44 Vísis- og lograföll

Meginatriði

4.1 Vísisföll

Vísisfall er fall þar sem jákvæður fasti, annar en $1$ , er hafinn í breytilegan veldisvísi. Sjá dæmi 1.
Gildi falls er reiknað fyrir tiltekið inntaksgildi. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
Finna má vísislíkan þegar hlutfallslegur vaxtarhraði og upphafsgildi eru þekkt. Sjá dæmi 4.
Finna má vísislíkan þegar tveir gagnapunktar líkansins með ólík inntök eru þekktir. Sjá dæmi 5.
Finna má vísislíkan með tveimur gagnapunktum af grafi líkansins. Sjá dæmi 6.
Finna má vísislíkan með tveimur gagnapunktum af grafi og reiknivél. Sjá dæmi 7.
Reikna má innistæðu á reikningi við tímann $t$ með formúlunni fyrir vaxtavexti þegar höfuðstóll, ársvextir og fjöldi vaxtatímabila á ári eru þekkt. Sjá dæmi 8.
Finna má upphaflega fjárfestingu með formúlunni fyrir vaxtavexti þegar innistæðan, ársvextir, fjöldi vaxtatímabila á ári og tíminn frá upphafi fjárfestingar eru þekkt. Sjá dæmi 9.
Talan $e$ er stærðfræðifasti sem er oft notaður sem grunntala vísislíkana af raunverulegum vexti og hnignun. Nálgun á gildi hennar er $e \approx 2,718282.$
Á vísinda- og grafreiknivélum er hnappurinn $[e^{x}]$ eða $[\exp (x)]$ notaður til að reikna veldi af $e .$ Sjá dæmi 10.
Líkön af samfelldum vexti eða hnignun eru vísislíkön með $e$ sem grunntölu. Finna má slík líkön þegar upphafsgildið og samfelldur hlutfallslegur vaxtar- eða hnignunarhraði eru þekkt. Sjá dæmi 11 og dæmi 12.

4.2 Gröf vísisfalla

Graf fallsins $f (x) = b^{x}$ hefur skurðpunkt við y-ás í $(0, 1),$ skilgreiningarmengið $(- \infty, \infty),$ myndmengið $(0, \infty),$ og láfelluna $y = 0.$ Sjá dæmi 1.
Ef $b > 1,$ er fallið vaxandi. Þegar farið er til vinstri eftir grafinu nálgast það láfelluna $y = 0,$ en til hægri vex það án takmarkana.
Ef $0 < b < 1,$ er fallið minnkandi. Þegar farið er til vinstri eftir grafinu vex það án takmarkana en til hægri nálgast það láfelluna $y = 0.$
Jafnan $f (x) = b^{x} + d$ lýsir lóðréttri hliðrun grunnfallsins $f (x) = b^{x} .$
Jafnan $f (x) = b^{x + c}$ lýsir láréttri hliðrun grunnfallsins $f (x) = b^{x} .$ Sjá dæmi 2.
Finna má nálgunarlausnir jöfnunnar $f (x) = b^{x + c} + d$ með grafreiknivél. Sjá dæmi 3.
Jafnan $f (x) = a b^{x},$ þar sem $a > 0,$ lýsir lóðréttri teygju ef $| a | > 1$ eða lóðréttri samþjöppun ef $0 < | a | < 1$ á grunnfallinu $f (x) = b^{x} .$ Sjá dæmi 4.
Þegar grunnfallið $f (x) = b^{x}$ er margfaldað með $- 1,$ fæst $f (x) = - b^{x},$ sem lýsir speglun um x-ás. Þegar inntakið er margfaldað með $- 1,$ fæst $f (x) = b^{- x},$ sem lýsir speglun um y-ás. Sjá dæmi 5.
Taka má þessar umbreytingar vísisfalls saman í almennu jöfnunni $f (x) = a b^{x + c} + d .$ Sjá töflu 3.
Með almennu jöfnunni $f (x) = a b^{x + c} + d$ má rita jöfnu falls út frá lýsingu þess. Sjá dæmi 6.

