6.2 Notkun normaldreifingar
Skyggða svæðið á eftirfarandi línuriti sýnir svæðið vinstra megin við x. Þetta svæði gæti táknað hlutfall nemenda sem fá lægri einkunn en tiltekna einkunn á lokaprófi. Þetta svæði er táknað með líkindunum P(X < x). Normaldreifingartöflur, tölvur og reiknivélar eru notaðar til að gefa upp eða reikna út líkindin P(X < x).
Svæðið hægra megin er þá P(X > x) = 1 - P(X < x). Munum að P(X < x) er svæðið vinstra megin við lóðréttu línuna í gegnum x. P(X > x) = 1 - P(X < x) er svæðið hægra megin við lóðréttu línuna í gegnum x. Fyrir samfelldar dreifingar er P(X < x) það sama og P(X ≤ x), og P(X > x) það sama og P(X ≥ x).
Gerum ráð fyrir að línuritið hér að ofan sýni hlutfall nemenda sem fá lægra en 75 á lokaprófi, þar sem þessi líkindi eru jöfn 0,39. Þetta myndi einnig gefa til kynna að hlutfall nemenda sem fá hærra en 75 væri jafnt og 1 að frádregnu 0,39 eða 0,61.
Útreikningur líkinda
Líkindi eru reiknuð með hjálp tækni. Leiðbeiningar eru gefnar eftir þörfum fyrir TI-83+ og TI-84 reiknivélar.
Dæmi 6.7
Ef svæðið vinstra megin er 0,0228, þá er svæðið hægra megin 1 – 0,0228 = 0,9772.
Dæmi 6.8
Einkunnir á lokaprófi í tölfræðiáfanga voru normaldreifðar með meðaltalið 63 og staðalfrávikið fimm.
a. Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi hafi fengið meira en 65 á prófinu.
b. Finndu líkurnar á því að af handahófi valinn nemandi hafi fengið minna en 85.
c. Finndu 90. prósentumarkina, —það er að segja, finndu einkunnina k þar sem 90 prósent einkunna eru undir k og 10 prósent einkunna eru yfir k.
Notkun TI-83, 83+, 84, 84+ reiknivélar
invNorm er í 2nd DISTR. invNorm(flatarmál vinstra megin, meðaltal, staðalfrávik). Fyrir þetta dæmi er invNorm(0.90,63,5) = 69.4.
d. Finndu 70. prósentumarkið, —það er að segja, finndu einkunnina k þannig að 70 prósent einkunna séu undir k og 30 prósent einkunna séu yfir k.
Lausn
a. Látum X = a vera einkunn á lokaprófi. X ~ N(63, 5), þar sem μ = 63 og σ = 5.
Teiknaðu línurit.
Reiknaðu z-gildið:
z = x − μ/σ = 65 − 63/5 = 2/5 =.40
z-taflan sýnir að svæðið vinstra megin við z er 0,6554. Ef þetta svæði er dregið frá 1 fæst 0,3446.
Finndu síðan P(x > 65).
P(x > 65) = 0,3446
Líkurnar á því að hvaða nemandi sem er, valinn af handahófi, fái meira en 65 eru 0,3446.
Notkun TI-83, 83+, 84, 84+ reiknivélar
Farðu í 2nd DISTR. Eftir að þú hefur ýtt á 2nd DISTR skaltu ýta á 2:normalcdf.
Málskipan leiðbeininganna er eftirfarandi:
normalcdf(neðra gildi, efra gildi, meðaltal, staðalfrávik). Fyrir þetta dæmi: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0.3446. Þú færð 1E99 (= 10^99) með því að ýta á 1, EE-lykilinn (2nd-lykill) og síðan 99. Einnig má slá inn 10^99. Talan 10^99 er langt úti í hægri hala normalkúrfunnar. Hér er flatarmálið milli 65 og 10^99 reiknað. Í sumum tilvikum getur neðra gildi svæðisins verið -1E99 (= -10^99), sem er langt úti í vinstri hala normalkúrfunnar. Veldisvísirinn 99 er valinn vegna þess að hann gefur svo stóra tölu að með sanngirni má gera ráð fyrir að öll gildi undir kúrfunni liggi fyrir neðan hana. Þetta gildi er handahófskennt en hentar vel hér.
