Staðlaða normaldreifingin er tegund normaldreifingar með meðaltalið 0 og staðalfrávikið 1. Hún táknar dreifingu staðlaðra gilda, sem kallast z-gildi, öfugt við hrágildi (raunveruleg gagnagildi). z-gildi gefur til kynna fjölda staðalfrávika sem gildi liggur ofan eða neðan við meðaltalið. z-gildi gera kleift að bera saman gildi úr mismunandi gagnasöfnum sem hafa ólík meðaltöl og staðalfrávik. Það væri ekki rökrétt að bera saman epli og appelsínur. Á sama hátt er ekki rökrétt að bera saman gildi úr tveimur mismunandi úrtökum sem hafa ólík meðaltöl og staðalfrávik. Hægt er að fletta upp z-gildum í z-töflu fyrir staðlaða normaldreifingu til að finna flatarmálið undir stöðluðu normalkúrfunni, milli gildis og meðaltals, milli tveggja gilda, eða ofan eða neðan við tiltekið gildi. Staðlaða normaldreifingin gerir okkur kleift að túlka stöðluð gildi og gefur okkur eina töflu sem við getum notað til að reikna flatarmál undir normalkúrfunni fyrir óendanlegan fjölda gagnasafna, óháð því hvert meðaltalið eða staðalfrávikið er.
z-gildi er reiknað sem . Gildið sjálft má finna með því að nota algebru og einangra x. Ef báðar hliðar jöfnunnar eru margfaldaðar með σ fæst: . Ef μ er bætt við báðar hliðar jöfnunnar fæst .
Gerum ráð fyrir að við höfum gagnasafn með meðaltalið 5 og staðalfrávikið 2. Við viljum ákvarða hversu mörgum staðalfrávikum gildið 11 er ofan við meðaltalið. Við getum fundið þetta svar (eða z-gildi) með því að skrifa
6.1
eða
5 + (z) (2) = 11,
6.2
við getum einangrað z.
6.3
Við höfum komist að því að gildið 11 er 3 staðalfrávikum ofan við meðaltalið 5.
Fyrir staðlaða normaldreifingu táknum við dreifinguna með því að skrifa Z ~ N(0, 1) sem sýnir að normaldreifingin hefur meðaltalið 0 og staðalfrávikið 1. Þessi ritháttur gefur einfaldlega til kynna að verið sé að nota staðlaða normaldreifingu.
z-gildi
Eins og áður hefur komið fram, ef X er normaldreifð slembibreyta og X ~ N(μ, σ), þá er z-gildið
z-gildið segir til um hversu mörgum staðalfrávikum gildið x er ofan við (til hægri við) eða neðan við (til vinstri við) meðaltalið, μ. Gildi á x sem eru stærri en meðaltalið hafa jákvæð z-gildi og gildi á x sem eru minni en meðaltalið hafa neikvæð z-gildi. Ef x er jafnt og meðaltalið, þá hefur x z-gildið núll.
Þegar z-gildi er ákvarðað fyrir x-gildi í normaldreifingu með tilteknu meðaltali og staðalfráviki, verður rithátturinn hér að ofan fyrir normaldreifingu gefinn.
Dæmi 6.1
Gerum ráð fyrir að X ~ N(5, 6). Þessi jafna segir að X sé normaldreifð slembibreyta með meðaltalið μ = 5 og staðalfrávikið σ = 6. Gerum ráð fyrir að x = 17. Þá er,
Þetta þýðir að x = 17 er tveimur staðalfrávikum (2 σ) ofan við, eða til hægri við, meðaltalið μ = 5.
Taktu eftir að 5 + (2)(6) = 17. Mynstrið er μ + zσ = x.
Gerum nú ráð fyrir að x = 1. Þá er z = (x - μ)/σ = 1 - 5/6 = -0.67, námundað að tveimur aukastöfum.
Þetta þýðir að x = 1 er 0.67 staðalfrávikum (-0.67 σ) neðan við eða til vinstri við meðaltalið μ = 5. Þetta z-gildi sýnir að x = 1 er minna en 1 staðalfrávik neðan við meðaltalið 5. Þess vegna er gildið ekki mjög langt neðan við meðaltalið.
Í stuttu máli, þegar z er jákvætt er x ofan við eða til hægri við μ, og þegar z er neikvætt er x til vinstri við eða neðan við μ. Eða, þegar z er jákvætt er x stærra en μ, og þegar z er neikvætt er x minna en μ. Tölugildið á z gefur til kynna hversu langt gildið er frá meðaltalinu, í hvora áttina sem er.