4.3 Lograföll

Andhverfa vísisfalls er lografall og andhverfa lografalls er vísisfall.
Með skilgreiningu logra má rita lograjöfnu sem jafngilda vísisjöfnu. Sjá dæmi 1.
Með skilgreiningu logra má rita vísisjöfnu sem jafngilda lograjöfnu. Sjá dæmi 2.
Reikna má logra með grunntöluna $b$ í huganum með þekkingu á veldum af $b .$ Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Reikna má tugalogra í huganum með þekkingu á veldum af $10.$ Sjá dæmi 5.
Þegar ekki er unnt að reikna tugalogra í huganum má nota reiknivél. Sjá dæmi 6.
Nota má tugalogra til að leysa vísisjöfnur með grunntöluna $10$ sem lýsa raunverulegum aðstæðum og reikna gildin með reiknivél. Sjá dæmi 7.
Reikna má náttúrulega logra með reiknivél. Sjá dæmi 8.

4.4 Gröf lografalla

Til að finna skilgreiningarmengi lografalls er sett upp ójafna sem segir að viðfang lograns sé stærra en núll og hún leyst fyrir $x .$ Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
Graf grunnfallsins $f (x) = \log_{b} (x)$ hefur skurðpunkt við x-ás í $(1, 0),$ skilgreiningarmengið $(0, \infty),$ myndmengið $(- \infty, \infty)$ og lóðfelluna $x = 0 .$
- Ef $b > 1,$ er fallið vaxandi.
- Ef $0 < b < 1,$ er fallið minnkandi. Sjá dæmi 3.
Jafnan $f (x) = \log_{b} (x + c)$ lýsir láréttri hliðrun grunnfallsins $y = \log_{b} (x)$ :
- Um $c$ einingar til vinstri ef $c > 0.$
- Um algildi $c$ einingar til hægri ef $c < 0.$ Sjá dæmi 4.
Jafnan $f (x) = \log_{b} (x) + d$ lýsir lóðréttri hliðrun grunnfallsins $y = \log_{b} (x)$ :
- Um $d$ einingar upp ef $d > 0.$
- Um algildi $d$ einingar niður ef $d < 0.$ Sjá dæmi 5.
Fyrir sérhvern fasta $a > 0$ lýsir jafnan $f (x) = a \log_{b} (x)$ eftirfarandi umbreytingum:
- Grunnfallið $y = \log_{b} (x)$ er teygt lóðrétt með stuðlinum $a$ ef $| a | > 1.$
- Grunnfallinu $y = \log_{b} (x)$ er þjappað saman lóðrétt með stuðlinum $a$ ef $| a | < 1.$ Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Þegar grunnfallið $y = \log_{b} (x)$ er margfaldað með $- 1,$ fæst speglun um x-ás. Þegar inntakið er margfaldað með $- 1,$ fæst speglun um y-ás.
- Jafnan $f (x) = - \log_{b} (x)$ lýsir speglun grunnfallsins um x-ás.
- Jafnan $f (x) = \log_{b} (- x)$ lýsir speglun grunnfallsins um y-ás. Sjá dæmi 8.
- Nota má grafreiknivél til að nálga lausnir sumra lograjafna. Sjá dæmi 9.
Taka má þessar umbreytingar lografalls saman í almennu jöfnunni $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d .$ Sjá töflu 4.
Út frá jöfnu á almenna forminu $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ má finna lóðfellu grafsins, $x = - c$ . Sjá dæmi 10.
Með almennu jöfnunni $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ má rita jöfnu lografalls út frá grafi þess. Sjá dæmi 11.

4.5 Reiknireglur logra

Með margfeldisreglu logra má rita logra margfeldis sem summu logra þáttanna. Sjá dæmi 1.
Með deilingarreglu logra má rita logra kvóta sem logra teljarans að frádregnum logra nefnarans. Sjá dæmi 2.
Með veldisreglu logra má rita logra veldis sem margfeldi veldisvísisins og logra veldisstofnsins. Sjá dæmi 3, dæmi 4 og dæmi 5.
Nota má margfeldis-, deilingar- og veldisreglu saman til að draga saman eða liða niður logra með flóknu viðfangi. Sjá dæmi 6, dæmi 7 og dæmi 8.
Einnig má nota reiknireglur logra til að draga summur og mismun logra með sömu grunntölu, ásamt margfeldum þeirra og fasta, saman í einn logra. Sjá dæmi 9, dæmi 10, dæmi 11 og dæmi 12.
Með grunnskiptiformúlunni má umrita logra sem kvóta tveggja logra með sömu nýju grunntölunni. Sjá dæmi 13.
Grunnskiptiformúlan er oft notuð til að umrita logra með aðra grunntölu en 10 eða $e$ sem kvóta náttúrulegra logra eða tugalogra. Þá má reikna gildið með reiknivél. Sjá dæmi 14.