Sögulegur fróðleikur
Líkindaforrit TI reiknar z-gildi og síðan líkindin út frá z-gildinu. Áður en tæknin kom til sögunnar var z-gildinu flett upp í staðlaðri normaldreifingartöflu, einnig þekkt sem Z-tafla — stærðfræðin sem þarf til að finna líkindi er tafsöm. Í þessu dæmi var notuð stöðluð normaldreifingartafla með svæði vinstra megin við z-gildið. Þú reiknar z-gildið og flettir upp svæðinu vinstra megin. Líkindin eru svæðið hægra megin.
b. Teiknaðu línurit.
Finndu síðan P(x < 85) og skyggðu línuritið.
Notaðu tölvu eða reiknivél til að finna P(x < 85) = 1.
normalcdf(0,85,63,5) = 1 (námundast í einn)
Líkurnar á því að einn nemandi fái minna en 85 eru um það bil einn, eða 100 prósent.
c. Finndu 90. prósentumarkina. Fyrir hvert verkefni eða hluta af verkefni skal teikna nýtt línurit. Teiknaðu x-ásinn. Skyggðu svæðið sem samsvarar 90. prósentumarkinni. Að þessu sinni erum við að leita að einkunn sem samsvarar tilteknu svæði undir kúrfunni.
Látum k vera 90. prósentumarkið. Breytan k er á x-ásnum. P(x < k) er flatarmálið vinstra megin við k. 90. prósentumarkið k skiptir prófeinkunnunum í þær sem eru jafnar eða lægri en k og þær sem eru hærri en k. Níutíu prósent prófeinkunna eru jafnar eða lægri en k og 10 prósent eru hærri. Breytan k er oft kölluð markgildi.
Við þekkjum meðaltalið, staðalfrávikið og svæðið undir normalkúrfunni. Við þurfum að finna z-gildið sem samsvarar svæðinu 0,9 og setja það síðan, ásamt meðaltali og staðalfráviki, inn í jöfnuna okkar fyrir z-gildi. z-taflan sýnir z-gildið um það bil 1,28, fyrir svæði undir normalkúrfunni vinstra megin við z (larger portion) sem er um það bil 0,9. Þannig getum við skrifað eftirfarandi:
1,28 = x − 63/5
Ef margfaldað er báðum megin jöfnunnar með 5 fæst
6,4 = x − 63
Ef 63 er bætt við báðum megin jöfnunnar fæst
69,4 = x.
Þannig er einkunnin okkar, k, 69,4.
k = 69,4
90. prósentumarkið er 69,4. Þetta þýðir að 90 prósent prófeinkunna falla á eða undir 69,4 og 10 prósent falla á eða yfir. Til að fá þetta svar á reiknivélinni skaltu fylgja næsta skrefi:
d. Finndu 70. prósentumarkið.
Teiknaðu nýtt línurit og merktu það á viðeigandi hátt. k = 65,6
70. prósentumarkið er 65,6. Þetta þýðir að 70 prósent prófeinkunna falla á eða undir 65,6 og 30 prósent falla á eða yfir.
invNorm(0.70,63,5) = 65.6
Dæmi 6.9
Einkatölva er notuð til skrifstofuvinnu heima, rannsókna, samskipta, heimilisfjármála, menntunar, afþreyingar, samfélagsmiðla og ógrynni annarra hluta. Gerum ráð fyrir að meðalfjöldi klukkustunda sem einkatölva á heimili er notuð til afþreyingar séu tvær klukkustundir á dag. Gerum ráð fyrir að tíminn sem fer í afþreyingu sé normaldreifður og að staðalfrávik tímans sé hálf klukkustund.
a. Finndu líkurnar á því að einkatölva á heimili sé notuð til afþreyingar á milli 1,8 og 2,75 klukkustunda á dag.
b. Finndu hámarksfjölda klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar.
Lausn
a. Látum X vera þann tíma, í klukkustundum, sem einkatölva á heimili er notuð til afþreyingar. X ~ N(2, 0.5), þar sem μ = 2 og σ = 0.5.
Finndu P (1,8 < x < 2,75).
