} \cdot \frac{q^{2} - 64}{q^{2} - 8 q}$

96.

$\frac{2 r^{2} - 2 r}{r^{2} + 4 r - 5} \cdot \frac{r^{2} - 25}{2 r^{2} - 10 r}$

Deilið ræðum stæðum

Deilið í eftirfarandi verkefnum.

97.

$\frac{t - 6}{3 - t} \div \frac{t - 5}{t^{2} - 9}$

98.

$\frac{v - 5}{11 - v} \div \frac{v^{2} - 25}{v - 11}$

99.

$\frac{10 + w}{w - 8} \div \frac{100 - w^{2}}{8 - w}$

100.

$\frac{7 + x}{x - 6} \div {\frac{49 - x}{x + 6}}^{2}$

101.

$\frac{27 y^{2}}{3 y - 21} \div \frac{3 y^{2} + 18}{y^{2} + 13 y + 42}$

102.

$\frac{24 z^{2}}{2 z - 8} \div \frac{4 z - 28}{z^{2} - 11 z + 28}$

103.

$\frac{16 a^{2}}{4 a + 36} \div \frac{4 a^{2} - 24 a}{a^{2} + 4 a - 45}$

104.

$\frac{24 b^{2}}{2 b - 4} \div \frac{12 b^{2} + 36 b}{b^{2} - 11 b + 18}$

105.

$\frac{5 c^{2} + 9 c - 2}{c^{2} - 4} \div \frac{5 c^{2} - 16 c + 3}{c^{2} + 4 c + 4}$

106.

$\frac{2 d^{2} + d - 3}{d^{2} - 16} \div \frac{2 d^{2} - 9 d - 18}{d^{2} - 8 d + 16}$

107.

$\frac{6 m^{2} - 11 m - 2}{9 - m^{2}} \div \frac{6 m^{2} + 25 m + 4}{m^{2} - 6 m + 9}$

108.

$\frac{2 n^{2} - 3 n - 14}{25 - n^{2}} \div \frac{2 n^{2} - 13 n + 21}{n^{2} - 10 n + 25}$

109.

$\frac{3 s^{2}}{s^{2} - 16} \div \frac{s^{3} + 4 s^{2} + 16 s}{s^{3} - 64}$

110.

$\frac{r^{2} - 9}{15} \div \frac{r^{3} - 27}{5 r^{2} + 15 r + 45}$

111.

$\frac{p^{3} + q^{3}}{3 p^{2} + 3 p q + 3 q^{2}} \div \frac{p^{2} - q^{2}}{12}$

112.

$\frac{v^{3} - 8 w^{3}}{2 v^{2} + 4 v w + 8 w^{2}} \div \frac{v^{2} - 4 w^{2}}{4}$

113.

$\frac{t^{2} - 9}{2 t} \div (t^{2} - 6 t + 9)$

114.

$\frac{x^{2} + 3 x - 10}{4 x} \div (2 x^{2} + 20 x + 50)$

115.

$\frac{2 y^{2} - 10 y z - 48 z^{2}}{2 y - 1} \div (4 y^{2} - 32 y z)$

116.

$\frac{2 m^{2} - 98 n^{2}}{2 m + 6} \div (m^{2} - 7 m n)$

117.

$\frac{\frac{2 a^{2} - a - 21}{5 a + 20}}{\frac{a^{2} + 7 a + 12}{a^{2} + 8 a + 16}}$

118.

$\frac{\frac{3 b^{2} + 2 b - 8}{12 b + 18}}{\frac{3 b^{2} + 2 b - 8}{2 b^{2} - 7 b - 15}}$

119.

$\frac{\frac{12 c^{2} - 12}{2 c^{2} - 3 c + 1}}{\frac{4 c + 4}{6 c^{2} - 13 c + 5}}$

120.

$\frac{\frac{4 d^{2} + 7 d - 2}{35 d + 10}}{\frac{d^{2} - 4}{7 d^{2} - 12 d - 4}}$

121.

$\frac{10 m^{2} + 80 m}{3 m - 9} \cdot \frac{m^{2} + 4 m - 21}{m^{2} - 9 m + 20}$
$\div \frac{5 m^{2} + 10 m}{2 m - 10}$

122.

$\frac{4 n^{2} + 32 n}{3 n + 2} \cdot \frac{3 n^{2} - n - 2}{n^{2} + n - 30}$
$\div \frac{108 n^{2} - 24 n}{n + 6}$

123.

$\frac{12 p^{2} + 3 p}{p + 3} \div \frac{p^{2} + 2 p - 63}{p^{2} - p - 12}$
$\cdot \frac{p - 7}{9 p^{3} - 9 p^{2}}$

124.

$\frac{6 q + 3}{9 q^{2} - 9 q} \div \frac{q^{2} + 14 q + 33}{q^{2} + 4 q - 5}$
$\cdot \frac{4 q^{2} + 12 q}{12 q + 6}$

Stærðfræði daglegs lífs

125.

Líkur. Forstjóri stórs fyrirtækis tekur viðtöl við umsækjendur um tvö sams konar störf. Ef w = táknar fjölda kvenkyns umsækjenda og $w =$ m = fjölda karlkyns umsækjenda, þá eru $m =$ líkurnar á að tvær konur verði valdar í störfin w/w + m · w − 1/w + m − 1 .. $\frac{w}{w + m} \cdot \frac{w - 1}{w + m - 1} .$

ⓐ Einfaldið líkurnar með því að margfalda ræðu stæðurnar tvær.
ⓑ Finnið líkurnar á að tvær konur verði valdar þegar $w = 5$ og $m = 10$ .

126.

Flatarmál þríhyrnings. Flatarmál þríhyrnings með grunnlínu b og hæð h er $\frac{b h}{2} .$ . Ef þríhyrningurinn er teygður þannig að nýr þríhyrningur hafi þrefalt lengri grunnlínu og þrefalt meiri hæð en sá upphaflegi, er flatarmálið $\frac{9 b h}{2} .$ . Reiknið hlutfall flatarmáls nýja þríhyrningsins og flatarmáls þess upphaflega með því að deila $\frac{9 b h}{2}$ með $\frac{b h}{2}$ .

Ritunarverkefni

127.

ⓐ Margfaldið $\frac{7}{4} \cdot \frac{9}{10}$ og útskýrið öll skrefin.
ⓑ Margfaldið $\frac{n}{n - 3} \cdot \frac{9}{n + 3}$ og útskýrið öll skrefin.

128.

ⓐ Deilið $\frac{24}{5} \div 6$ og útskýrið öll skrefin.
ⓑ Deilið $\frac{x^{2} - 1}{x} \div (x + 1)$ og útskýrið öll skrefin.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð námsmarkmiðum hlutans.

Myndin hér að ofan sýnir töflu með fjórum dálkum og fjórum línum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína. Fyrsta fyrirsögnin er „Ég get…“, önnur „Örugglega“, þriðja „Með nokkurri hjálp“ og sú fjórða „Nei – ég skil þetta ekki!“ Í fyrsta dálki undir „Ég get…“ stendur í næstu línu „margfaldað ræðar stæður“, í línunni þar á eftir „deilt ræðum stæðum“ og í síðustu línunni „hvað ætlið þið að gera eftir yfirferð þessa gátlista til að ná öruggum tökum á öllum námsmarkmiðunum?“ Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir yfirferð þessa gátlista til að ná öruggum tökum á öllum námsmarkmiðunum?