4.6 Vísis- og lograjöfnur

Leysa má margar vísisjöfnur með því að nota veldareglur til að rita hvora hlið sem veldi með sömu jákvæðu grunntölu, annarri en 1. Síðan er eintæknieiginleiki vísisfalla notaður til að setja veldisvísana jafna og leysa fyrir óþekktu stærðina.
Þegar báðar hliðar vísisjöfnu eru veldi með sömu grunntölu eru veldisvísarnir settir jafnir og leyst fyrir óþekktu stærðina. Sjá dæmi 1.
Þegar grunntölur vísisjöfnu eru ekki augljóslega jafnar má reyna að rita hvora hlið sem veldi með sömu grunntölu. Síðan eru veldisvísarnir settir jafnir og leyst fyrir óþekktu stærðina. Sjá dæmi 2, dæmi 3 og dæmi 4.
Þegar ekki er unnt að rita vísisjöfnu með sameiginlegri grunntölu má leysa hana með því að taka logra af hvorri hlið, að því gefnu að báðar hliðar séu jákvæðar. Sjá dæmi 5.
Leysa má vísisjöfnur með grunntöluna $e$ með því að taka náttúrulegan logra af báðum hliðum, því náttúrulega lografallið og þetta vísisfall eru andhverfur hvort annars. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Eftir að vísisjafna hefur verið leyst er hver lausn prófuð í upphaflegu jöfnunni til að finna og útiloka aukalausnir. Sjá dæmi 8.
Fyrir jöfnu af forminu $\log_{b} (S) = c,$ þar sem $S$ er algebrustæða, má nota skilgreiningu logra til að rita jafngildu vísisjöfnuna $b^{c} = S$ og leysa fyrir óþekktu stærðina. Viðfang lograns verður að vera jákvætt. Sjá dæmi 9 og dæmi 10.
Einnig má leysa jöfnur af forminu $\log_{b} (S) = c$ með grafi. Gröf jafnanna $y = \log_{b} (S)$ og $y = c$ eru teiknuð í sama hnitakerfi og lausnin lesin sem x-hnit skurðpunktsins. Sjá dæmi 11.
Fyrir jöfnu af forminu $\log_{b} S = \log_{b} T,$ þar sem $S$ og $T$ eru jákvæðar algebrustæður, má nota eintæknieiginleika logra til að leysa jöfnuna $S = T$ fyrir óþekktu stærðina. Sjá dæmi 12.
Með aðferðum úr þessum og fyrri hlutum má leysa jöfnur sem lýsa raunverulegum aðstæðum, hvort sem óþekkta stærðin er í veldisvísi eða viðfangi logra. Sjá dæmi 13.

4.7 Vísis- og logralíkön

Grunnform vísisfalls er $f (x) = a b^{x} .$ Fyrir jákvætt upphafsgildi a fæst vísisvöxtur ef $b > 1,$ en vísishnignun ef $0 < b < 1 .$
Einnig má rita líkanið á forminu $A = A_{0} e^{k x},$ þar sem $A_{0}$ er upphafsgildið. Ef $A_{0}$ er jákvætt fæst vísisvöxtur þegar $k > 0$ og vísishnignun þegar $k < 0.$ Sjá dæmi 1.
Almennt eru verkefni um vísisvöxt eða vísishnignun leyst í tveimur skrefum. Fyrst er líkan sett upp og stikar þess fundnir. Síðan er formúlan með þessum stikum notuð til að spá fyrir um vöxt eða hnignun. Sjá dæmi 2.
Finna má aldur $t$ lífræns sýnis með því að ákvarða hlutfallið $k$ af upphaflegu magni kolefnis-14 sem eftir er í sýninu og nota formúluna $t = \frac{\ln (k)}{- 0,000121}$ til að reikna $t .$ Sjá dæmi 3.
Þegar tvöföldunartími eða helmingunartími efnis er þekktur má finna fall sem lýsir vísisvexti þess eða vísishnignun, ef upphafsmagnið er einnig þekkt. Sjá dæmi 4.
Með kólnunarlögmáli Newtons má finna hve langan tíma tekur kólnandi hlut að ná tilteknu hitastigi eða hvert hitastig hlutarins verður eftir tiltekinn tíma. Sjá dæmi 5.
Nota má lógistísk vaxtarföll til að lýsa raunverulegum aðstæðum þar sem vaxtarhraðinn breytist með tíma og vöxturinn stefnir að efra marki, svo sem vexti stofns, útbreiðslu sjúkdóma og útbreiðslu orðróms. Sjá dæmi 6.
Með raunverulegum gögnum sem safnað er með tímanum má greina leitni. Þekking á gröfum línulegra falla, vísisfalla, lografalla og lógistískra falla hjálpar við að finna líkön sem falla vel að gögnunum. Sjá dæmi 7.
Rita má sérhvert vísisfall af forminu $y = a b^{x}$ sem jafngilt vísisfall af forminu $y = A_{0} e^{k x}$ þar sem $k = \ln b .$ Upphafsgildið A₀ er þá jafnt a. Sjá dæmi 8.