Reiknaðu fyrst z-gildin fyrir hvert x-gildi.
z = 1,8 − 2/0,5 = − 0,2/0,5 = − 0,40 z = 2,75 − 2/0,5 = 0,75/0,5 = 1,5
Notaðu nú Z-töfluna til að finna flatarmálið undir normalkúrfunni vinstra megin við hvert þessara z-gilda.
Flatarmálið vinstra megin við z-gildið −0,40 er 0,3446. Flatarmálið vinstra megin við z-gildið 1,5 er 0,9332. Flatarmálið á milli þessara gilda verður mismunurinn á flatarmálunum tveimur, eða 0,9332 − 0,3446, sem er jafnt og 0,5886.
normalcdf(1.8,2.75,2,0.5) = 0.5886
Líkurnar á því að heimilistölva sé notuð á milli 1,8 og 2,75 klukkustunda á dag til afþreyingar eru 0,5886.
b. Til að finna hámarksfjölda klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar skal finna 25. prósentumarkið, k, þar sem P(x < k) = 0,25.
invNorm(0.25,2,0.5) = 1.66
Við notum invNorm vegna þess að við erum að leita að k-gildinu.
Hámarksfjöldi klukkustunda á dag sem neðsti fjórðungur heimila notar einkatölvu til afþreyingar er 1,66 klukkustundir.
Dæmi 6.10
Í Bandaríkjunum fylgir aldur snjallsímanotenda á aldrinum 13 til 55 ára og eldri normaldreifingu með áætlað meðaltal 36,9 ár og staðalfrávik 13,9 ár.
a. Ákvarðaðu líkurnar á því að handahófsvalinn snjallsímanotandi á aldrinum 13 til 55 ára og eldri sé á milli 23 og 64,7 ára.
b. Ákvarðaðu líkurnar á því að handahófsvalinn snjallsímanotandi á aldrinum 13 til 55 ára og eldri sé í mesta lagi 50,8 ára.
c. Finndu 80. prósentumark þessarar dreifingar og túlkaðu það í heilli setningu.
Lausn
a. normalcdf(23,64.7,36.9,13.9) = 0.8186
z-gildin eru reiknuð sem
z = 23 − 36,9/13,9 = − 13,9/13,9 = − 1 z = 64,7 − 36,9/13,9 = 27,8/13,9 = 2
Z-taflan sýnir að flatarmálið vinstra megin við z-gildi með tölugildið 1 er 0,1587. Hún sýnir að flatarmálið vinstra megin við z-gildið 2 er 0,9772. Mismunurinn á flatarmálunum tveimur er 0,8185.
Þetta er örlítið frábrugðið flatarmálinu sem reiknivélin gefur, vegna námundunar.
b. normalcdf(–10 99,50.8,36.9,13.9) = 0.8413
c.
Dæmi 6.11
Í Bandaríkjunum fylgir aldur snjallsímanotenda á aldrinum 13 til 55 ára og eldri um það bil normaldreifingu með áætlað meðaltal 36,9 ár og staðalfrávik 13,9 ár. Notaðu þessar upplýsingar til að svara eftirfarandi spurningum. —Námundaðu svör að einum aukastaf.
a. Reiknaðu fjórðungaspönnina (IQR).
b. Fjörutíu prósent aldursins sem spannar frá 13 til 55+ are eru að minnsta kosti hvaða aldur?
Lausn
a.
b.
Dæmi 6.12
Sítrusbóndi sem ræktar mandarínur kemst að því að þvermál mandarína sem uppskornar eru á býli hans fylgir normaldreifingu með meðalþvermál 5,85 cm og staðalfrávik 0,24 cm.
a. Finndu líkurnar á því að handahófsvalin mandarína frá þessu býli hafi þvermál sem er stærra en 6,0 cm. Teiknaðu grafið.
b. Miðju 20 prósent mandarínanna frá þessum bóndabæ hafa þvermál á milli ______ og ______.
c. Finndu 90. prósentumarkið fyrir þvermál mandarína og túlkaðu það í heilli málsgrein.
Lausn
a. normalcdf(6,10^99,5.85,0.24) = 0.2660
b.
Þannig að miðju 20 prósent mandarínanna hafa þvermál á milli 5,79 cm og 5,91 cm.
c. 6,16, Níutíu prósent af þvermáli mandarínanna eru í mesta lagi 6,16 cm.