88 Ræðar stæður og jöfnur

8.3 Leggið saman og dragið frá ræðar stæður með sameiginlegan nefnara

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Lagt saman ræðar stæður með sameiginlegan nefnara
Dregið frá ræðar stæður með sameiginlegan nefnara
Lagt saman og dregið frá ræðar stæður þar sem nefnararnir eru móttölur hvor annars

Leggið saman ræðar stæður með sameiginlegan nefnara

Hvert er fyrsta skrefið þegar þið leggið saman tölubrot? Þið athugið hvort þau hafi sameiginlegan nefnara. Ef svo er leggið þið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann. Ef þau hafa ekki sameiginlegan nefnara finnið þið hann áður en brotin eru lögð saman.

Sama gildir um ræðar stæður. Til að leggja saman ræðar stæður verða þær að hafa sameiginlegan nefnara. Þegar nefnararnir eru eins leggjum við teljarana saman og setjum summuna yfir sameiginlega nefnarann.

Við leggjum fyrst saman tvö tölubrot til að rifja upp aðferðina.

Dæmi 8.30

Leggið saman: $\frac{5}{18} + \frac{7}{18} .$

Lausn

	$\frac{5}{18}$ + $\frac{7}{18}$
Brotin hafa sameiginlegan nefnara, svo leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	5 + $\frac{7}{18}$
Leggið saman í teljaranum.	$\frac{12}{18}$
Þáttið teljarann og nefnarann til að sýna sameiginlegu þættina.	6 · $\frac{2}{6}$ · 3
Fellið út sameiginlega þætti.	6 · $\frac{2}{6}$ · 3
Einfaldið.	$\frac{2}{3}$

Munið að við le $y$ fum ekki gildi sem gera nefnarann jafnan núlli. Hvaða gildi á y þarf að útiloka í næsta sýnidæmi?

Dæmi 8.31

Leggið saman: $\frac{3 y}{4 y - 3} + \frac{7}{4 y - 3} .$

Lausn

	3 y/4 y − 3 + $\frac{7}{4}$ y − 3
Brotin hafa sameiginlegan nefnara, svo leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	3 y + $\frac{7}{4}$ y − 3

Ekki er hægt að þátta teljarann eða nefnarann. Brotið er fullkomlega einfaldað.

Dæmi 8.32

Leggið saman: $\frac{7 x + 12}{x + 3} + \frac{x^{2}}{x + 3} .$

Lausn

	7 x + 12/x + 3 + x 2/x + 3
Brotin hafa sameiginlegan nefnara, svo leggið teljarana saman og setjið summuna yfir sameiginlega nefnarann.	7 x + 12 + x 2/x + 3
Raðið veldunum í lækkandi röð.	x² + 7 x + 12/x + 3
Þáttið teljarann.	( x + 3 ) ( x + 4 )/x + 3
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( x + 3 ) ( x + 4 )/x + 3
Einfaldið.	x + 4

Dragið frá ræðar stæður með sameiginlegan nefnara

Til að draga ræðar stæður frá verða þær einnig að hafa sameiginlegan nefnara. Þegar nefnararnir eru eins drögum við teljarana frá og setjum mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.

Við einföldum alltaf ræðar stæður. Gætið þess að þátta, ef unnt er, eftir að teljararnir hafa verið dregnir frá svo finna megi alla sameiginlega þætti.

Dæmi 8.33

Dragið frá: $\frac{n^{2}}{n - 10} - \frac{100}{n - 10} .$

Lausn

	n 2/n − 10 − 100/n − 10
Brotin hafa sameiginlegan nefnara, svo dragið teljarana frá og setjið mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.	n² − 100/n − 10
Þáttið teljarann.	( n − 10 ) ( n + 10 )/n − 10
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( n − 10 ) ( n + 10 )/n − 10
Einfaldið.	n + 10

Gætið vel að formerkjunum þegar tvíliður er dreginn frá!

Dæmi 8.34

Dragið frá: $\frac{y^{2}}{y - 6} - \frac{2 y + 24}{y - 6} .$

Lausn

	y 2/y − 6 − 2 y + 24/y − 6
Brotin hafa sameiginlegan nefnara, svo dragið teljarana frá og setjið mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.	y² − ( 2 y + 24 )/y − 6
Dreifið formerkinu í teljaranum.	y² − 2 y − 24/y − 6
Þáttið teljarann.	( y − 6 ) ( y + 4 )/y − 6
Fellið út sameiginlega þætti.	( y − 6 ) ( y + 4 )/y − 6
Einfaldið.	y + 4

Dæmi 8.35

Dragið frá: $\frac{5 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{4 x^{2} + x - 9}{x^{2} - 3 x - 18} .$