4.8 Aðlögun vísislíkana að gögnum

Vísisaðhvarf er notað til að lýsa aðstæðum þar sem vaxtarhraðinn eykst sífellt eða þar sem hraði hnignunar minnkar þegar gildið nálgast núll.
Skipunin „ExpReg“ er notuð í grafreiknivél til að aðlaga fall af forminu $y = a b^{x}$ að safni gagnapunkta. Sjá dæmi 1.
Lograaðhvarf er notað til að lýsa aðstæðum þar sem gildið breytist hratt í upphafi en hægar eftir því sem tíminn líður.
Skipunin „LnReg“ er notuð í grafreiknivél til að aðlaga fall af forminu $y = a + b \ln (x)$ að safni gagnapunkta. Sjá dæmi 2.
Lógistískt aðhvarf er notað til að lýsa aðstæðum þar sem vaxtarhraðinn eykst í fyrstu en minnkar síðan þegar fallið nálgast efra mark.
Skipunin „Logistic“ er notuð í grafreiknivél til að aðlaga fall af forminu $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ að safni gagnapunkta. Sjá dæmi 3.

44 Vísis- og lograföll

Meginatriði

4.1 Vísisföll

Vísisfall er fall þar sem jákvæður fasti, annar en $1$ , er hafinn í breytilegan veldisvísi. Sjá dæmi 1.
Gildi falls er reiknað fyrir tiltekið inntaksgildi. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
Finna má vísislíkan þegar hlutfallslegur vaxtarhraði og upphafsgildi eru þekkt. Sjá dæmi 4.
Finna má vísislíkan þegar tveir gagnapunktar líkansins með ólík inntök eru þekktir. Sjá dæmi 5.
Finna má vísislíkan með tveimur gagnapunktum af grafi líkansins. Sjá dæmi 6.
Finna má vísislíkan með tveimur gagnapunktum af grafi og reiknivél. Sjá dæmi 7.
Reikna má innistæðu á reikningi við tímann $t$ með formúlunni fyrir vaxtavexti þegar höfuðstóll, ársvextir og fjöldi vaxtatímabila á ári eru þekkt. Sjá dæmi 8.
Finna má upphaflega fjárfestingu með formúlunni fyrir vaxtavexti þegar innistæðan, ársvextir, fjöldi vaxtatímabila á ári og tíminn frá upphafi fjárfestingar eru þekkt. Sjá dæmi 9.
Talan $e$ er stærðfræðifasti sem er oft notaður sem grunntala vísislíkana af raunverulegum vexti og hnignun. Nálgun á gildi hennar er $e \approx 2,718282.$
Á vísinda- og grafreiknivélum er hnappurinn $[e^{x}]$ eða $[\exp (x)]$ notaður til að reikna veldi af $e .$ Sjá dæmi 10.
Líkön af samfelldum vexti eða hnignun eru vísislíkön með $e$ sem grunntölu. Finna má slík líkön þegar upphafsgildið og samfelldur hlutfallslegur vaxtar- eða hnignunarhraði eru þekkt. Sjá dæmi 11 og dæmi 12.