Dæmi 6.2
Sumir læknar telja að einstaklingur geti misst 2,27 kg að meðaltali á mánuði með því að minnka fituneyslu og hreyfa sig reglulega. Gerum ráð fyrir að þyngdartap sé normaldreift. Látum X vera þyngdartap einstaklings á mánuði, mælt í kílógrömmum. Notum staðalfrávikið 0,91 kg. X ~ N(2,27; 0,91). Fylltu í eyðurnar.
a. Gerum ráð fyrir að einstaklingur hafi lést um 4,54 kg á mánuði. z-gildið þegar x = 4,54 kg er z = 2,5 (staðfestu það). Þetta z-gildi segir að x = 4,54 sé ________ staðalfrávikum til ________ (hægri eða vinstri) frá meðaltalinu _____ (hvert er meðaltalið?).
Lausn
a. Þetta z-gildi segir þér að x = 4,54 er 2,5 staðalfrávikum til hægri við meðaltalið fimm.
b. Gerum ráð fyrir að einstaklingur hafi þyngst um 1,36 kg, sem jafngildir neikvæðu þyngdartapi. Þá er z = __________. Þetta z-gildi segir að x = −1,36 sé ________ staðalfrávikum til __________ (hægri eða vinstri) frá meðaltalinu.
Lausn
b. z = -4. Þetta z-gildi segir þér að x = −1,36 er fjórum staðalfrávikum til vinstri við meðaltalið.
c. Gerum ráð fyrir að slembibreyturnar X og Y hafi eftirfarandi normaldreifingar: X ~ N(5, 6) og Y ~ N(2, 1). Ef x = 17, þá er z = 2. Þetta var sýnt áður. Ef y = 4, hvert er þá z ?
Lausn
c. z = = = 2, where µ = 2 and σ = 1.
z-gildið fyrir y = 4 er z = 2. Þetta þýðir að fjórir er z = 2 staðalfrávikum til hægri við meðaltalið. Þess vegna eru x = 17 og y = 4 bæði tveimur af sínum eigin staðalfrávikum til hægri við sín viðkomandi meðaltöl.
z-gildið gerir okkur kleift að bera saman gögn sem hafa mismunandi kvarða. Til að skilja hugtakið betur, gerum ráð fyrir að X ~ N(5, 6) tákni þyngdaraukningu hjá einum hópi fólks sem reynir að þyngjast á sex vikna tímabili og Y ~ N(2, 1) mæli sömu þyngdaraukningu hjá öðrum hópi fólks. Neikvæð þyngdaraukning væri þyngdartap. Þar sem x = 17 og y = 4 eru hvort um sig tveimur staðalfrávikum til hægri við sín meðaltöl, tákna þau sömu stöðluðu þyngdaraukningu miðað við sín meðaltöl.
Reynslureglan Ef X er slembibreyta og hefur normaldreifingu með meðaltalið µ og staðalfrávikið σ, þá segir reynslureglan eftirfarandi:
Um það bil 68 prósent af x-gildunum liggja á milli -1σ og +1σ frá meðaltalinu µ (innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu).
Um það bil 95 prósent af x-gildunum liggja á milli -2σ og +2σ frá meðaltalinu µ (innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu).
Um það bil 99,7 prósent af x-gildunum liggja á milli -3σ og +3σ frá meðaltalinu µ (innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu). Taktu eftir að næstum öll x-gildin liggja innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu.
z-gildin for +1 σ og -1 σ eru are +1 og -1, í sömu röð.
z-gildin for +2 σ og -2 σ eru are +2 og -2, í sömu röð.
z-gildin for +3 σ og -3 σ eru are +3 og -3, í sömu röð.
Með öðrum orðum þýðir þetta að um það bil 68 prósent af gildunum liggja á milli z-gildanna -1 og 1, um það bil 95% af gildunum liggja á milli z-gildanna -2 og 2, og um það bil 99,7 prósent af gildunum liggja á milli z-gildanna -3 og 3. Hægt er að sannreyna þessar staðreyndir með því að fletta upp flatarmálinu frá meðaltali að z í z-töflu fyrir hvert jákvætt z-gildi og margfalda með 2.
Reynslureglan er einnig þekkt sem 68-95-99,7 reglan.
Dæmi 6.3
Meðalhæð 15 til 18 ára karla frá Síle árin 2009-2010 var 170 cm með staðalfrávikið 6,28 cm. Vitað er að hæð karla fylgir normaldreifingu. Látum X vera hæð 15 til 18 ára karls frá Síle árin 2009-2010. Þá er X ~ N(170, 6,28).
a. Gerum ráð fyrir að 15 til 18 ára karl frá Síle hafi verið 168 cm á hæð árin 2009-2010. z-gildið þegar x = 168 cm er z = _______. Þetta z-gildi segir að x = 168 sé ________ staðalfrávikum til ________ (hægri eða vinstri) frá meðaltalinu _____ (hvert er meðaltalið?).