Lausn

	5 x² − 7 x + 3/x² − 3 x – 18 − 4 x² + x − 9/x² − 3 x – 18
Dragið teljarana frá og setjið mismuninn yfir sameiginlega nefnarann.	5 x² − 7 x + 3 − ( 4 x² + x − 9 )/x 2 − 3 x – 18
Dreifið formerkinu í teljaranum.	5 x² − 7 x + 3 − 4 x² − x + 9/x² − 3 x − 18
Sameinið líka liði.	x² − 8 x + 12/x² − 3 x − 18
Þáttið teljarann og nefnarann.	( x − 2 ) ( x − 6 )/( x + 3 ) ( x − 6 )
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.	( x − 2 ) ( x − 6 )/( x + 3 ) ( x − 6 )
Einfaldið.	( x − 2 )/( x + 3 )

Leggið saman og dragið frá ræðar stæður þar sem nefnararnir eru móttölur hvor annars

Þegar nefnarar tveggja ræðra stæðna eru móttölur hvor annars er auðvelt að fá sameiginlegan nefnara. Við þurfum aðeins að margfalda annað brotið með $\frac{−1}{−1}$ .

Skoðum hvernig þetta virkar.


Margfaldið síðara brotið með −1/−1.
Nefnararnir eru eins.
Einfaldið.

Dæmi 8.36

Leggið saman: $\frac{4 u - 1}{3 u - 1} + \frac{u}{1 - 3 u} .$

Lausn


Nefnararnir eru móttölur hvor annars, svo margfaldið síðara brotið með −1/−1.
Einfaldið síðara brotið.
Nefnararnir eru eins. Leggið teljarana saman.
Einfaldið.
Einfaldið.

Dæmi 8.37

Dragið frá: $\frac{m^{2} - 6 m}{m^{2} - 1} - \frac{3 m + 2}{1 - m^{2}} .$

Lausn


Nefnararnir eru móttölur hvor annars, svo margfaldið síðara brotið með −1/−1.
Einfaldið síðara brotið.
Nefnararnir eru eins. Dragið teljarana frá.
Margfaldið inn í svigann.	m² − 6 m + 3 m + 2/m² − 1
Sameinið líka liði.
Þáttið teljarann og nefnarann.
Einfaldið með því að fella út sameiginlega þætti.
Einfaldið.

Verkefni úr hluta 8.3

Æfingin skapar meistarann

Leggið saman ræðar stæður með sameiginlegan nefnara

Leggið saman í eftirfarandi verkefnum.

129.

$\frac{2}{15} + \frac{7}{15}$

130.

$\frac{4}{21} + \frac{3}{21}$

131.

$\frac{7}{24} + \frac{11}{24}$

132.

$\frac{7}{36} + \frac{13}{36}$

133.

$\frac{3 a}{a - b} + \frac{1}{a - b}$

134.

$\frac{3 c}{4 c - 5} + \frac{5}{4 c - 5}$

135.

$\frac{d}{d + 8} + \frac{5}{d + 8}$

136.

$\frac{7 m}{2 m + n} + \frac{4}{2 m + n}$

137.

$\frac{p^{2} + 10 p}{p + 2} + \frac{16}{p + 2}$

138.

$\frac{q^{2} + 12 q}{q + 3} + \frac{27}{q + 3}$

139.

$\frac{2 r^{2}}{2 r - 1} + \frac{15 r - 8}{2 r - 1}$

140.

$\frac{3 s^{2}}{3 s - 2} + \frac{13 s - 10}{3 s - 2}$

141.

$\frac{8 t^{2}}{t + 4} + \frac{32 t}{t + 4}$

142.

$\frac{6 v^{2}}{v + 5} + \frac{30 v}{v + 5}$

143.

$\frac{2 w^{2}}{w^{2} - 16} + \frac{8 w}{w^{2} - 16}$

144.

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 9} + \frac{21 x}{x^{2} - 9}$

Dragið frá ræðar stæður með sameiginlegan nefnara

Dragið frá í eftirfarandi verkefnum.

145.

$\frac{y^{2}}{y + 8} - \frac{64}{y + 8}$

146.

$\frac{z^{2}}{z + 2} - \frac{4}{z + 2}$

147.

$\frac{9 a^{2}}{3 a - 7} - \frac{49}{3 a - 7}$

148.

$\frac{25 b^{2}}{5 b - 6} - \frac{36}{5 b - 6}$

149.

$\frac{c^{2}}{c - 8} - \frac{6 c + 16}{c - 8}$

150.

$\frac{d^{2}}{d - 9} - \frac{6 d + 27}{d - 9}$

151.

$\frac{3 m^{2}}{6 m - 30} - \frac{21 m - 30}{6 m - 30}$

152.