4.2 Gröf vísisfalla

Graf fallsins $f (x) = b^{x}$ hefur skurðpunkt við y-ás í $(0, 1),$ skilgreiningarmengið $(- \infty, \infty),$ myndmengið $(0, \infty),$ og láfelluna $y = 0.$ Sjá dæmi 1.
Ef $b > 1,$ er fallið vaxandi. Þegar farið er til vinstri eftir grafinu nálgast það láfelluna $y = 0,$ en til hægri vex það án takmarkana.
Ef $0 < b < 1,$ er fallið minnkandi. Þegar farið er til vinstri eftir grafinu vex það án takmarkana en til hægri nálgast það láfelluna $y = 0.$
Jafnan $f (x) = b^{x} + d$ lýsir lóðréttri hliðrun grunnfallsins $f (x) = b^{x} .$
Jafnan $f (x) = b^{x + c}$ lýsir láréttri hliðrun grunnfallsins $f (x) = b^{x} .$ Sjá dæmi 2.
Finna má nálgunarlausnir jöfnunnar $f (x) = b^{x + c} + d$ með grafreiknivél. Sjá dæmi 3.
Jafnan $f (x) = a b^{x},$ þar sem $a > 0,$ lýsir lóðréttri teygju ef $| a | > 1$ eða lóðréttri samþjöppun ef $0 < | a | < 1$ á grunnfallinu $f (x) = b^{x} .$ Sjá dæmi 4.
Þegar grunnfallið $f (x) = b^{x}$ er margfaldað með $- 1,$ fæst $f (x) = - b^{x},$ sem lýsir speglun um x-ás. Þegar inntakið er margfaldað með $- 1,$ fæst $f (x) = b^{- x},$ sem lýsir speglun um y-ás. Sjá dæmi 5.
Taka má þessar umbreytingar vísisfalls saman í almennu jöfnunni $f (x) = a b^{x + c} + d .$ Sjá töflu 3.
Með almennu jöfnunni $f (x) = a b^{x + c} + d$ má rita jöfnu falls út frá lýsingu þess. Sjá dæmi 6.

4.3 Lograföll

Andhverfa vísisfalls er lografall og andhverfa lografalls er vísisfall.
Með skilgreiningu logra má rita lograjöfnu sem jafngilda vísisjöfnu. Sjá dæmi 1.
Með skilgreiningu logra má rita vísisjöfnu sem jafngilda lograjöfnu. Sjá dæmi 2.
Reikna má logra með grunntöluna $b$ í huganum með þekkingu á veldum af $b .$ Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Reikna má tugalogra í huganum með þekkingu á veldum af $10.$ Sjá dæmi 5.
Þegar ekki er unnt að reikna tugalogra í huganum má nota reiknivél. Sjá dæmi 6.
Nota má tugalogra til að leysa vísisjöfnur með grunntöluna $10$ sem lýsa raunverulegum aðstæðum og reikna gildin með reiknivél. Sjá dæmi 7.
Reikna má náttúrulega logra með reiknivél. Sjá dæmi 8.

4.4 Gröf lografalla

Til að finna skilgreiningarmengi lografalls er sett upp ójafna sem segir að viðfang lograns sé stærra en núll og hún leyst fyrir $x .$ Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
Graf grunnfallsins $f (x) = \log_{b} (x)$ hefur skurðpunkt við x-ás í $(1, 0),$ skilgreiningarmengið $(0, \infty),$ myndmengið $(- \infty, \infty)$ og lóðfelluna $x = 0 .$
- Ef $b > 1,$ er fallið vaxandi.
- Ef $0 < b < 1,$ er fallið minnkandi. Sjá dæmi 3.
Jafnan $f (x) = \log_{b} (x + c)$ lýsir láréttri hliðrun grunnfallsins $y = \log_{b} (x)$ :
- Um $c$ einingar til vinstri ef $c > 0.$
- Um algildi $c$ einingar til hægri ef $c < 0.$ Sjá dæmi 4.
Jafnan $f (x) = \log_{b} (x) + d$ lýsir lóðréttri hliðrun grunnfallsins $y = \log_{b} (x)$ :
- Um $d$ einingar upp ef $d > 0.$
- Um algildi $d$ einingar niður ef $d < 0.$ Sjá dæmi 5.
Fyrir sérhvern fasta $a > 0$ lýsir jafnan $f (x) = a \log_{b} (x)$ eftirfarandi umbreytingum:
- Grunnfallið $y = \log_{b} (x)$ er teygt lóðrétt með stuðlinum $a$ ef $| a | > 1.$
- Grunnfallinu $y = \log_{b} (x)$ er þjappað saman lóðrétt með stuðlinum $a$ ef $| a | < 1.$ Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Þegar grunnfallið $y = \log_{b} (x)$ er margfaldað með $- 1,$ fæst speglun um x-ás. Þegar inntakið er margfaldað með $- 1,$ fæst speglun um y-ás.
- Jafnan $f (x) = - \log_{b} (x)$ lýsir speglun grunnfallsins um x-ás.
- Jafnan $f (x) = \log_{b} (- x)$ lýsir speglun grunnfallsins um y-ás. Sjá dæmi 8.
- Nota má grafreiknivél til að nálga lausnir sumra lograjafna. Sjá dæmi 9.
Taka má þessar umbreytingar lografalls saman í almennu jöfnunni $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d .$ Sjá töflu 4.
Út frá jöfnu á almenna forminu $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ má finna lóðfellu grafsins, $x = - c$ . Sjá dæmi 10.
Með almennu jöfnunni $f (x) = a \log_{b} (x + c) + d$ má rita jöfnu lografalls út frá grafi þess. Sjá dæmi 11.