Lausn
a. -0.32, 0.32, vinstri, 170
b. Gerum ráð fyrir að hæð 15 til 18 ára karls frá Síle árin 2009-2010 hafi z-gildið z = 1,27. Hver er hæð hans? z-gildið (z = 1,27) segir að hæðin sé ________ staðalfrávikum til __________ (hægri eða vinstri) frá meðaltalinu.
Lausn
b. 177.98 cm, 1,27, hægri
Dæmi 6.4
Árin 1984-1985 var meðalhæð 15 til 18 ára karla frá Síle 172,36 cm og staðalfrávikið var 6,34 cm. Látum Y vera hæð 15 til 18 ára karla árin 1984-1985 og y vera hæð eins karls úr þessum hópi. Þá er Y ~ N(172,36; 6,34).
Meðalhæð 15 til 18 ára karla frá Síle árin 2009-2010 var 170 cm með staðalfrávikið 6,28 cm. Vitað er að hæð karla fylgir normaldreifingu. Látum X vera hæð 15 til 18 ára karls frá Síle árin 2009-2010 og x vera hæð eins karls úr þessum hópi. Þá er X ~ N(170; 6,28).
Finndu z-gildin fyrir x = 160,58 cm og y = 162,85 cm. Túlkaðu hvort z-gildi fyrir sig. Hvað geturðu sagt um x = 160,58 cm og y = 162,85 cm þegar þau eru borin saman við viðkomandi meðaltöl og staðalfrávik?
Lausn
z-gildið fyrir x = 160,58 cm er z = -1.5. z-gildið fyrir y = 162,85 cm er z = -1.5. Bæði x = 160,58 og y = 162,85 víkja um sama fjölda staðalfrávika frá viðkomandi meðaltölum og í sömu átt.
Dæmi 6.5
Gerum ráð fyrir að x hafi normaldreifingu með meðaltalið 50 og staðalfrávikið 6.
Um það bil 68 prósent af x-gildunum liggja innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu. Þess vegna liggja um það bil 68 prósent af x-gildunum á milli -1σ = (-1)(6) = -6 og +1σ = (1)(6) = 6 frá meðaltalinu 50. Gildin 50 - 6 = 44 og 50 + 6 = 56 eru innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu 50. z-gildin eru -1 og +1 fyrir 44 og 56, í sömu röð.
Um það bil 95 prósent af x-gildunum liggja innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Þess vegna liggja um það bil 95 prósent af x-gildunum á milli -2σ = (-2)(6) = -12 og +2σ = (2)(6) = 12. Gildin 50 - 12 = 38 og 50 + 12 = 62 eru innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu 50. z-gildin eru -2 og +2 fyrir 38 og 62, í sömu röð.
Um það bil 99,7 prósent af x-gildunum liggja innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu. Þess vegna liggja um það bil 99,7 prósent af x-gildunum á milli -3σ = (-3)(6) = -18 og +3σ = (3)(6) = 18 frá meðaltalinu 50. Gildin 50 - 18 = 32 og 50 + 18 = 68 eru innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu 50. z-gildin eru -3 og +3 fyrir 32 og 68, í sömu röð.
Dæmi 6.6
Árin 1984-1985 var meðalhæð 15 til 18 ára karla frá Síle 172,36 cm og staðalfrávikið var 6,34 cm. Látum Y vera hæð 15 til 18 ára karla árin 1984-1985. Þá er Y ~ N(172,36; 6,34).
Um það bil 68 prósent af y-gildunum liggja á milli hvaða tveggja gilda? Þessi gildi eru ________________. z-gildin eru ________________, í sömu röð.
Um það bil 95 prósent af y-gildunum liggja á milli hvaða tveggja gilda? Þessi gildi eru ________________. z-gildin eru ________________, í sömu röð.
Um það bil 99,7 prósent af y-gildunum liggja á milli hvaða tveggja gilda? Þessi gildi eru ________________. z-gildin eru ________________, í sömu röð.
Lausn
Um 68 prósent gildanna liggja á milli 166.02 cm og 178.7 cm. z-gildin eru -1 og 1.
Um 95 prósent gildanna liggja á milli 159.68 cm og 185.04 cm. z-gildin eru -2 og 2.
Um 99,7 prósent gildanna liggja á milli 153.34 cm og 191.38 cm. z-gildin eru -3 og 3.