$\frac{2 n^{2}}{4 n - 32} - \frac{18 n - 16}{4 n - 32}$

153.

$\frac{6 p^{2} + 3 p + 4}{p^{2} + 4 p - 5} - \frac{5 p^{2} + p + 7}{p^{2} + 4 p - 5}$

154.

$\frac{5 q^{2} + 3 q - 9}{q^{2} + 6 q + 8} - \frac{4 q^{2} + 9 q + 7}{q^{2} + 6 q + 8}$

155.

$\frac{5 r^{2} + 7 r - 33}{r^{2} - 49} - \frac{4 r^{2} + 5 r + 30}{r^{2} - 49}$

156.

$\frac{7 t^{2} - t - 4}{t^{2} - 25} - \frac{6 t^{2} + 12 t - 44}{t^{2} - 25}$

Leggið saman og dragið frá ræðar stæður þar sem nefnararnir eru móttölur hvor annars

Leggið saman í eftirfarandi verkefnum.

157.

$\frac{10 v}{2 v - 1} + \frac{2 v + 4}{1 - 2 v}$

158.

$\frac{20 w}{5 w - 2} + \frac{5 w + 6}{2 - 5 w}$

159.

$\frac{10 x^{2} + 16 x - 7}{8 x - 3} + \frac{2 x^{2} + 3 x - 1}{3 - 8 x}$

160.

$\frac{6 y^{2} + 2 y - 11}{3 y - 7} + \frac{3 y^{2} - 3 y + 17}{7 - 3 y}$

Dragið frá í eftirfarandi verkefnum.

161.

$\frac{z^{2} + 6 z}{z^{2} - 25} - \frac{3 z + 20}{25 - z^{2}}$

162.

$\frac{a^{2} + 3 a}{a^{2} - 9} - \frac{3 a - 27}{9 - a^{2}}$

163.

$\frac{2 b^{2} + 30 b - 13}{b^{2} - 49} - \frac{2 b^{2} - 5 b - 8}{49 - b^{2}}$

164.

$\frac{c^{2} + 5 c - 10}{c^{2} - 16} - \frac{c^{2} - 8 c - 10}{16 - c^{2}}$

Stærðfræði daglegs lífs

165.

Sara hljóp 8 mílur og hjólaði síðan 24 mílur. Hraði hennar á hjólinu er 4 mílum á klukkustund meiri en hlaupahraðinn. Ef $r$ táknar hlaupahraða Söru, þá lýsir stæðan $\frac{8}{r}$ hlaupatíma hennar og stæðan $\frac{24}{r + 4} .$ hjólatímanum. Leggið saman ræðu stæðurnar $\frac{8}{r} + \frac{24}{r + 4}$ til að fá stæðu fyrir heildartímann sem Sara hljóp og hjólaði.

166.

Ef Pétur getur málað vegg á $p$ klukkustundum, getur hann málað $\frac{1}{p}$ af veggnum á einni klukkustund. Það tæki Penelópu 3 klukkustundum lengur en Pétur að mála vegginn, svo hún getur málað $\frac{1}{p + 3}$ af veggnum á einni klukkustund. Leggið saman ræðu stæðurnar $\frac{1}{p} + \frac{1}{p + 3}$ til að fá stæðu fyrir þann hluta veggjarins sem Pétur og Penelópa myndu mála á einni klukkustund ef þau ynnu saman.

Ritunarverkefni

167.

Donald telur að $\frac{3}{x} + \frac{4}{x}$ sé $\frac{7}{2 x} .$ . Hefur Donald rétt fyrir sér? Útskýrið.

168.

Útskýrið hvernig minnsti samnefnari x 2 + 5 x + 4 og x 2 − 16 . er $x^{2} + 5 x + 4$ fundinn. $x^{2} - 16 .$

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta tök ykkar á markmiðum hlutans.

Myndin hér að ofan sýnir töflu með fjórum dálkum og fjórum línum. Fyrsta línan er fyrirsagnarlína. Fyrsta fyrirsögnin er „Ég get…“, önnur „Af öryggi“, þriðja „Með nokkurri hjálp“ og sú fjórða „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í fyrsta dálki undir „Ég get…“ stendur í næstu línu „lagt saman ræðar stæður með sameiginlegan nefnara“, í næstu línu „dregið frá ræðar stæður með sameiginlegan nefnara“, í línunni þar á eftir „lagt saman og dregið frá ræðar stæður þar sem nefnararnir eru móttölur hvor annars“ og í síðustu línunni „Hvað segir þessi gátlisti um tök ykkar á efni hlutans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?“ Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Hvað segir þessi gátlisti um tök ykkar á efni hlutans? Hvaða skref ætlið þið að taka til að bæta ykkur?