4.5 Reiknireglur logra

Með margfeldisreglu logra má rita logra margfeldis sem summu logra þáttanna. Sjá dæmi 1.
Með deilingarreglu logra má rita logra kvóta sem logra teljarans að frádregnum logra nefnarans. Sjá dæmi 2.
Með veldisreglu logra má rita logra veldis sem margfeldi veldisvísisins og logra veldisstofnsins. Sjá dæmi 3, dæmi 4 og dæmi 5.
Nota má margfeldis-, deilingar- og veldisreglu saman til að draga saman eða liða niður logra með flóknu viðfangi. Sjá dæmi 6, dæmi 7 og dæmi 8.
Einnig má nota reiknireglur logra til að draga summur og mismun logra með sömu grunntölu, ásamt margfeldum þeirra og fasta, saman í einn logra. Sjá dæmi 9, dæmi 10, dæmi 11 og dæmi 12.
Með grunnskiptiformúlunni má umrita logra sem kvóta tveggja logra með sömu nýju grunntölunni. Sjá dæmi 13.
Grunnskiptiformúlan er oft notuð til að umrita logra með aðra grunntölu en 10 eða $e$ sem kvóta náttúrulegra logra eða tugalogra. Þá má reikna gildið með reiknivél. Sjá dæmi 14.

4.6 Vísis- og lograjöfnur

Leysa má margar vísisjöfnur með því að nota veldareglur til að rita hvora hlið sem veldi með sömu jákvæðu grunntölu, annarri en 1. Síðan er eintæknieiginleiki vísisfalla notaður til að setja veldisvísana jafna og leysa fyrir óþekktu stærðina.
Þegar báðar hliðar vísisjöfnu eru veldi með sömu grunntölu eru veldisvísarnir settir jafnir og leyst fyrir óþekktu stærðina. Sjá dæmi 1.
Þegar grunntölur vísisjöfnu eru ekki augljóslega jafnar má reyna að rita hvora hlið sem veldi með sömu grunntölu. Síðan eru veldisvísarnir settir jafnir og leyst fyrir óþekktu stærðina. Sjá dæmi 2, dæmi 3 og dæmi 4.
Þegar ekki er unnt að rita vísisjöfnu með sameiginlegri grunntölu má leysa hana með því að taka logra af hvorri hlið, að því gefnu að báðar hliðar séu jákvæðar. Sjá dæmi 5.
Leysa má vísisjöfnur með grunntöluna $e$ með því að taka náttúrulegan logra af báðum hliðum, því náttúrulega lografallið og þetta vísisfall eru andhverfur hvort annars. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Eftir að vísisjafna hefur verið leyst er hver lausn prófuð í upphaflegu jöfnunni til að finna og útiloka aukalausnir. Sjá dæmi 8.
Fyrir jöfnu af forminu $\log_{b} (S) = c,$ þar sem $S$ er algebrustæða, má nota skilgreiningu logra til að rita jafngildu vísisjöfnuna $b^{c} = S$ og leysa fyrir óþekktu stærðina. Viðfang lograns verður að vera jákvætt. Sjá dæmi 9 og dæmi 10.
Einnig má leysa jöfnur af forminu $\log_{b} (S) = c$ með grafi. Gröf jafnanna $y = \log_{b} (S)$ og $y = c$ eru teiknuð í sama hnitakerfi og lausnin lesin sem x-hnit skurðpunktsins. Sjá dæmi 11.
Fyrir jöfnu af forminu $\log_{b} S = \log_{b} T,$ þar sem $S$ og $T$ eru jákvæðar algebrustæður, má nota eintæknieiginleika logra til að leysa jöfnuna $S = T$ fyrir óþekktu stærðina. Sjá dæmi 12.
Með aðferðum úr þessum og fyrri hlutum má leysa jöfnur sem lýsa raunverulegum aðstæðum, hvort sem óþekkta stærðin er í veldisvísi eða viðfangi logra. Sjá dæmi 13.

4.7 Vísis- og logralíkön

Grunnform vísisfalls er $f (x) = a b^{x} .$ Fyrir jákvætt upphafsgildi a fæst vísisvöxtur ef $b > 1,$ en vísishnignun ef $0 < b < 1 .$
Einnig má rita líkanið á forminu $A = A_{0} e^{k x},$ þar sem $A_{0}$ er upphafsgildið. Ef $A_{0}$ er jákvætt fæst vísisvöxtur þegar $k > 0$ og vísishnignun þegar $k < 0.$ Sjá dæmi 1.
Almennt eru verkefni um vísisvöxt eða vísishnignun leyst í tveimur skrefum. Fyrst er líkan sett upp og stikar þess fundnir. Síðan er formúlan með þessum stikum notuð til að spá fyrir um vöxt eða hnignun. Sjá dæmi 2.
Finna má aldur $t$ lífræns sýnis með því að ákvarða hlutfallið $k$ af upphaflegu magni kolefnis-14 sem eftir er í sýninu og nota formúluna $t = \frac{\ln (k)}{- 0,000121}$ til að reikna $t .$ Sjá dæmi 3.
Þegar tvöföldunartími eða helmingunartími efnis er þekktur má finna fall sem lýsir vísisvexti þess eða vísishnignun, ef upphafsmagnið er einnig þekkt. Sjá dæmi 4.
Með kólnunarlögmáli Newtons má finna hve langan tíma tekur kólnandi hlut að ná tilteknu hitastigi eða hvert hitastig hlutarins verður eftir tiltekinn tíma. Sjá dæmi 5.
Nota má lógistísk vaxtarföll til að lýsa raunverulegum aðstæðum þar sem vaxtarhraðinn breytist með tíma og vöxturinn stefnir að efra marki, svo sem vexti stofns, útbreiðslu sjúkdóma og útbreiðslu orðróms. Sjá dæmi 6.
Með raunverulegum gögnum sem safnað er með tímanum má greina leitni. Þekking á gröfum línulegra falla, vísisfalla, lografalla og lógistískra falla hjálpar við að finna líkön sem falla vel að gögnunum. Sjá dæmi 7.
Rita má sérhvert vísisfall af forminu $y = a b^{x}$ sem jafngilt vísisfall af forminu $y = A_{0} e^{k x}$ þar sem $k = \ln b .$ Upphafsgildið A₀ er þá jafnt a. Sjá dæmi 8.

4.8 Aðlögun vísislíkana að gögnum

Vísisaðhvarf er notað til að lýsa aðstæðum þar sem vaxtarhraðinn eykst sífellt eða þar sem hraði hnignunar minnkar þegar gildið nálgast núll.
Skipunin „ExpReg“ er notuð í grafreiknivél til að aðlaga fall af forminu $y = a b^{x}$ að safni gagnapunkta. Sjá dæmi 1.
Lograaðhvarf er notað til að lýsa aðstæðum þar sem gildið breytist hratt í upphafi en hægar eftir því sem tíminn líður.
Skipunin „LnReg“ er notuð í grafreiknivél til að aðlaga fall af forminu $y = a + b \ln (x)$ að safni gagnapunkta. Sjá dæmi 2.
Lógistískt aðhvarf er notað til að lýsa aðstæðum þar sem vaxtarhraðinn eykst í fyrstu en minnkar síðan þegar fallið nálgast efra mark.
Skipunin „Logistic“ er notuð í grafreiknivél til að aðlaga fall af forminu $y = \frac{c}{1 + a e^{- b x}}$ að safni gagnapunkta. Sjá dæmi 3.